2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练：9.3椭圆及其性质含解析
2020届高三数学(文理)复习《椭圆》专题练
《椭圆》专题专题 1 椭圆的定义及其应用1．过椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1 的一个焦点 F 1 的直线与椭圆交于 A ， B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点F 2 组成的△ ABF 2 的周长为2．已知动点 P(x ，y)的坐标知足x 2＋ y ＋ 7 2＋ x 2＋ y －7 2＝16，则动点 P 的轨迹方程为 ________．3．如下图，一圆形纸片的圆心为 O ，F 是圆内必定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与 F重合，而后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与 OM 交于点 P ，则点 P 的轨迹是 ()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆专题 2 椭圆的标准方程2.1利用椭圆定义求椭圆的标准方程1．已知动点 M 到两个定点 A(－ 2,0)， B(2,0)的距离之和为 6，则动点 M 的轨迹方程为2．在△ ABC 中， A(－ 4,0)， B(4,0)，△ ABC 的周长是 18，则极点 C 的轨迹方程是x 2y 2y 2 x 2x 2 y 2y 2 x 2 A. 25＋ 9 ＝1(y ≠ 0)B ． 25＋9 ＝ 1(y ≠ 0) C.16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0) D ． 16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0)3．已知两圆 C 1： (x － 4)2＋ y 2＝ 169， C 2： (x ＋ 4)2＋ y 2＝ 9，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切，和圆C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为1： (x ＋ 3) 2＋ y 2＝ 1 外切，且与圆 C 2 2＋y 2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方4．（同 3）与圆 C ： (x －3)程为 _______．于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为2 23，过 F 2 的直线 l 交 C6．已知椭圆 C ： x 2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、 F 2，离心率为a b3于 A 、 B 两点．若△ AF 1的周长为 4 3，则 C 的方程为 B1 ，B 是圆 x － 12 2AB 的垂直均分线交 BF7．（同 5）已知 A － ， 02＋ y ＝ 4(F 为圆心 )上一动点，线段2于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为 ________．38．已知椭圆 G 的中心在座标原点，长轴在x 轴上，离心率为2 ，且椭圆 G 上一点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为2.2利用待定系数法求椭圆标准方程1．若直线 x － 2y ＋ 2＝ 0 经过椭圆的一个焦点和一个极点，则该椭圆的标准方程为 ________．2．已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为 ____________．3．已知椭圆的中心在原点，离心率 e ＝ 1，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－ 4x 的焦点重合，则此椭2圆方程为4．设椭圆x 2 y 2y 2＝ 16x 的焦点同样，离心率为6，则此椭圆的方程 a 2＋2＝ 1(a>b>0) 的右焦点与抛物线3b为 ________．35．已知椭圆的中心在座标原点，长轴长是8，离心率是 4，则此椭圆的标准方程是6．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点 F(－ 2，0)，且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3，则椭圆 C 的方程是 ________________ ．y 2 x 2 7．过点 ( 3，－ 5)，且与椭圆 25＋9 ＝ 1 有同样焦点的椭圆的标准方程为________．x 2 y 28．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 ＋＝1 有同样焦点的椭圆的方程为9 49．与椭圆 9x 2＋ 4y 2＝ 36 有同样焦点，且短轴长为2 的椭圆的标准方程为10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－3， 5 ，( 3， 5)，则椭圆方程2 2为11．与椭圆 x2 ＋ y 2＝ 1 有同样的离心率且经过点 (2，－ 3)的椭圆方程为 4312．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是 ( － 5，0)，则椭圆的标准方程为 ________．13．已知椭圆x 2 y 23 的直线 l 交 CC ：2＋2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为，过 F 2a b3于 A ， B 两点，若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为14．椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个极点和两个焦点恰为边长是2 的正方形的极点，则椭圆E 的标准方程为15．已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为________．16．已知中心在座标原点的椭圆过点A(－ 3,0)，且离心率e ＝ 35，则椭圆的标准方程为________．517．已知椭圆的中心在原点， 焦点在 x 轴上，离心率为 5，且过 P(－ 5,4)，则椭圆的方程为 ________．x 2 y 218．已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的长轴长为6，且两焦点恰巧将长轴三均分，则此椭圆的标准方程为19．一个椭圆的中心在原点，焦点 F 1，F 2 在 x 轴上， P(2， 3)是椭圆上一点，且 |PF 1|，|F 1F 2|， |PF 2| 成等差数列，则椭圆的标准方程为x 2 y 220．设 F 1，F 2 为椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点，经过 F 1 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，若△ F 221．已知椭圆 x 2 y 2 ， F 2 分别为椭圆的左 、右焦点， A 为椭圆的上极点，直线 AF 2a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)， F 1交椭圆于另一点 B ．→→→ → (1) 若∠ F 1AB ＝ 90°，求椭圆的离心率； (2) 若AF 2＝ 2F 2B ， AF 1·AB ＝ 3，求椭圆的方程．2专题 3 椭圆的几何性质3.1 辨别椭圆有关性质观点x 2y 21．椭圆 16＋ 25＝1 的焦点坐标为2．已知椭圆的标准方程为 x 2＋y 2＝ 1，则椭圆的焦点坐标为 10x 2y 23．椭圆 10－m ＋ m － 2＝1 的焦距为4，则 m 等于4．椭圆以两条坐标轴为对称轴， 一个极点是 (0,13) ，另一个极点是 (－ 10,0)，则焦点坐标为 ________．2＋ y 2225．曲线 C 1：x＝ 1 与曲线 C 2： x ＋ y ＝1(k<9)的 ()25 925－ k 9－ kA ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．已知椭圆x 2 22＋ y 2＝ 1(a>b>0) 的一个焦点是圆x 2＋ y 2－ 6x ＋ 8＝ 0 的圆心， 且短轴长为 8，则椭圆的左a b极点为 ____________．x 2y 247．椭圆 9 ＋ 4＋ k ＝ 1 的离心率为 5，则 k 的值为x 28．椭圆 4 ＋ y 2＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为 P ，则 |PF 2|等于9．椭圆 mx 2＋ ny 2 ＋mn ＝ 0(m ＜n ＜ 0)的焦点坐标是3.2 求离心率的值 ( 或范围 )x 2 y 21．椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 的离心率是x 2 y 22．若椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为x 2 y 23．已知椭圆 C ： a 2＋ 4 ＝ 1 的一个焦点为 (2,0)，则 C 的离心率为 ________．4．已知椭圆 C ：x 22 ＝1(a ＞ b ＞ 0)和直线 l ：x ＋ y＝1，若过 C 的左焦点和下极点的直线与直线2＋y2l 平a b4 3行，则椭圆 C 的离心率为x 2 y 2m － 3，则此椭圆的离心率为5．若椭圆 ＋＝ 1 上一点到两焦点的距离之和为4 mx 2 y 26．焦点在 x 轴上的椭圆方程为a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) ，短轴的一个端点和两个焦点相连组成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为7．若一个椭圆长轴的长 、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是8．如图， F 1， F 2 是双曲线 C 1： x 2－y 2 的公共焦点，点 A 是 C 1， C 2 在第一象限内的交＝1 与椭圆 C 28点，若 |F 1F 2|＝ |F 1 A|，则 C 2 的离心率是2 4 A.3 B. 5 32 C. 5D. 5x 2 y 29．已知 F 是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点， A 为右极点， P 是椭圆上的一点， PF ⊥ x 轴，若 |PF|＝34|AF |，则该椭圆的离心率是 ________．x 2 y 210．已知椭圆 a 2 ＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)的左焦点为 F ，右极点为 A ，点 B 在椭圆上， 且 BF ⊥x 轴，直线 AB―→ ―→交 y 轴于点 P.若 AP ＝ 2 PB ，则椭圆的离心率是2211．设椭圆x＋ y＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 122 1 2，C ：a 2 b 2， F，P 是 C 上的点， PF ⊥ F F ∠PF 1 2°，则 C 的离心率为F ＝ 3012．已知 F 1， F 2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点．若 PF 1⊥ PF 2，且∠ PF 2F 1＝ 60°，则 C 的离心率为13． P 是椭圆 x 2 y2 1a 2＋2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上的一点， A 为左极点， F 为右焦点， PF ⊥ x 轴，若 tan ∠ PAF ＝ ，b 2则椭圆的离心率e 为22x ＋y＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别为 A 121 2 为直径的圆与直线abbx － ay ＋ 2ab ＝ 0 相切，则 C 的离心 率为15．已知椭圆x 2 y 21，其焦点分别为 A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任 a 2＋2＝ 1(a>b>0) 的离心率等于3b意一点，则在△ABC 中， sin A ＋ sin B ＝________.sin C16．已知椭圆 x 2 y 2M ，上极点为 N ，右焦点为 ―→ ―→＝0，则椭圆a 2＋ 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)的左极点为F ，若 NM ·NFb的离心率为17．已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：x 222＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左 、右焦点， A 是 C 的左极点，点P 在过 A 且斜ab率为3的直线上，△ PF 12为等腰三角形，∠1 2°，则 C 的离心率为6FF F P ＝120x 2 y 218．设椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为 →→60°， AF ＝2FB.则椭圆 C 的离心率是 ________．- 8 -319．椭圆 C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若 C 上的点 P 知足 |PF 1|＝ 2|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率 e 的取值范围是x 2 y 220．在椭圆 a 2＋ b 2 ＝ 1(a>b>0)中， F 1，F 2 分别是其左、 右焦点， 若 |PF 1|＝ 2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是2 221．过椭圆 C ：x2＋ y2＝ 1(a>b>0) 的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆C 于另一个点 B ，且点 B 在 xa b轴上的射影恰巧为右焦点1 1 __________.F 2，若 <k< ，则椭圆的离心率的取值范围是32x 2 y 222．如图，椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2 的直线交椭圆于 P ， Q 两点，且 PQ ⊥PF 1.(1) 若 |PF 1 |＝ 2＋ 2， |PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；(2) 若 |PF 1 |＝ |PQ|，求椭圆的离心率 e.3.3 求参数的值 ( 或范围 )x 2 y 2 1 ，则 m 的值为 ________．1．若焦点在 ＋ ＝ 1 的离心率为 2 y 轴上的椭圆 m2 22 x y2．若方程＋ ＝ 1 表示椭圆，则 m 的取值范围是 5－m m ＋ 3x 2 y 2 k 的取值范围是 3．已知方程 ＋ ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 2－ k 2k － 14．方程 kx 2＋ 4y 2＝ 4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是5．若 x 2＋ky 2 ＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ________．x 2y 2 6．假如方程 a 2＋ a ＋ 6＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是 ________．x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ()7． “ 2<m<6”是“方程 m － 2 6－ mA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 8．已知椭圆 mx 2＋ 4y 2＝ 1 的离心率为2 ，则实数 m 等于x 2 y 22 9．设 e 是椭圆 4 ＋ k ＝1 的离心率，且 e ＝ 3，则实数 k 的值是 ________．10．“ m ＞n ＞ 0”是“方程 mx 2＋ ny 2＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ()A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 2x ＋ y ＝ 1(0<b<2) 的左、右焦点分别为 F 121 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，11．已知椭圆 4 b 2 ，F ，过F -10-若 |BF 2|＋ |AF 2|的最大值为 5，则 b 的值是12．已知动点 M 到定点 F 1(－ 2,0)和 F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2) 设 N(0,2)，过点 P( － 1，－ 2)作直线 l ，交 C 于不一样于 N 的两点 A ， B ，直线 NA ， NB 的斜率分别为 k 1， k 2，求 k 1＋ k 2 的值．3.4 焦点三角形x 2 y 21．椭圆 C ：25＋ 16＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 2 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，则△ F 1AB 的周长为 ________．2．过椭圆x 2 作直线 l 交椭圆于 A ， B 两点， F 2 是椭圆右焦点，则△ ABF 2 的周长 ＋ y 2＝ 1 的左焦点 F 1 4为3．已知△ ABC 的极点 B ， C 在椭圆x 2＋ y 2＝ 1 上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的此外一个焦 3点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．4．已知点 F 1，F 2 分别为椭圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠ F 1PF 2＝ 60°， 4 3则 |PF 1|· |PF 2|＝-11-12x2 ＋ y2 ＝ 1 的两个焦点， A 为椭圆上一点，且∠ AF 1 2 1 2的面积为5．F ，F 是椭圆9 7 F ＝45 °，则△ AF F6．如图，椭圆x 2 22＋y ＝ 1(a＞ 2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的一点，若∠ F 1PF2＝ 60°，a 4那么△ PF1 F2的面积为x2y27．已知 F1， F2是椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△ PF 1F2的面积为 9，则 b＝ ________.x2y2|PF2| 8．设 F 1， F2为椭圆9＋5＝ 1 的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF1|的值为x2y29．已知 F1， F2是长轴长为 4 的椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△ PF1 F2面积的最大值为________．x2 ＋ y2 ＝1 上一点， F1 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，1 2于点 H，10．P 为椭圆25 9 ，F 过 P 点作 PH⊥F F 若 PF1⊥PF2，则 |PH |＝-12-x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 2 → 1 → 2＝ 9，则 |PF 12| 11．设椭圆 16 12 ，F ，点 P 在椭圆上， 且知足 PF ·PF| ·|PF 的值为x 2 y 212．椭圆 9 ＋ 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 P 在椭圆上，若 |PF 1|＝ 4，则∠ F 1PF 2 的大小为-13-。
2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题8.5椭圆及其几何性质
第八篇平面分析几何专题 8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.认识椭圆的实质背景，认识椭圆在刻画现实世界和解决实质问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点 F 1， F 2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：会合P＝ { M||MF 1|＋ |MF 2|＝ 2a} ，|F 1F 2|＝ 2c，此中 a＞ 0， c＞0，且 a，c 为常数：(1)若 a＞ c，则会合 P 为椭圆；(2)若 a＝ c，则会合 P 为线段；(3)若 a＜ c，则会合 P 为空集 .2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2y2y2x2a2＋b2＝ 1(a>b>0)a2＋b2＝ 1(a>b>0)图形性质范围对称性极点轴焦距离心率a， b，c 的关系－ a≤ x≤ a－ b≤x≤ b－ b≤ y≤ b－ a≤y≤ a对称轴：坐标轴；对称中心：原点A1(－ a， 0)，A2(a， 0)，A1(0，－ a)， A2 (0， a) ，B1(0，－ b)，B2(0， b)B1(－ b， 0)， B2(b，0)长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b|F 1F 2|＝ 2ce＝ca∈ (0， 1)c2＝ a2－ b2【微点提示】点 P(x 0， y 0)和椭圆的地点关系点 P(x 0，y 0)在椭圆内 ? x 02 y 02(1) a 2＋ b 2<1 ；2 2点 P(x 0，y 0)在椭圆上 ?x 0 y 0(2) a 2＋ b 2＝ 1；点 P(x 0，y 0)在椭圆外 ? x 02 y 02(3) a 2＋ b 2>1. 【疑误辨析】1.判断以下结论正误 (在括号内打“√”或“×” )(1) 平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.() (2) 椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆 .()(3) 方程 mx 2＋ ny 2＝ 1(m>0，n>0 ， m ≠ n)表示的曲线是椭圆 .()2 222xyyx(4) a 2 ＋ b 2 ＝ 1(a>b>0)与 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的焦距同样 .( )【答案】 (1) ×(2)× (3) √ (4)√【分析】(1) 由椭圆的定义知，当该常数大于 |F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F 1F 2|时，其轨迹为线段 F 1F 2，常数小于 |F 1F 2|时，不存在这样的图形 .a 2－b 22cbb(2) 由于 e ＝ a ＝a＝1－ a ，所以 e 越大，则 a 越小，椭圆就越扁 .【教材衍化】2.(选修 2－ 1P49T1 改编 )若 F 1 (3，0)，F 2(－ 3，0)，点 P 到 F 1 ，F 2 的距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是 ________. 【答案】x 2 ＋ y 2＝12516【分析】由于 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 10>|F 1F 2|＝ 6，所以点 P 的轨迹是以 F 1， F 2 为焦点的椭圆，此中 a ＝ 5， c ＝ 3，b ＝ a 2－ c 2＝4，故点 P 的轨迹方程为x 2＋ y 2＝ 1. 25 16x 2 y 23.(选修 2－ 1P49A6 改编 )已知点 P 是椭圆 5 ＋4 ＝ 1 上 y 轴右边的一点，且以点 P 及焦点 F 1， F 2 为极点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为 ________. 【答案】(15， 1)或(15，－ 1)22【分析】设 P(x ， y)，由题意知 c 2＝ a 2－b 2＝5－ 4＝1，所以 c ＝ 1，则 F 1(－ 1，0)， F 2(1， 0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y ＝ ±1，22把 y ＝ ±1 代入 x 5 ＋ y 4 ＝ 1，得 x ＝ ± 215，又 x ＞ 0，所以 x ＝15， 2∴ P 点坐标为 (15， 1)或 (15，－ 1).22【真题体验】224.(2018 张·家口调研 )椭圆 x ＋ y＝ 1 的焦点坐标为 ()16 25A.( ±3， 0)B.(0 ，±3)C.( ±9，0)D.(0 ， ±9)【答案】 B【分析】依据椭圆方程可得焦点在y 轴上，且 c 2 ＝a 2 －b 2＝ 25－ 16＝ 9， ∴ c ＝ 3，故焦点坐标为 (0，±3).5.(2018 全·国 Ⅰ 卷)已知椭圆1 1 A. 3 B.2【答案】Cx2y 22＝ 1 的一个焦点为 (2， 0)，则 C 的离心率为 ()C ： a ＋ 42 22C. 2D. 3【分析】 不如设 a>0. 由于椭圆 C 的一个焦点为 (2， 0)，所以焦点在x 轴上，且 c ＝ 2，所以 a 2＝ 4＋ 4＝ 8，所以 a ＝ 2 2，所以椭圆 C 的离心率 e ＝ c ＝2a 2 .x 2 ＋ y 2＝1 与曲线x2＋y 2 ＝1(k<9) 的( )6.(2018 武·汉模拟 )曲线 25 925－k 9－ kA. 长轴长相等B. 短轴长相等C.离心率相等D. 焦距相等【答案】Dx 2 y 24【分析】曲线 25＋ 9 ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为 6，焦距为 8，离心率为 5.曲线x 2 ＋ y 2 ＝ 1(k<9) 表示焦点在 x 轴上的椭圆，其长轴长为 2 25－k ，短轴长为 2 9－ k ，焦距为 8，25－ k 9－ k离心率为4.比较选项，知 D 正确 .25－k【考点聚焦】考点一椭圆的定义及其应用【例 1】 (1) 如图，圆 O 的半径为定长 r ， A 是圆 O 内一个定点， P 是圆上随意一点，线段AP 的垂直均分线 l 和半径 OP 订交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是 ( )A. 椭圆B.双曲线C.抛物线D. 圆(2)(2018德·阳模拟 )设 P 为椭圆 C：x2＋ y2＝ 1 上一点， F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，且△PF1F2的重4924心为点 G，若 |PF 1|∶ |PF2 |＝ 3∶ 4，那么△ GPF 1的面积为 ()A.24B.12C.8D.6【答案】 (1)A (2)C【分析】(1) 连结 QA.由已知得 |QA|＝ |QP|.所以 |QO|＋ |QA|＝ |QO|＋ |QP|＝ |OP|＝ r.又由于点 A 在圆内，所以 |OA|＜ |OP|，依据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以 O，A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 .2 2x y(2)∵ P 为椭圆 C：49＋24＝ 1 上一点， |PF1|∶ |PF2 |＝3∶ 4， |PF1 |＋ |PF 2|＝ 2a＝14，∴ |PF1|＝ 6， |PF2|＝ 8，又∵ |F 1F 2|＝ 2c＝ 2 49－24＝ 10，∴易知△PF 1F2是直角三角形，12|＝24，S△PF1F2＝ |PF1| |PF·2∵△ PF1F2的重心为点G，∴S△ PF1F2＝ 3S△ GPF1，∴△ GPF 1的面积为8.【规律方法】(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹能否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2) 往常定义和余弦定理联合使用，求解对于焦点三角形的周长和面积问题.【训练 1】 (1)(2018 福·建四校联考 )已知△ ABC 的极点 B，C 在椭圆x22上，极点 A 是椭圆的一个焦点，＋ y ＝ 13且椭圆的此外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长是 ()A.23B.6C.43D.2(2)(2018 衡·水中学调研 )设 F 1， F2分别是椭圆x2＋ y 2＝1的左、右焦点， P 为椭圆上随意一点，点M 的坐标2516为 (6， 4)，则 |PM |－ |PF 1|的最小值为 ________.【答案】(1)C(2) － 5【分析】(1) 由椭圆的方程得a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋ |BF|＝ |CA|＋ |CF |＝ 2a，所以△ ABC 的周长为 |BA |＋ |BC |＋ |CA|＝ |BA|＋ |BF |＋ |CF |＋ |CA|＝ (|BA|＋ |BF|)＋ (|CF |＋ |CA|)＝ 2a＋2a＝4a ＝ 4 3.(2) 由椭圆的方程可知 F 2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝ 2a － |PF 2 |，∴ |PM |－ |PF 1|＝ |PM |－ (2a － |PF 2 |)＝ |PM|＋ |PF 2|－ 2a ≥ |MF 2|－ 2a ，当且仅当 M ， P ，F 2 三点共线时获得等号，又 |MF 2|＝ （ 6－ 3）2＋（ 4－ 0）2＝ 5，2a ＝ 10， ∴|PM |－ |PF 1|≥5－ 10＝－ 5，即 |PM |－ |PF 1|的最小值为－ 5. 考点二椭圆的标准方程【例 2】 (1) 已知两圆 C 1： (x － 4)2＋ y 2＝ 169，C 2： (x ＋ 4)2＋ y 2＝ 9，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切，和 圆 C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( ) x 2y 2x 2y 2A. 64－ 48＝ 1B.48＋64＝ 1x 2 － y 2 ＝ 1D. x 2 ＋ y 2 ＝ 1C.48 64 64 48(2)( 一题多解 )若椭圆经过两点 (2， 0)和(0， 1)，则椭圆的标准方程为 ________________. 【答案】(1)D (2)x 2＋ y2＝ 14【分析】(1) 设圆 M 的半径为 r ，则 |MC 1|＋ |MC 2|＝ (13－ r)＋ (3＋ r)＝ 16>8＝ |C 1C 2|，所以 M 的轨迹是以 C 1， C 2 为焦点的椭圆，且 2a ＝ 16， 2c ＝ 8，所以 a ＝ 8， c ＝ 4， b ＝ a 2－b 2＝ 82－ 42＝ 48＝ 4 3， 故所求的轨迹方程为x 2 ＋ y 2＝1.64 48x2y2(2) 法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为 a 2＋ b 2＝ 1 (a>b>0).∵ 椭圆经过两点 (2， 0)， (0， 1)，4 0a 2＋b 2 ＝1，解得 a ＝2，∴ 1b ＝1.a2＋ b 2＝ 1，∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 2＋ y ＝ 1；4当椭圆的焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为 y 2 x 2a 2＋b 2＝ 1 (a>b>0).∵ 椭圆经过两点 (2， 0)， (0， 1)，0 4a 2＋b 2 ＝1， a ＝1， ∴解得1b ＝2，a 2＋b 2＝ 1，与 a>b 矛盾，故舍去 .2综上可知，所求椭圆的标准方程为 x＋ y 2＝ 1.4法二设椭圆方程为 mx 2＋ ny 2＝ 1 (m>0，n>0 ， m ≠ n).∵ 椭圆过 (2， 0)和 (0， 1)两点，1∴ 4m ＝ 1， 解得 m ＝ 4，n ＝ 1，n ＝ 1.2综上可知，所求椭圆的标准方程为x 4＋ y 2＝ 1.【规律方法】依据条件求椭圆方程的主要方法有：(1) 定义法：依据题目所给条件确立动点的轨迹知足椭圆的定义.(2) 待定系数法：依据题目所给的条件确立椭圆中的a ，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为 mx 2＋ ny 2＝1(m>0，n>0， m ≠ n)，不用考虑焦点地点，用待定系数法求出m ， n 的值即可 .2 2【训练 2】 (1)(2018 ·济南模拟 ) 已知椭圆 C ：x 2y26，且两焦点恰巧将长轴三均分，a ＋b ＝ 1(a>b>0) ，若长轴长为则此椭圆的标准方程为 ()x 2y 2x 2 y 2 A. 36＋ 32＝ 1B. 9 ＋8 ＝ 12222C.x ＋ y＝ 1D. x＋y＝ 19 516 12(2)(2018 榆·林模拟 )已知 F 1(－ 1， 0)，F 2(1，0)是椭圆 C 的焦点，过 F 2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且 |AB |＝ 3，则 C 的方程为 ()222x＋ y 2＝ 1B. x ＋ y＝ 1A. 2322222C.x＋ y＝ 1D. x＋ y＝ 14 354【答案】 (1)B (2)C【分析】(1) 椭圆长轴长为 6，即 2a ＝ 6，得 a ＝ 3，∵ 两焦点恰巧将长轴三均分，∴ 2c ＝ 13× 2a ＝ 2，得 c ＝ 1，所以， b 2＝ a 2－c 2 ＝ 9－ 1＝ 8，22所以此椭圆的标准方程为x＋ y＝ 1.9 8x 2 y 2c 2 y 122b 4(2) 由题意，设椭圆方程为a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) ，将 A(c ， y 1)代入椭圆方程得 a 2＋ b 2＝ 1，由此求得y 1＝ a 2，所以2222b ，又 c ＝ 1， a 2－ b 2＝ c 2，可解得 a ＝ 2，b 2＝3，所以椭圆 C 的方程为 x＋ y＝ 1.|AB|＝ 3＝ a43考点三 椭圆的几何性质多维研究角度 1椭圆的长轴、短轴、焦距【例 3－ 1】 (2018 ·泉州质检 )已知椭圆 x 2y 24，则 m 等于 ()＋＝ 1 的长轴在 x 轴上，焦距为m － 2 10－ mA.8B.7C.6D.5【答案】A22m － 2>0，【分析】由于椭圆x ＋ y ＝1 的长轴在 x 轴上，所以 10－m>0，解得 6<m<10.由于焦距为 4，m －2 10－mm － 2>10－m ，所以 c 2＝ m － 2－ 10＋ m ＝ 4，解得 m ＝ 8. 角度 2椭圆的离心率x 2 y 2【例 3－ 2】 (2018 ·全国 Ⅱ卷 )已知 F 1， F 2 是椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点， A 是 C 的左极点，点 P 在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1F 2P ＝ 120 °，则 C 的离心率为 ()6211 1 A. 3B.2C.3D. 4【答案】 D【分析】由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，如下图，设 |F 1F 2|＝ 2c ， ∵△ PF 1 F 2 为等腰三角形，且 ∠ F 1F 2P ＝ 120 °，∴ |PF 2|＝ |F 1F 2|＝ 2c.∵ |OF 2 |＝ c ，过 P 作 PE 垂直 x 轴于点 E ，则 ∠ PF 2E ＝ 60°，所以 |F 2E|＝ c ，|PE|＝ 3c ，即点 P(2c ，3c).∵ 点3的直线上，P 在过点 A ，且斜率为 6∴ 3c ＝ 3 ，解得 c 1 16a ＝ ， ∴ e ＝ .2c ＋ a 44角度 3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例 3－ 3】 (2017 ·全国Ⅰ卷 )设 A， B 是椭圆 C：x2＋y2＝1 长轴的两个端点 .若 C 上存在点 M 知足∠ AMB＝3m120 °，则 m 的取值范围是 ()A.(0 ， 1]∪ [9，＋∞ )B.(0 ，3]∪[9，＋∞ )C.(0 ， 1]∪ [4，＋∞ )D.(0 ，3]∪[4，＋∞ )【答案】A【分析】①当焦点在 x 轴上，依题意得0< m<3，且∠ AMB3≥ tan＝ 3. m2∴ 0< m<3 且 m≤ 1，则 0<m≤ 1.②当焦点在 y 轴上，依题意 m>3，且∠ AMB3，∴ m≥ 9，m≥ tan＝32综上， m 的取值范围是(0，1] ∪[9，＋∞ ).【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1) 直接求出a，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有 a， b， c 的齐次方程 (或不等式 )，借助于 b2＝ a2－ c2消去 b，转变为含有 e 的方程 (或不等式 )求解 .2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或许最值时，常常用到椭圆标准方程中x， y 的范围、离心率的范围等不等关系 .【训练3】(1)以椭圆上一点和两个焦点为极点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1B.2C.2D.22(2)(2019 豫·南九校联考 )已知两定点A(－ 1， 0)和 B(1， 0)，动点P(x， y)在直线 l： y＝ x＋ 3 上挪动，椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为 ()51025210A.5B.5C.5D.5【答案】(1)D(2)A【分析】(1) 设 a， b， c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大，1所以 × 2cb ＝ 1， bc ＝1，而 2a ＝ 2 b 2＋ c 2≥ 2 2bc ＝ 2 2(当且仅当 b ＝ c ＝1 时取等号 ). 即长轴长 2a 的最小值为 2 2.2 2 xy(2) 不如设椭圆方程为 a 2＋ a 2－ 1＝ 1(a>1) ，x 2y 2与直线 l 的方程联立a2＋a 2－1＝1，y ＝x ＋ 3，消去 y 得 (2a 2－ 1)x 2＋ 6a 2x ＋10a 2－ a 4＝ 0，由题意易知＝ 36a 4－ 4(2a 2－ 1)(10 a 2－ a 4)≥ 0，解得 a ≥ 5，c15所以 e ＝ ＝ ≤，5所以 e 的最大值为5 .【反省与感悟】1.椭圆的定义揭露了椭圆的实质属性，正确理解、掌握定义是要点，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，防止了动点轨迹是线段或不存在的状况.2.求椭圆的标准方程，常采纳“ 先定位，后定量 ” 的方法 (待定系数法 ).先 “ 定位 ” ，就是先确立椭圆和坐标系的相对地点， 以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上， 确立标准方程的形式；再 “ 定量 ” ，就是依据已知条件， 经过解方程 (组 )等手段， 确立 a 2，b 2 的值， 代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不可以确立焦点的地点，这时的标准方程常可设为mx 2 ＋ny 2＝ 1(m ＞0， n ＞ 0 且 m ≠n)【易错防备】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2 与 y 2 的分母大小 .2.在解对于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)进行根的弃取，不然将产生增根 .3.椭圆的范围或最值问题常常波及一些不等式 .比如，－ a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤b ， 0＜ e ＜ 1 等，在求椭圆有关量的范围时，要注意应用这些不等关系.【分层训练】【基础稳固题组】 ( 建议用时： 40 分钟 )一、选择题x 2 y 21.椭圆 m ＋ 4＝ 1 的焦距为 2，则 m 的值等于 ()A.5B.3C.5或3D.8【答案】 C【分析】由题意知椭圆焦距为2，即 c ＝ 1，又知足关系式 a 2－ b 2＝ c 2＝ 1，故当 a 2＝ 4 时， m ＝ b 2＝ 3；当b 2＝ 4 时， m ＝ a 2＝ 5.x 2 y 222.(2019 聊·城模拟 )已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为3，过 F 2 的直线 l交 C 于 A ， B 两点，若△ AF 1B 的周长为 12，则 C 的方程为 ( )x 22x 2 y 2A. 3 ＋ y ＝ 1B. 3＋2 ＝ 12222C.x＋ y＝ 1D. x＋ y＝ 19 495【答案】 D【分析】由题意可得 c ＝ 2，4a ＝ 12，解得 a ＝3， c ＝ 2，则 b ＝ 32－ 22＝ 5，a 3所以椭圆 C 的方程为x 2＋ y 2＝ 1.95223.已知圆 (x －1) 2＋ (y － 1)2＝ 2 经过椭圆 C ： x 2＋ y2＝ 1(a>b>0) 的右焦点 F 和上极点 B ，则椭圆 C 的离心率为a b()12 A. 2B. 2C.2D. 2【答案】 D【分析】由题意得，椭圆的右焦点F 为 (c ， 0)，上极点 B 为 (0， b).由于圆 (x － 1)2＋ ( y － 1)2 ＝2 经过右焦点（ c － 1） 2＋ 1＝ 2，2，所以椭圆 C 的离F 和上极点 B ，所以解得 b ＝ c ＝ 2，则 a 2＝ b 2＋ c 2＝ 8，解得 a ＝ 21＋（ b － 1） 2＝ 2，心率 e ＝ c＝ 2 ＝ 2a 2 2 2 .224.(2019 湖·北要点中学联考 )已知椭圆 x ＋ y＝ 1 的左、右焦点分别为F 1， F 2，过 F 2 且垂直于长轴的直线交椭4 3 圆于 A ，B 两点，则△ ABF 1 内切圆的半径为 ()44 3 A. 3B.1C.5D. 4【答案】 D【分析】不如设 A 点在 B 点上方，由题意知：F 2(1， 0)，将 F 2 的横坐标代入椭圆方程x 2 ＋y 2＝1 中，可得4 3A 点纵坐标为 3 ，故 |AB|＝ 3，所以由 S ＝ 12S 6 3 的面积， C 为△ ABF 12 Cr 得内切圆半径 r ＝＝ ＝ (此中 S 为△ABF 12 C8 4的周长 ).225.已知椭圆 x＋ y＝ 1 的两个焦点是F 1，F 2，点 P 在该椭圆上， 若 |PF 1|－ |PF 2|＝ 2，则△ PF 1 F 2 的面积是 ()42A. 2B.2C.2 2D. 3【答案】 A【分析】由椭圆的方程可知 a ＝ 2，c ＝ 2，且|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ＝ 4，又 |PF 1|－ |PF 2|＝2，所以 |PF 1|＝ 3，|PF 2|＝ 1.又 |F 1F 2 |＝2c ＝ 2 2，所以有 |PF 1|2＝ |PF 2|2＋ |F 1F 2|2，即 △PF 1F 2 为直角三角形，且 ∠PF 2F 1 为直角， 所以 S △PF F ＝1 |F 1F 2||PF 2|＝ 1× 2 2× 1＝ 2.1 2 2 2 二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－ 2 3)且 a ＝ 2b ，则椭圆的标准方程为 ________.2 2【答案】y ＋ x＝ 116 4【分析】∵ c ＝ 2 3， a 2＝ 4b 2， ∴ a 2－ b 2＝ 3b 2＝ c 2＝ 12，b2＝ 4， a 2＝ 16.又焦点在 y 轴上，2 2∴ 标准方程为 16y ＋ x4 ＝ 1.2 27.设 F 1 ， F 为椭圆 C ：x2y 2的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，若△ F2AB2a ＋b ＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点，经过 F 1的面积为4 3的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 ______________.22【答案】 x＋ y＝ 19 6【分析】∵△ F 2AB 是面积为 4 3的等边三角形，∴ AB ⊥ x 轴， ∴A ， B 两点的横坐标为－ c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A|＝ |F 1B|＝ b 2a .又 |F 1F 2|＝ 2c ， ∠F 1F 2A ＝ 30°，2∴ b＝3× 2c.①a 3又 S F 2 AB ＝ 12b 22×2c ×a ＝ 4 3，②△a 2＝b 2＋c 2， ③由 ①②③ 解得 a 2＝ 9，b 2＝6， c 2＝ 3，22∴ 椭圆 C 的方程为 x 9 ＋ y6 ＝ 1.2 28.(2019 昆·明诊疗 )椭圆 x＋ y＝ 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为m ，当 m 取最大值时， 点 P 的坐标是9 25________.【答案】 (－ 3， 0)或 (3， 0)【分析】记椭圆的两个焦点分别为F 1， F 2，有 |PF 1|＋ |PF 2|＝2a ＝ 10.2则 m ＝ |PF 1| |PF ·2|≤ |PF 1|＋ |PF 2|＝ 25，当且仅当 |PF 1|＝ |PF 2|＝ 5，即点 P 位于椭圆的短轴的极点处时，等号2建立，即 m 获得最大值 25.∴ 点 P 的坐标为 (－ 3， 0)或 (3， 0).三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点 F 1 ，F 2 在 x 轴上，且过点 A(－ 4， 3).若 F 1A ⊥ F 2A ，求椭圆的标准方程 .【答案】看法析【分析】 设所求椭圆的标准方程为x 2 y 22＋ 2＝ 1(a>b>0).ab设焦点 F 1(－ c ， 0)， F 2(c ， 0)(c>0).∵ F→ →＝0，1A ⊥ F 2A ，∴ F 1A ·F 2A→→而 F 1A ＝ (－4＋ c ， 3)， F 2 A ＝ (－ 4－ c ，3)，∴ (－ 4＋ c) ·(－ 4－ c)＋ 32＝ 0，∴ c 2＝ 25，即 c ＝ 5.∴ F 1(－ 5， 0)， F 2(5， 0).∴ 2a ＝ |AF 1|＋ |AF 2|＝ （－ 4＋ 5）2＋ 32＋ （－ 4－ 5） 2＋32＝ 10＋ 90＝ 4 10.∴ a ＝ 2 10，∴ b 2＝a 2－ c 2＝ (2 10) 2－ 52＝ 15.∴所求椭圆的标准方程为x 2 ＋ y 2 ＝ 1.4015x 2 y 210.已知椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上极点，直线AF 2 交椭圆于另一点 B. (1) 若∠ F 1AB ＝ 90°，求椭圆的离心率；→ → → →3(2) 若 AF 2＝ 2F 2B ， AF 1·AB ＝ ，求椭圆的方程 .2【答案】看法析【分析】 (1)若∠ F 1AB ＝ 90°，则△ AOF 2 为等腰直角三角形，所以有 |OA|＝ |OF 2|，即 b ＝ c.所以 a ＝2c ，椭圆的离心率为 e ＝c＝ 2a 2.(2) 由题知 A(0， b)，F 1(－ c ， 0)， F 2(c ， 0)，此中 c ＝a 2－b 2，设 B(x ， y).→ →由AF 2＝2F 2B ，得 (c ，－ b)＝ 2(x － c ，y)，3cb 3cb解得 x ＝ 2 ， y ＝－ 2，即 B 2 ，－ 2 .9 22 x 2 y 2b 将 B 点坐标代入 4c4＝ 1，a 2 22 2＋ b ＝ 1，得 a ＋ b 即 a 2＝ 3c 2.①→ →3c 3b3 又由 AF 1·AB ＝ (－ c ，－ b) · ，－2 ＝ ，22得 b 2－ c 2＝ 1，即有 a 2－ 2c 2＝ 1.②由①②解得 c 2＝ 1， a 2＝ 3，进而有 b 2＝ 2.22xy所以椭圆的方程为＋＝1.3 2【能力提高题组】 ( 建议用时： 20分钟 )22→ →＝0，则椭圆的离心率为x 2 y 2M ，上极点为 N ，右焦点为11.已知椭圆 a ＋ b ＝ 1(a>b>0) 的左极点为 F ，若 NM ·NF ( )32－ 13－ 15－1A. 2B.2C.2D.2【答案】D【分析】→→ → → 由题意知， M(－ a ， 0)， N(0， b)， F(c ， 0)， ∴ NM ＝ (－ a ，－ b)， NF ＝ (c ，－ b).∵ NM ·NF ＝ 0， ∴ － ac ＋ b 2＝0，即 b 2＝ ac.又 b 2＝ a 2－ c 2，∴ a 2－c 2＝ac.∴ e 2＋ e － 1＝0，解得 e ＝ 5－ 1或 e ＝ － 5－1 2 (舍 ).∴2 椭圆的离心率为 5－ 1 .222xyF 1 ，F 2，P 是椭圆上一点， △ PF 1F 212.(2019 湖·南湘东五校联考)已知椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 是以 F 2P 为底边的等腰三角形，且 60°<∠ PF 1F 2<120 °，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.( 3－ 1， 1)B.(3－ 1， 1)22 2C. 1，1D.1 20，2【答案】 B【分析】由题意可得， 222|PF 2| ＝|F 1F 2| ＋ |PF 1| － 2|F 1F 2| |PF · 1|cos ∠ PF 1F 2＝ 4c 2＋ 4c 2－ 2·2c ·2c ·cos ∠ PF 1F 2，即 |PF 2|＝ 2 2c · 1－ cos ∠ PF 1F 2，1 1 3＋ 1)c ，则1c 1 ，即 3－ 1 1 .∴ － <cos ∠PF 1F 2< ，所以 2c<a<(< a < 2 <e<223＋1 2 2x 22→ →13.(2018 浙·江卷 ) 已知点 P(0， 1)，椭圆 4 ＋ y ＝ m(m>1)上两点 A ， B 知足 AP ＝ 2PB ，则当 m ＝________时， 点 B 横坐标的绝对值最大 .【答案】5【分析】→ →设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，由 AP ＝ 2PB ，4x 222＋（ 3－ 2y ） ＝ m ，－ x 1＝ 2x 2，42得即 x 1＝－ 2x 2， y 1＝ 3－2y 2.由于点 A ， B 在椭圆上，所以22得＝ 2（ y －），x 1－ y4 ＋ y 2＝ m ，1 32 21 25 9＝－ 1 (m － 5) 2时，点 B 横坐标的绝y 2＝ m ＋ ，所以 x 2＝ m －(3 －2y 2) ＝－ m＋ m －4 ＋ 4≤4，所以当 m ＝ 54 4424对值最大，最大值为 2.x 2 y 26 14.(2019 石·家庄月考 )已知点 M( 6，2)在椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)上，且椭圆的离心率为3.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若斜率为1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，极点为 P(－ 3，2)，求△ PAB的面积 .【答案】看法析6 2＝1，a 2＋b 2 a 2＝12，【分析】 (1)由已知得c ＝ 6， 解得b 2＝ 4.a 3a 2＝b 2＋c 2，22故椭圆 C 的方程为x＋ y＝ 1.124(2) 设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m ， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， AB 的中点为 D (x 0， y 0).y ＝ x ＋ m ，由 x 2 y 2＝ 1，消去 y ，整理得 4x 2＋6mx ＋3m 2－ 12＝ 0，＋124x 1＋ x 2＝－ 33m 2－ 12由根与系数的关系得2m ， x 1x 2＝4，由 ＝ 36m 2－16(3m 2－ 12)>0 得 m 2<16，则 x 0＝ x 1＋ x 2 ＝－312 4m ， y 0＝ x 0＋ m ＝ m ，43 1即 D－4m ，4m .由于 AB 是等腰△ PAB 的底边，所以PD ⊥ AB ，m 即 PD 的斜率 k ＝2－ 4＝－ 1，解得 m ＝2，知足 m 2<16.3m－3＋ 4此时 x 1＋ x 2＝－ 3，x 1 x 2＝ 0，则 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 2· （ x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2＝ 3 2，3又点 P 到直线 l ： x － y ＋ 2＝ 0 的距离为 d ＝，1 9所以△ PAB 的面积为 S ＝ 2|AB| ·d ＝ 2.【新高考创新展望】x 2 y 215.(多填题 )已知椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的右焦点为 F(1，0)，其对于直线 y ＝bx 的对称点 Q 在椭圆上， 则离心率 e ＝________， S △ FOQ ＝ ________.【答案】2 122y＝－ 1，设点 Q(x ， y)，则由点 Q 与椭圆的右焦点x －1b【分析】F(1 ， 0)对于直线 y ＝ bx 对称得x ＋ 1y＝ b ·，221－ b 2x ＝ 1＋ b2，2 22a ＝ 2，代入椭圆 C 的方程得（ 1－ b ）4b2＝ 1，联合 a 2＝ b 2＋ 1 解得 解得2b222＋22 则椭y ＝ 2，a （ 1＋b ）b （ 1＋b ） b ＝ 1，1＋b圆的离心率 e ＝ c ＝2， S △ FOQ ＝ 1 |OF| · 2b 2 ＝ 1×1× 2 1 2＝1.a 22 1＋ b 21＋ 2。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.3含解析
§9.3 圆的方程考情考向分析 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆心为(a ，b )标准式(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)半径为r充要条件：D 2＋E 2－4F >0圆心坐标：(－D 2，－E2)方程一般式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0半径r ＝12D 2＋E 2－4F 概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( × )2020(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )题组二 教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案 (2，－3)解析 由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案 (x －2)2＋y 2＝10解析 设圆心坐标为(a ,0)，易知＝，(a －5)2＋(－1)2(a －1)2＋(－3)2解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，10∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)22解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y －1)2＝－2.(x ＋m 2)m 24由其表示圆可得－2>0，解得m <－2或m >2.m 24225．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴＝1，解得a ＝2或a ＝－(舍去)．|4a －3|512∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1 求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程．解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ，∴k CB ＝.(－D 2，－E 2)6＋E28＋D2∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1，即·＝－1.①6＋E 28＋D 2(－13)又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝＝1，6＋48＋2∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得Error!即圆心坐标为.(112，－32)∴所求圆的半径r ＝＝，(112－8)2＋(－32－6)21252∴所求圆的方程为2＋2＝.(x －112)(y ＋32)1252思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1 (1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，)，且与直线x －y ＋3＝0相切于点(0，33)，则圆C 的方程为________________．3答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，则Error!解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2，即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为2，则该7圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为2，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝，7|2a |2∴d 2＋()2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.7故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为，|a －b |2∴r 2＝＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①(a －b )22由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得Error!或Error!故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为，(－D 2，－E2)半径r ＝.12D 2＋E 2－4F 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心到直线y ＝x 的距离为(－D 2，－E2)d ＝，|－D 2＋E 2|2由已知得d 2＋()2＝r 2，7即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心在直线x －3y ＝0上，(－D 2，－E2)∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得Error!或Error!故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t ＝－1或t ＝－－1.|2＋(－3)－t |222∴x ＋y 的最大值为－1，最小值为－－1.22引申探究1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．yx解 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的y x y x 直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，|2k ＋3|k 2＋1解得k ＝－2＋或k ＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.233233y x 2332332．在本例的条件下，求的最大值和最小值．x 2＋y 2＋2x －4y ＋5解 ＝，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5(x ＋1)2＋(y －2)2的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，34∴的最大值为＋1，最小值为－1.x 2＋y 2＋2x －4y ＋53434思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②y －bx －a形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；yx (2)y －x 的最大值和最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．3(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k ，即y ＝kx .y x yx当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时＝，解得k ＝±.|2k －0|k 2＋133所以的最大值为，最小值为－.yx33(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时＝，|2－0＋b |23解得b ＝－2±.所以y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.666(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，(2－0)2＋(0－0)2所以x 2＋y 2的最大值是(2＋)2＝7＋4，33x 2＋y 2的最小值是(2－)2＝7－4.33题型三 与圆有关的轨迹问题例3 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝，k BC ＝，所以·＝－1，y x ＋1y x －3y x ＋1yx －3化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝AB ＝2.12由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝，y ＝x 0＋32，y 0＋02所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为，(x 2，y2)线段MN 的中点坐标为.(x 0－32，y 0＋42)因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，x 2x 0－32y 2y 0＋42整理得Error!又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，(－95，125)(－215，285)所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点和.(－95，125)(－215，285)1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，2＋(y ＋1)2＝－不表示圆．(x ＋12)542．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为2＋(y ＋1)2＝－k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，(x ＋k 2)34此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋2＝(y ＋32)254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以＝|1－m |，22＋m 2解得m ＝－.32所以圆C 的方程为(x －2)2＋2＝.(y ＋32)2544．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析 设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组Error!解得Error!又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________．答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝x 对称的圆的方程是________________．33答案 (x －1)2＋(y －)2＝43解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(a ，b )，33则有Error!解得a ＝1，b ＝，3从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －)2＝4.38．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a 的取值范围是2________________．答案 [－3，－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|a |，半径r ＝2，22由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为，2得2－≤|a |≤2＋，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.22222∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．12答案 x 2＋y 2＋x ＋4＝0203解析 由题意，设P (x ，y )，则＝，(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 212化简可得x 2＋y 2＋x ＋4＝0.20310．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x ＋y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，2020则Error!解得Error!代入x ＋y ＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.202011．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求的最大值和最小值；y x(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，y x 如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得＝2，解得k ＝.|3k －3|k 2＋19±2145所以的最大值为，最小值为.y x 9＋21459－2145(2) (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得＝2，|3＋3－b |12＋12即|b －6|＝2，解得b ＝6±2，22所以x ＋y 的最大值为6＋2，最小值为6－2.2212．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝2.(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则QM ＝＝，CQ 2－CM 2CQ 2－16当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1，CQ ＝＝4，|5＋3|22则QM 的最小值为＝4.32－1613．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x ＋(y 0＋1)2＋x ＋(y 0－1)2＝2(x ＋y )＋2.x ＋y 为圆上任202020202020一点到原点距离的平方，∴(x ＋y )max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.202014．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为，且圆C 被x 55轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知Error!∴Error!或Error!故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则＋的最小值是2a 6b________．答案 323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴＋＝(a ＋3b )2a 6b 23(1a ＋3b )＝≥＝，23(1＋3a b ＋3b a ＋9)23(10＋2 3a b ·3b a )323当且仅当＝，即a ＝b 时取等号．3b a 3a b16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求的最大值．x 2＋y 2解 表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．x 2＋y 2当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离(x －1)(y －1)的最大值为2×＝2，22当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x ＋1)(y ＋1)最大值为2×＝2，22当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x －1)(y ＋1)最大值为2×＝2，22当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x ＋1)(y －1)最大值为2×＝2.22综上可知，的最大值为2.x 2＋y 22。
课标通用版2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲第1课时椭圆及其性质检测文
第5讲 第1课时 椭圆及其性质[基础题组练]1．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)解析：选B.因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．曲线x2169＋y2144＝1与曲线x2169－k ＋y2144－k＝1(k <144)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D.曲线x2169－k ＋y2144－k＝1中c 2＝169－k －(144－k )＝25，所以c ＝5，所以两曲线的焦距相等．3．(2019·郑州市第二次质量预测)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x23＋y 2＝1 B.x23＋y22＝1 C.x29＋y24＝1D.x29＋y25＝1解析：选D.由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x29＋y25＝1，故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( )A.43 B ．1 C.45D.34解析：选D.法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知：F 2(1，0)，将F 2的横坐标代入方程x24＋y23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34，其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长4a ＝8.法二：由椭圆的通径公式可得|AB |＝2b2a ＝3，则S ＝2×3×12＝3，C ＝4a ＝8，则r ＝68＝34.5．若椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________． 解析：由题意可得b ＝c ，则b 2＝a 2－c 2＝c 2，a ＝2c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝22.答案：226．(2019·贵阳模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝ca ＝32，2b ＝4，得b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a2＝b2＋c2＝4＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x216＋y24＝1.答案：x216＋y24＝17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.8．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24＋y23＝t 1或y24＋x23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12.故椭圆方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.[综合题组练]1．(2019·贵阳市摸底考试)P 是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23 B.22 C.33D.12解析：选D.如图，不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b2a ，即|PF |＝b2a ，则tan ∠PAF ＝|PF||AF|＝b2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.2．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A.x236＋y216＝1 B.x240＋y215＝1 C.x249＋y224＝1D.x245＋y220＝1解析：选C.由题意知，c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，所以∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理得|PF ′|＝|FF′|2－|PF|2＝8，又|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，所以a ＝7，所以b 2＝a 2－c 2＝24，所以椭圆C 的方程为x249＋y224＝1，故选C.3．(综合型)已知△ABC 的顶点A (－3，0)和顶点B (3，0)，顶点C 在椭圆x225＋y216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝________．解析：由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，所以c ＝a2－b2＝3，所以A ，B 为椭圆的焦点．因为点C 在椭圆上，所以|AC |＋|BC |＝2a ＝10，|AB |＝2c ＝6.所以5sin C sin A ＋sin B ＝5|AB||BC|＋|AC|＝5×610＝3.答案：34．已知椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y0x0＋a ·y0a －x0＝y20a 2－x 20＝b2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x20a 2a 2－x 20＝b2a2＝14，从而e ＝1－b2a2＝32.答案：325．(2019·兰州市诊断考试)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；从而e ＝1－b2a2＝32. 答案：325．(2019·兰州市诊断考试)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b2a2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x24＋y22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆x24＋y22＝1上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 2＋2y 2＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 2)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 2＋2y 2)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y1y2x1x2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x220＋y210＝1.6．(综合型)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，点M (2，1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 平行于OM ，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．若∠AOB 为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围．解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a2－b2a ＝32，4a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8，b2＝2.故椭圆C 的方程为x28＋y22＝1.(2)由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率k ＝k OM ＝12， 又l 在y 轴上的截距为m ，所以l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x28＋y22＝1得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0，解得－2<m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．又∠AOB 为钝角等价于OA →·OB →<0且m ≠0，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2＋m ＝54x 1x 2＋m 2(x 1＋x 2)＋m 2<0，将x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4代入上式，化简整理得m 2<2， 即－2<m <2，故m 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)．。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆练习(含解析)
第5讲椭圆［基础达标］1．已知椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上,焦距为4，则m等于( )A．8 B．7C．6 D．5解析：选A。
因为椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上．所以错误!解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是错误!,则此椭圆的标准方程是（）A．错误!＋错误!＝1B．错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1D．错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1解析：选B。
因为a＝4,e＝34，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7。
因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1.3．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q 的周长为36,则此椭圆的离心率为（）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!解析:选C 。
PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q 错误!,△PF 2Q 的周长为36.所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a＝5，即错误!＝5。
又a ＝9，解得c ＝6,解得错误!＝错误!，即e ＝错误!。
4．（2019·杭州地区七校联考）以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长,半焦距，依题意知,当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1,bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥2错误!＝2错误!（当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D 。
5．(2019·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C （4，0),顶点B 在椭圆错误!＋错误!＝1上，则错误!＝( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D.椭圆错误!＋错误!＝1中,a＝5，b＝3,c＝4，故A(－4，0）和C(4,0)是椭圆的两个焦点，所以|AB｜＋｜BC｜＝2a＝10，｜AC|＝8，由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．若椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝错误!错误!(c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选A。
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件
线的焦点为(-1,0),所以 c=1.
1
又离心率 e= = 2,解得 a=2,b2=a2-c2=3,
2
所以椭圆方程为
+
A
4
2
3
关闭
=1,故选 A.
解析
-11答案
考点一
考点二
考点三
2
(2)椭圆 +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作垂直于x轴
4
的直线与该椭圆相交,一个交点为P,那么|PF2|等于(
9.5
椭圆
-2-
年份
椭圆
2018
2017 2016
7,5 分(理)
21,10 2,4 19,15 分(理)
分
分
2015
2014
19,15 分(理)
21,15 分(理)
7,5 分(文)
15,4 分(文)
1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及其简单几何
考查要
性质.
求
2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.
∵椭圆方程可化为 9 +
2
5
=1,
设 F1 是椭圆的右焦点,则 F1(2,0),
∴|AF1|= 2. ∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.
又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当 P,A,F1 共线时等号成立),
∴
2,|PA|+|PF|≥6- 2.
6+|PA|+|PF|≤6+
考向分 椭圆为高考中的热点,考查方向主要有:求椭圆的标准方
析
程、求椭圆的离心率及其椭圆几何性质的应用等.
-3知识梳理
2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题九：解析几何(5)椭圆
解析几何（5）椭圆1、椭圆221169x y +=的焦距为 ( )A ．10B ．5CD ．2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ,过2F 的直线l交椭圆C 于,A B 两点,若1AF B △的周长为则C 的方程为( )A. 22132x y +=B. 2213x y +=C. 221128x y +=D. 221124x y +=3、点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部,则a 的取值范围是( )A.11a -<<B.a <a >C.22?a -<<D.a <<4、已知,A B 分别为椭圆2221(03)9x y b b+=<<的左、右顶点,,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称.设直线AP ,BQ 的斜率分别为,m n .若点A 到直线y =1，则该椭圆的离心率为( )A.12B.4C.13D.25、若直线k kx y -=与椭圆22194x y +=的交点个数为( )A ．至多一个B ．0个C ．1个D ．2个6、已知对R k ∈，直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)(5,)⋃+∞D.[1,5) 7、已知点P 在以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,离心率为12的椭圆上,过P 点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点1F ,与椭圆的另一交点为A ,若△2PF A 的面积为12 (2F 为椭圆的另一焦点),则椭圆的方程为( )A. 2211612x y +=B. 2211216x y +=C. 22143x y +=或22134x y +=D. 2211612x y +=或2211216x y +=8、已知,,A B C 为椭圆2212x y +=上三个不同的点,O 为坐标原点,若0OA OB OC ++=,则△ABC 的面积为( )D.29、已知圆()22:21M x y -+=经过椭圆22:13x y C m +=的一个焦点,圆M 与椭圆C 的公共点为,?A B ,点P 为圆M 上一动点,则P 到直线AB 的距离的最大值为( )A. 5B. 4C. 11D. 1010、已知椭圆 ()2221024x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ,过1F 的直线l 交椭圆A 、B 两点,若22AF BF +的最大值为5,则b 的值为( )A. 1D. 211、椭圆221254x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 经过1F 椭圆于,A B 两点，则2ABF △的周长为________.12、如果椭圆221369x y +=的弦被点(42)，平分，则这条弦所在的直线方程是________. 13、直线y kx b =+被椭圆2224x y +=所截得线段中点坐标是21(,)33-，则k =_____.14、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,过椭圆上一点M 作直线MA ,交椭圆于,A B 两点,且斜率分别为12,k k ,若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为__________.15、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>, 12,A A 分别为椭圆12,A A 的左、右顶点,点()2,1P -满足121PA PA ⋅=uuu r uuu r.1.求椭圆C 的方程;2.设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M N 、,试问:在轴上是否存在点Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值?若存在,求出点Q 的坐标及定值,若不存在,请说明理由.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：因为根据题意椭圆的方程221169x y +=,那么可知,4,3a b ==,那么可知2221697c a b =-=-=,,可知焦距为故选D.2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：B解析：由题意，得(3,0),(3,0).A B -设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，20002000,,239y y y m n mn x x x -===-+--. 又∵22200(9),9b y x =--∴29b mn =.又∵点A到直线y =的距离d =1==，∴2638b =.∴3c c e ===.故选B5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：D解析：由题意结合椭圆的通径公式有: 22122122PF Ab Sc a∆=⨯⨯=①,由离心率的定义可知12c e a ==②,结合椭圆中的几何关系可知: 222a b c =+③,联立①②③可得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩分类讨论椭圆的焦点位于 x 轴和y 轴两种情况可得椭圆的方程为2211612x y +=或2211216x y+=,故选D 。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆练习(含解析)(2021-2022学年)
第5讲 椭 圆一、选择题１。
椭圆错误!未定义书签。
+y 24=1的焦距为２,则m 的值等于（ ) Ａ．5 ﻩＢ。
3 C 。
５或3 Ｄ。
8 解析 当m 〉4时,ｍ-4＝1，∴m ＝5;当0<m ＜４时,4－ｍ＝1,∴ｍ＝３.答案 C2。
“2〈m 〈6”是“方程＼f (x 2,m -2)＋y ２６-m =1表示椭圆”的( ) A 。
充分不必要条件 ﻩＢ．必要不充分条件C.充要条件 ﻩ D 。
既不充分也不必要条件解析 若错误!+错误!＝1表示椭圆.则有错误!∴２<m ＜6且m ≠４.故“２<m 〈6"是“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案 B３.设椭圆C ：错误!+错误!未定义书签。
=1（a ＞ｂ>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，Ｐ是Ｃ上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1Ｆ2＝30°,则Ｃ的离心率为( )A ．错误!未定义书签。
B 。
错误!未定义书签。
C 。
错误!D 。
错误! 解析 在Rt△PF 2F １中，令｜P Ｆ2|＝1,因为∠P Ｆ1Ｆ2＝３0°，所以|PF １|＝2，｜F １F ２｜=错误!未定义书签。
.故e =错误!未定义书签。
＝＼f (|Ｆ１F 2｜，|PF 1|＋|PF ２|）＝错误!未定义书签。
故选Ｄ。
答案 D4。
(２0１5·全国Ⅰ卷)已知椭圆Ｅ的中心在坐标原点,离心率为错误!未定义书签。
，E 的右焦点与抛物线Ｃ:ｙ２=8x 的焦点重合，A ,B 是Ｃ的准线与E 的两个交点,则｜ＡＢ|=（ ) Ａ.３ ﻩB 。
6 ﻩC 。
9 ﻩD ．12解析 抛物线C :ｙ2=8x 的焦点坐标为(２，0)，准线方程为x ＝-2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为＼f （ｘ２,a 2)+错误!＝１（a >b ＞０)，因为离心率e ＝错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
，所以ａ＝4,所以ｂ2=a 2－c ２＝１2.由题意知|AB ｜＝错误!未定义书签。
2020高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第3节椭圆及其性质高考AB卷理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第3节椭圆及其性质高考AB卷理椭圆的定义及其方程1.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为( ) A.＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.答案A2.(2013·全国Ⅰ，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴,a2)＋\f(y,b2)＝1，①,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1 ②))①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）＋＝0，a2即＝－，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝＝，∴＝.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.答案D3.(2012·大纲全国，3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析∵2c＝4，∴c＝2.又∵＝4，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝4.∴椭圆方程为＋＝1，故选C.答案C椭圆的几何性质4.(2016·全国Ⅲ，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A. B.C. D.34解析设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.答案A5.(2012·全国，4)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A. B.C. D.45解析设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，故cos 60°＝＝＝，解得＝，故离心率e＝.答案C6.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝，所以y1＝.因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－)＝得x1＝，故|AM|＝|x1＋|＝.由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.由2|AM|＝|AN|得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)，当k＝时上式不成立，因此t＝.t>3等价于＝（k－2）（k2＋1）<0，即<0.k3－2由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(，2).椭圆的定义及其方程1.(2014·辽宁，15)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝________.解析 设MN 交椭圆于点P ，连接F1P 和F2P(其中F1、F2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a ＝12. 答案 122.(2014·安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________.解析 设点A 在点B 上方，F1(－c ，0)，F2(c ，0)，其中c ＝，则可设A(c ，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x0＋c ），－b2＝3y0，即代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1. 答案 x2＋＝13.(2012·四川，15)椭圆＋＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________.解析 设椭圆的右焦点为F1，则|AF|＝2a －|AF1|＝4－|AF1|， ∴△AFB 的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(4－|AF1|＋|AH|). ∵△AF1H 为直角三角形，∴|AF1|>|AH|，仅当F1与H 重合时，|AF1|＝|AH|， ∴当m ＝1时，△AFB 的周长最大， 此时S△FAB＝×2×|AB|＝3. 答案 34.(2016·四川，20)已知椭圆E ：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值. (1)解 由已知，a ＝b ，则椭圆E 的方程为＋＝1.由方程组得3x2－12x ＋(18－2b2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为＋＝1.点T 的坐标为(2，1). (2)证明 由已知可设直线l′的方程为y ＝x ＋m(m≠0)，由方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m3.所以P 点坐标为.|PT|2＝m2.设点A ，B 的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由方程组可得3x2＋4mx ＋(4m2－12)＝0.② 方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)， 由Δ>0，解得－<m<.由②得x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|PA|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y12＝，同理|PB|＝.所以|PA|·|PB|＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3－x1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3－x2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3（x1＋x2）＋x1x2＝＝m2.故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.5.(2015·重庆，21)如图，椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋ (2－)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，即c ＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)法一如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x20＋,b2)＝1，x＋y＝c2，a2求得x0＝±，y0＝±.由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝＋.＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，于是(2＋)(1＋)＝4，解得e＝＝－.法二如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，得|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝|PF1|2＋|PF2|22a＝＝＝－.椭圆的几何性质6.(2016·浙江，7)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1解析由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.答案A7.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组解得B、C两点坐标为B，C，又F(c，0)，则＝，＝，又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得：c2－a2＋＝0①，又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.答案638.(2014·江西，15)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.9.(2013·福建，14)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.解析由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a，即e＝＝－1.答案－110.(2015·北京，19)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.解(1)由题意得解得a2＝2，故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM，0).因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝x.所以xM＝，即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n).设N(xN，0)，则xN＝.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.所以y＝|xM||xN|＝＝2.所以yQ＝或yQ＝－.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－).。
2020版高考数学一轮总复习检测10.1 椭圆及其性质 Word版含解析
专题十圆锥曲线与方程
【真题典例】
椭圆及其性质
挖命题
【考情探究】
分析解读
.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点.
.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质. .考查把几何条件转化为代数形式的能力.
.
预计年高考中
,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆有关的综合问题上.
破考点 【考点集训】
考点一椭圆的定义和标准方程
.(浙江镇海中学阶段性测试)已知椭圆(>>)的离心率为
,右焦点为(
).斜率为的直线与椭圆交于两
点,以为底作等腰三角形,顶点为(). ()求椭圆的方程; ()求△的面积.
解析 ()由已知得,解得.又,所以椭圆的方程为.
()设直线的方程为.由得.①
设、的坐标分别为(),()(<)中点为(),则.。
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9.3 椭圆及其性质 挖命题 【考情探究】
考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点
1.椭圆的定义及标准方程
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 2014课标Ⅰ,20,12分 求椭圆的方程 三角形面积最值 ★★★ 2.椭圆的几何性质 2018课标Ⅱ,12,5分 求椭圆离心率 直线方程 ★★★ 2017课标Ⅲ,10,5分 求椭圆离心率 直线与圆的位置关系 2016课标Ⅲ,11,5分 求椭圆离心率 线段中点坐标公式、三点共线 3.直线与椭圆的位置关系 2018课标Ⅲ,20,12分
直线与椭圆的位置关系 向量坐标运算、等
差数列 ★★★
分析解读 从近5年高考情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,其中离心率问题考查较频繁,对直线与椭圆的位置关系的考查,常与向量、圆、三角形等知识相结合,多以解答题的形式出现,解题时,要充分利用数形结合、转化与化归思想,注重数学思想在解题中的指导作用. 破考点 【考点集训】 考点一 椭圆的定义及标准方程 1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( ) A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1 答案 A 2.(2018山东烟台二模,15)已知F(2,0)为椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2, ),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为 . 答案 8+ 考点二 椭圆的几何性质
1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆 + =1的焦距为4,则实数a的值为( ) A.1 B.21 C.4 D.1或9 答案 D
2.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是 , (如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为( )
A. B. C. D. 答案 A 3.(2018河南南阳、信阳等六市联考,16)椭圆C: + =1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是 . 答案
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C: +y2=1,若一组斜率为 的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为( ) A.-2 B.2 C.- D.
答案 A 2.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:①x-2y+6=0;②x-y=0;③2x-y+1=0;④x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④ 答案 C 炼技法 【方法集训】 方法 求椭圆离心率或取值范围的方法 1.(2018江西赣南五校联考,15)椭圆Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y= (x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 -1
2.(2017福建四地六校模拟,15)已知椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
答案
3.(2018河北衡水中学八模,15)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使 = ,则该椭圆离心率的取值范围为 . 答案 ( -1,1) 过专题 【五年高考】 A组 统一命题·课标卷题组 考点一 椭圆的定义及标准方程 (2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
解析 (1)设F(c,0),由条件知, = ,得c= .
又 = ,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为 +y2=1. (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入 +y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2> 时,x1,2= - . 从而|PQ|= |x1-x2|= - . 又点O到直线PQ的距离d= ,
所以△OPQ的面积S△OPQ= d·|PQ|= - . 设 - =t,则t>0,S△OPQ= = .
因为t+ ≥4,当且仅当t=2,即k=± 时等号成立,且满足Δ>0, 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y= x-2或y=- x-2. 思路分析 (1)通过直线AF的斜率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2
,从而得到E的方
程;(2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用弦长公式求得|PQ|的长,根据点到直线的距离公式求得△OPQ边PQ上的高,从而表示出△OPQ的面积,利用换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程. 解题关键 对于第(2)问,正确选择参数,表示出△OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析最值是解题的关键. 考点二 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为 的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 答案 D 2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 答案 A 3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
答案 A 考点三 直线与椭圆的位置关系
(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解析 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,
由已知可得,点A的坐标为
或 .
所以AM的方程为y=- x+ 或y= x- . (2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°, 当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线, 所以∠OMA=∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时, 设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1< ,x2< ,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB= - + - ,
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB= - - - . 将y=k(x-1)代入 +y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以,x1+x2= ,x1x2= - . 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= - - =0, 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补, 所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 椭圆的定义及标准方程 1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为 . 答案 x2+ y2
=1
2.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为 c. (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d= = , 由d= c,得a=2b=2 - ,可得离心率 = . (2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.① 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|= . 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=- ,x1x2= - . 由x1+x2=-4,得- =-4,解得k= . 从而x1x2=8-2b2. 于是|AB|= |x1-x2| = - = - . 由|AB|= ,得 - = ,解得b2=3. 故椭圆E的方程为 + =1. 解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.② 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|= . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 +4 =4b2, +4 =4b2,