2018年高考总复习课时作业(文科)(二十四)解三角形应用举例
2018版高考数学复习三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用理
第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用 理1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S ＝p p －a p －bp －c (p ＝a ＋b ＋c2)，S ＝abc 4R ＝rp (R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p ＝a ＋b ＋c2)．2．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．( × )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( √ )1．(教材改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m 答案 A解析 由正弦定理得AB sin∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10° 答案 B解析 如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴点A 在点B 的北偏西15°.3．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于( )A ．10 3 n mile B.1063n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile答案 D解析 如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6.4.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.答案32a 解析 由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，又在Rt△ADB 中，AB ＝12AD＝32a . 5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 答案 60° 20 3 解析 如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.题型一 求距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m(2)(2016·三明模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______ m. 答案 (1)C (2)4003解析 (1)如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°， 所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1) (m)． (2)如图，设塔AB 高为h ，在Rt△CDB 中，CD ＝200 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos 30°＝40033(m)．在△ABC 中，∠ABC ＝∠BCD ＝30°， ∠ACB ＝60°－30°＝30°， ∴∠BAC ＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin 120°＝ABsin 30°，∴AB ＝BC ·sin 30°sin 120°＝4003(m)．思维升华 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(1)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.答案 (1)30 2 (2)30＋30 3解析 (1)如图，由题意，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60 km ， 由正弦定理BC sin 30°＝ACsin 45°，∴BC ＝30 2 km.(2)在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PB sin 30°＝ABsin 15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， ∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)． 题型二 求角度问题例2 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin∠ACB ＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是______(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．答案539解析 如图，过点P 作PO ⊥BC于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m. 在Rt△ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以BC ＝20 m. 所以cos∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625(m)．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 题型三 三角形与三角函数的综合问题例3 (2016·长春质检)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f (A 2－π6)＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．解 (1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3 ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递减区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )．(2)由f (A 2－π6)＝2sin[2(A 2－π6)＋π3]＝2sin A ＝3，又A 为锐角，则A ＝π3，由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314， 则b ＋c ＝13314·143＝13，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2－2bc －a 22bc ＝12，可求得bc ＝40.思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.10．函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决． 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则[1分]S ＝900t 2＋400－2·30t－＝900t 2－600t ＋400＝t －132＋300.[3分]故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分] (2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[8分] 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[11分] 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 海里 B ．10 3 海里 C ．20 3 海里 D ．20 2 海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.2．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km D ．2 km答案 A 解析 如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°， ∴ACsin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝22×32＝ 6. 3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．5 3 海里 C ．10海里 D ．10 3 海里答案 C解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°， 所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt△ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．4.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝52＋102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m答案 A解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h .在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.7．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)．8.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.答案 32解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507. *10.在Rt△ABC 中，C ＝90°，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．答案 (1，2] 解析 x ＝a ＋bc ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]．11．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度． 解 如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt△ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x . 在Rt△ADB 中，∠ADB ＝30°， 则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°， 解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.12．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值． 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A ＝c sin C ，得sin C ＝158.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. *13.在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船(在D 点)，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里， 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6， 解得BC ＝ 6. 又BC sin∠BAC ＝ACsin∠ABC， ∴sin∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBDCD＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6， 解得t ＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。
2018年高考数学总复习：3-7应用举例
3km 的 C、D 两点，并且测得∠ACB＝75° ，∠BCD＝45° ， ∠ADC＝30° ， ∠ADB＝45° ， 则 A、 B 之间的距离为________．
分析：条件中给出了众多的角和一条边的值，为求 AB，需先将 AB 归结到一个三角形中，由 AB 对角 75° 可 归到△ACB 中， 需求 AC(利用△ACD)和 BC(利用△BCD)； 也可以由 AB 对角 45° ，归结到△ABD 中，需求 AD(借助 △ACD)和 BD(借助△ACD)和 BD(借助△BCD)，由条件 可知，这两个三角形均可解．
点评： 本例关键是首先应明确方向角的含义， 在解应 用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画 出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将 实际问题转化成可用数学方法解决的问题， 解题中也要注 意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
测量距离的问题
[例 1] 要测量河对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距
解析： 如图所示， 注意到最快追上走私船且两船所用 时间相等，若在 D 处相遇，则可先在△ABC 中求出 BC， 再在△BCD 中求∠BCD.
设辑私船用 th 在 D 处追上走私船，则有 CD＝10 3 t，BD＝10t， 在△ABC 中， ∵AB＝ 3－1， AC＝2， ∠BAC＝120° ， ∴由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· AC· cos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2· ( 3－1)· 2· cos120° ＝6 ∴BC＝ 6，
一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集 中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到 两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解 够条件的三角形， 然后逐步求出其它三角形中的解， 有时 需设出未知量， 从几个三角形中列出方程， 解方程得出所 要求的解．
18学年高中数学解三角形课时作业4应用举例新人教B版5180105329
5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()
A．d1>d2B．d1＝d2
C．d1<d2D．不能确定大小
解析：如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，如题意可知α＝β.
解析：
如图，由条件知，AB＝24× ＝6(km)．
在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
∴∠ASB＝45°.
由正弦定理，得 ＝ ，
∴BS＝ ＝3 .
答案：3
8．海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile，再过________ min，海盗船到达商船．
解析：如题图，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，设飞机高为h，则BD＝h，AD＝ h.
又AB＝450× ＝7.5，
由AD－BD＝AB得 h－h＝7.5.
∴h＝ ＝ .
答案：
7．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km.
A．北偏பைடு நூலகம்10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
解析：由图可知，∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°.
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝ (180°－80°)＝50°.
2018年高三-文科数学专题复习--三角函数-、解三角形(超级详细)
2018 年高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（ 2016～2018 年）1.(20155，且 α为第四象限角，则 tan α的值等于 ()福·建， 6)若 sin α＝－ 1312 12 5 5 A. 5 B.－ 5 C.12 D.－ 122.(2014 大·纲全国， 2)已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ( )4 3 3 4A. 5B. 5C.－ 5D.－53.(2014 新·课标全国Ⅰ， 2)若 tan α＞ 0，则 () A.sin α＞0 B.cos α＞ 0 C.sin 2α＞ 0 D.cos 2α＞ 04.(2016 新·课标全国Ⅰ， 14)已知 θ是第四象限角，且 sin θ＋ π＝ 3，则 tan θ－ π＝ ________. 4 5 4 5.(2016 四·川， 11)sin 750 ＝° . 6.(2015 四·川， 13)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－ cos 2α的值是 ________．B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1 a )若点 (4， a)在 y x2 图象上，则 tan1.(2016 济·南一中高三期中6π的值为 ( )3 A.0 B. 3 C.1D. 3π πα＝ ()2.(2016 贵·州 4 月适应性考试 )若 sin ＋ α＝－ 3，且 α∈ ， π，则 sin π－ 225 2 ( )24 12 12 24A. 25B. 25C.－ 25D. －25sin α－ cos α性考试)已知角 α的终边经过点 P(2 ，－ 1)，则 ＝ ( ) sin α＋ cos α1 1A.3B.3C.－3D.－ 310π4.(2015 乐·山市调研 )若点 P 在－ 3 角的终边上，且 P 的坐标为 ( －1， y)，则 y 等于 ()3 3 A. － 3B. 3C.－ 3D. 3π5.(2015 石·家庄一模 )已知 cos α＝ k ， k ∈R ，α∈ 2， π，则 sin( π＋ α)＝ () A. － 1－ k 2B. 1－k 2C.－ kD. ± 1－ k 26.(2015 洛·阳市统考 )已知 △ABC 为锐角三角形 ,且 A 为最小角 ,则点 P(sin A-cos B,3cos A-1)位于 () A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限D. 第四象限π4，则 cos α＝ ________.7.(2016 山·东日照第一次模拟 )已知角α为第二象限角，cos－α＝2 58.(2015 湖·南长沙一模 )在平面直角坐标系xOy 中，将点 A( 3，1)绕原点 O 逆时针旋转90°到点 B，那么点 B 坐标1为________，若直线 OB 的倾斜角为α，则 tan 2α的值为 ________.专题二三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）π的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为() 1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 6)若将函数 y＝2sin 2x＋6 4ππππA. y＝ 2sin2x＋4B.y＝ 2sin2x＋3C.y＝2sin 2x－4D.y＝ 2sin 2x－32.(2016 新·课标全国卷Ⅱ，3)函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()ππA. y＝ 2sin2x－6B. y＝ 2sin 2x－3C.y＝ 2sin x＋πD. y＝ 2sin x＋π6 33.(2016 四·川， 4)为了得到函数 y＝ sin x＋π的图象，只需把函数 y＝ sin x 的图象上所有的点 ( )3πB.向右平行移动πA. 向左平行移动3个单位长度3个单位长度πD.向下平行移动πC.向上平行移动个单位长度个单位长度3 34． (2015 新·课标全国Ⅰ，8)函数 f( x)＝ cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x) 的单调递减区间为 ( )A. kπ－1，kπ＋3，k∈ ZB. 2kπ－1， 2kπ＋3， k∈ ZC.k－1， k＋3， k∈ ZD. 2k－1， 2k＋3，k∈Z4 4 4 4 4 4 4 4π的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象 ()5.(2015 山·东， 4)要得到函数 y＝ sin 4x－3π个单位 B ．向右平移π个单位A ．向左平移1212π D ．向右平移π个单位个单位C．向左平移3 36.(2014 天·津， 8)已知函数 f(x)＝3sin ωx＋ cos ωx(ω＞ 0)， x∈R .在曲线 y＝ f(x) 与直线 y＝ 1 的交点中，若相邻交π点距离的最小值为3，则 f( x)的最小正周期为 ()π2πA. 2B. 3C. πD.2 ππ的最小正周期是 ( )7.(2014 陕·西， 2)函数 f(x)＝ cos 2x＋4πA. 2B. πC.2 πD.4 π28.(2014 四·川， 3)为了得到函数 y ＝ sin(x ＋1)的图象，只需把函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点 ()A ．向左平行移动 1 个单位长度B ．向右平行移动 1 个单位长度C ．向左平行移动 π个单位长度D ．向右平行移动 π个单位长度9.(2014 浙·江， 4)为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 () π B. 向右平移 π C.向左平移 π D.向左平移 πA. 向右平移 12个单位 4个单位 12个单位 4个单位10.(2014 安·徽， 7)若将函数 f(x)＝ sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移 φ个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ的最小 正值是 ( )ππ 3π 3π A. 8B.4C. 8D. 411.(2014 新·课标全国Ⅰ， 7)在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝|cos x|，③ y ＝ cos 2x ＋ π， 6④ y ＝ tan 2x － π中，最小正周期为 π的所有函数为 ()4 A.①②③ B. ①③④ C.②④D. ①③ π)12.(2014 个单位，得到函数 y ＝ f(x)的图象，则下列说法正确的是 (福·建， 7)将函数 y ＝sin x 的图象向左平移 2 A. y ＝ f(x)是奇函数 B.y ＝ f(x)的周期为 ππ πC.y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ 2对称D.y ＝ f(x)的图象关于点－ 2， 0 对称 13.(2016 新·课标全国Ⅲ， 14)函数 y ＝ sin x － 3cos x 的图象可由函数 y ＝ 2sin x 的图象至少向右平移 ________个单 位长度得到 .14.(2015 天·津， 11)已知函数 f( x)＝ sin ωx＋ cos ωx (ω＞ 0)，x ∈ R.若函数 f(x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数 y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ ω对称，则 ω的值为 ________．15.(2015 陕·西， 14)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数πy ＝ 3sin 6x ＋ φ ＋ k ，据此函数可知，这段时间水深 (单位： m)的最大值为 ________．16.(2015 湖·南， 15)已知 ω>0 ，在函数 y ＝2sin ωx 与 y ＝ 2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 ω＝ ________.ππ17.(2014 重·庆， 13)将函数 f(x)＝ sin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，－ 2≤φ＜2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 π π不变，再向右平移 6个单位长度得到 y ＝ sin x 的图象，则 f 6 ＝ ________.318.(2015 湖·北， 18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)ω>0， |φ|<π在某一个周期内的图象时，列表并2填入部分数据，如下表：ωx＋φ0 π3ππ2π2 2xπ5π3 6 Asin( ωx＋φ)0 5 － 50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将 y＝ f(x)图象上所有点向左平移πy＝g( x)的图象，个单位长度，得到6求 y＝ g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014 湖·北， 18)某实验室一天的温度(单位：℃ )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系：ππf(t)＝10－3cos12t－ sin 12t， t∈ [0,24) ．(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．π20.(2014 四·川， 17)已知函数 f(x)＝ sin 3x＋4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；α＝4 π(2)若α是第二象限角， f 35cos α＋4 cos 2α，求 cos α－ sin α的值．421.(2014 福·建， 18)已知函数f(x)＝ 2cos x(sin x＋ cos x)．5π(1) 求 f 4的值；(2)求函数 f( x)的最小正周期及单调递增区间．π22.(2014 北·京， 16)函数 f(x)＝ 3sin 2x＋6的部分图象如图所示．(1)写出 f(x)的最小正周期及图中x， y0的值；(2)求 f(x)在区间ππ－，－上的最大值和最小值．2 12B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 四·川成都第二次诊断)将函数 f(x)＝ cos x＋π的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，得6 2 到函数 g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 ( )A. g(x)＝ cosππx＋πx＋π2x＋3 B.g(x)＝ cos 2x＋6 C.g(x)＝ cos 2 3 D. g(x)＝ cos 2 62.(2016 山·西四校联考 )已知函数 f(x)＝ cos ωx＋φ－πω>0， |φ|<π的部分图象如图所示，2 2π则 y＝ f x＋6取得最小值时x 的集合为 ( )A. x|x＝ kπ－ππππ， k∈ Z B. x|x＝ kπ－， k∈Z C. x|x＝ 2kπ－，k∈Z D. x|x＝ 2kπ－， k∈ Z6 3 6 3πy 轴对称，则φ的3.(2015 石·家庄模拟 )将函数 f(x)＝sin(2 x＋φ)的图象向左平移8个单位，所得到的函数图象关于一个可能取值为 ( )3πππA. 4 B.4 C.0 D.－45π3π4.(2015 黄·冈模拟 ) 当 x＝4时，函数 f(x) ＝ Asin(x＋φ)(A＞ 0)取得最小值，则函数y＝ f4－ x 是()A. 奇函数且图象关于点π对称 B.偶函数且图象关于点( π， 0)对称，2ππC.奇函数且图象关于直线x＝2对称 D. 偶函数且图象关于点2， 0 对称5.(2015 河·南焦作市统考 )函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ) ω＞0， |φ|＜π的最小正周期为π，且其图象向右平移π个单位后2 12 得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象 ( )πB. 关于直线x＝5πC.关于点5πD.关于直线 x＝π， 0 对称对称， 0 对称对称A. 关于点212 12 12π6.(2015 怀·化市监测 )函数 y＝－ 2x 的单调增区间为 ________. 2sin 33 37.(2015 辽·宁五校联考 )已知函数 f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx(ω＞0) 的周期为 4.(1) 求 f(x)的解析式；2个单位得到函数g(x)的图象，P，Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图 )，(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移3求∠ OQP 的大小 .专题三三角恒等变换A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅲ，6)若 tan θ＝－1，则 cos 2θ＝ ( )34 1 1 4A. －5B.－5C.5D. 5π2.(2016 新·课标全国Ⅱ，11)函数 f(x)＝ cos 2x＋ 6cos－x 的最大值为 () 2A.4B.5C.6D.73.(2015 重·庆， 6)若 tan α＝1， tan(α＋β)＝1，则 tan β＝ ()3 21 1 5 5A. 7B. 6C.7D.64.(2016 浙·江， 11)已知 2cos2x＋ sin 2x＝Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，则 A＝ ________， b＝ ________.65.(2016 山·东， 17)设 f(x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 )，再把得到的图象向左平移π个单位，得到3函数 y＝ g(x)的图象，求 g π的值 .66.(2016 北·京， 16)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求 f(x) 的单调递增区间 .7.(2015 广·东， 16)已知 tan α＝ 2.(1) 求 tan α＋π的值；(2) 求sin 2 α的值．4 sin2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 12x8.(2015 北·京， 15)已知函数 f(x)＝ sin x－2 3sin .2π(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在区间0，3上的最小值．79.(2015 福·建， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin x2cos 2x＋ 10cos2x2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；πa( a＞ 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，(2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移6且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0 )＞0.π， x∈ R，且 f 5π3210.(2014 广·东， 16)已知函数 f(x)＝ Asin x＋312 ＝2.(1) 求 A 的值；(2) 若 f(θ)－ f(－θ)＝3，θ∈0，π，求 fπ2 6－θ.11.(2014 浙·江 ,18)在△ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 4sin2A－B＋ 4sin Asin＝ 2＋ 2.2(1)求角 C 的大小； (2) 已知 b＝ 4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值．B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 江·西九校联考 )已知α∈3π， cos α＝－4，则 tanππ，－α等于 () 2 5 41 1A.7B. 7C.－7D. － 72.(2016 洛·阳统考 ) 若α∈[0， 2π)，则满足1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α的α的取值范围是 ()πB.[ 3π3π7πA. 0，0，πC.0，D.0，∪， 2π2]4 4 41 3 2tan 14 °1－ cos 50 °)3.(2016 河·南六市联考 )设 a＝2cos 2 －°2sin 2 ，°b＝，c＝2，则有 ( 1－ tan214°A. a<c<bB. a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.(2015 大·庆市质检二 )已知 sin α＝5，则 sin2α－cos2α的值为 ( )41 3 1 3A. －8B.－8C.8D.885.(2015 烟·台模拟 ) 已知 cos α＝ 3， cos(α＋ β)＝－ 5， α，β都是锐角，则 cos β等于 ()513 63 33 3363A. － 65B. －65C.65D.656.(2015 河·北唐山模拟 )已知 2sin 2α＝ 1＋cos 2α，则 tan 2α＝ ()A. 4B.－4 C. 4或 0 D.－ 4或 0 3 3 3 3sin αcos α 1 1，则 tan β＝________. 7.(2015 巴·蜀中学一模 )已知 ＝ ， tan(α－β)＝ 1－ cos 2α 2 24 138.(2015 河·南洛阳统考 )已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos β， sin β)， |a － b|＝ 13 .(1) 求 cos(α－ β)的值； (2)若 0＜ α＜ π π，－ ＜ β＜0 且 sin β＝－ 4，求 sin α的值 .2 2 5专题四 解三角形A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 4)△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c.已知 a ＝ 5， c ＝ 2， cos A ＝ 2，3则 b ＝ ()A. 2B. 3C.2D.32.(2016 山·东， 8)△ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 b ＝ c ， a 2 ＝ 2b 2 (1－ sin A)，则 A ＝ ()3π π π π A. 4B. 3C.4D. 633.(2015 广·东 ,5)设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a ＝ 2,c ＝2 3,cos A ＝ 2 ,且 b<c,则 b ＝ ( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 34.(2014 四·川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m ，9则河流的宽度 BC 等于 ( )A ． 240( 3－ 1)mB ． 180( 2－ 1)mC ． 120( 3－ 1)mD ． 30( 3＋ 1)m5.(2016 新·课标全国Ⅱ， 15)△ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ， 若 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ， a ＝ 1，则 b ＝ ________.5 132πb6.(2016 北·京， 13)在△ABC 中，∠ A ＝ 3 ， a ＝ 3c ，则 c ＝ ________.2π7.(2015 北·京， 11)在 △ABC 中， a ＝ 3， b＝ 6，∠ A ＝ 3 ，则∠ B ＝ ________.8.(2015 重·庆， 13)设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 a ＝ 2， cos C ＝－ 1， 3sin A ＝ 2sin B ，则 c ＝ ________.49.(2015 安·徽， 12)在△ABC 中， AB ＝ 6，∠ A ＝ 75°，∠ B ＝ 45°，则 AC ＝________.10.(2015 湖·北， 15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝ ________m.11.(2014 新·课标全国Ⅰ， 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠ MAN ＝60°，C 点的仰角∠ CAB ＝ 45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝ 60°，已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m. π12.(2014 湖·北， 13)在 △ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 ， a ＝ 1， a ， b ， c.已知 A ＝ 6b ＝ 3，则 B ＝________.13.(2014 福·建， 14)在 △ABC 中， A ＝60°， AC ＝ 2， BC ＝ 3，则 AB 等于 ________． 14.(2014 1，则 c ＝ ________； sin A ＝ ________. 北·京， 12)在 △ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 415.(2016 浙·江， 16)在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c.已知 b ＋ c ＝ 2acos B.(1)证明： A ＝ 2B ；(2)若 cos B ＝ 2，求 cos C 的值 . 3cos A＋ cos B＝sin C 16.(2016 四·川， 18)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c，且ab c .(1) 证明： sin Asin B＝ sin C；2 2 2 6(2)若 b ＋ c － a ＝ bc，求 tan B.51017.(2015 江·苏， 15)在△ABC 中，已知 AB ＝2， AC＝ 3， A＝ 60°.(1) 求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值．18.(2015 新·课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC， BD＝2DC .(1) 求sin∠B；(2) 若∠ BAC＝ 60°，求∠ B.sin∠ C19.(2015 天·津， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知△ABC 的面积为 31 15， b－ c＝2， cos A＝－ .4(1) 求 a 和 sin C 的值；(2) 求 cos 2A＋π的值．620.(2015 山·东， 17)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为3，a， b， c.已知 cos B＝36sin (A＋ B)＝9， ac＝ 2 3，求 sin A 和 c 的值．21.(2015 湖·南， 17)设△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c， a＝ btan A.(1) 证明： sin B＝ cos A；(2) 若 sin C－ sin Acos B＝3，且 B 为钝角，求 A， B，C. 4π22.(2015 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知 tan 4＋A ＝ 2.sin 2A的值；π(1) 求 2 (2)若 B＝， a＝ 3，求△ABC 的面积．sin 2A ＋cos A 423.(2015 新·课标全国Ⅰ,17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边 ,sin2B＝ 2sin Asin C.(1) 若 a＝b,求 cos B；(2) 设 B＝ 90°,且 a＝2,求△ABC 的面积．24.(2014 重·庆， 18)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c，且 a＋ b＋ c＝8.(1)若 a＝2， b＝5，求 cos C 的值；211(2) 若 sin Acos2B＋ sin Bcos2A＝ 2sin C，且△ABC 的面积 S＝9sin C，求 a 和 b 的值．2 2 225.(2014 山·东， 17)△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 a＝3， cos A＝π6，B＝ A＋.3 2(1) 求 b 的值；(2) 求△ABC 的面积．26.(2014 陕·西， 16)△ABC 的内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c.(1)若 a，b， c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝ 2sin(A＋ C)；(2)若 a，b， c 成等比数列，且 c＝ 2a，求 cos B 的值．27.(2014 湖·南， 19)如图，在平面四边形 ABCD 中， DA ⊥ AB，DE ＝1， EC ＝7， EA＝2，∠ ADC ＝2ππ(1)求 sin∠ CED 的值； (2) 求 BE 的长．，∠ BEC＝.3 3B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 湖·南四校联考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (a2＋ b2－ c2)tan C＝ ab,则角 C 为 ()π 5ππ 2πC.πD.2πA. 或6 B. 或3 6 36 32.(2016 河·南三市调研 )△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为πa， b， c，若 c2＝ (a－ b)2＋ 6， C＝，则△ABC的3面积为 ( )A.3B. 923C.323D.3 33.(2016 济·南一中检测 )在△ABC 中，内角 A，B， C 对边的边长分别为a， b， c， A 为锐角，lg b＋ lg 1＝ lg sin A＝－ lg 2，则△ABC 为 ( ) cA. 等腰三角形B. 等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015 山·东省实验中学三诊2 2 2 2) )在△ABC 中，若 (a ＋ b ) ·sin(A－B)＝ (a－ b )sin C，则△ABC 是 (A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形5.(2015 江·西赣州摸底 )为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图 )，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得 BC＝ 50 m，∠ ABC＝105°，∠ BCA＝45°，就可以计算出A，B 两点的距离为 ( )12A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 m 25 2D. 2 m6.(2015 湖·南十二校联考 )在 △ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 2 2 a － b＝ 3，则 c ＝ () 若 tan A ＝ 7tan B ， c A.4 B.3 C.7 D.61 7.(2016 湖·南株洲 3 月模拟 )在△ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 4，则 sin A ＝ ________. 8.(2015 太·原模拟 ) 在△ABC 中，已知 (sin A ＋ sin B ＋ sin C) ·(sin B ＋ sin C － sin A)＝ 3sin Bsin C.(1) 求角 A 的值； (2) 求 3sin － cos C 的最大值B13高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）5 ，且 α为第四象限角， ∴ cos α＝ 12，∴ tan α＝ sin α5 ，故选 D. 答案 D13 ＝－ 121.解析 ∵ sin α＝－ 13 cos α2.解析 记 P(－ 4， 3)，则 x ＝－ 4， y ＝3， r ＝ |OP|＝ （－4） 2＋ 32＝5， － 4 4，故选 D.故 cos α＝x ＝ ＝－ r55 3.解析 由 tan α＞ 0，可得 α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，故 sin 2α＝2sin αcos α＞ 0，故选 C. 答案 C4.解析 由题意，得 cos π4 ，∴ tan π3 ππ π1 ＝－ 4 . 答案 － 4θ＋ ＝ θ＋ ＝ .∴ tan θ－ ＝ tan θ＋ － ＝－ π 33 4 5 4 4 4 4 2 tan θ＋ 45.解析 ∵ sin θ＝ sin(k ·360 °＋ θ)，( k ∈ Z)， ∴ sin 750 ＝°sin(2 360× °＋ 30°)＝ sin 30 1 答案1＝° . 2 26.解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝ 0， ∴ sin α＝－ 2cos α，∴ tan α＝－ 2，又∵ 2sin αcos α－cos 2α＝ 2sin α·cos α－ cos 2 α 2tan α－ 12×（－ 2）－ 1 sin 2α＋ cos 2α＝ tan 2α＋1 ， ∴原式＝（－ 2）2＋ 1＝－ 1. 答案 －1B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1a1.解析 ∵a ＝ 42＝ 2， ∴ tan 6π＝ 3.答案 Dπ33 π42.解析由 sin 2＋ α＝－ 5得 cos α＝－ 5，又 α∈ 2， π， 则 sin α＝ 5，所以 sin( π－2α)＝ sin 2α＝ 2sin αcos α＝－ 24 答案 D25.3.解析 因为角 α终边经过点 P(2 ，－ 1)，所以 tan α＝－ 1， sin α－ cos α tan α－ 1＝ ＝ 2 sin α＋ cos α tan α＋ 1－ 12－ 1 ＝－ 3，故选 D.－1＋ 1210π 2π 10π 2π 2π答案 D 4.解析 ＝－ 4π＋ ，所以－ 与 的终边相同，所以 tan ＝－ 3＝－ y ，则 y ＝ 3. － 33 3 3 3 πα>0，则 sin( π＋α 2 2 5.解析 因为 α∈ ， π ，所以 sin1－ cos α＝－ 1－ k ，故选 A. 答案 A 2)＝－ sin α＝－ π π π π6.解析 由题意得， A ＋ B＞即 A ＞ － B ，且 A ∈ 0， 3 ， － B ＞ 0， 2 2 2 π1 1 在第一象限 . 答案 A故 sin A＞ sin － B ＝ cos B，即 sin A－ cos B＞ 0， 3cos A－ 1＞ 3× － 1＝，故点 P2 2 27.解析sin α＝ cos π4，又α为第二象限角，所以 cos α＝－2 3－3－α＝51－sin α＝－ . 答案5 2 58.解析设点 A( 3， 1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，1413π则 A(2cos θ， 2sin θ)， 由三角函数的定义可知： sin θ＝ ，cos θ＝，则 θ＝ 2k π＋6 (k ∈Z )，22设 B(x ， y)，由已知得 x ＝ 2cos θ＋ π＝2cos 2k π＋ 2π＝－ 1， y ＝2sinθ＋ π＝ 2sin2k π＋2π＝ 3，2 323 所以 B(－ 1， 3) ，且 tan α＝－ 3，所以 tan 2α＝ 2tan α2 ＝ 3. 答案 (－ 1， 3)31－ tan α专题二三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（ 2016 ～2014 年） 答案精析1.解析 函数 y ＝ 2sin 2x ＋ π2x ＋ π1个周期即 π6 的周期为 π，将函数 y ＝ 2sin 的图象向右平移 个单位， 所得函数为6 4 4 π π πy ＝ 2sin 2 x － 4 ＋ 6 ＝ 2sin 2x － 3 ，故选 D. 答案D2.解析 由题图可知， T ＝ 2 ππ ＝π，所以 ω＝2，由五点作图法可知 π π π － － 6 2× ＋φ＝ ，所以 φ＝－ ，3 3 2 6 π所以函数的解析式为 y ＝ 2sin 2x － 6 ，故选 A. 答案 A3.解析由 y ＝ sin x 得到 y ＝sin(x ±a)的图象，只需记住 “左加右减 ”的规则即可 . 答案 A4.解析 由图象知 T＝ 5－ 1＝ 1， ∴ T ＝ 2.由选项知 D 正确． 答案 D2 4 45.解析 ∵ y ＝ sin 4x － π＝ sin 4x － π ，312∴要得到函数 y ＝ sin π 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移 π答案 B 4x － 3 12个单位．6.解析 由题意得函数 f(x)＝ 2sin π (ω＞ 0)， 又曲线 y ＝ f(x)与直线 y ＝1 相邻交点距离的最小值是 πωx＋ 3 ， 6由正弦函数的图象知， π π π 5π π 即2π π ωx＋ ＝ 和 ωx＋ ＝ 对应的 x 的值相差 ， ＝ ，解得 ω＝ 2， 6 6 6 6 3 3ω 3 2π 所以 f(x)的最小正周期是 T ＝ ω＝ π. 答案 C 2π7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得＝ π. 答案 BT ＝ 2 8.解析 由图象平移的规律 “左加右减 ”，可知选 A. 答案 A9.解析 因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝ 2cos 3x －π，所以将 y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移 π个单位后可得到412y ＝ 2cos 3x － π的图象．答案 A 10.解析 方法一 f(x)＝ 2sin 2x ＋ π，4 4将函数 f(x)的图象向右平移 φ个单位后所得图象对应的函数解析式为 y ＝ 2sin π2x ＋ － 2φ，由该函数为偶函数 4ππkπ3π所以φ的最小正值为3π可知 2φ－＝ kπ＋，k∈ Z ，即φ＝2 ＋， k∈Z ，8 .4 2 8π方法二f(x)＝ 2cos 2x－4，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为ππ3πy＝ 2cos 2x－4－ 2φ，且该函数为偶函数，故 2φ＋4＝ kπ， k∈ Z ，所以φ的最小正值为8 . 答案 C1511.解析① y＝ cos|2x|，最小正周期为π；② y＝ |cos x|，最小正周期为π；③ y＝ cos2x＋π，最小正周期为π；6④ y＝ tanπ，最小正周期为ππ的所有函数为①②③，故选 A. 答案 A 2x－4，所以最小正周期为2ππ12.解析函数 y＝ sin x 的图象向左平移2个单位后，得到函数 f(x)＝sin x＋2＝ cos x 的图象， f(x)＝ cos x 为偶函数，πππ排除 A ； f(x)＝ cos x 的周期为 2π，排除 B；因为 f ＝ cos ＝ 0，所以 f(x)＝ cos x 不关于直线x＝对称，排除 C；2 2 2故选 D. 答案 D13.解析 y＝ sin x－ 3cos x＝2sin x－ππ答案π，由 y＝ 2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到 .3 3 314.解析f(x)＝ sin ωx＋cos ωx＝2sinπππ πωx＋，由－＋ 2kπ≤ωx＋≤＋ 2kπ，k∈Z，4 2 4 23ππ由题意 f( x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，可知π得－＋ 2kπ≤ωx≤＋2kπ，k＝ 0，ω≥，4 4 2又函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，2 π 2 π ππ答案π所以 sin( ω＋)＝1，ω ＋＝，所以ω＝2.24 4 215.解析由题干图易得y min＝ k－ 3＝ 2，则 k＝ 5，∴ y max＝k＋ 3＝ 8.答案 816.解析y＝ 2sin ωx，ωx－π＝ 0，由知 sin ωx＝cos ωx，即 sin ωx－ cos ωx＝ 0，∴ 2siny＝ 2cos ωx，4π 1 π 1 π∴ ωx＝4＋ kπ， x＝ω4＋ kπ (k∈ Z)，∴两函数交点坐标为ω4＋ kπ， 2 (k＝0， 2， 4，⋯)，1 π2或( k＝⋯，－ 3，－ 1， 1，3，⋯) ∴最短距离为（ 2 2）2＋π2＋ kπ，－ 23，ω4 ω＝ 22ππ∴π答案2＝ 4，∴ ω＝ .2ω 2πy＝ sin x＋π17.解析把函数 y＝ sin x 的图象向左平移个单位长度得到的图象，6 6y＝ sin π2 倍，纵坐标不变，再把函数x＋6图象上每一点的横坐标伸长为原来的得到函数1 π所以 fπ 1 π ππ22 f(x)＝ sin x＋的图象，＝ sin × ＋＝sin ＝22 6 6 2 6 64 2. 答案π18.解(1)根据表中已知数据，解得A＝ 5，ω＝ 2，φ＝－6.数据补全如下表：ωx＋φ0 ππ3π2π2 2x ππ7π5π13π12 3 12612Asin(ωx＋φ) 0 5 0 － 5 0f(x) ＝5sin π且函数表达式为2x－6 .ππππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝5sin 2x－6，因此 g(x)＝ 5sin 2 x＋6－6＝ 5sin 2x＋6 .16π 因为 y ＝ sin x 的对称中心为 ( k π，0) ，k ∈ Z.令 2x ＋ ＝ k π，解得6x ＝ k π π － ，k ∈ Z .2 12即 y ＝ g(x)图象的对称中心为 k π π ， k ∈ Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 π2 － ， 0 － ，0 . 12 12π π 2π 2π －1 3 12×8－ sin 12×819.解 (1)f(8) ＝ 10－ 3cos ＝ 10－ 3cos 3 － sin 3 ＝ 10－ 3×2 － 2 ＝ 10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃ .3π1ππ ππ π π 7π (2) 因为 f(t)＝10－ 2 2cos12t ＋ 2sin12t ＝ 10－ 2sin 12 t＋ 3 ，又 0≤t ＜ 24， 所以 ≤ ＜ ，3 12t ＋ 3 3－ 1≤sin π π当 t ＝ 2 时， sin π π＝ 1；当 t ＝14 时， sin π π＝－ 1.12t ＋ 3 ≤ 1.12t ＋312t ＋ 3 于是 f(t)在 [0， 24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃ .π π ππ 2k π π 2k π 20.解 (1)由－ ＋2k π≤3x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈ Z ， 得－ ＋ 3 ≤x ≤ ＋ ， k ∈ Z .24 2 4 12 3 所以函数 f(x)的单调递增区间为 π 2k π π 2k π－ ＋ ， ＋ 3 ， k ∈ Z.4 3 12 π 4 π 2 2(2) 由已知，有 sin α＋ 4 ＝ 5cos α＋4 (cos α－ sin α)，π π 4 π π 2 2 所以 sin αcos 4＋ cos αsin 4＝ 5 cos αcos－ sin αsin4 (cos α－ sin α)，4 4 2 (sinα＋cos α)．即 sin α＋ cos α＝ (cos α－ sin α) 5 3π当 sin α＋ cos α＝ 0 时，由 α是第二象限角，知 α＝ 4＋2k π， k ∈ Z ，此时 cos α－ sin α＝－2.2 5当 sin α＋ cos α≠0时，有 (cos α－ sin α) ＝ . 4由 α是第二象限角，知 cos α－sin α＜ 0，此时 cos α－ sin α＝－52 . 综上所述， cos α－ sin α＝－ 2或 cos α－sin α＝－52 . 2 π21.解 f( x)＝ 2sin xcos x ＋2cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x ＋ 1＝ 2sin 2x ＋ ＋ 1. 45π ＝ 2sin 11π 1＝ π(1) f 4 ＋ 2sin ＋ 1＝ 2. 4 4(2) T ＝ 2π π π π 3π π＝ π. 由 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋ ， k ∈ Z ， 得 k π－ 8 ≤x ≤k π＋ ， k ∈ Z .2 2 4 2 83π π所以 f(x)的单调递增区间为 ， k π＋8 ， k ∈ Z . k π－ 87π22.解 (1) f(x)的最小正周期为 π， x0＝ ，y0 ＝ 3.6ππ π 5π π π0；(2) 因为 x ∈ － ，－12 ，所以 2x ＋ ∈ － ， 0 . 于是当 2x ＋ ＝ 0，即 x ＝－ 时， f( x)取得最大值26 6 6 1217π π π当 2x ＋ ＝－ ，即 x ＝－ 时， f(x)取得最小值－ 3.6 2 3B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1g(x)＝ cosπ1.解析 横坐标缩短为原来的 2倍，纵坐标不变，则有2x ＋6 . 答案 B2π 7π π π π2.解析 依题意得 T ＝ ω＝ 4 － 3 ＝ cos φ＋6 ＝ 1，12 3 ＝ π，ω＝2， fπ π 2π .又 |φ|< ，因此 φ＝－ ，所以 f(x)＝ cos 2x － 32 6当 f x ＋ π π 取得最小值时， π π ＝ cos 2x － 2x － ＝ 2k π－π， k ∈ Z ，即 x ＝k π－ ， k ∈ Z ， 答案 B6 3 3 3 π 得 g(x)＝ sin π ＋ φ＝ sin π3.解析 函数 f(x)＝ sin(2x ＋ φ)的图象向左平移 个单位， 2 x ＋ 8 ＋ φ的图象， 82x ＋ 4又 g(x)的函数图象关于 y 轴对称，所以 g(x)为偶函数，ππ π所以 ＋φ＝ k π＋ 2 (k ∈ Z )，即 φ＝ k π＋ (k ∈Z )，4 4 π答案 B 当 k ＝ 0 时， φ＝ ，故选 B.4 ππ π 3π4.解析 当 x ＝ 4时，函数 f( x)＝Asin(x ＋ φ)( A ＞ 0)取得最小值， 即4＋ φ＝－ 2＋ 2k π，k ∈ Z ，即 φ＝－ 4＋ 2k π，k ∈ Z ，所以 f(x)＝ Asin x － 3π (A ＞ 0)， 所以 y ＝ f( 3π 3π 3π4 － x)＝ Asin －x ＋ ＝－ Acos x ，4 4 4所以函数为偶函数且图象关于点 π 对称，选 D. 答案 D ， 02 π π π5.解析f(x)＝ 2sin 3－ 2x ＝ 2cos 2x ＋ 6 ， π＋ 2k π≤2x ＋ 6≤ 2＋π2k π， k ∈ Z ，5π 11π 答案 5π 11π即 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z. 12 ＋k π， ＋ k π(k ∈ Z ) 12 12 126.解析 由于函数 f(x) ＝sin( ωx＋ φ) ω＞ 0， |φ|＜ π的最小正周期为 π， 故 2π 2 ＝ π， ω＝ 2.ω把其图象向右平移 π个单位后得到函数的解析式为 y ＝ sin 2 x － π π＋ φ ＝ sin 2x － ＋ φ ，为奇函数，12 12 6π π ππ ∴－ ＋ φ＝ k π，∴ φ＝ k π＋ ， k ∈Z ， ∴ φ＝ ，∴函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 6 .6 6 6π k π π k π π 令 2x ＋ 6＝k π， k ∈ Z ，可得 x ＝ 2 － 12， k ∈ Z ， 故函数的对称中心为 2 － 12， 0 (k ∈Z ).5π故点12， 0是函数的一个对称中心 .答案 C3 3 1 3 πππ7.解 (1) f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx＝ 3 2sin ωx＋2 cos ωx＝ 3 sin ωx cos3＋ cos ωx sin3＝ 3sin ωx＋3 .∵ T＝ 4，ω＞0，∴ω＝2π π∴ f(x)＝ 3sinππ.＝.2x＋3 4 2(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移2个单位得到函数g(x)＝π3sin x.3 2∵ P， Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴ P(1，3)， Q(3，－ 3).18∴ OP＝ 2， PQ＝ 4， OQ＝ 12，∴cos∠OQP＝ OQ2＋ PQ2－ OP2＝32OQ ·QP 2 .∵∠ OQP 是△OPQ 的一个内角，π∴∠ OQP＝ .6专题三三角恒等变换答案精析A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1，则 cos 2θ＝ cos2θ－ sin2θ＝cos2θ－ sin2θ 1－ tan2θ22 ＝ 2 ＝41.解析 tan θ＝－3cos θ＋ sinθ1＋ tanθ5. 答案 Dπ22.解析因为 f(x)＝ cos 2x＋6cos x＋6sin x＝－ 2 sin x－3＋11，－ x ＝1－ 2sin22 2 2所以当 sin x＝ 1 时函数的最大值为5，故选 B. 答案tan（α＋β）－ tan α3.解析tan β＝ tan[(α＋β)－α]＝＝B1－ 123＝1. 答案 A1 1 71＋×2 32 2 24.解析∵ 2cos x＋ sin 2x＝ cos 2x＋ 1＋ sin 2x＝ 2 2 cos 2x＋2 sin 2x ＋ 1π＝2sin 2x＋4＋ 1＝ Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，∴ A＝ 2， b＝1. 答案 2 15.解 (1) 由 f( x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2＝ 2 3sin2x－ (1－ 2sin xcos x)＝ 3(1－ cos 2x)＋ sin 2x－ 1＝ sin 2x－ 3cos 2x＋3－ 1＝ 2sin 2x－π＋ 3－ 1.3由 2kπ－ππππ5π2≤2x－3≤2kπ＋2(k∈ Z )，得 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈ Z ).所以 f(x)的单调递增区间是kπ－π， kπ＋5π(k∈Z)或 kπ－π， kπ＋5π（k∈ Z ） .12 12 12 12(2) 由 (1)知 f(x) ＝2sin 2x－π＋ 3－ 1，3把 y＝ f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，π得到 y＝ 2sin x－3＋ 3－ 1 的图象 .再把得到的图象向左平移πy＝ 2sin x＋ 3－ 1 的图象，个单位，得到3ππ即 g(x)＝ 2sin x＋ 3－1. 所以 g 6＝ 2sin 6＋ 3－ 1＝ 3.6.解 (1) f(x)＝ 2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ 2 2 2＝2sin 2ωx＋π4 2sin 2ωx＋2 cos 2ωx由ω＞ 0， f(x)最小正周期为2π解得ω＝1. π得2ω＝π，19(2) 由 (1)得 f(x) ＝ 2sin 2x ＋ π π π π， 解得－ 3π π4 ，令－ ＋2k π≤2x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈Z 8 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈Z ， 2 4 2 8 即 f(x)的单调递增区间为 － 3π π8 ＋k π， ＋ k π(k ∈ Z ). 8(1)tan α＋ π＝ tan α＋ tanπ7.解 4 ＝ tan α＋ 1＝ 2＋ 1＝－ 3.4 π 1－ tan α 1－ 21－ tan αtan 4sin 2α2sin αcos α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1＝ sin 2α＋ sin αcos α－（ 2cos 2α－ 1）－ 1 2sin αcos α 2tan α 2×2＝sin 2α＋ sin αcos α－2cos 2 α＝tan 2α＋ tan α－2＝ 22＋ 2－2＝ 1.8.解 (1) 因为 f(x)＝ sin x ＋ 3cos x －π－ 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2π.3.＝2sin x ＋32π π π π 2π时，所以 3≤x ＋ 3≤π ＝ π，即 x ＝ 3 时， f(x)取得最小值．(2) 因为 0≤x ≤3 .当 x ＋3 所以 f(x)在区间0， 2π上的最小值为 f2π＝－ 3.3 39.(1) 解 因为 f(x)＝ 103sin x cos x ＋ 10cos 2 x＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5＝ 10sin x ＋ π＋ 5，2 2 2 6 所以函数 f(x)的最小正周期T ＝2π.πy ＝10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a个单位长度后得到 (2) 证明 ①将 f(x)的图象向右平移 6(a ＞0) 个单位长度后得到g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x) 的最大值为 2，所以 10＋ 5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13. 所以 g(x)＝ 10sin x － 8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使 得 10sin x －8＞ 0，即 sin x ＞ 4 4＜ 3知，存在π0＜ α＜ ，使得 sin α＝4 0 0 5. 由 5 2 0 3 0 5. 由正弦函数的性质可知，当x ∈ (α， π－ α4因为 y ＝ sin x 的周期为 2π，0)时，均有 sin x ＞5.所以当 x ∈ (2k π＋α， 2k π＋ π－ α4 0 0 )(k ∈ Z )时，均有sin x ＞ 5. 因为对任意的整数 πk ， (2k π＋ π－ α0)－(2k π＋ α0)＝ π－2α0＞ ＞1， 3所以对任意的正整数 k ，都存在正整数x ∈ (2k π＋ α，2k π＋ π－ α＞40 00)，使得 sin xk 5. 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0.10.解 (1)∵ f(x)＝ Asin x ＋ π5π ＝ 3 2 ， ∴ Asin 5π π＝ 3 2 Asin 3π 3 23，且 f2＋?4＝? A＝3.12 12 3 2 2πππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝3sin x＋3，∵ f(θ)－ f(－θ)＝ 3，∴ 3sin(θ＋3)－ 3sin－θ＋3 ＝3，展开得 3 13 3 13，化简得 sin θ＝32sin θ＋2 cos θ－ 32 cos θ－2sin θ＝ 3 .20π 6 ππππ∵ θ∈ 0，2，∴ cos θ＝3 .－θ－θ＋3＝ 3sin－θ＝ 3cos θ＝ 6. ∴ f 6＝ 3sin 6 211.解 (1) 由已知得 2[1 －cos(A－ B)] ＋ 4sin Asin B＝2＋2，化简得－ 2cos Acos B＋2sin Asin B＝ 2，故 cos(A＋ B)＝－2 所以 A＋ B＝3ππ2. ，从而 C＝ .4 4(2) 因为 S△ABC＝1absin C，π2，由 S△ABC＝ 6， b＝ 4， C＝，得 a＝32 4由余弦定理c2＝a2＋ b2－ 2abcos C，得 c＝10.B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.解析∵ α∈ π，3π， cos α＝－4，∴ sin α＝－3，2 5 5∴ tan α＝sin α 3＝，cos α 4∴ tanπ1－ tan α1.答案 B－α＝＝4 1＋ tan α72.解析由 1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α得 sin α＋ cos α＝ 2sinπα＋4≥0，3π7π又因为α∈ [0， 2π)，所以α的取值范围为0，4∪， 2π，故选 D. 答案 D 41 33.解析利用三角公式化简得a＝2cos 2－°2 sin 2 ＝°cos(60＋°2°)＝cos 62＝°sin 28 ，°b＝ tan 28 ，°c＝sin2 25 °＝ sin 25 . °因为 sin 25 <sin°28 °<tan 28 °，所以 c<a<b，故选 D. 答案 D2 2 2 34.解析 sin α－cos α＝－ cos 2α＝ 2sin α－ 1＝－8. 答案 B5＜ 0， cos α＝3，5.解析∵ α，β是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，又 cos(α＋β)＝－13 5π∴ sin(α＋β)＝12， sinα＝4.∴ ＜α＋β＜π，2 13 5又 cos β＝ cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋ sin(α＋β)sin α＝－5 312 433.答案 C ×＋13×＝6513 556.解析因为 2sin 2α＝ 1＋ cos 2α，所以 2sin 2α＝ 2cos2α，所以 2cos α·(2sin α－ cos α)＝ 0，解得 cos α＝ 0 或 tan α＝1.2π若 cos α＝ 0，则α＝ kπ＋2， k∈ Z ，2α＝ 2kπ＋π， k∈Z ，所以 tan 2α＝0；若 tan α＝1，则 tan 2α＝2tanα2 ＝4. 综上所述，故选 C. 答案 C2 1－ tan α 3sin αcos α sin αcos α cos α 1＝2sin 2α＝＝，∴ tan α＝ 1.7.解析∵1－ cos 2α2sin α 2∵t an(α－β)＝tanα－tanβ＝1，∴ tan β＝1. 答案11＋ tan αtan β 2338.解 (1) ∵ a－ b＝(cos α－ cos β， sin α－ sin β)，∴ |a－ b|2＝ (cos α－cos β)2＋(sin α－ sin β)2＝2－ 2cos(α－β)，21∴ 1613＝ 2－ 2cos(α－ β)，∴ cos(α－ β)＝135.π π且 sin β＝－ 4，∴ cos β＝ 3且 0＜α－ β＜ π.，－ ＜β＜ 0(2) ∵ 0＜α＜ 22 5 5 5 12又∵ cos(α－ β)＝13，∴ sin(α－ β)＝ 13.∴ sin α＝ sin[( α－ β)＋β]＝ sin( α－ β)·cos β＋ cos(α－ β) ·sin β＝ 12 3 5 ×－ 4 ＝ 16 13 × ＋ 13 5.565专题四解三角形答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.解析 由余弦定理，得 2 22 b ＝－ 1，故选 D.答案 D5＝ b ＋ 2 －2×b ×2× ，解得 b＝ 3 舍去 3 3 2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，∵ b ＝ c ，∴ a 2＝ 2b 2(1－ cos A)，又∵ a 2＝ 2b 2(1－ sin A)，π∴ cos A ＝ sin A ，∴ tan A ＝ 1，∵ A ∈ (0， π)，∴ A ＝ ，故选 C.答案 C43.解析 由余弦定理 a 2＝b 2＋ c 2－ 2bccos A ，得 4＝ b 2＋12－ 2×b ×2 3× 23，即 b 2－ 6b ＋ 8＝0，∴ b ＝ 4 或 b ＝ 2，又 b<c ，∴ b ＝2. 答案 C tan 60 －°tan 45 ° 3，4.解析 ∵ tan 15 ＝°tan(60 －°45°)＝ 1＋ tan 60 tan ° 45＝ 2－°∴ BC ＝ 60tan 60 °－ 60tan 15 °＝ 120( 3－ 1)(m) ，故选 C. 答案 C5.解析 在△ABC 中由 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ，可得 sin A ＝ 3， sin C ＝ 12，5 135 13sin B ＝sin(A ＋ C)＝ sin Acos C ＋ cos Asin C ＝ 63，由正弦定理得 b ＝ asin B ＝212165 sin A 13.答案13 6.解析 由 a ＝ c 得 sin C ＝ csin A 1 3 ＝ 1 ， π π πsin A a ＝ × 2 2 又 0＜ C ＜ ，所以 C ＝ ，B ＝ π－ (A ＋ C)＝ .sin C 3 3 6 6 π所以 b ＝ sin B ＝sin6＝ 1. 答案 1 c sin C πsin 62π 7.解析 由正弦定理得 sin ∠ B ＝ bsin ∠A6sin 3 ＝ 2，因为∠ A 为钝角，所以∠ π π a ＝3 B ＝ . 答案4 3 3 2 48.解析 由 3sin A ＝ 2sin B ，得 3a ＝ 2b ，∴ b ＝ 2a ＝ 2×2＝ 3，2 2 2 2 2 1 在 △ABC 中，由余弦定理得， c ＝a ＋ b － 2abcos C ＝ 2 ＋ 3 － 2×2×3× － 4 ＝ 16， 解得 c ＝ 4. 答案 42 AC ＝ AB ，∴ AC ＝ 6sin 45 ° 6×2 ＝ 2. 答案 29.解析 已知∠ C ＝60°，由正弦定理得 sin ∠ C ＝3。
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[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.7解三角形的应用举例模拟演练理2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数、解三角形 3.7 解三角形的应用举例模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟) 1．[2017·武汉模拟]海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile答案 D解析由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得10sin45°＝BCsin60°，所以BC＝5 6.2. 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C 的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝x sin45°，解得x ＝100 2. 4．[2017·临沂质检]在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003m B.40033 m C.200 33m D.2003 m 答案 A解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，又AB ＝200，∴AC ＝40033.在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin120°＝DC sin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)． 5. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h答案 B 解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2. 6．[2017·莆田模拟]甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析 设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且AC BC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12.又0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°.7．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为______米．答案700解析由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝ 3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.8．[2014·四川高考]如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)答案60解析AC＝2×46＝92，AB＝46sin67°，在△ABC中，由正弦定理可知：ABsin30°＝BCsin37°，∴BC＝AB sin37°sin30°≈60.9．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．解在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝AB sin Bsin∠ACB，∴AC＝120sin75°sin60°＝20(32＋6)．设C到AB的距离为CD，则CD＝AC sin∠CAB＝22AC＝20(3＋3)．∴河的宽度为20(3＋3)米．10．[2017·山西监测] 如图，点A，B，C 在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解 (1)∵CD 为铅垂线方向，点D 在顶端，∴CD ⊥AB .又∵α＝45°，∴CD ＝AC ＝4.(2)在△ABD 中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB ＝AC ＋CB ＝4＋6＝10，∴∠ADB ＝180°－83°＝97°，∴由AD sin β＝AB sin ∠ADB 得AD ＝AB sin βsin ∠ADB＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5. 在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos α＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·天津模拟]一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C两点间的距离是( )A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里答案 A解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．12. 某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为810 km，则此人到达A城还需要( )A．40 min B．42 min C．48 min D．60 min答案 C解析由题意可知，CD＝40×1560＝10.cos∠BDC＝102＋8102－3022×10×810＝－1010，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝10 10，∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝255.在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝BDsin∠BAD，∴AD255＝81022，∴AD＝32，∴所需时间t＝3240＝0.8 h，∴此人还需要0.8 h即48 min到达A城．13．[2017·西安模拟]如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为______m．(取2＝1.4，3＝1.7)答案2650解析如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，BCsin A ＝ABsin∠ACB，∴BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)．∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)＝7350(m)．故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．14．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x cos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理，得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角53 14.α的正弦值为。
2018届高考第四章 第讲解三角形应用举例
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析
在△ABC 中，AB＝600，∠BAC＝30° ，
BC AB ∠ACB＝75° －30° ＝45° ，由正弦定理得 ＝ ， sin∠BAC sin∠ACB 600 BC 即sin 30° ＝sin 45° ，所以 BC＝300 2(m). 在 Rt△BCD 中，∠CBD＝30° ， CD＝BCtan∠CBD＝300 2· tan 30° ＝100 6(m).
C.北偏东10°
解析
D.北偏西10°
如图所示，∠ACB＝90° ，
又 AC＝BC， ∴∠CBA＝45° ，而 β＝30° ， ∴α＝90° －45° －30° ＝15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° .
答案 B
基础诊断 考点突破 课堂总结
3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海 拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30° ， 经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ，则山顶的海拔高度为(精 确到 0.1 km，参考数据： 3≈1.732)( )
基础诊断
考点突破
课堂总结
BCcos α AC BC 即 ＝ ， ∴ AC ＝ ＝ sin（90°－α） sin（α－β） sin（α－β） hcos α . sin（α－β） 在 Rt △ ACD 中 ， CD ＝ ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β ＝ hcos α sin β . sin（α－β） hcos α sin β 故山高 CD 为 . sin（α－β）
)
msin α B. sin（α＋β） msin（α＋β） D. sin α＋sin β
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形实际应用举例课件文北师大版
思维升华
求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向 角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若 其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的 定理.
3.方位角 指从 正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如公式： a＋b＋c
S＝ pp－ap－bp－c (p＝ 2 )，
S＝a4bRc＝rp(R
为三角形外接圆半径，r
a＋b＋c 为三角形内切圆半径，p＝ 2 ).
2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.
如图所示，易知，在△ABC中， AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得sinBC30°＝sinA4B5°，解得 BC＝10 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝
60°，则A，C两点之间的距离为 答案 解析
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案 (即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船 相遇，并说明理由.
思想方法指导 规范解答
已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余 弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型， 转化为函数最值问题解决.
(2)已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a＝7， 若锐角 A 满足 f(A2－π6)＝ 3，且 sin B＋sin C＝13143，求 b·c 的值. 解答
高中数学课时训练(三)解三角形的实际应用举例新人教A版必修5(2021年整理)
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课时跟踪检测（三）解三角形的实际应用举例层级一学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°,则其跨度AB的长为( ）A．12 m B．8 mC．3 3 m D．4错误! m解析：选D 由题意知,∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°,由正弦定理得,错误!＝错误!，即AB＝错误!＝错误!＝4错误!.2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为（) A。
错误! n mile/h B．34错误! n mile/hC。
错误! n mile/h D．34错误! n mile/h解析：选A 如图所示,在△PMN中，错误!＝错误!，∴MN＝错误!＝34错误!,∴v＝错误!＝错误! n mile/h。
3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α〈β），则A点离地面的高度AB等于( )A.错误!B。
2018年秋高中数学 课时分层作业4 解三角形的实际应用举例 新人教A版必修5
课时分层作业(四) 解三角形的实际应用举例(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图129，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )图129 A ．12 m B ．8 m C ．3 3 mD ．4 3 mD [由题意知，∠A ＝∠B ＝30°，所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B ，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )【导学号：91432052】A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/hA [如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762n mile/h.]3．如图1210，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A ，B 间距离是( )图1210 A ．202米 B ．203米 C ．206米D ．402米C [可得DB ＝DC ＝40，由正弦定理得AD ＝20(3＋1)，∠ADB ＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得AB ＝206(米)．]4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为( )【导学号：91432053】A ．20 mB ．30 mC ．40 mD ．60 mC [如图，设O 为顶端在地面的射影，在Rt△BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203，在Rt△AOD 中，OA ＝OD ·tan 60°＝60，∴AB ＝OA －OB ＝40(m)．] 5．如图1211所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )【导学号：91432054】图1211A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 mD [设建筑物的高度为h ，由题图知，PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h 2－4h22×60×2h， ①cos∠PBC ＝602＋2h 2－43h22×60×2h . ②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos∠PBA ＋cos∠PBC ＝0. ③ 由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m ．] 二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．2 [如图，∠BAO ＝75°，∠C ＝30°，AB ＝1，∴∠ABC ＝∠BAO －∠BCA ＝75°－30°＝45°. 在△ABC 中，AB sin C ＝ACsin ∠ABC，∴AC ＝AB ·sin ∠ABCsin C ＝1×2212＝2(千米)．]7．如图1212，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A ，B 到点C的距离AC ＝BC ＝1 km ，且C ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________ km.【导学号：91432055】图12123 [在△ABC 中，易得A ＝30°，由正弦定理ABsin C ＝BC sin A ，得AB ＝BC sin C sin A ＝2×1×32＝3(km)．]8．如图1213所示，为测量一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为________m.图121330＋303 [由正弦定理可得60－＝PBsin 30°，则PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°(m)，设树的高度为h ，则h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.]三、解答题9.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C 处和D 处测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图1214所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．图1214[解] 法一：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∵∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， ∵DB sin∠BCD ＝CDsin∠DBC，∴BD ＝CD ·sin∠BCD sin∠DBC ＝32a ·6＋2422＝3＋34a ，在△ADB 中， ∵AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos∠ADB ＝34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋34a 2－2×32a ·3＋34a ·32＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 法二：同法一，得AD ＝DC ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴BC sin 30°＝CDsin 45°.∴BC ＝64a . 在△ABC 中，∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ·64a ·22＝38a 2， ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 10．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离.【导学号：91432056】[解] 如图所示，∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45°.∵AB ＝30(m)， ∴BC ＝30(m)， 在Rt△ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900， ∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[冲A 挑战练]1．如图1215，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )【导学号：91432057】图1215A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) mC [由题意知，在Rt△ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin∠BACsin∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．]2．如图1216所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )图1216 A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 mD ．500 mD [设AB ＝x ，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt△ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m ．]3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为________小时.【导学号：91432058】1 [设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．]4．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________ n mile.【导学号：91432059】北偏东30°3a [如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，又B ＝120°，则由正弦定理BC sin∠CAB ＝ACsin B ，得1sin∠CAB ＝3sin 120°，∴sin∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°， ∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120° ＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a (n mile)]5．山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M ，N 间的距离，无人机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图1217)，无人机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．图1217[解] 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d .②第一步：计算AM .由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2； 第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN .由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·ANα1－β1.方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d .②第一步：计算BM .由正弦定理BM ＝d sin α1α1＋α2；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝d sin β1β2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝BM2＋BN2－2BM·BNπ－β2－α2.。
2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.7解三角形的应用举例课件理2017052202
两点不相通的距离
例1
[2017· 昆明模拟]如图所示， 要测量一水塘两侧 A，
B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测 出角 α，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两 点间的距离．即 AB＝ 算 AB 的长． a2＋b2－2abcosα. 若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60° ，试计
在 △ ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 3 3 3 6 2 3 2AC· BCcos45° ＝ ＋ － 2× × × ＝ . 4 8 2 4 2 8 6 6 ∴ AB＝ (km)．∴ A， B 两点间的距离为 km. 4 4
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1． 有一个斜坡， 高为 2， 坡度为 30° ， 则坡长为 4.( × ) 2．如图①，为了测量隧道口 AB 的长度，测量时应当 测量数据 a，b，γ.( √ ) 3．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α＋β＝180° .( × )
(1)北偏东 α， 即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向 (如图③ )； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方 向； (3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④， 角 θ 为坡角 )； (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比 ( 如图④， i 为坡度)．坡度又称为坡比．
50 度是________m.
解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60° ，AC＝h，AB＝100，BC＝ 3h， 根据余弦定理得( 3h)2＝h2＋1002－2· h· 100· cos60° ，即 h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即 h＝50，故水 柱的高度是 50 m.
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所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－，故选C.
解法三：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，
AB＝BC，AC＝BC，而·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝BC2－BC2＝－BC2，
所以cos∠BAC＝＝＝－，故选C.
解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，
由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，
∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．
11．(2017·黑龙江哈尔滨六中开学考试)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，
所以＝－，
所以3b2－a2＝－6，②
联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.
在△ABC中，cos∠C＝＝＝.
答案：
三、解答题
10．(2017·河南六市联考，17)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
解法四：过A作AD⊥BC，垂足为D，设BC＝3a(a>0)，结合题意知AD＝BD＝a，DC＝2a.以D为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则B(－a,0)，C(2a,0)，A(0，a)，所以＝(－a，－a)，＝(2a，－a)，所以||＝a，||＝a，所以cos∠BAC＝＝＝－，故选C.
∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，
∴BS＝＝3(km)．
答案：3
9．(2017·洛阳统考)如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________.
解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案：B
6．(2016·课标全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()
答案：C
二、填空题
7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：由条件知：∠ACB＝80°＋40°＝120°，
设BC＝xkm
则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，
∵x>0，∴x＝－1.
A．11.4 kmB．6.6 km
C．6.5 kmD．5.6 km
解析：∵AB＝1 000×1 000×＝m，
∴BC＝·sin 30°＝m.
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
答案：B
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()
课时作业
一、选择题
1．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()
A．8 km/hB．6km/h
C．2km/hD．10 km/h
A.B.
C．－D．－
解析：解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－，故选C.
解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，
在Rt△ADC中，AC＝BC，sin∠DAC＝，
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
解析：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，
同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，
答案：－1
8．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.
解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
A．10海里B．10海里
C．20海里D．20海里
解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
答案：A
4．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高度为()
A．10米B．10米
C．10米D．10米
解析：由题意知∠ACB＝60°，∠BCD＝105°，又∠BDC＝45°，则∠DBC＝30°.在△BCD中，＝，所以BC＝＝10，所以AB＝BCtan∠BCA＝10×tan 60°＝10(米)．
答案：D
5．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建Βιβλιοθήκη 物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()
解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.
答案：B
2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)()