奇偶函数专项练习

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函数的奇偶性经典例题

精品资料欢迎下载2．4 函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法； 2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．【典型例题】例 1．（ 1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) 0 ；③偶函数的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （ x ）=0（ x ∈ R ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ．4提示：①不对，如函数 f ( x)1y轴没有交点；②不对，因为奇函 x 2 是偶函数，但其图象与f （ x ）数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 =0〔 x ∈（－ a ， a ）〕，答案为 A ．（ 2 ）已知函数 f ( x) ax 2 bx 3a b 是偶函数，且其定义域为［a 1, 2a ］，则（）A1 b ＝ 0B ． ab 0C b ＝ 0D ． a 3b ＝ 03提示：由 f (x) ax 2bx 3ab 为偶函数，得 b ＝ 0．又定义域为［ a1, 2a ］，∴ ( a 1) 2a 0 ，∴ a1 ．故答案为 A ．3x 2（ 3）已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f ( x)2 x ，则 f ( x) ）在 R 上的表达式是（）A ． y x( x2) B ． y x(| x | 2)C ．y| x |( x 2)D ．y提示：由 x 0 时， f ( x) x 22x ， f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得：当 x ＜ 0 时， x 0 ， f ( x) f ( x) ( x 2 2x) x( x 2) x( x 2) ( x 0) x(| x | 2) ，答案为 D ． ∴ f ( x) x 2) ( x，即 f ( x) x( 0) （ 4）已知 f ( x) x 5 ax 3bx 8 ，且 f ( 2) 10 ，那么 f （2）等于 26 提示： f ( x)8x5ax3bx 为奇函数，f (2) 8 18 ，∴ f (2) 818（ 5）已知 f ( x) 是偶函数，g (x) 是奇函数，若1f (x) g( x)，则x1x(| x | 2)，∴ f (2) 26．f ( x) 的解析式为提示：由 f ( x) 是偶函数， g (x) 是奇函数，可得1 ，联立f ( x)g (x)x1f ( x) g( x)111111x 1 ，得： f ( x) 2 ( x1x 1 )x21， ∴ f (x)1x2例 2．判断下列函数的奇偶性：（ 1 ） f ( x) (x 1) 1x； (2) f ( x) 1 x2x 2 1 ；1 x2x 2x ( x 0)（ 3 ） f (x)lg(1 x ) ；（ 4） f ( x)x 2 x．| x 2 2 | 2( x 0)解：（ 1）由1 x1,1)，关于原点不对称，∴f (x) 为非奇非偶函数．10 ，得定义域为 [x(2)1x20x2 1 x 1 ，∴ f ( x)0 ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数．x210（3）由1x20得定义域为 (1,0)(0,1) ，∴f ( x)lg(1x)2lg(1x)2| x22|2 0( x22) 2x2，∵ f (x)lg[1(x) 2 ]lg(1x2 )f (x)∴ f ( x) 为偶函数(x) 2x2（ 4）当x0 时，x0 ，则 f ( x)( x)2x(x2x) f (x) ，当 x0 时， x0 ，则 f (x) ( x) 2x( x2x) f (x) ，综上所述，对任意的x(,) ，都有 f (x) f ( x)，∴ f ( x) 为奇函数．例 3．若奇函数 f ( x) 是定义在（1，1）上的增函数，试解关于 a 的不等式：f ( a 2) f ( a 24) 0．解：由已知得 f ( a 2) f ( a24)因 f(x) 是奇函数，故 f (a24) f (4a2 ) ，于是 f (a2) f (4 a2 ) ．又 f ( x) 是定义在（1， 1）上的增函数，从而a24 a 23a21 a211a33a21a2415a或3a5 3即不等式的解集是(3,2) ．例 4．已知定义在 R 上的函数 f ( x)对任意实数x、y，恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当 x 0时， f ( x)0 ，又 f (1)2．3（1）求证： f ( x)为奇函数；（ 2）求证：f(x ) 在R上是减函数；（3）求 f ( x) 在[3，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令x y0 ，可得 f (0) f (0) f (0 0) f (0)，从而， f(0) = 0 ．令y x，可得 f ( x) f (x) f ( x x) f (0)0 ，即 f ( x) f (x)，故 f ( x ) 为奇函数．（2）证明：设x1 , x2∈R，且 x1x2，则 x1x20 ，于是 f ( x1 x2 )0 ．从而f ( x1 ) f ( x2 ) f [( x1x2 ) x2 ] f ( x2 ) f ( x1x2 ) f (x2 ) f ( x2 ) f ( x1x2 ) 0所以， f ( x) 为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 f ( 3) ，最小值为 f (6) ．f (3) f (3)[ f (2) f (1)][2 f (1) f (1)] 3 f (1)2f (6) f (6)[ f (3) f (3)]4于是， f ( x)在 [-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（ C ）A ．函数 y1是奇函数，且在定义域内为减函数xB ．函数 y x 3 ( x 1)0 是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数 y x 2 是偶函数，且在（3， 0）上为减函数D ．函数 yax 2 c(ac 0) 是偶函数，且在（0， 2）上为增函数提示： A 中， y 1B 中，函数的定义域不关于原点对称； D 中，在定义域内不具有单调性；x当 a 0 时， y ax 2 c(ac0) 在（ 0， 2）上为减函数，答案为 C ．2．若(x) ， g (x) 都是奇函数， f ( x)a ( x) bg ( x)2 在（ 0，＋∞）上有最大值5 ，则 f (x) 在（－∞， 0）上有（）A ．最小值－ 5B ．最大值－ 5C ．最小值－ 1D ．最大值－ 3提示：( x) 、 g( x) 为奇函数，∴ f ( x)2 a (x)bg( x) 为奇函数．又 f (x) 有最大值 5，∴－ 2 在（ 0，＋∞）上有最大值3．∴ f (x) － 2 在 (, 0) 上有最小值－ 3，∴ f ( x) 在 ( , 0) 上有最小值－ 1．答案为 C ．3．定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在（ 0， +∞）上是增函数，又 f ( 3) 0 ，则不等式 xf ( x)的解集为（ A ）A ．（－ 3， 0）∪（ 0， 3）B ．（－∞，－ 3）∪（ 3， +∞）C ．（－ 3， 0）∪（ 3， +∞）D ．（－∞，－ 3）∪（ 0， 3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为 A ．4. 已知函数 y f ( x) 是偶函数， yf ( x2) 在［ 0，2］上是单调减函数，则（ A ）A . f (0) f ( 1) f (2)B . f ( 1) f (0)f (2) C.f ( 1) f (2) f (0)D.f (2) f ( 1)f (0)提示：由 f （ x － 2）在［ 0， 2］上单调递减，∴ f ( x) 在［－ 2， 0］上单调递减 .∵ y f ( x) 是偶函数，∴f ( x) 在［ 0， 2］上单调递增 . 又 f ( 1) f (1) ，故应选 A .5．已知 f ( x) 奇函数，当 x ∈（ 0，1）时， f ( x) lg 1 ，那么当 x ∈（－ 1，0）时， f ( x)的表达式是 lg(1 x) ．1 x提示：当 x（－ 1，0）时， x ∈（ 0， 1），∴ f ( x)f ( x)lg 1lg(1 x) ．x2 ax是奇函数，则a 20071 6．已知 f ( x)log 3 ＋ 2007a = 2008．a x提示：f (0) log 32a0 ，2a1 ，解得： a 1 ，经检验适合， a 20072007a 2008 ．aa7．若 f ( x) 是偶函数，当 x ∈［ 0，+∞) 时， f ( x) x 1，则 f (x 1) 0的解集是 { x | 0 x 2}提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 f ( x) 的图象，由图可知 f ( x) 0的解集为 { x | 1 x 1} ，∴ f ( x 1) 0 的解集为 { x | 0 x 2} .8．试判断下列函数的奇偶性：（1） f ( x) | x2| | x 2| ；（ 2） f ( x)1 x2 ；（ 3） f ( x)| x |( x 1)0 ． x 33x解：（ 1）函数的定义域为 R ， f ( x) | x2|| x 2| | x2|| x 2|f (x) ，故 f (x) 为偶函数．1 x2 0x1且 x 0 ，定义域为 [ 1, 0)(0, 1] ，关于原点对称，（2）由3| 得： 1| x3 01 x2 1 x2x) 1 x 2f ( x)3x，f (f ( x) ，故 f ( x) 为奇函数．x 3x（ 3）函数的定义域为 (- ∞， 0)∪ (0，1)∪ (1，+∞ )，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数 f (x) 对一切 x, y R ，都有 f ( x y)f (x)f ( y) ，若 f ( 3)a ，用 a表示 f (12) ．解：显然 f (x) 的定义域是 R ，它关于原点对称．在f ( x y)f (x) f ( y) 中，令 y x ，得 f (0)f ( x) f ( x) ，令 xy0 ，得 f (0)f (0)f (0) ，∴ f (0) 0 ，∴ f ( x) f ( x) 0 ，即 f ( x) f ( x) ， ∴ f (x) 是奇函数．∵ f ( 3) a ， ∴ f (12) 2 f (6)4 f (3) 4 f ( 3)4a ．10．已知函数 f ( x)ax 21b, c Z ) 是奇函数，又， f (1)2 ， f (2)3 ，求 a 、 b 、 cbx ( a, 的值 .c解：由 f ( x) f ( x) 得 bxc (bx c) ∴c=0. 又 f (1)2 ，得 a 12b ，而 f (2) 3 ，得4a1 3 ，解得 1 a2 .a 1又 a Z ，∴ a 0 或 a 1.若 a 0 ，则 b= 1 Z ，应舍去；若 a 1 ，则 b=1 ∈Z.2∴ a 1, b 1, c 0 .。

函数的奇偶性基础训练题(有详解)

函数的奇偶性基础训练题（有详解) 一、单选题 1．若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（） A ．()()()20f a f a f >> B ．()()()02f a f f a >> C ．()()()20f a f a f >> D ．()()()20f a f f a >> 2．在函数（1）2()2f x x x =-；（2）()(f x x =+（3）2()(1)f x x =-；（4）)(f x =中，偶函数的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 3．已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（） A ． B ． C ． D ． 4．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f （2x-1）＞f （）的x 的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 5．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是( ) A ．或 B ．或 C ．或 D ．或 6．奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x （1+x ），则f(x)在上有（） A ．最大值-1/4 B ．最大值1/4 C ．最小值-1/4 D ．最小值1/4 7．已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的取值范围是( ) A ．（-1，1） B ．(-1，0） C ．（0，1） D ．[-1，1) 二、填空题 8．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则()2f =____． ()f x集为______． 10．若为奇函数，为偶函数，且，令，则_________． 11．定义在上的奇函数，当时，，则________. 12．已知函数是偶函数，且，则_____. 三、解答题 13．已知定义在上的函数是增函数. （1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.14．已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-，（1）求函数()f x 的表达式（2）求不等式1(2)f x >-的解集15．判别并证明函数()f x x =的奇偶性．16．已知函数()21xf x x =+是定义在()1,1-上的函数．（1）用定义法证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；（2）解不等式()()10f x f x ++<．17．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x 4x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间 []2,(2)a a ->-上的最小值．18．已知函数()4m f x x x =-，且()43f =.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）证明()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若不等式()0f x a ->在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知函数f （x ）=x+（a ＞0）．（1）判断f （x ）的奇偶性；20．定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f (x )的图象； (2)解不等式f (x )>0.参考答案1．C【解析】【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增所以()()()20f a f a f >>故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).2．C【解析】【分析】根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于()22f x x x =-，其定义域为R ，且()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，()f x 是非奇非偶函数；对于()(1f x x =+101x x -≥+，解可得11x -<≤，其定义域不关于原点对称，则()f x 是非奇非偶函数；对于()()21f x x =-，为二次函数，其对称轴为1x =，则()f x 是非奇非偶函数；对于()f x =220x ->，其定义域为{|x x <或x >，且()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．3．C【解析】【分析】由是奇函数，可得的图像关于中心对称，再由已知可得函数的三个零点为-4，-2，0，画出的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由是把函数向右平移2个单位得到的，且，，，画出的大致形状结合函数的图像可知，当或时，，故选C.【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题. 4．C【解析】【分析】由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．5．D【解析】【分析】由于是奇函数，可以证明函数是偶函数，偶函数图象关于轴对称，可以先求出时的解，进而利用对称性求出时的解，即可选出答案。

函数奇偶性练习题精选

函数奇偶性练习题函数奇偶性练习题精选函数奇偶性练习题精选11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．答案 0512．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(＝________. 21答案－ 25551111解析依题意，得f(＝－f＝－f(－2)＝－f＝－2×(1－)＝－222222213．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．答案 (0,1)解析f(x)的`图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m 为常数)，则f(－log35)的值为________．答案－415．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－11)，f(4)，f(5的大小关系是__________． 21答案 f(5)<f(－1)<f(4) 2解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称．又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，1∴f(5＜f(－1)＜f(4)． 216．(2015·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值． B．－1 11D．－4答案 (1)f(0)＝0，f(2)＝0 (2)f(3)＝－1 (3)1解析 (2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.17．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．答案－4解析由题意知，当x>0时，F(x)≤8.∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0.∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.1．已知f(x)是在R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(3)＝________；f(2 019)＝________.答案 0 0解析在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0.又f(x)是R上的奇函数，故f(3)＝0.即f(x＋6)＝f(x)，知f(x)是周期为6的周期函数，从而f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝0.12．若f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x＜0的解集2为________．11答案 {x|＜x＜} 24解析∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，∴f(x)在(－1,0)上也是增函数．∴f(x)在(－1,1)上为增函数．1f(x)＋f(x－＜0? 211f(x)＜－f(x)＝f(－x)? 221－1＜2－x＜1，。

高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.3．(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2010·辽宁锦州)已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2，又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]．则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，故选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A. (理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ，当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.二、填空题11．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0，又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0. 17．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2x >03(x ＋1)2x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。

函数的奇偶性和单调性综合训练

偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数，有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正负来判断。如果导数大于0，则为增函数；如果导数小于0，则为减函数。

函数的奇偶性试题(含答案)

一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性[答案] B3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－10[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (0)>f (1)C ．f (2)>f (3)D ．f (－3)<f (5)[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B ．1 C.114D ．－114[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x | [答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (1)<f (2)B ．f (1)＝f (2)C ．f (1)>f (2)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1－1<1－a 2<11－a >a 2－1 解得0<a <1.故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。

奇偶性练习题及答案

1.3.2 【2 】奇偶性1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数,且其界说域为［a －1,2a ］,则（）A ．31=a ,b ＝0 B ．a ＝－1,b ＝0 C ．a ＝1,b ＝0 D ．a ＝3,b ＝02．已知界说在R 上的奇函数f (x )知足f (x －4)＝－f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 3．若函数f (x )＝ax ＋1x(a ∈R ),则下列结论准确的是( )A ．随意率性a ∈R ,函数f (x )在(0,＋∞)上是增函数B ．随意率性a ∈R ,函数f (x )在(0,＋∞)上是减函数C ．消失a ∈R ,函数f (x )为奇函数D ．消失a ∈R ,函数f (x )为偶函数 4．若函数f (x )为奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,又f (2)＝0,则()()f x f x x --的解集为( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞,－2)∪(0,2)C ．(－∞,－2)∪(2,＋∞)D ．(－2,0)∪(2,＋∞) 5.设偶函数f （x ）的界说域为R ,当[0,)x ∈+∞时,f （x ）是增函数,则(2)()(3)f f f -π-，，的大小关系是（）A ．f (π)>f (3) >f (2)B ．f (π)>f (2)>f (3)C ．f (π)<f (3)<f (2)D ．f (π)<f (2)<f (3)二.填空题(本大题共4个小题,每小题6分,共24分) 6.若函数)(x f 知足)()(x f x f -=-,并且0>x 时,12)(3+-=x x x f ,则当0<x 时,)(x f = .7.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数,则m ＝_________．8．已知函数f (x )为R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2,则实数a ＝________. 9．已知f (x )是界说在R 上的偶函数,并知足f (x ＋2)＝－,当1≤x ≤2时,f (x )＝x －2,则f (6.5)＝________.三.解答题(本大题共3个小题,共46分) 10.（14分）断定下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x2＋2xx ＋1;(2)f (x )＝1－x2＋x2－1; (3)f (x )＝4－x2|x ＋2|－211．（15分）设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对随意率性非零实数x 1.x 2知足f （x 1·x 2）＝f（x 1）＋f （x 2）,求证：f （x ）是偶函数.12．（17分）已知函数f (x )＝222,0,0,0,,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[－1,a －2]上单调递增,求实数a 的取值规模一.选择题1.A 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数,得b ＝0．又界说域为［a －1,2a ］,∴ a －1＝2a ,∴31=a ．故选A ．2.D 解析：∵f (x －4)＝－f (x ),∴T ＝8.又f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)＝0. ∵f (x )在[0,2]上是增函数,∴f (x )在[0,2]上恒大于等于0.又f (x )是奇函数,∴f (x )在[－2,0]上也是增函数,且f (x )在[2,0]上恒小于等于0.. 易知x ∈[2,4]时,f (x )＝－f (x －4)≥0,且f (x )为减函数．同理f (x )在[4,6]上为减函数且f (x )≤0.如图．∵f (－25)＝f (－1)＜0,f (11)＝f (3)＞0,f (80)＝f (0)＝0,∴f (－25)＜f (80)＜f (11)．3.C 解析：当a ＝1时,函数f (x )在(0,1)上为减函数,A 错;当a ＝1时,函数f (x )在(1,＋∞)上为增函数,B 错;D 选项中的a 不消失．4.A 解析：因为函数f (x )为奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,f (2)＝0,所以x >2或－2<x <0时,f (x )>0;x <－2或0<x <2时,f (x )<0.<0,即<0,可知－2<x <0或0<x <2.5.A 解析：因为()f x 是偶函数,所以()()()()22,33.f f f f -=-=因为当[0,)x ∈+∞时是增函数,所以()()()()()()23,23f f f f f f <<-<-<所以ππ.二.填空题 6.321x x -- 解析：当<x 时,0x ->,()()()()332121f x f x x x x x ⎡⎤=--=----+=--⎣⎦.7. 0 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数,∴f （－x ）＝f （x ）,即(m －1)(－x )2＋2m （－x ）＋3＝（m 1）x 2＋2mx ＋3,整顿,得m ＝0．8.－1 解析：令x <0,则－x >0,所以f (－x )＝－x (1－x ). 又f (x )为奇函数,所以当x <0时,f (x )＝x (1－x ). 当<0时,f (a )＝a (1－a )＝－2,得a 2－a －2＝0, 解得a ＝－1或a ＝2(舍去)．当0时,即,无解.9.－0.5 解析：由f (x ＋2)＝－,得f (x ＋4)＝－＝f (x ),故f (x )的周期是4,得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数,得f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时,f (x )＝x －2,∴f (1.5)＝－0.5. 故f (6.5)＝－0.5. 三.解答题10.解：(1)函数的界说域为{x |x ≠－1,},不关于原点对称, ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥≥得x ＝±1,此时f (x )＝0,x ∈{－1,1}．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵⎩⎨⎧4－x2≥0|x ＋2|－2≠0∴f (x )的界说域为[－2,0)∪(0,2],关于原点对称．此时f (x )＝4－x2|x ＋2|－2＝4－x2x .又f (－x )＝＝－4－x2x ＝－f (x ),∴f (x )＝4－x2|x ＋2|－2为奇函数．11.证实：由x 1,x 2∈R 且不为0的随意率性性,令x 1＝x 2＝1,则f （1）＝2f （1）,∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1,则 f ［－1×（－1）］＝2f （）＝0, ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1,x 2＝x ,∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ）,即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要留意变量的赋值,特别要留意一些特别值,如x 1＝x 2＝1,x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等,然后再联合具体标题请求结构出合适结论特点的式子即可．12.解：(1)设x <0,则－x >0,所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),于是x <0时,f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ,所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1,a －2]上单调递增,联合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1a －2≤1所以1＜a ≤3,故实数a 的取值规模是(1,3]。

函数的单调性及奇偶性经典练习及答案

[基础巩固]1．(多选)下面四个选项，不正确的有( )A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．奇函数的图象一定通过原点C ．偶函数的图象关于y 轴对称D ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．解析偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x 2，故A 错误，C 正确．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，如y ＝1x，故B 错误．若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，由定义可得f (x )＝0，但未必x ∈R ，如f (x )＝1－x 2＋x 2－1，其定义域为{－1,1}，故D 错误．故选A 、C 、D.答案 ACD2．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1解析设x ＜0，则－x ＞0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数．∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴f (x )＝－x －1(x ＜0)．答案 B3．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________. 解析当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x， ∴f (1)＝12＋11＝2. ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.答案－24．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f (x )·f (－x )＜0；④f (x )f (－x )＝－1. 其中一定正确的为________．(填序号)解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0，故①正确．f (x )－f (－x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )，故②正确．当x ＝0时，f (x )·f (－x )＝0，故③不正确．当x ＝0时，f (x )f (－x )分母为0，无意义，故④不正确．答案 ①②5．函数f (x )＝x 3－x 图象的一部分如图所示，根据f (x )的奇偶性画出它在y 轴左侧的图象．解析函数f (x )＝x 3－x 的定义域是R ，定义域关于坐标原点对称，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 3－x 是奇函数．∴函数的图象关于原点对称．将函数f (x )＝x 3－x 图象上位于y 轴右侧的部分作关于原点对称的对称图象，得函数f (x )＝x 3－x 在y 轴左侧的图象，如图所示．[能力提升]6．(2022·珠海模拟)已知f ()x 是R 上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，且f (2)＝0，则下列不等式成立的是( )A ．0<f ()1<f ()5<f ()－3B ．f ()5<f ()－3<0<f ()1C ．f ()－3<f ()－1<0<f ()1D ．f ()－3<0<f ()1<f ()5解析因为f ()x 是R 上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，所以f ()x 在()0，＋∞上单调递减，f ()－3＝f (3)．又f (2)＝0，且1<2<3<5，f ()x 在(0，＋∞]上单调递减，所以f ()1>f ()2>f ()3>f ()5，即f ()5<f ()－3<0<f ()1.故选B.答案 B7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析因为f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x<0，即f (x )x<0，因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，所以当x >1时，f (x )<0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上，使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案 C8．已知函数f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数m ，n 的值分别为________．解析由题意知f (0)＝0，故得m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－x x 2－nx ＋1＝－x x 2＋nx ＋1， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，∴n ＝0.答案 0,09．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是________．解析偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫13. 由f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1<13①或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<0，2x －1>－13②，解①得12≤x <23，解②得13<x <12. 综上，得13<x <23，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23. 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．[探索创新]11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解析 (1)因为a ＞b ，所以a －b ＞0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b＞0，所以f (a )＋f (－b )＞0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )＞0，即f (a )＞f (b )．(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．。

高一数学函数的性质(奇偶性)题组训练(含答案解析)

函数的性质(奇偶性)题组训练【奇偶性的判断】1．(2020·全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)()f x =(3)222()1x xf x x +=+；(4)1,0()0,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩2．(2019·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)()21x xf x x +=+；(2)()f x =3．(2018·上海市上南中学高一期中)已知函数()f x =，求(1)函数()f x 的定义域； (2)判断函数()f x 的奇偶性.【利用奇偶性求解析式】1．(2016·徐汇。

上海中学高一期末)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =+，则函数()f x 的解析式为()f x =______.2．(2020·浙江高一课时练习)函数()f x 在(,)-∞+∞上为奇函数，且当0x 时，()(1)f x x x =+，则当(0,)x ∈+∞时，()f x =________．3．(2020·吉林宁江.松原市实验高级中学高三其他(文))已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()23f x x =-，则当0x >时，()f x =______．4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()21f x x x =+-,那么当0x <时, ()f x 的解析式为( ). A ．()21f x x x =++B ．()21f x x x =--+C ．()21f x x x =-+-D ．()21f x x x =-++【利用奇偶性求参数】1．(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))已知函数()33f x x x =+，若()2f a -=，则()f a 的值为( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．(2020·上海高一开学考试)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．(2019·浙江南湖。

高中数学奇偶性训练题(带答案)

高中数学奇偶性训练题（带答案）高中数学奇偶性训练题（带答案）1．下列命题中，真命题是()A．函数y＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D．函数y＝ax2＋c(ac0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A中，y＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a＜0时，y＝ax2＋c(ac0)在(0,2)上为减函数，故选C.2．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为() A．10 B．－10C．－15 D．15解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max＝f(6)＝8，f(x)min＝f(3)＝－1.2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－28＋1＝－15.3．f(x)＝x3＋1x的图象关于()A．原点对称 B．y轴对称C．y＝x对称 D．y＝－x对称解析：选A.x0，f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称．4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，区间[3－a,5]关于原点对称，3－a＝－5，a＝8.答案：81．函数f(x)＝x的奇偶性为()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x0}，不关于原点对称．2．下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋1xC．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义．3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是() A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：选D.设F(x)＝f(x)f(－x)则F(－x)＝F(x)为偶函数．设G(x)＝f(x)|f(－x)|，则G(－x)＝f(－x)|f(x)|.G(x)与G(－x)关系不定．设M(x)＝f(x)－f(－x)，M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)为奇函数．设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)．N(x)为偶函数．4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数解析：选A.g(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝xf(x)，g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋bx2＋cx是奇函数；因为g(x)－g(－x)＝2ax3＋2cx不恒等于0，所以g(－x)＝g(x)不恒成立．故g(x)不是偶函数．5．奇函数y＝f(x)(xR)的图象必过点()A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(1a))解析：选C.∵f(x)是奇函数，f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－f(a))．6．f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2，则当x0时()A．f(x) B．f(x)2C．f(x)－2 D．f(x)R解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x0时，有f(x)2.故选B.7．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 解析：f(x)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，1－a＝0，a＝1.答案：18．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f(x)＝0(xR)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题是________．解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x＝0无意义时，其图象不过原点，②错，③对．答案：③④9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.以上函数中的奇函数是________．解析：(1)∵xR，－xR，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，f(x)为偶函数．(2)∵xR，－xR，又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，f(x)为奇函数．(3)∵定义域为[0，＋)，不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域为[－1,0)(0,1]即有－11且x0，则－11且－x0，又∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．f(x)为奇函数．答案：②④10．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x；(2)f(x)＝x2＋xx＜0－x2＋x x＞0.解：(1)由1＋x1－x0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数．(2)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，综上所述，对任意的x(－，0)(0，＋)，都有f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．11．判断函数f(x)＝1－x2|x＋2|－2的奇偶性．解：由1－x20得－11.由|x＋2|－20得x0且x－4.定义域为[－1,0)(0,1]，关于原点对称．∵x[－1,0)(0,1]时，x＋2＞0，f(x)＝1－x2|x＋2|－2＝1－x2x，f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，f(x)＝1－x2|x＋2|－2是奇函数．12．若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，yR，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，f(0)＝0.再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．。

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2-3 A组专项基础训练 (时间：30分钟) 1．(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 【解析】根据偶函数的定义逐项判断．因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图像是把对数函数y＝ln x的图像在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图像保持不变，

故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝12x，是非奇非偶函数．【答案】 B 2．(2016·临沂月考)已知f(x)在R上是奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A．－2 B．2 C．－98 D．98 【解析】 f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 【答案】 A 3．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e－x 【解析】根据定义判断．对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R， f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．而y＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x为非奇非偶函数． y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．【答案】 D 4．(2015·湖南月考二)已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是( ) A.1，53 B.－∞，53 C．(1，3) D.53，＋∞ 【解析】 ∵f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数， ∴－1∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可转化为 f(m－2)>－f(2m－3)， ∴f(m－2)>f(－2m＋3)， ∵f(x)是减函数， ∴m－2<－2m＋3，

∵－1【答案】 A 5．定义两种运算：a⊕b＝a2－b2，a⊗b＝（a－b）2，则f(x)＝2⊕x2－（x⊗2）是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数

【解析】因为2⊕x＝4－x2，x⊗2＝（x－2）2，

所以f(x)＝4－x22－（x－2）2＝4－x22－（2－x）＝4－x2x，该函数的定义域是[－2，0)∪(0，2]，且满足f(－x)＝－f(x)．故函数f(x)是奇函数．【答案】 A 6．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．【解析】 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 【答案】－－x－1 7．(2015·吉林长春质检三)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．【解析】由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞) 8．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．【解析】依据偶函数的定义列方程求解． ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立， ∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1. 【答案】 1 9．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．【解析】 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.

10．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【解析】 (1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

结合f(x)的图像知a－2>－1，a－2≤1，所以1B组专项能力提升 (时间：30分钟) 11．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )

A．2 B.154

C.174 D．a2 【解析】 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a， ∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，① ∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，② 由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝154. 【答案】 B 12．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a－3a＋1，则a的取值范围是( ) A．a<－1或a≥23 B．a<－1 C．－1【解析】函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；函数的最小正周期T＝3，则f(－1)＝f(2)，

由2a－3a＋1≤－1，解得－1【答案】 C 13．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有 ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．【解析】在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；在区间[－1，1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2， f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．【答案】 ①② 14．已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．【解析】 ∵f(x)的定义域为[－2，2]．

∴有－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3.① 又f(x)为奇函数，且在[－2，0]上递减， ∴f(x)在[－2，2]上递减， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－2综合①②可知，－1≤m<1. 即实数m的取值范围是[－1，1)． 15．(2016·西安检测)已知函数f(x)＝x2＋1ax＋b是奇函数，且f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性．【解析】 (1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，即x2＋1－ax＋b＝－x2＋1ax＋b， ∴－ax＋b＝－ax－b，∴b＝0，又f(1)＝2，∴2a＋b＝2，∴a＋b＝1，∴a＝1.

(2)f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，任取x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2＋1x2 ＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝（x1－x2）（x1x2－1）x1x2，当x10，x1x2－1>0，从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数．同理，当－1f(x2)，