第一章索洛增长模型
索罗增长模型
第一章索洛经济增长模型The Solow Growth Model基本内容1 索洛模型的基本假定2 离散时间的索洛模型3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长7带技术进步的索洛模型8比较动态分析1 索洛模型的基本假定● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.● 其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产 I● 封闭经济,唯一的最终产品.● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.家庭与生产II● 假定家庭的储蓄率外生● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为(1)Y T F K t L t A t()[(),(),()]●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多的产品.●()A t可以理解为技术.●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.关键假设1Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规模报酬不变) 生产函数3:F R R ++→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足2222()()(,,)0 (,,)0()()(,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ∂⋅∂⋅≡>≡>∂∂∂⋅∂⋅≡<≡<∂∂ 同时, F 关于K 与 L 规模报酬不变.● 假定 F 关于K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习定义 假定K 为整数，如果对任意的R λ+∈与K z R ∈，有(,,)(,,)m g x y z g x y z λλλ=，那么函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数.定理 (欧拉定理Euler 's Theorem ) 假定函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数，偏导数分别是x g 与y g ，那么对任意的x R ∈，y R ∈以及K z R ∈，有()()(),, ,,,,x y mg x y z g x y z x g x y z y =+同时，,(),x g x y z 与,(),y g x y z 是关于x 与y 的1m -次齐次式.市场结构与市场出清 I●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性.●经济中的劳动（力）,)L t , 无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t .●劳动力市场出清条件:())L t L t =上式对所有的t 均成立 , ()L t 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表示为()()),0(L t L t w t ≤≥ and (()()) (0)L t L t w t =-市场结构与市场出清II●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.●记t 期的资本租赁价格()R t .●资本市场出清条件:()()s d K t K t =LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K●()P t 为t 时期最终产品的价格, 将其标准化为1.●利率r(t)●折旧率δ●家庭得到的实际回报()() r t R t δ=-.厂商优化厂商优化 I●考虑代表性厂商的最大化问题:0)0,()([()()()],()()()(),.L t K t max F K t L t A t w t L t R t K t ≥≥--●注意:●上述最大化问题中的变量是总量.●在F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化为1.●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，()w t 与()R t 是给定的.●凹的问题,因为F 是凹的.厂商优化 II●由于 F 可微, 一阶条件（FOC ）为:()[()()()],,,L w t F K t L t A t = (2)()[()()()] ,.,K R t F K t L t A t = (3)●在(2) 与(3)中, ()K t 与()L t 分别表示厂商对资本和劳动的需求量.●实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与 ()L t ,它们是资本租赁价格()R t 和工资率()w t 的函数.厂商优化 III命题 假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，()()( )()() .Y t w t L t R t K t =+●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到1m =,即规模报酬不变）.关键假设2假设2 (Inada conditions) F 满足 Inada 条件0 0 0 ()() K K K K lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> 00 0 ()() L L L L lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> ●保证内点解.生产函数Figure: Production functions and the marginal product of capital. The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2, while the example in Panel B does not.2 离散时间Solow 模型Solow模型的动态过程描述 I●K的折旧率为 , 于是1 1()((() ),)K t K t I t δ+=-+ (4) 其中， ()I t 是t 阶段的投资.●对于封闭经济, 产出等于消费与储蓄（投资）之和 ,()()()Y t C t I t =+ (5) ●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow 模型的动态过程描述II●由于经济是封闭的 (同时不考虑政府支出)，于是.()()()()S t I t Y t C t ==-●假定家庭的储蓄率是常数，则()(),S t sY t =(6) 1()()()C t s Y t =-(7) ●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率s ）可表示为()()( 1 1 )()()()().s K t K t S t K t sY t δδ=-+=-+Solow 模型的动态过程描述 III●资本的供求相等 ()().s K t K t =●同时也有劳动力市场供求相等 ()().L t L t =●结合 (1) 与 (4), 可得 Solow 增长模型的动态方程: ()[()()1 ,, 1.()]()()K t sF K t L t A t K t δ+=+- (8) ●非线性差分方程.●Solow 增长模型的均衡由该方程以及 ()(())()L t or L t and A t 来刻画.定义均衡 I●没有家庭优化, 但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义 在Solow 模型中，对于给定的序列 {}0()(),t L t A t ∞= 以及初始资本存量()0K , {}0,,,()()()(,)()t K t Y t C t w t R t ∞=是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()K t 满足 (8), ()Y t 由(1)给出, ()C t 由 (7)给出, ()w t 与 ()R t 分别由 (2) 与 (3)给出.●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●进一步假定（稍后放松假定）:●没有人口增长;假定总人口为常数 L > 0， 即() L t L =. ●假定没有技术进步，即() A t A =.●定义资本-劳动比率（人均资本）为 ((,))K t k t L ≡(9)●利用规模报酬不变, 人均产出) ()(/y t Y t L ≡可表示为,1, ()()(() ).K t y t F A L f k t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≡ (10)不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●注意()f k 依赖于A, 本可以将生产函数写成,()f k A ;但由于A 是常数，因此可以假定 A = 1.●由欧拉定理0 ()(())()(())()(())0.R t f k t w t f k t k t f k t -'=>'=> (11) ●由假设1可知（11）中的要素价格均为正.例子: Cobb-Douglas 生产函数 I●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:1()[()()()]()( ,,,01)Y t F K t L t A t AK t L t ααα-==<<●满足假设1和 2.●两边同时除以()L t ,()() y t Ak t α=●由 (11)可得(1)()()()()Ak t R t Ak t k t ααα--∂==∂ ●由欧拉定理,()()() 1.()()()w t y t R t k t Ak t αα==--例子: Cobb ‐Douglas 生产函数II●或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,()111()()() () ,R t AK t L t Ak t ααααα----==()()()()()()1 1 ,w t AK t L t A t k ααααα-=-=-直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●将 (8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:()(()1 1).)(()k t sf k t k t δ+=+- (12) 定义 稳态均衡（steady-state equilibrium ）* ()k t k =.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).稳态人均资本不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II●上图实线代表 (12)，虚线是45 线.●它们的（正的）交点*k 表示稳态人均资本 **.()f k k s δ=(13)●注意到还有另一交点0k =,因为已经假定0(0)f =.●忽略该稳态值:●如果资本不是必不可少的（essential ）, ()0f 可能大于0 0k =可能变为稳态均衡点●本交点,即使存在，也不稳定。
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
基本模型部分 第一章 索罗增长模型
• 四、生产投入品的变动 • 劳动、知识、资本如何随着时间如何变 动？ • 该模型中，时间是连续的（而非离散 的）。 • •
•
资本、劳动和知识的初始水平被看做既定。 劳动和知识以不变的速度增长： L • （1）劳动力的增长：(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt] / L(t ) n • （2）知识的增长：A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g • X • ( 一个变量上面加一点表示其对时间的导数。 (t ) dX / dt )
• 二、关于生产函数的假设 • （1）规模报酬不变： • F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0 • 含义： • （整体）经济足够大，专业化收益被穷尽；
• • • 其他投入品（如自然资源）相对不重要。 在自然资源有限的情况下，规模报酬递减。 马尔萨斯 罗马俱乐部
• • • • • • • • • •
将上式中的两项表示为k的函数，图示如下。 稻田条件意味着，最初实际投资高于持平投 资，最后实际投资必然低于持平投资，实际 投资线与持平投资线必然相交，所以稳态必 然存在。并且，由于f“（k）<0,意味着二者 仅相交一次。
(n+g+δ )k
f(k)
sf(k)
f(k) K1时的 k (t )
令c=1/AL, 则有： F（K/AL,AL/AL) = F（K/AL,1) =1/AL*F(K,AL)=Y/AL 定义：有效劳动的人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL， 则有 y = f(k)（生产函数的密集形式） 含义：每单位有效劳动的平均产量仅仅取决 于单位有效劳动的平均资本。 • 总产量 ？
• 三、对经济增长的理论解释 • 本章主要讨论传统的经济增长模型，索 罗模型。 • 索罗模型： • 所有增长问题研究的出发点 • 与索罗模型从根本上不同的理论，也需 要通过和索罗模型的比较才能得到理解。
索洛增长模型
k的动态学
由于有 k K / AL 用链式法则，我们可以得到下面的推 导过程：
•
•
K (t)
K (t)
•
•
k(t) A(t)L(t) ( A(t)L(t))2 ( A(t) L(t) L(t) A(t))
•
•
•
K (t) K (t) L(t) K (t) A(t)
A(t)L(t) A(t)L(t) L(t) A(t)L(t) A(t)
•
•
•
由于K / AL k, L/ L n, A/ A g, K sY (t) K (t),则，
•
k (t )
sY
(t )
K (t)
k (t )n
k (t ) g
s
Y (t)
k(t) nk(t) gk(t)
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
应用Y / AL f (k),有
生产函数假定：规模报酬不变 规模报酬不变的假定使我们可以使用密集形式
的生产函数：
F ( K ,1) 1 F (K, AL) AL AL
K 是每单位有效劳动的平均资本数量， AL F (K, AL) / AL就是每单位有效劳动的平均产量 定义k K / AL，y Y / AL，则 y f (k)
储蓄率上升对产量的影响
y f (k ) k (s, n, g, )
s
s
•
k 是由k 0定义的，因此k 满足
sf (k (s, n, g, )) (n g )k (s, n, g, )
对上述方程求关于s的导数，得
sf (k ) k f (k ) (n g ) k
s
s
k s
索洛增长模型
y* f k * k * s, n, g,
s
s
k *是k 0来决定的，因此k *满足：
sf k * s, n, g, n g k * s, n, g,
sf k * k * f k * n g k *
s
s
k * s
n
g
f k *
sf
k *
2.储蓄率增加的影响程度分析
，
Y FK K FAL AL
❖ 其中 FK 是资本的边际生产力，FAL是有效劳动的边际 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n g
在增长，所以， 。 K(t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
Y的增长率
❖ 从以上可推导：
Y(t)
FK
K(t)
FAL
(
•
（劳动密集型）； ❖ 生产函数的集约形式满足新古典假设； ❖ 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，
人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
❖ k的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
K t
At Lt
2
AtLt
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
在平衡增长路径上，资本获得的总收入（完 全竞争市场假设）：
k * f k *
所以 K k * 可以用资本收入占总收入的比重来
估计
完全竞争市场假设
单位资本报酬=f (k*)，
所以总资本报酬=f (k*) k*
资本报酬占总产出的比例=
f (k*) k* f (k*)
=
罗默高级宏观经济学讲义 第一章
K (t)
K (t)
A(t) k(t) L(t) k(t)
K (t) A(t)L(t) A(t)
L(t)
7
二、索洛模型的动态学
代入，有：
•
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
上式是索洛模型的基本微分方程。 含义说明：人均实际投资 sf (k用(t于)) 两 方面：一是“资本的深化”，即 ， 二是k• (t)“资本的广化”，即
s (n g ) sf '(k*)
20
四、定量含义
两边同乘s/y*，并用 sf (k*) (代n 换g s， )k得* 到：
s y * s
f '(k*) f (k)
y * s f (k*) (n g ) sf '(k*)
k * f '(k*) / f (k*) 1 [k * f '(k*) / f (k*)]
12
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型， 尽量选择平头类的按键，以 防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm， 以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计 算累积公差，以防按键手感
3
一、模型假定
4) 稻田条件
limko f ' (k) limk f ' (k) 0 4.应用 柯布-道格拉斯生产函数
F (K , AL) K ( AL)1 0 1
f (k) F ( K ,1) ( K ) k
罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
高等宏观经济学-1-索罗模型
第二章索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttFYtK)(t(L)())((),其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
Solow-Swan模型
第1章索洛-斯旺模型从本章开始，我们将利用三章的篇幅来探讨增长经济学的内容。
从初、中级的教科书中我们已经知道，增长经济学研究的是经济的长期行为，它重点要阐明一个国家或一个地区中生产能力的变化原因。
具体而言，我们要探讨生产要素的积累和技术的改进是如何导致了生活水平的提高。
在这部分内容中，我们将忽略经济的短期波动，并且假定劳动、资本以及原材料等生产要素都是被充分利用的。
经济的增长率一般是指国内生产总值（GDP）的增长率，这一指标衡量了一个经济的发展水平。
图1-1给出了我国在1978-2001年间的人均GDP水平。
从图中我们可以看到，以GDP衡量的我国经济水平经历了迅猛的发展。
图1-1 1978-2001年我国的人均GDP水平（单位：元/人）实际上，这并不是我国所特有的现象，如果我们考察一下整个世界范围内的经济数据也会发现，与三百年前相比，甚至与五十年前相比，整个世界的平均生活水平都有了大幅度的提高。
但是，与此同时，在世界上的不同国家之间，或者在同一国家的不同地区之间，生活水平之间的差异却又大得惊人。
图1-2描绘的是我国2001年度31个省市自治区的人均GDP情况。
图中的横坐标从左到右依次代表北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆。
从图中我们可以看到，最富裕地区上海的人均GDP（横坐标9）与最贫穷地区（横坐标24）之间的差距达到了34517元。
图1-2 2001年我国31个省市自治区的人均GDP（单位：元/人）单单只就上面提到的这两个事实（即在纵向上世界整体生活水平的迅速提高和在横向上各国之间或一国内的各个地区之间生活水平的巨大差异），关于经济增长研究的现实意义已不言而喻。
正如卢卡斯（Robert E. Lucas）所言：“印度政府是否可以采取一些手段来使得印度经济像印度尼西亚或埃及一样增长？如果可以，是什么手段？如果不可以，那么使得它之所以如此的印度国情究竟是什么？对于涉及于此类问题之中的人类福利而言，结果是令人惊愕的：一旦你开始考虑它们，就很难再考虑其他的事情了。
高宏第一章 索洛增长
高级宏观经济学第一章索洛增长第一节经济增长的事实与研究的主要问题一、典型事实（Stylized facts）经济学的研究是“实事求是”的。
卡尔多（Kaldor，1963）列出了经济增长的程式化事实：1、人均产出持续增长，且增长率未出现下降趋势；2、人均物质资本持续增长；3、资本回报率近乎稳定；4、物质资本一产出比近乎稳定；5、劳动和物质资本在产出中所占的份额近乎稳定；6、人均产出增长率在各国间差距很大。
相对于人类历史而言，持续的、快速增长（现代增长）只是最近一两百年才有的事。
事实6与跨国数据基本吻合。
事实1、2、4、5与发达国家的数据基本一致，但并不适合于更广大的发展中国家，事实3描述的似乎主要是英国的经历。
其它大部分国家真实收益率是下降的。
值得注意的是，在不同的时代，人们关注的主要事实是不同的。
卡尔多事实主要是为稳态增长（或平衡增长）提供事实依据。
当前，跨国与跨地区收入差异这一事实受到经济学家们的重视。
二、经济增长研究的主要问题增长理论要’解释世界各国的贫富差距；各国差距是否有缩小的趋势；经济增长速度的差异；决定一个国家经济增长速度的主要因素；穷国如何才能追上富国。
Romer(2006,p1)指出，现代经济增长理论主要解决如下两个问题：1、什么解释了经济的增长，或经济长期增长的驱动因素是什么？2、为什么一些国家如此之富裕，而另一些则如此之贫穷？经济增长理论研究的是长期中的经济问题。
长期与短期的主要差别在于：价格是否可以灵活变动；资源是否充分利用。
研究长期问题，很多在短期中有重要影响的因素可以忽略：需求波动、货币。
第二节 Solow 模型的基本假定Solow 模型与Ramsey 模型主要探讨储蓄在经济增长中的作用，即：仅仅s 的提高能不能推动长期的增长？s 的跨国差异能不能解释人均产出的差异？然而，我们的基本结论是：s 只能解释部分事实，而不能解释全部（甚至是大部分）事实。
理论的不成功促进了其它模型，特别是内生增长模型的发展（实际上，新古典增长理论的不成功使得经济增长研究几乎停滞了20年，而后才有了新的或内生增长理论的发展）。
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20
s
t0
Y/L 的增 长率
t0
lnY/L
k
0
t0
t0
k
t0
c
t0
图1.5 储蓄增长的效应
21
S的变化导致k的变化总结在在图（1.5）中。其中（1.5）
中的后两个图形是对每个工人的平均产出 Y/L的分析。 Y/L等于Af(k)，当k 不变时，其以A的增长率，即以速率g 增长。当k正在增加时，Y/L的增长既定源于K和A。因而 k 的新值时，只有A的 Y/L的增长率大于g；但是当k达到 增长对Y/L的增长起作用，增长率回复到g。 具体表现为每工人的产出增长率初始为g。在 t 0 时刻向 上跳，然后逐渐回到其初始水平。
（1.10）
11
变量以指数增长
◆将一个变量的增长率等于其对数的变化率的结论应 用于（1.8）、（1.9），则 L 与A 的对数的变化率 不变且分别等于n 和g.因而：
ln L(t ) [ln L(0)] nt; ln A(t ) [ln A(0)] gt
L 其中， (0)与A(0)为0时刻的L和A的值。给这些方 程的两边取指数，则有：
18
索罗模型中的k的相图
k 如果k的初始值于 k ， 实际投资大于持平投资， 因而 为正。这便是 k 正在上升。如果 大 k 于 k ， k为负。 k 最后，如果k等于 k 则 图1.3 因而，无论k在哪里开 始，它总会收敛于k。
k
索罗模型中的k的相图
19
1.4 储蓄率变化的影响
每 单 位 有 效 劳 动 的 投 资
（n g )k
snew f (k）
sold f (k）
k old k
k new
图1.4 用于投资的储蓄率增加的效应
s 的增加把实际投资线向上移动，因而 k 上升 。
k 的旧值， 但k 的变化是个渐进的过程。初始时k 等于
（1.15）
13
1.3 模型的动态学
K的动态学分析，即 k的表达式
K (t ) K (t ) k (t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 2
A(t ) L(t ) L(t ) A(t )
K (t ) K (t ) L(t ) K(t ) A(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t ) （1.16）
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设 c 表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费，且在 平衡增长路径上，实际投资等于持平投资，因而：
c f (k ) (n g )k
（1.19）其中 k 由s以及 n、 g 、 决定。因此 k k (s, n, g , )
c k ( s, n, g , ) f (k ( s, n, g , ) (n g ) （1.20） s s
在中图中，相反的情形成立。因而s的增加会在长提高消费。
在下图中，两者恰好相等。此时，s的边际变动在长期内不会 对消费产生影响。并且在各种平衡增长路径上，消费处在其 最大水平上。 的值是著名的资本存量的黄金律水平。 k
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1.5 定量的含义
◆对于大多数模型，包括索罗模型，要获得 精确的结论则要求界定函数形式与参数值。 长期内储蓄增加对产出的长期效应，这时常 需要进行数量性的分析。 ◆但在大多数情况下，考虑长期均衡附近的 近似值，则会了解更多的东西。
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总之，储蓄率的变化只有水平效应，但不 具有增长效应。 储蓄率的变化改变了在任何时点上每个工 人的产出水平，但这并不影响平衡路上每 个工人的平均产出增长率。
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储蓄率的变化对消费的影响
每单位有效劳动的消费等于f(k) 与（1-s）的乘积。 因此由于s在 t 0 处呈非连续的变化，而k并不发生 这种变化，每单位有效劳动的消费初始发生向下 跳跃。随着k的上升，且s仍处于较高水平，消费 逐渐上升。（见图1.5的最后一部分。） 那么消费最终会超过s上升前的水平吗？
k 表示实际投资和
持平投资 与实际投资 k 图1.2
持平投资相等时的 K的值。
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◆稻田条件意味着 k 必然存在，即必有一点持平投资等
于实际投资。 ◆稻田条件意味着在k=0处， f (k ) 较大因而 sf (k ) 线比 (n g )k 更陡峭，实际投资大于持平投资。 但是随着k变得更大，f (k ) 不断下降，以至于，在某 个点，实际投资线的斜率低于持平投资线的斜率。在 s(k)线比 (n g )k比更平坦的的条件下，这两者 必定最终相交。 f ◆最后， (k ) 0 意味着对于k>0，这两条线只相交一 次。
◆这意味着资本的边际产品为正，但随着资本的增 加而减小。
6
紧凑型生产函数的两个假设
假设2
f () 满足稻田条件 :
limk 0 f (k ) limk f (k ) 0.
这个假设表明：在资本存量充分小时资本 的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时， 其会变得十分小。
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柯布道格拉斯函数
,y Y
AL
, 以及f k F k ,1
（1.4）
5
紧凑型生产函数的两个假设
f (0) 0, f (k ) 0, f (k ) 0
F ( K , AL) ALf ( K / AL) 资本的边际产 品F(K,AL)/K ALf (K/AL)(1/A f (k). L)
（1.1）
特征：
（1）时间不直接引入生产函数，而是通过K、 L A 引 入， 即仅当生产投入变化时，产出也随时间变化。 （2） A和L以乘积的形式引入。AL被称为有效劳动。
3
关于生产函数的假设
KcK , cAL cF ( K , AL）
对于所有c≥0 (1.2)
即：◆生产函数关于资本和有效劳动是规模报酬不变的这 个假设可以理解为以下两个假设的结合。 ◆经济规模足够大，以至于专业化的收益已经被全 部利用 。 ◆除资本劳动与知识以外的其他投入相对不重要， 特别的模型忽略了土地和其他自然资源。
（1.14） A(t ) A(0)e gt L(t ) L(0)e （1.13）：
nt
因而可以假设L和A各自以指数增长
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资本 K 的变化率
◆产出在消费和投资之间分割。投入投资的产
出份额s是外生且不变。此外，现有资本的 折旧率是。因此有：
K (t ) sY (t ) K (t )
生产函数的一个特定例子是柯布道格拉斯函数
F ( K , AL) K ( AL)1
0 1
1
（1.5）
柯布道格拉斯函数具有不变的规模报酬。
F (cK , cAL ) (cK） cK ) （
c c1 K ( AL)1 cF ( K , AL)
（1.6）
8
26
我们知道s的增加会提高 k 。即
k s
0
那么s的增加是否会在长期内提高或降低消费，这 依存于 n g 和 f （k ) 的大小关系。 两者的关系由以下图(1.6)表示：
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图1.6 平衡增长路径上的产出投资与消费
28
（ 在第一个图中， f k ) 小于 n g 因而当经济已经达 到新的平衡增长路径时 ，储蓄率的增加也会降低消费。
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对每工人的平均产出Y/L的分析
Y/L等于Af(k),当 k不变时,Y/L 以g的速率增长， 当k增加时，Y/L 的增长由于A和g的共同作用， 因而大于g。 当k达到 k 的新值时，只有A 的增长对Y/L 增长 期起作用，因而Y/L 的增长恢复到g。 因此储蓄率的永久性加产生了每个工人的平均 产出增长率的暂时性增加。
sf (k (s, n, g, )) (n g )k (s, n, g, ) （1.22）
对上式两边关于s 求导，可得：
k k sf (k ) f (k ) (n g ) s s
（1.23）
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整理上式可以得到：
k f (k ) s （n g ) sf (k )
道格拉斯生产函数的紧凑形式
K K f（k ) F ( ,1) AL AL
k
（1.7）
f (k ) k1 . 这意味着
容易看出，这个表达式 f 为正，当k趋近0时， (k ) 趋于无穷大。最后
f (k )
f (k ) (1 )k
2
0.
图1.1 生产函数的一个例子
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资本劳动与知识的增长率
◆变量的增长率是指其变化的速率。那么变量 X的增长率指 X (t ) / X (t )。 ◆假设劳动和知识以不变的速率增长且其初始 水平是给定的。即：
L(t ) nL(t )
（1.8）
A(t ) gA(t )
（1.9）
◆那么L和A 的增长率不变且分别为n ,g.
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变量增长率的对数表示
◆变量的增长率也可用其自然对数的变化率表
示。
◆即:
X (t )/ X (t ) d ln X (t ) / dt
由于 ln x 是X的函数，且X是t的函数，利用链 式法则可以推导出：
d ln X (t ) d ln X (t ) dX (t ) 1 X (t ) dt dX (t ) dt X (t )
（ ◆ n g ）k 为持平投资。即由于折旧和有效劳动