等差数列及其前n项和
等差数列的前n项和_教学
• (1)等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21 ＝________.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
• 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉 及五个量，知三可求二，如果已知两个条件， 就可以列出方程组解之．如果利用等差数列 的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用 方程思想解决问题的方法．
• [变式探究] (1)在等差数列{an}中，a1＝2， a2＋a5＝14，则a5＋a6＋a7＝________.
• (2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的 和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
• 答案：(1)36 (2)10
解析：(1)∵a2＋a5＝2a1＋5d＝14， ∴d＝2，∵a5＋a6＋a7＝3a6＝3a1＋15d＝36. (2)∵S9＝S4，∴a1＝－6d，∴d＝－16， ∴ak＋a4＝2a1＋(k＋2)d＝2＋(－16)(k＋2)＝0， ∴k＝10.
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+ ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na = ()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.解：由212loglog3log1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n ＝nn 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ……………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- 再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xxx S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n xn S nn n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn 前n 项的和.解：由题可知，{nn 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nn n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n nn n S （错位相减）1122212+---=n n n ∴ 1224-+-=n n n S3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ……..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin)2cos 2(sin)1cos 1(sin 2222222++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aaaS n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aaaS n n （分组） 当a ＝1时，2)13(nn n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11nn a a a n-+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132 （分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
等差数列及其前n项和
等差数列及其前 n 项和 基础知识 自主学习
要点梳理 1．等差数列的定义 如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项 公式是 an＝a1＋(n－1)d .
规范解答 解 方法一 设 {an}的公差为 d， 则由 Sn＝ m， Sm＝n， S ＝ na ＋n(n－1) d＝m， ① 1 n 2 得 [4分] m(m－ 1) Sm＝ ma1＋ d＝n. ② 2 (m－n)(m＋n－ 1) ②－① 得(m－ n)a1＋ · d＝ n－m， 2 m＋n－1 ∵ m>n， ∴a1＋ d＝－ 1. [8分] 2 (m＋n)(m＋n－ 1) ∴ Sm＋ n＝(m＋ n)a1＋ d 2 m＋n－ 1 ＝ (m＋ n)a1＋ [12分] d ＝－(m＋ n)． 2
3．等差中项
a＋b 如果 A＝ 2 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an＝ am＋ (n－m)d ， (n， m∈ N*)． (2)若 {an}为等差数列， 且 k＋ l＝ m＋ n， (k， l， m， n∈ N*)， 则 ak＋al＝am＋an . (3)若 {an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列， 公差为 2d . (4)若 {an}，{bn}是等差数列，则 {pan＋ qbn}也是等差数列． (5)若 {an}是等差数列， 公差为 d， 则 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， … (k， m∈ N*)是公差为 md 的等差数列．
*
等差数列及其前n项和教案
等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。
3. 能够运用等差数列的概念和前n项和公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 等差数列的定义与性质等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，这个数列叫做等差数列。
等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) 或Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)2. 等差数列的前n项和的计算方法（1）利用通项公式法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] （2）利用首项和末项法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] 3. 实际问题中的应用例题：已知等差数列的前5项和为35，公差为3，求首项和末项。
解：设首项为a1，末项为an，则有：S5 = n/2 (a1 + an) = 5/2 (a1 + an) = 35a1 + an = 14an = a1 + (n-1)d = a1 + 43 = a1 + 12将an代入上式得：a1 + (a1 + 12) = 142a1 + 12 = 142a1 = 2a1 = 1an = a1 + 12 = 1 + 12 = 13三、教学重点与难点：重点：等差数列的定义与性质，等差数列的前n项和的计算方法。
难点：等差数列前n项和的计算方法的灵活运用。
四、教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法相结合的教学方法，通过PPT辅助教学，使学生更好地理解和掌握等差数列及其前n项和的知识。
五、教学准备：1. PPT课件2. 黑板、粉笔3. 教学案例及练习题六、教学过程：1. 导入：通过复习等差数列的定义与性质，引导学生进入本节课的学习。
第3讲 等差数列及其前n项和
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最____值；若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最____值. 8 等差数列的判定
第1页共8页
(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2. 9.等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (2)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (3)S2n－1＝(2n－1)an.
第三讲 等差数列及其前 n 项和
【考情解读】
1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
【自主归纳，自我查验】
一.自主归纳
1.等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项和它前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母______表示. 2.等差数列的通项公式
A．58
B．88
C．143
D．176
3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是(
)
A.1
B．1
C．2
D．3
2
4. （ 2012 江 西 数 学 ） 设 数 列 {an} ， {bn} 都 是 等 差 数 列 ， 若 a1+b1=7 ， a3+b3=21 ， 则
7.（2014 泰州模拟）数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a2+a6=a8，则 S5 等于_________. a5
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。
它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。
二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。
三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。
2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。
3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。
4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。
5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。
等差数列的前N项和公式
等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。
前N项和指的是数列前N项之和。
首先，我们来推导等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。
我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。
因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。
为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。
假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。
首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。
等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。
通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。
在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。
方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。
这个方法适用于所有的等差数列。
等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
等差数列及其前n项和讲义
等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．同一个常数．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
利用：“1+n a －n a ＝d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。
注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d ： d ＝1+n a －n a ＝n a －1-n a (n ≥2)；（4）当d ＝0时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。
（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是n a ＝．1a ＋．(n ．．－．1)．．d ，或者通项公式的变形：n a ＝．m a ＋．(n ．．－．m)．．d 。
（三）、等差中项：（1）由三个数．．．．a ，．A ．，．b ．组成的等差数列，．．．．．．．．A ．叫做．．a 和．b ．的等差中项．．．．．，．则．2A ．．＝．a ＋．b ．；．（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a ＝1-n a ＋1+n a 。
（3） 特别地：在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B ＝600。
例1：已知数列{n a }为等差数列3a ＝54，7a ＝－74，则15a ＝____________。
【基本量法】【解析】 －314.变式练习1：若等差数列{n a }的公差d ≠0，且1a ，2a 是关于x 的方程x 2－3a x ＋4a ＝0的两根，求数列{n a }的通项公式。
【解】 由题意知⎩⎨⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎨⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，a n＝2n .变式练习2：（1）方程x 2－6x ＋1＝0的两根的等差中项为________。
新高考数学等差数列及其前n项和精品复习资料
[解析]设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20==-10, |a1|+|a2|+…+|a20|=(a1+a2+…+a10)-(a11+a12+…+a20)=S10-(S20-S10)=2S10-S20 =2×-(-10)=100.
例1 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
课堂考点探究
[思路点拨]利用等差数列的通项公式及其性质即可求解.[解析] ∵a3+a6+a8+a11=12,∴4a7=12,解得a7=3.设等差数列{an}的公差为d,则a4-3a6=a1+3d-3(a1+5d)=-2(a1+6d)=-2a7=-6.故选A.
A
[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个.(2)解决等差数列问题的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d,有时为简化运算可不直接求a1,而是求出等差数列中与已知条件有关的某一项即可.
(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,已知=,则+= .
4
[总结反思]运用等差数列的性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,等差数列的性质是解题的重要工具.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,2·(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=( )A.66 B.55 C.44 D.33
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1 等差数列及其前n项和（一） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A．31 B．32 C．33 D．34 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 3．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为( ) A．12 B．18 C．22 D．44 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＋a11＝30，那么S13的值是( ) A．130 B．65 C．70 D．以上都不对
5．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若11＋an是等差数列，则a11等于( )
A．0 B.16 C.13 D.12 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________. 8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
9．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________． 三、解答题(共41分) 10．(13分)(1)在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，求a7； (2)在等差数列{an}中，已知a15＝33，a61＝217，判断153是不是这个数列的项．如果是，是第几项？ 2
11．(14分)已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn (p、q∈R，且p、q为常数)． (1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； (2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
12．(14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 3
等差数列及其前n项和（二） 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( ) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 2．已知等差数列{an}、{bn}的公差分别为2和3，且bn∈N*，则数列{abn}是( ) A．等差数列且公差为5 B．等差数列且公差为6 C．等差数列且公差为8 D．等差数列且公差为9 3．等差数列{an}的前n项为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是( ) A．64 B．72 C．54 D．以上都不对 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a2m－1＝0，S2m－1＝39，则m为( )A．10 B．19 C．20 D．39
5．数列{an}是等差数列，若a11a10＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝( ) A．11 B．17 C．19 D．21 6将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组， {2，4}第一组，{6，8，10，12} 第二组，{14，16，18，20，22，24} 第三组 则2010位于第( )组．
A．30 B．31 C．32 D．33 二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分) 7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 8．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
第1列 第2列 第3列 …
第1行 第2行 第3行 … 1 2 3 … 2 4 6 … 3 6 9 … … … … …
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________． 9．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________． 三、解答题(共3个小题，满分35分) 10．若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27. (1)求a1、a2的值；
(2)记bn＝12n(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由． 4
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0. (1)求公差d的取值范围； (2)S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由．
12．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示)； (2)设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm＋Sn>cSk
都成立．求证：c的最大值为92.
13.已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1＝18，b14＝36. (1)若d1＝18，且存在正整数m，使得a2m＝bm＋14－45，求证：d2＞108； (2)若ak＝bk＝0，且数列a1，a2，a3，…，ak，bk＋1，bk＋2，…，b14的前n项和Sn满足S14＝2Sk，求数列{an}和{bn}的通项公式； (3)在(2)的条件下，令cn＝2na，dn＝2nb，问不等式cndn＋1≤cn＋dn是否对任意的n∈N*恒成立？请说明理由． 5
等差数列及其前n项和（一）答案 1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.15 7.13 8.24 9.75
10. 解 (1)∵d＝a5－a35－3＝30－502＝－10， ∴a7＝a3＋(7－3)d＝50＋4×(－10)＝10，∴a7＝10. (2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a15＝33，a61＝217，∴ 33＝a1＋(15－1)d，217＝a1＋(61－1)d， 解得a1＝－23，d＝4.∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27. 令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*， ∴153是所给数列的第45项． 11. (1)解 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q， 要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数， 所以只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列． (2)证明 ∵an＋1－an＝2pn＋p＋q， ∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数． ∴{an＋1－an}是等差数列． 12.(1)证明 ①n＝1时，a1＝S1＝23. ②n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(25n－2n2)－[25(n－1)－2(n－1)2]＝27－4n， 而n＝1适合该式，于是{an}为等差数列．
(2)因为an＝27－4n，若an>0，则n<274，所以|an|＝ an (1≤n≤6)－an (n≥7)， 当1≤n≤6时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝25n－2n2， 当n≥7时，Tn＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an) ＝S6－(Sn－S6)＝2n2－25n＋156，
综上可知Tn＝ 25n－2n2 (1≤n≤6)2n2－25n＋156 (n≥7). 等差数列及其前n项和（二） 1.解析：由题意得a1＋a2＋…＋a101＝a1＋a1012×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0. 答案：C 2. 解析：依题意有abn＝a1＋(bn－1)×2＝2bn＋a1－2＝2b1＋2(n－1)×3＋a1－2＝6n＋a1
＋2b1－8，故abn＋1－abn＝6，即数列{abn}是等差数列且公差为6.故选B.
3. 解析：由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.
所以S9＝9a1＋a92＝9a5＝54. 答案：C 4. 解析：由等差数列的性质知，2am－a2m－1＝0，则(am－1)2＝0，解得am＝1，因此S2m－1 6
＝39＝a1＋a2m－12×(2m－1)＝am(2m－1)＝2m－1，所以m＝20. 答案：C 5.解析：由题意可知，数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，
又因为a11a10＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10
＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.答案：C 6.解析：因为第n组有2n个正偶数，故前n组共有2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n＝31，则n2＋n＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．答案：C
7.解析：由S3＝3，S6＝24，得 3a1＋3d＝3，6a1＋15d＝24，解得 a1＝－1，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝15. 答案：15 8.解析：第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n. 答案：n2＋n 9. 解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an
－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝2＋2n－2n－12＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.
∴ann＝n2－n＋33n＝n＋33n－1≥233－1，当且仅当n＝33n，即n＝33时取等号，而n∈N*，∴等号取不到． ∵5＜33＜6，∴当n＝5时，ann＝5－1＋335＝535，
当n＝6时，ann＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴ann的最小值是212.答案：212 10. 解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2. (2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．
则2bn＝bn－1＋bn＋1, 即2×12n(an＋t)＝12n－1(an－1＋t)＋12n＋1(an＋1＋t)，
整理得4an＝4an－1＋an＋1＋t，又4an＝4×an－2n－12＋2an＋2n＋1＋t＋1＝4an＋t－1， ∴t＝1，故存在t＝1，使得数列{bn}为等差数列． 11.解：(1)∵S12＞0，S13＜0，
∴ 12a1＋12×112d＞0，13a1＋13×122d＜0，即 2a1＋11d＞0，a1＋6d＜0.又a3＝a1＋2d＝12，