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中考数学几何选择填空压轴题四边形难题(含答案))

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中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1.如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G。

1) 证明：因为 AD∥BC，所以∠DGE＝∠XXX，∠GDE＝∠BCE。

又因为 E 是 DC 的中点，即 DE＝CE，所以△DEG≌△CEB（AAS），从而 DG＝BC。

2) 解：当 F 运动到 AF＝AD 时，FD∥BG。

3) 解：结论：FH＝HD。

因为 GE＝BG，又因为△ABG为等腰直角三角形，所以 AE ⊥ BG。

由于 FD∥BG，所以 AE ⊥ FD。

又因为△AFD 为等腰直角三角形，所以 FH＝HD。

2.如图，在矩形ABCD中，过 BD 的中点 O 作 EF⊥BD，分别与 AB、CD 交于点 E、F。

连接 DE、BF。

1) 证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD。

因此∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠EOB 且 OD＝OB，所以△DOF≌△BOE（AAS），从而 DF＝BE。

因此四边形BEDF 是平行四边形。

又因为 EF⊥BD，所以四边形 BEDF 是菱形。

2) 解：因为 DM＝AM，DO＝OB，所以 OM∥AB，AB＝2OM＝8.设 DE＝EB＝x，在直角三角形 ADE 中，有 x^2＝4^2+（8﹣x）^2，解得 x＝5.因此 ON＝BE＝5√2.3.(1) 如图1，四边形 EFGH 中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点 A，B 分别在边 FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝XXX。

2) 如图2，四边形 EFGH 中，FE＝EH，点 M 在边 EH 上，连接 FM，EN 平分∠FEH 交 FM 于点 N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接 GN，HN。

①找出与 NH 相等的线段，并加以证明。

2019年中考数学压轴题专项训练：四边形(附解析)

2019年中考数学压轴题专项训练：四边形(附解析)

2019年中考数学压轴题专项训练：四边形1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD边上的中点，P是BC边上的一点，且BP＝2CP．（1）求证：∠AED＝∠BEC；（2）判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图2，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB可以由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，直接写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）．2．如图1，在正方形ABCD中，AD＝6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC，过点P 作PE⊥PC交直线AB于点E．（1）求证：PC＝PE；（2）延长AP交直线CD于点F．①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；②若△APE的面积是，则DF的长为；（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M，作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N连接QN，若PQ＝5，MN＝，则△MNQ的面积是．3．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD）．（1）如图①，△AA′C是三角形；（2）如图②，当∠α＝60°，求AA′长度；（3）如图③，当∠α＝∠AOB时，求证：A′D∥AC．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12，∠A＝60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）AB的长是．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．5．如图1，四边形ABCD是菱形，CD＝5，过点D作DH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，且AH＝3．（1）求DH的长；（2）如图2，连接BM，求DM的长；（3）如图2，动点P从点A出发，沿A→B→C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动．当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．6．知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．知识探究：（1）在图1中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；知识应用：（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为；知识拓展：（3）如图3，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB＝24，求DF的长．7．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ 的对称点．（1）若四边形OABC为长方形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ＝BP，且点B1落在AC上，求点B1的坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，点F．若B1E：B1F＝1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示）．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．（1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF＝BF；（2）当AE＝时，求证：△AC′D′是等腰三角形；（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．9．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4），连接OB，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB，旋转角为α（0°＜α＜360°），得到矩形ADEF，点O，C，B的对应点分别为D，E，F．（Ⅰ）如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下，AB与DE交于点H．①求证△BDE≌△DBA；②求点H的坐标．（Ⅲ）α为何值时，FB＝FA．（直接写出结果即可）10．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由；（3）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长．11．如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ＝67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．12．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝2．（1）求点B的坐标；（2）如图1，点P、点Q分别是边BC、AB上的点，且BQ：BP＝1：2，将△BPQ沿PQ折叠，使点B的对称点B1落到x轴上，求点B1的坐标；（3）如图2，点B2为点B关于对角线AC的对称点，直接写出点B2的坐标．13．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是，数量关系为；（2）拓展探究如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在BC边的延长线上，连接DE．过点B作DE 的垂线，交CD于点M，交AD边的延长线于点N．（1）连接EN，若BE＝BD，求证：四边形BEND为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM的长；（3）设CE＝x，BN＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．15．已知矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E为BC边上的动点（点E不与点B、C重合），如图1所示，沿折痕AE翻折得到△AEB，设BE＝m．（1）当E、B′、D在同一直线上时，求m的值；（2）如图2，点F在CD边上，沿EF再次折叠纸片，使点C的对应点C′在直线EB′上；①求DF的最小值；②点C′能否落在边AD上？若能，求出m的值，若不能，试说明理由．16．设△ABC，点P是平面内的任意一点（A、B、C三点除外），若点P与点A、B、C中任意两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点．（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，试说明点P是△ABC的一个勾股点．（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，则CP＝；（3）如图3，四边形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．则点D能否是△ABC的勾股点，若能，求出BC的长：若不能，请说明理由．17．在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速度由B 向CB延长线方向运动（不与B重合），连结PQ交AB于E．（1）如图1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求点P运动几秒后，∠BQE＝30°；（2）如图2，在（1）的条件下，作PF⊥AB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；（3）如图3，当BC≠AB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．18．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E在边BC上，BE＝BC，AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．（1）求证：OF＝OG．（2）用含有n的代数式表示tan∠OBG的值．（3）若BF＝2，OF＝1，∠GEC＝90°，直接写出n的值．参考答案1．1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°，∵E是CD边上的中点，∴DE＝CE＝CD＝1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴∠AED＝∠BEC；（2）解：EB平分∠AEC，理由如下：在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，∴tan∠AED＝＝，∴∠AED＝60°，∴∠BEC＝∠AED＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°＝∠BEC，∴EB平分∠AEC；（3）解：∵BP＝2CP，BC＝，∴CP＝，BP＝，在Rt△CEP中，tan∠CEP＝＝，∴∠CE P＝30°，∴∠BEP＝30°，∴∠AEP＝90°，∵CD∥AB，∴∠F＝∠CEP＝30°，在Rt△ABP中，tan∠BAP＝＝，∴∠PAB＝30°，∴∠EAP＝30°＝∠F＝∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP＝FP，∠FBP＝90°＝∠AEP，在△AEP和△FBP中，，∴△AEP≌△FBP（AAS），∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：①将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，再沿PE折叠；②将△BPF以过点P垂直于BC的直线折叠，再绕点P逆时针旋转60°．2．1）证明：如图1，过P作GH⊥AB于G，交CD于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠BDC＝45°，∴GH⊥CD，∴∠EGP＝∠PHC＝90°，∵PE⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GEP+∠GPE＝∠GPE+∠CPH＝90°，∴∠GEP＝∠CPH，∵∠BDC＝45°，∴△PDH是等腰直角三角形，∴PH＝DH＝AG，∵AB＝CD，∴BG＝CH＝GP，∴△EGP≌△PHC（AAS），∴PE＝PC；（2）解：①过P作GH⊥AB于G，交CD于H，∵F是CD的中点，∴DF＝DC＝AB，∵DF∥AB，∴△DPF∽△BPA，∴，∵PG+PH＝6，∴PH＝2，PG＝4，由（1）知：△EGP≌△PHC，∴EG＝PH＝DH＝AG＝2，∴AE＝2+2＝4，∴S△APE＝＝8，②同理可知：AG＝EG＝PH＝DH，设EG＝x，则PG＝6﹣x，S△APE＝＝，x2﹣6x+＝0，（x﹣3）2＝，x 1＝（舍），x2＝，当x＝时，PH＝，PG＝6﹣＝，∵DF∥AB，∴△ABP∽△FDP，∴，∴＝，DF＝4；故答案为：4；（3）解：如图3，∵点E关于BD的对称点Q，∴PE＝PQ＝5，BE＝BQ，由（1）知：PE＝PC，PE⊥PC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴CE＝5，Rt△BEC中，BE＝＝，∴CQ＝6﹣，过Q作QR⊥CE于R，∵∠CRQ＝∠CBE＝90°，∠RCQ＝∠BCE，∴△CQR∽△CEB，∴，∴＝，RQ＝，＝＝＝，∴S△MNQ故答案为：．3．1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OA＝OA′，∴OA′＝OC，∴∠OAA′＝∠OA′A，∠OA′C＝∠OCA′，∴∠OA′C+∠OA′A＝∠OCA′+∠OAA′，∴∠CA′A＝90°，∴△AA′C是直角三角形，故答案为：直角；（2）解：∵AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，∴OA＝OA′＝，∵∠α＝60°，∴△AA′O是等边三角形，∴AA''＝OA＝；（3）证明：∵∠α＝∠AOB，OA＝OB＝OA′，∴AA′＝AB，∠OAA′＝∠OBA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBA＝∠OCD，AB＝CD，∴∠OAA′＝∠OCD，AA′＝CD，∴四边形A′ACD是等腰梯形，∴A′D∥AC．4．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．∴∠C＝30°∵AC＝12∴AB＝6，故答案为：6；（2）EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t．又∵AE＝t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等．（3）能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB＝6，AC＝12．∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE＝AD，即t＝12﹣2t，t＝4．即当t＝4时，四边形AEFD为菱形．5．【解答】解：（1）∵DH⊥AB，∴∠AHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，在Rt△ADH中，AD＝5，AH＝3，∴DH＝＝4，（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵DH⊥AB，∴∠AHD＝∠CDH，∴△AMH∽△CDM，∴＝＝，∴＝，∵DH＝4，∴DM＝；（3）存在，如图2中，∵∠ADM+∠BAD＝90°，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADM+∠BCD＝90°，∵∠MPB+∠BCD＝90°，∴∠MPB＝∠ADM，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠BAM，∵AM＝AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM＝∠ABM，∴∠MPB＝∠ABM，∵MH⊥AB，∴PH＝BH＝2，∴BP＝2BH＝4，∵AB＝5，∴AP＝1，∴t＝＝．6．【解答】解：知识探究：（1）∵BG＝DN，∠ABG＝∠ADN＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN（SAS），∴∠GAB＝∠NAD，AG＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠NAD＝45°，∴∠GAB+∠BAM＝45°，∴∠GAM＝∠MAN，∵AM＝AM，AG＝AN，∴△AGM≌△ANM（SAS），∴∠ABG＝∠AMN，∵AB⊥BM，AH⊥MH，∴AH＝AB．知识应用：（2）如图1所示，将△ABD和△ADC翻折，延长EB、GC交于点F，∵△ABE≌△ABD，∴EB＝BD＝2，AE＝AD＝6，∠E＝∠ADB＝90°，∵△ACD≌△ACG，∴AD＝AG＝6，∠ADC＝∠G＝90°，∵∠BAG＝45°，∴∠EAG＝2∠BAC＝90°，∴四边形AEFG为矩形，∵AE＝AG＝6，∴四边形AEFG为正方形，设CD＝CG＝x，∴CF＝6﹣x，BF＝4，BC＝2+x，∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝3，∴CD＝3，故答案为：3．知识拓展：（3）如图2所示，连接AF，过点A作AM⊥EF，∵∠FEC＝2∠BAE，设∠BAE＝α，则∠FEC＝2α，∴∠BEA＝90°﹣α，∴∠AEM＝90﹣α，∴∠AEB＝∠AEM，∵AB⊥BE，AM⊥EM，∴AB＝AM＝AD，∵AF＝AF，∴△AMF≌△AFD（HL），∵AB＝24，点E为BC边上的中点，∴BE＝EC＝EM＝12，设FM＝FD＝x，则CF＝24﹣x，EF＝12+x，∴122+（24﹣x）2＝（12+x）2，解得x＝8，∴DF＝8．7．【解答】解：（1）①∵OA＝4，OC＝2，四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝2，∠OAB＝90°∴B（4，2）②设BP＝BQ＝a，则B1（4﹣a，2﹣a），如图1，设直线AC的解析式是y＝kx+b，把A（4，0）代入，得0＝4k+2，解得k＝﹣，∴直线AC的解析式是y＝﹣x+2，把B1（4﹣a，2﹣a）代入上式，得2﹣a＝﹣（4﹣a）+2，解得a＝．∴B1（，）（2）∵OA＝4，OC＝2，OC⊥AC，∴∠OAC＝30°，C（1，）．∵B1E：B1F＝1：3，∴有以下两种情况：①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，由题意可知B1G＝m，设GF＝b，则OG＝b，OF＝2b，∴CF＝2﹣2b，FE＝2（2﹣2b）＝4﹣4b，∴B1E＝EF＝2﹣2b，∴b+（4﹣4b）+（2﹣2b）＝m，解得b＝．∴点B1的纵坐标为．②当点B1在线段FE（除点E，F外）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，同理可求得B1的纵坐标为．综上所述，满足条件的B1的纵坐标为或．8．1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE＝∠CBE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴EF＝BF；（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝，∴BE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由（1）知：EF＝BF，∴△BEF是等边三角形，∵AB⊥EF，∴AE＝AF，过A作AH⊥C'D'，∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，∴FC'∥AH∥ED'，∴C'H＝D'H，∵AH⊥C'D'，∴AC'＝AD'，∴△AC′D′是等腰三角形；＝AH•C'D'＝＝2C'D'，（3）如图1，S△C'D'A当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，∵AB＝4，∴AC'＝6﹣4＝2，△AC′D′面积的最小值＝＝＝4．9．【解答】解：（I）如图1，过D作DG⊥OA于G，∵点A（3，0），点C（0，4），∴OC＝4，OA＝3，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝4，∴DG∥AB，∴△ODG∽△OBA，∴，设OG＝3x，DG＝4x，∴AG＝3﹣3x，由旋转得：AD＝OA＝3，由勾股定理得：AD2＝DG2+AG2，32＝（4x）2+（3﹣3x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴OG＝3x＝，DG＝4x＝，∴D（，）；（II）①由旋转得：DE＝OC＝AB，∵AD＝OA，∴∠ADO＝∠AOD，∵BC∥OA，∴∠A OD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADO，∴∠DBE＝∠ADB，∵∠ADH＝∠HBE＝90°，∠AHD＝∠BHE，∴∠DAB＝∠BED，在△BDE和△DBA中，∵，∴△BDE≌△DBA（AAS）；②∵△BDE≌△DBA，∴∠DBH＝∠BDH，∴BH＝DH，设BH＝x，则DH＝x，AH＝4﹣x，在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2+DH2＝AH2，x2+32＝（4﹣x）2，x＝，∴AH＝4﹣＝，∴H（3，）；（III）分两种情况：①当F在AB的右侧时，如图2，过F作FM⊥AB于M，∵FB＝FA，∴AM＝BM＝AB＝AF，∴∠AFM＝30°，∴∠MAF＝60°，即α＝60°时，FA＝FB；②当F在AB的左侧时，如图3，过F作FM⊥AB于M，同理得：∠FAM＝60°，此时α＝360°﹣60°＝300°，综上，α为60°或300°时，FB＝FA．10．【解答】解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，∵AF+CE＝EF，∴EF＝x+y，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，∴（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，xy+x+y＝1，∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；（2）∠EBF的度数为定值，理由是：如图1，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，此时AB与CB重合．由旋转可得AB ＝BC，BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，∠BCG＝∠A＝90°．∴∠BCG+∠BCD＝90°+90°＝180°．∴点G、C、E在同一条直线上．∵AF+CE＝EF＝CG+CE＝EG，在△FBE和△GBE中，∵，∴△FBE≌△GBE（SSS），∴∠EBF＝∠EBG＝∠CBG+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°；（3）如图2，由折叠得：∠DFE＝∠BFE，由（2）可知：∠AFB＝∠EFB，∴∠AFB＝∠EFB＝∠DFE＝60°，∴∠FED＝30°，设DF＝x，则EF＝2x，ED＝x，∵AD＝1，∴AF＝1﹣x，∵AF+CE＝EF，∴1﹣x+CE＝2x，CE＝3x﹣1，∴ED＝1﹣CE＝1﹣（3x﹣1）＝2﹣3x，∴2﹣3x＝x，x＝，∴EF＝2x＝＝＝．11．1）证明：由平移，得AE∥DF，AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，∵BE＝AE＝2，∴AE＝4，又∵AE＝AD＝4，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：由（1）得：△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB＝45°，∵AE∥DF，∴∠F＝∠AEB＝45°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝45°，∴∠GAE＝90°，∵△DCF绕点D旋转得到△DGA，∴GA＝CF＝2，∴EG＝＝＝2；（3）解：如图3，PF、AQ、PQ之间的数量关系为：PQ2＝PF2+AQ2．理由如下：由（2）得：∠AEB＝45°，∴∠ADF＝∠AEF＝135°，∵AD＝DF，∴将△DFP绕点D逆时针旋转135°得△DAG，连GQ，如图3，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F＝45°，∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ＝67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ而DG＝DP，DQ为公共边，∴△PDQ≌△GDQ（SAS），∴PQ＝GQ，∴PQ2＝PF2+AQ2 ．12．【解答】解：（1）∵矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，∴B（4，2）（2）过点P作PM⊥x轴于点M．由折叠可知：∠PB1Q＝∠PBQ＝90°∴△PMB1∽△B1QA，∴，∴PM＝OC＝2，∴B1A＝1∴OB1＝3，∴B1（3，0）；（3）过B2作BH垂直AB，垂足为H．∵BC＝OA＝4，AB＝OC＝2，∴AC＝＝2，∵BG×AC＝，∴BG＝，＝，∴BB2由对称性质可知，BB＝2BG＝，BG⊥AC．2BH，∵∠BCA＝∠B2HB，∴Rt△ABC∽Rt△B2∴，∴，∴，，．13．【解答】解：问题发现（1）如图，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形∴BH＝HC＝BC，OH＝HF又∵△ABC是等边三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，∴AH＝BH∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH∵AH∥EF，AH⊥BC∴EF⊥BC，∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH ∴EF＝BC故答案为：EF⊥BC，EF＝BC （2）拓展探究如图，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形∴BH＝HC＝BC，OH＝HF又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝HC∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH∵AH∥EF，AH⊥BC∴EF⊥BC，∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH∴EF＝BC（3）解决问题如图，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形∴BH＝HC＝BC＝，OH＝HF又∵AB＝AC＝2，∴AH⊥BC，∴AH＝＝∵OH＝HF，AE＝AO∴EF＝2AH＝14．【解答】解：（1）证明：∵BD＝BE，BM⊥DE，∴∠DBN＝∠EBN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DNB＝∠EBN．∴∠DBN＝∠DNB．∴BD＝DN．又∵BD＝BE，∴BE＝DN．又∵AD∥BC．∴四边形DBEN是平行四边形．又∵BD＝BE，∴平行四边形DBEN是菱形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6．∴BE＝BD＝＝10．∴CE＝BE﹣BC＝2．∴在Rt△DCE中，DE＝＝．由题意易得∠MBC＝∠EDC，又∠DCE＝∠BCD＝90°．∴△BCM∽△DCE．∴．∴．∴BM＝．（3）由题意易得∠BNA＝∠EDC，∠A＝∠DCE＝90°∴△NAB∽△DCE，∴．∴．∴AN＝．∴在Rt△ABN中，y═＝＝．∵N在AD延长线上，∴AN＞8，即：，∴综上所述：y═．其中0＜x＜．15．【解答】解：（1）如图1，由折叠可知，∠BEA＝∠B′EA，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD，∴∠B′EA＝∠EAD，∴ED＝AD＝10，∵CD＝AB＝6，根据勾股定理得：CE＝8，∴BE＝BC﹣CE＝2，即m＝2；（2）①如图2，由折叠得：∠AEB＝∠AEB'，∠CEF＝∠C'EF，∴∠AEF＝∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠AEB＝∠CFE，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，∴，所以，CF＝，DF＝＝．所以当m＝5时，DF的最小值为．②不能．理由是：若点C′落在边AD上，由（1）知A C′＝E C′，根据折叠可知：BE＝B′E＝m，E C′＝EC＝10﹣m，所以A C′＝10﹣m，B′C′＝E C′﹣B′E＝10﹣m﹣m＝10﹣2m，AB′＝6，在Rt△A B′C′中，根据勾股定理得：62+（10﹣2m）2＝（10﹣m）2．化简得：36+100﹣40m+4m2＝100﹣20m+m2，3m2﹣20m+36＝0，b2﹣4ac＝400﹣432＝﹣32＜0，所以原方程没有实数解，所以点C′不能落在边AD上．16．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣50°﹣10°﹣30°＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P是△ABC的一个勾股点；（2）点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，存在以下三种情况：①如图2，当∠APC＝90°时，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5，S△ACD ＝S△ABC＝CD•AP，＝，AP＝，∴CP＝＝；②如图3，当∠BPC＝90°时，S△ACD ＝S△ABC＝CD•BP，＝×BP，BP＝，∴CP＝＝；③如图4，当∠APB＝90°时，∵D是AB的中点，∴PD＝AB＝5，∴PC＝5+5＝10，综上，PC的长是或或10；故答案为：或或10；（3）存在，当∠ADB＝90°时，点D是△ABC的勾股点，如图5，过A作AE⊥CD，交直线CD于E，过B作BF⊥CD于F，∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠BDF+∠DBF＝90°，∴∠ADE＝∠DBF，∵∠E＝∠F＝90°，AD＝BD，∴△AED≌△DFB（AAS），∴AE＝DF，∵AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠DAB＝45°，∵∠BCD＝45°，∴∠BCD＝∠DAB，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵AC＝，∴AE＝CE＝DF＝＝，∴CF＝3+，∴BC＝CE＝3+；综上，点D可以是△ABC的勾股点，BC的长是3+．17．【解答】解：（1）如图1，设点P运动t秒后，∠BQE＝30°，则AP＝QB＝t，∵∠ABC＝60°，BC＝AB，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，∴PC＝6﹣t，QC＝6+t，∵∠BQE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，6+t＝2（6﹣t），t＝2，即点P运动2秒后，∠BQE＝30°；（2）如图2，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，∵∠BAC＝60°，△AGP为等边三角形，∴GP＝AP＝AG∵QB＝AP，∴GP＝QB，∴△PEG≌△QEB（ASA），∴BE＝GE，∵△APG是等边三角形，PF⊥AB得到AF＝GF，∴GE+GF＝BE+AF＝＝×6＝3；，即EF＝3，故在运动过程中，线段EF长度不变，EF的长为3；（3）如图3，设PQ交AB于E，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，作CH⊥AB于点H．当点P，Q关于点E成中心对称时，QE＝PE，∴易证△PEG≌△QEB（ASA），∴GP＝QB，∵QB＝AP，∴GP＝AP，∵GP∥BC，∴CA＝CB＝a∵平行四边形的面积是24cm2，AB＝6，∴AH＝BH＝3，CH＝24÷6＝4，∴AC＝BC＝即a＝5．故在运动中存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，此时a的值为5．18．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AO＝BO，AC⊥BD∴∠AFO+∠FAO＝90°∵AE⊥BG∴∠BFE+∠FBG＝90°，且∠BFE＝∠AFO∴∠FAO＝∠FBG，且OA＝OB，∠AOF＝∠BOG∴△AOF≌△BOG（ASA）∴OF＝OG（2）以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∵BE＝BC∴设BC＝n，则BE＝1，∴点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0）∴直线AC解析式为：y＝﹣x+n，直线AE解析式为：y＝﹣nx+n∵BG⊥AE∴直线BG的解析式为：y＝x∴x＝﹣x+n∴x＝∴点G坐标（，）∵点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0）∴BO＝n，点O坐标（，）∴OG＝∴tan∠OBG＝＝（3）∵OB＝OF+BF，BF＝2，OF＝1∴OB＝3，且OF＝OG，OC＝OB，BO⊥CO∴OC＝3，OG＝1，BC＝3∴CG＝2，∵∠GEC＝90°，∠ACB＝45°∴GE＝EC＝∴BE＝BC﹣EC＝2∴＝∴BE＝BC＝∴n＝。

中考数学与平行四边形有关的压轴题含答案解析

中考数学与平行四边形有关的压轴题含答案解析
【点睛】
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
7．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；
6．问题情境
在四边形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME.
特例探究
(1)如图1，当∠ABC＝90°时，写出线段MB与ME的数量关系，位置关系；
(2)如图2，当∠ABC＝120°时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论；
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，
∴EC=ED，∵MC=MD，
∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，
∴∠MEC=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BM=ME，BM⊥EM．
故答案为BM=ME，BM⊥EM．
(2)ME＝ MB．
证明如下：连接CM，如解图所示．
∵DC⊥AC，M是边AD的中点，
∴ AB•CF＝ AC•PE﹣ AB•PD．
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．
∵AD＝16，CF＝6，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．
∴DF＝5．
∴PG+PH的值为8；
迁移拓展:如图，
由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）

2022年九年级中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合含答案

2022年九年级中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合含答案

2022年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．3、如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．4、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．5、如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．6、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．7、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC 延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．9、在四边形ABCD中，︒∠.B，对角线AC平分BADD∠180=∠+（1）如图1，若︒∠90=B，试探究边AD、AB与对角线AC=∠120DAB，且︒的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒B”去掉，（1）中的结论是否成立？∠90=请说明理由.（3）如图3，若︒DAB，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明∠90=理由.10、如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．11、如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．12、已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：；②当时，求的长．CD AB C A D B O E G OB C O C E DG F DF C ⊥E G OE =O H C B H C EH ⊥B OB E D H C E F C O G G OE =O DG C ∠O =∠O E 1AB =C H13、已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且90∠=︒，延长AG，BG分别AGB与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE CF=；②求证：2=⋅.BE BC CE（2）如图2，在边BC上取一点E，满足2=⋅，连接AE交CM于点G，BE BC CE连接BG延长交CD于点F，求tan CBF∠的值.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D 为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q 在边AC 上时，正方形DEFQ 的边长为 cm （用含x 的代数式表示）；（2）当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；（3）当0＜x ＜2时，求y 关于x 的函数解析式；（4）直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．15、如图AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），AB DE //交AC 于点F ，AM CE //，连结AE .（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若AC BH ⊥，且AM BH =.当3=FH ，4=DM 时，求DH 的长.16、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若四边形ABCD 是正方形如图1：则有AC=BD ，AC ⊥BD ．旋转图1中的Rt △COD 到图2所示的位置，AC ′与BD ′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt △COD 至图3所示的位置，AC ′与BD ′又有什么关系？写出结论并证明．17、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．3、如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴=，即=，解得：CD=，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD=，∴AB=AF+BF=+=6．4、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．5、如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．【解答】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，即BF=，∴FO===，∴FG=2FO=．6、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG∴△DCG≌△HGF（SAS）∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5∵AD∥EF∴＝，且DE＝2∴EM＝7、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为∠BAD+∠ACB=180°；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．【解答】解：（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴===，∴=，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+﹣1=0，∴=（负根已经舍弃），∴=．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴==，∴=，即=∵CD=，∴PC=1．8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC 延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E 作EM ⊥DA 交DA 的延长线于M ，过E 作EN ⊥FC 交FC 的延长线于N ， 在△AME 与△CNE 中，，∴△AME ≌△CNE ，∴∠ADE=∠CFE ，在△ADE 与△CFE 中，， ∴△ADE ≌△CFE ，∴∠DEA=∠FEC ，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED ⊥EF ．9、在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180D B ，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若︒=∠120DAB ，且︒=∠90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒=∠90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若︒=∠90DAB ，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.解：（1）AB AD AC +=.证明如下： 在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180B D ，︒=∠90B ，∴ ︒=∠90D .︒=∠120DAB ，AC 平分DAB ∠, ∴ 60=∠=∠BAC DAC ,︒=∠90B ,∴AC AB 21=,同理AC AD 21=. ∴AB AD AC +=.（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C 为顶点，AC 为一边作 60=∠ACE ， ACE ∠的另一边交AB 延长线于点E , 60=∠BAC ,∴AEC ∆为等边三角形， ∴CE AE AC ==，︒=∠+∠180B D ,︒=∠120DAB ,∴ 60=∠DCB , ∴BEC DAC ∆≅∆,∴BE AD =,∴AB AD AC +=.（3）AC AB AD 2=+.理由如下：过点C 作AC CE ⊥交AB 的延长线于点E ， ︒=∠+∠180B D ,︒=∠90DAB ,∴ 90=DCB , 90=∠ACE ,∴BCE DCA ∠=∠, 又AC 平分DAB ∠，∴ 45=∠CAB ,∴ 45=∠E . ∴CE AC =.又︒=∠+∠180B D ，CBE D ∠=∠,∴CBE CDA ∆≅∆,∴BE AD =,∴AE AB AD =+.在ACE Rt ∆中， 45=∠CAB ,∴AC cos ACAE 245==, ∴AC AB AD 2=+.10、如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．【答案】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2． 理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上， ∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC 是矩形， ∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2， ∴AG 2=GF 2+GE 2．解得，[来源:学科网ZXXK] ∴， ∴BG=BN ÷cos30°=．11、如图1，菱形ABCD 的顶点A，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′6交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′C′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB ′＝∠AGD ′，∵∠EAB ′＝∠GAD ′，AB ′＝AD ′， ∴△AEB ′≌△AGD ′（AAS ）， ∴EB ′＝GD ′，AE ＝AG ， ∵AH ＝AH ，∠HAE ＝∠HAG ， ∴△AHE ≌△AHG （SAS ）， ∴EH ＝GH ，∵△EHB ′的周长为2，∴EH +EB ′+HB ′＝B ′H +HG +GD ′＝B ′D ′＝2， ∴AB ′＝AB ＝2， ∴菱形ABCD 的周长为8．12、已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：； ②当时，求的长．CD AB C A D B O E G OB C O C E DG F DF C ⊥E G OE =O H C B H C EH ⊥B OB E D H C E F C O G G OE =O DG C ∠O =∠O E 1AB =CH∴∠DOG=∠COE=90°∴∠OEC+∠OCE=90°∵DF⊥CE∴∠OEC+∠ODG=90°∴∠ODG=∠OCE∴△DOG≌△COE（ASA）∴OE=OG②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1 ∴BH=1-x∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°∵EH⊥BC∴∠BEH=∠EBH=45°∴EH=BH=1-x∵∠ODG=∠OCE∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE ∴∠HDC=∠ECH∵EH⊥BC∴∠EHC=∠HCD=90° ∴△CHE ∽△DCH ∴∴HC 2=EH ·CD 得x 2+x-1=0 解得，（舍去） ∴13、已知正方形ABCD，点M 为边AB 的中点.（1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且90AGB ∠=︒，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F .①求证：BE CF =； ②求证：2BE BC CE =⋅.（2）如图2，在边BC 上取一点E ，满足2BE BC CE =⋅，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 延长交CD 于点F ，求tan CBF ∠的值.解答：(1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC ，90ABC BCF ∠∠°， 又90AGB ∠°，∴90BAE ABG ∠∠°，又90ABG CBF ∠∠°，∴BAE CBF ∠∠，∴ABE BCF △≌△(ASA)，∴BE CF .EH HCHC CD=1x =1x =②证明：∵90AGB ∠°，点M 为AB 中点，∴MG MA MB ，∴GAM AGM ∠∠，又∵CGE AGM ∠∠，从而CGE CGB ∠∠，又ECG GCB ∠∠，∴CGE CBG △∽△， ∴CE CGCGCB，即2CG BC CE ，由CFG GBMCGF ∠∠∠，得CFCG .由①知，BE CF ，∴BE CG ，∴2BE BC CE . (2)解：(方法一)延长AE ，DC 交于点N (如图1)，由于四边形ABCD 是正方形，所以AB CD ∥， ∴N EAB ∠∠，又CEN BEA ∠∠，∴CEN BEA △∽△， 故CE CNBEBA，即BE CN AB CE ，∵AB BC ，2BE BC CE ，∴CN BE ，由AB DN ∥知，CN CG CFAM GM MB， 又AM M B ，∴FC CN BE ，不妨假设正方形边长为1， 设BE x ，则由2BE BC CE ，得211x x ， 解得1512x ，2512x (舍去)，∴512BEBC， 于是51tan 2FC BE CBFBC BC ∠,(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE x ，则由2BE BC CE ，得211x x ， 解得1512x ，2512x (舍去)，即512BE ， 作GN BC ∥交AB 于N (如图2)，则MNG MBC △∽△，∴12MN MB NGBC ， 设MN y ，则2GN y ，5GM y ，∵GN AN BEAB ，即121y，解得125y，∴12GM，从而GM MAMB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上，∴AGB △是直角三角形，且90AGB ∠°， 由(1)知BE CF ，于是51tan 2FC BE CBFBCBC∠.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D 为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∴GP=2x，∴2x+x+2x=4，∴x=45；（3）如图②，当0＜x≤45时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，∴y=x2；如图③，当45＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=12AB=2，∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，∴y=S正方形DEFQ ﹣S△MNF=DQ2﹣12FM2，∴y=x2﹣12（5x﹣4）2=﹣232x2+20x﹣8，∴y=﹣232x2+20x﹣8；∴DQ=2﹣x ，∴y=S △DEQ =12DQ 2，∴y=12（2﹣x ）2，∴y=12x 2﹣2x+2；（4）当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点， 即2x=2， ∴x=1，当Q 为BC 的中点时， PB=1， ∴AP=3， ∴2x=3，∴x=32，∴边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围为：1＜x ＜32．15、如图AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），AB DE //交AC 于点F ，AM CE //，连结AE .（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形； （2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若AC BH ⊥，且AM BH =.当3=FH ，DM时，求DH的长.4【答案】：（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE//AM，∴∠ECD=∠ADB，又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≅△EDC，∴AB=ED，又∵AB//ED,∴四边形ABDE为平行四边形。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《四边形》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《四边形》(含答案)

16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 AOBC 的顶点 C 的坐标是（2，4），动点 P 从点 A 出发，沿线段 AO 向终点 O 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向终点 C 运动．点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，过点 P 作 PE⊥AO 交 AB 于点 E，一点到达，另一点 即停．设点 P 的运动时间为 t 秒（t＞0）．
学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG＝BE．连结 AG，先证明△ABE≌△ADG．再
证明
≌
，可得出结论，他的结论应是
．请你按照小王同学的思路
写出完整的证明过程．
实际应用
（2）如图 2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30°的一处，舰艇
乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰
4．（1）【问题发现】如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中
点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系
为
；
（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，当点 B，E，F 三点
ABDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理
由；
创新应用：
（3）如图④，四边形 ABCE 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CE＝2，AE＝4，连接 BE，请求出
BE 的最大值，并说明理由．
（4）如图⑤，BE、AC 为四边形 ABCE 的对角线，CE＝2，∠CAE＝60°，∠CAB＝90°，∠
已知∠MDN＝∠BAD＝60°，AC＝6． （1）如图 1，当 DE⊥AB，DF⊥BC 时， ①求证：△ADE≌△CDF；②求线段 GH 的长； （2）如图 2，当∠MDN 绕点 D 旋转时，线段 AG，GH，HC 的长度都在变化．设线段 AG＝m， GH＝p，HC＝n，试探究 p 与 mn 的等量关系，并说明理由．

2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形(含答案)

2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形(含答案)

2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．2、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．3、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．4、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．5、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）6、如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．7、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．8、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．9、如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD 的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．11、某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA．．12、在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：；（2）若∠CGF=90°，求的值．13、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．14、如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD 关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．15、已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．16、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）___________________________写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．17、如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．18、如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC 重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为．19、如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．20、如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．参考答案：1、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，[来源:学#科#网] ∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．3、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得∴△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．4、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．5、【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．6、【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴CE=D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∴▱DAD′E是菱形，（2）∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=，DG=，∴BG=，∴BD==，∴PD′+PB的最小值为．7、【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=∠ABC=30°，则tan∠DBC=tan30°=；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形．8、【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=4，CD=AB=3，当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，∴S△ADQ=AD•AQ=×4x=2x，S△BPQ=BQ•BP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PC•CD=•（4﹣x）•3=6﹣x，又S矩形ABCD=AB•BC=3×4=12，∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4，即S=（x﹣2）2+4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，又当x=0时，S=5，当S=3时，S=，但x的范围内取不到x=0，∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；（2）存在，理由如下：由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，∴△BPQ∽△PCD，∴=，即=，解得x=（舍去）或x=，∴当x=时QP⊥DP．9、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．在△PHC和△CFP中，，∴△PHC≌△CFP（ASA）．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠B=90°．又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，∴∠CPF=∠CAB．在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AG•tan∠CAB．在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PF•tan∠CPF．S矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；S矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．∵tan∠CPF=tan∠CAB，∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．10、【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）①作图如下：②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，∴B′D=B′E，设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE=a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，∴B′E=b﹣a=B′D，∴C′D=a+b﹣（b﹣a）=a+a，∴直角三角形C′QD中，C′Q=a=CQ，DQ=C′Q=a，∵CD=DQ+CQ=a+b，∴a+a=a+b，整理得（+1）a=b，∴==，即=．11、【解答】（1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA；故答案为：BC=DA；（2）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA；故答案为：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA．12、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．（2）解：作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得： =3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==3．13、【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．14、【解答】解：（1）如图1，∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，∴四边形AB1C1D是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA．∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，∴S▱BCDA=AB•OD=（3﹣n）•2n=﹣2（n2﹣3n）=﹣2（n﹣）2+，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4（n﹣）2+9．∵﹣4＜0，∴当n=时，S▱BCC1B1最大值为9；（2）当点B1恰好落在y轴上，如图2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，∴∠B1DF=∠OBB1．∵∠DOA=∠BOB1=90°，∴△AOD∽△B1OB，∴=，∴=，∴OB1=．由轴对称的性质可得AB1=AB=m﹣n．在Rt△AOB1中，n2+（）2=（m﹣n）2，整理得3m2﹣8mn=0．∵m＞0，∴3m﹣8n=0，∴=．15、【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，在△APE和△CFE中，，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；（2）①∵P为AB的中点，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a∵PE∥CF，∴=，即=，解得，a=b；作G H⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°．∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．16、【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=．17、【解答】（1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴CH∥FG，CH=FG，∴四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3所示，（3）解：如图3，∵BD=，∴FG=BD=，∴正方形CFGH的边长是．18、【解答】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，∵△ADE≌△BCG≌△PNR，∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，∴PM=PN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN是等腰直角三角形，当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值，∴当AE⊥BD时，AE取最小值，过D作DF⊥AB于F，∵平行四边形ABCD的面积为6，AB=3，∴DF=2，∵∠DAB=45°，∴AF=DF=2，∴BF=1，∴BD==，∴AE===，∴MN=AE=，故答案为：．19、【解答】解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=﹣则直线l1与x轴坐标为（﹣，0）直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则Rt△ABP≌Rt△PNM，∴AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），x=，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（x，2x﹣3），过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），∴x+3﹣（2x﹣3）=4，x=2∴M1（2，1）；设M2（x，2x﹣3），同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x=，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x≤2．20、【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．[来源:学。

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，∵E是DC的中点，即DE＝CE，∴△DEG≌△CEB（AAS），∴DG＝BC．（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC，∵AB＝AD+BC，AF＝AD，∴BF＝BC＝DG，∴AB＝AG，∵∠BAG＝90°，∴∠AFD＝∠ABG＝45°，∴FD∥BG．（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，∵FD∥BG，∴AE⊥FD，∵△AFD为等腰直角三角形，∴FH＝HD．2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．3．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM 于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．（1）证明：如图1中，延长BH到M，使得HM＝FA，连接EM．∵∠F+∠EHG＝180°，∠EHG+∠EHM＝180°，∴∠F＝∠EHM，∵AE＝HE，FA＝HM，∴△EFA≌△EHM（SAS），∴EA＝EM，∠FEA＝∠HEM，∵∠EAB＝∠FEH，∴∠FEA+∠BEH＝∠HEM+∠BEH＝∠BEM＝∠FEH，∴∠AEB＝∠BEM，∵BE＝BE，EA＝EM，∴△AEB≌△MEB（SAS），∴AB＝BM，∵BM＝BH+HM＝BH+AF，∴AB＝AF+BH．（2）解：①如图2中，结论：NH＝FN．理由：∵NE平分∠FEH，∴∠FEN＝∠HEN，∵EF＝EH，EN＝EN，∴△ENF≌△ENH（SAS），∴NH＝FN．②∵△ENF≌△ENH，∴∠ENF＝∠ENH，∵∠ENM＝α，∴∠ENF＝∠ENH＝180°﹣α，∴∠MNH＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵∠FGH＝180°﹣2α，∴∠MNH＝∠FGH，∵∠MNH+∠FNH＝180°，∴∠FGH+∠FNH＝180°，∴F，G，H，N四点共圆，∵NH＝NF，∴＝，∴∠NGH＝∠NGF＝∠FGH＝90°﹣α．4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，∴△ANM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AM＝．（2）①如图2中，∵NA′∥AC，∴∠AMN＝∠NMA′，由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，∴∠MNA′＝∠A′MN，∴A′N＝A′M，∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，∴四边形AMA′N是平行四边形，∵MA＝MA′，∴四边形AMA′N是菱形．②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，∵MA′∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝，∴AM＝，∴CM＝，∴CA′＝＝＝，∴AA′＝＝＝，∵四边形AMA′N是菱形，∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，∴OM＝＝＝，∴MN＝2OM＝．（3）如图3中，作NH⊥BC于H．∵NH∥AC，∴＝＝∴＝＝∴NH＝，BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，∴AM＝AC＝，∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，∵CM∥NH，∴＝，∴＝，∴PC＝1．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CB，∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°．（2）如图1中，作AH⊥CD交CD的延长线于H．在Rt△ADH中，∵∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，∴AH＝AD•sin60°＝，DH＝AD•cos60°＝，∵DE＝EC＝，∴EH＝DH+DE＝2，∴AE＝＝＝，∵CF⊥AF，∴∠F＝∠H＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴△AEH∽△CEF，∴＝，∴＝，∴EF＝．（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的郯城县于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于M，作NQ⊥CD于Q．∵DE∥PF，∴＝，∵AD是定值，∴PA定值最大时，定值最大，观察图象可知，当点F与点M重合时，PA定值最大，最大值＝AN的长，由（2）可知，AH＝，CH＝，∠H＝90°，∴AC＝＝＝，∴OM＝AC＝，∵OK∥AH，AO＝OC，∴KH＝KC，∴OK＝＝，∴MK＝NQ＝﹣，在Rt△NDQ中，DN＝＝＝﹣，∴AN＝AD+DN＝+，∴的最大值＝＝+．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP、DP，点E是线段AP上一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE．（1）求证：AD2＝AE•AP；（2）求证BE⊥AP；（3）直接写出的最小值．（1）证明：∵∠DAE＝∠PAD，∠ADE＝∠APD，∴△ADE∽△APD，∴＝，∴AD2＝AE•AP（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝90°，∴AB2＝AE•AP，∴＝，∵∠BAE＝∠PAB，∴△ABE∽△APB，∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴BE⊥AP．（3）∵△ADE∽△APD，∴＝，∴＝，∵AD＝2，∴DE最小时，的值最小，如图，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，易知OE＝1，OD＝，∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，∴DE的最小值为﹣1，∴的最小值＝．7．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC 的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．8．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，FMNG图 3EDCAB∴△GAB≌△CAE（SSS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，∴．9．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是 6 米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P 的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．10．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为90°；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为180°﹣2m°．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．11．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．12．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D 落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为18 °．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG 的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的长为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝7 时，两点停止运动；（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）①求S与t之间的函数关系式；②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∴BC+AD＝14cm，∴t＝14÷2＝7，故答案为7．（2）①当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+24．当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+24．②当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为9．当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+24，∵﹣4＜0，∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+24＝（t﹣5）2﹣1，t＝7时，△PBQ的面积最大，最大值为3，综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为9．14．综合实践：问题情境数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点．将△DCE以点D为旋转中心，顺时针方向旋转，当点E的对应点E'落在边AB上时，连接CE'．“兴趣小组”发现的结论是：①AE'＝C'E'；“卓越小组”发现的结论是：②DE＝CE'，DE⊥CE'．解决问题（1）请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论；拓展探究证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后，“智慧小组”提出如下问题：如图2，连接CC'，若正方形ABCD的边长为2，求出CC'的长度．（2）请你帮助智慧小组写出线段CC'的长度．（直接写出结论即可）（1）证明：①∵△DE'C'由△DEC旋转得到，∴DC'＝DC，∠C'＝∠DCE＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝90°，∴DA＝DC'，∵DE'＝DE'，∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′（HL），∴AE'＝C'E'．②∵点E为BC中点，C'E'＝AE'＝CE，∴点E'为AB的中点．∴BE′＝CE，又∵DC＝BC，∠DCE＝∠CBE'＝90°，∴△DCE≌△CBE'（SAS），∴DE＝CE'，∠CDE＝∠E'CB，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠E'CB+∠CED＝90°，∴DE⊥CE'．（2）解：如图2中，作C′M⊥CD于M，交AB于N．∵AB∥CD，C′M⊥CD，∴C′M⊥AB，∴∠DMC′＝∠C′NE′＝∠DC′E′＝90°，∴∠MDC′+∠DC′M＝90°，∠DC′M+∠E′CN＝90°，∴∠MDC′＝∠E′C′N，∴△DMC′∽△C′NE′，∴＝＝＝2，设NE′＝x，则AM＝AN＝1+x，C′M＝2x，C′N＝（1+x），∵MN＝AD＝2，∴2x+（1+x）＝2，解得x＝，∴CM＝2﹣（1+）＝，MC＝，∴CC′＝＝＝．15．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DM＝DN．（1）如图甲，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝9，∠MDN＝120°，ND∥AB．①写出∠MDA＝90 °，AB的长是18 ．②求四边形AMDN的周长．（2）如图乙，过D作DF⊥AC于F，先补全图乙再证明AM+AN＝2AF．解：（1）①∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵ND∥AB，∴∠NDA＝∠BAD＝30°，∴∠MDA＝∠MDN﹣∠NDA＝120°﹣30°＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB，∴AB＝2AC＝18，故答案为：90，18；②∵∠ABC＝30°，ND∥AB，∴∠NDC＝30°，又∵∠MDN＝120°，∴∠MDB＝30°，∴∠MAD＝∠NAD＝∠ADN＝∠MBD＝30°，∴BM＝MD，DN＝AN，∵DM＝DN，∴BM＝MD＝DN＝AN，在Rt△ADM中，设MD＝x，则AM＝2x，BM＝MD＝DN＝AN＝x，∵AB＝18，∴3x＝18，∴x＝6，∴AM＝12，MD＝DN＝AN＝6，∴四边形AMDN的周长＝AM+MD+DN+AN＝12+6+6+6＝30；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DE⊥AB于E，如图丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM＝FN，∴AM+AN＝AE+EM+AF﹣NF＝2AF．。

中考数学与平行四边形有关的压轴题及详细答案

中考数学与平行四边形有关的压轴题及详细答案一、平行四边形1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG⊥BE．过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4．已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．求证：四边形AECF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.5．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】(1)、5；(2)、622+；(3)、3212++.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=22OC CD+计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=22OE CE+计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴OD=2222215OC CD+=+=(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四边形BECF是矩形，∴BF=CF=12，3在Rt△OCE中，222231122OE CE⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭622．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．∵FD=FE=DE=1，OF ⊥DE ， ∴DH=HE ，OD=OE ，∠DOH=12∠DOE=22.5°， ∵OM=DM ， ∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=12， ∴DM=OM=22， ∵FH=223DF DH -=， ∴OF=OM+MH+FH=2132++=321++． ∴OF 的最大值为321++． 考点：四边形综合题．6．如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．（1）求证：AD=EC ；（2）当∠BAC=Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先证四边形ABDE 是平行四边形，再证四边形ADCE 是平行四边形即可； （2）由∠BAC =90°，AD 是边BC 上的中线，得AD =BD =CD ，即可证明.【详解】(1)证明：∵AE ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE =BD ，∵AD 是边BC 上的中线，∴BD =DC ，∴AE =DC ，又∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形.(2) 证明：∵∠BAC =90°，AD 是边BC 上的中线.∴AD=CD∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.7．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．8．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝108 25．【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.【详解】（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C＝90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝165cm，∴BO22AB AO125cm，∴BB′＝2BO＝245cm，∴在Rt △BB 'C 中，B ′C ＝22BC BB '-＝518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形，∴EF ＝OB ′＝125， ∴S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．9．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若42ADB =o ∠，则DBE ∠的度数为______o .（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D'=【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作∠BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求；【算一算】首先求出GD=9-72033=，由矩形的性质得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，证出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB′=FB，由此即可解决问题．【详解】（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，故答案为21．（2）【画一画】如图所示：【算一算】如3所示：∵AG=73，AD=9， ∴GD=9-72033=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，∴∠DFG=∠DGF ，∴DF=DG=203， ∵CD=AB=4，∠C=90°， ∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得：22222016433DF CD ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∴BF=BC-CF=9161133-=， 由翻折不变性可知，FB=FB′=113， ∴B′D=DF -FB′=2011333-=. 【点睛】 四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．10．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求证BD∥AF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD ，△ABD ，△ADF 都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．11．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．12．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB的位置关系为 ； （2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC 中，BA=BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC=∠AMN ，AM=MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC 中，AD=AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC=10，CN=2，试求EF 的长．【答案】（1）NC ∥AB ；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN ；理由见解析；（3）241；【解析】分析：（1）根据△ABC ，△AMN 为等边三角形，得到AB=AC ，AM=AN 且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM ，即∠BAM=∠CAN ，证明△BAM ≌△CAN ，即可得到BM=CN ．（2）根据△ABC ，△AMN 为等腰三角形，得到AB ：BC=1：1且∠ABC=∠AMN ，根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图3，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出BM AB CN AC＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． 详解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN =60°，∴∠BAM=∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中， AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC=∠ACN ，理由如下： ∵AB AM BC MN==1且∠ABC=∠AMN ， ∴△ABC ～△AMN ∴AB AC AM AN＝， ∵AB=BC ， ∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC ）， ∵AM=MN∴∠MAN=12（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC=∠AMN ，∴∠BAC=∠MAN ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC=∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ， ∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN ，∵AB AM BC AN == ∴AB AC AM AN＝， ∴△ABM ～△ACN ∴BM AB CN AC ＝，∴CN AC BM AB ==cos45°=2，∴=， ∴BM=2，∴CM=BC ﹣BM=8，在Rt △AMC ，==，∴EF=AM=241．点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点D 、E 、F 、G 分别为边OA 、AB 、BC 、CO 的中点，连结DE 、EF 、FG 、GD ．（1）若点C 在y 轴的正半轴上，当点B 的坐标为（2，4）时，判断四边形DEFG 的形状，并说明理由.（2）若点C 在第二象限运动，且四边形DEFG 为菱形时，求点四边形OABC 对角线OB 长度的取值范围.（3）若在点C 的运动过程中，四边形DEFG 始终为正方形，当点C 从X 轴负半轴经过Y 轴正半轴，运动至X 轴正半轴时，直接写出点B 的运动路径长.【答案】（1）正方形（2）256OB <<（3）2π【解析】分析:（1）连接OB ，AC ，说明OB ⊥AC ，OB=AC ，可得四边形DEFG 是正方形.（2）由四边形DEFG 是菱形，可得OB=AC ，当点C 在y 轴上时，AC=25C 在x 轴上时，AC=6, 故可得结论；（3）根据题意计算弧长即可.详解：（1）正方形，如图1，证明连接OB ，AC ，说明OB ⊥AC ，OB=AC ，可得四边形DEFG 是正方形.（2）256OB <如图2，由四边形DEFG 是菱形，可得OB=AC ，当点C 在y 轴上时，AC=25C 在x 轴上时，AC=6, ∴256OB < ；（3）2π.如图3，当四边形DEFG是正方形时，OB⊥AC，且OB=AC，构造△OBE≌△ACO，可得B点在以E（0，4）为圆心，2为半径的圆上运动.所以当C点从x轴负半轴到正半轴运动时，B点的运动路径为2 .图1 图2 图3点睛：本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质以及弧长的计算.灵活运用正方形的判定定理和菱形的性质运用是解题的关键.14．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H．动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动．过点E作EF⊥AB，垂足为点F．点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）CE= （含t的代数式表示）．（2）求点G落在线段AC上时t的值．（3）当S＞0时，求S与t之间的函数关系式．（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当＜t≤2时，S=t2+t-3；当2＜t≤3时，S=-t2+t-；（4）＜t＜．【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CE==t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，S=△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=6，∴CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°-60°=30°，∴∠GEB=90°，∴∠GEC=90°，∴CE==t，∵BE+CE=BC，∴2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，如图2所示：S=△EFG的面积-△NFN的面积=××（t）2-××（-+2）2=t2+t-3，即S=t2+t-3；当2＜t≤3时，如图3所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即S=-t2+t-；（4）∵AH=AB•sin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，∴t=时，点P与H重合，E与H重合，∴点P在△EFG内部时，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），解得：＜t＜；即点P在△EFG内部时t的取值范围为：＜t＜．考点：四边形综合题．15．（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝x cm，DM＝y cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQ⊥CD，根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解；（4）根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折叠可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）当点N在AB上，x≥3，∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN为等腰三角形，只可能NC＝NP．过N点作NQ⊥CD，垂足为Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形．设MP＝y，在Rt△ADM中，，即∴ y=．∴ S=考点：函数的性质、勾股定理.。

2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《四边形的综合问题》(含答案)

专题：四边形的综合问题例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中ABBC ＝67，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF 为等边三角形，则t的值为____________．同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2017B2017C2017D2017的周长是______________．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠B AD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；其中正确结论的序号是____________．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．23例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是 ______________．（1）EF ＝ 2 OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；（3）BE ＋BF ＝ 2 OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝ 34；（5）OG ﹒BD ＝AE 2＋CF 2 ．同类题型4.4 如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D时，点G 移动的路径长为 _____________．参考答案例1．如图，△APB 中，AB ＝2 2 ，∠APB ＝90°，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是__________．解：如图，延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°－150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF ＝12CP ＝12b ，a 2＋b 2 ＝8， ∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP ＝AP ＝CD ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b ＝12ab ， 又∵（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 ≥0，∴2ab ≤a 2＋b 2 ＝8，∴12ab ≤2， 即四边形PCDE 面积的最大值为2．同类题型1.1 如图，△APB 中，AP ＝4，BP ＝3，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和正△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是___________．解：∵△APE 和△ABD 是等边三角形，∴AE ＝AP ＝4，AB ＝AD ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ＝60°－∠DAP ，在△EAD 和△PAB 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AP∠EAD ＝∠PAB AD ＝AB∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴DE ＝BP ，同理△DBC ≌△ABP ，∴DC ＝AP ，∵△APE 和△BPC 是等边三角形，∴EP ＝AP ，BP ＝CP ，∴DE ＝CP ＝3，DC ＝PE ＝4，∴四边形PCDE 是平行四边形，当CP ⊥EP 时，四边形PCDE 的面积最大，最大面积是3×4＝12．同类题型1.2 如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF ＝∠EAF ；③△ECF 是等边三角形；④CG ⊥AE ．A ．只有①②B ．只有①②③C ．只有③④D ．①②③④解：∵△ABE 、△ADF 是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．选B．同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）解：证明：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．答案为①②③④．同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AH∥BG，AD＝BC，∴∠H＝∠HBG，∵∠HBG＝∠HBA，∴∠H＝∠HBA，∴AH＝AB，同理可证BG＝AB，∴AH＝BG，∵AD＝BC，∴DH＝CG，故C正确，∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，∴OH＝OB，故A正确，∵DF∥AB，∴∠DFH＝∠ABH，∵∠H＝∠ABH，∴∠H＝∠DFH，∴DF＝DH，同理可证EC＝CG，∵DH＝CG，∴DF＝CE，故B正确，无法证明AE ＝AB ，选D ．例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中ABBC ＝ 67，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．解：如图乙，H 是CF 与DN 的交点，取CD 的中点G ，连接HG ，，设AB ＝6a cm ，则BC ＝7a cm ，中间菱形的对角线HI 的长度为x cm ，∵BC ＝7a cm ，MN ＝EF ＝4cm ，∴CN ＝7a ＋42， ∵GH ∥BC ， ∴GH CN ＝DG DC， ∴7a －x27a ＋42＝12， ∴x ＝3.5a －2…（1）； ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，∴6a ﹒（7a －x ）÷2＝54，∴a （7a －x ）＝18…（2）；由（1）（2），可得a ＝2，x ＝5，∴CD ＝6×2＝12（cm ），CN ＝7a ＋42＝7×2＋42＝9(cm) ， ∴DN ＝122＋92 ＝15（cm ）， 又∵DH ＝DG 2＋GH 2＝62＋(7×2－52)2 ＝7.5（cm ）， ∴HN ＝15－7.5＝7.5（cm ）， ∵AM ∥FC ，∴KN HK ＝MN CM ＝49－4＝45 ， ∴HK ＝54＋5×7.5＝256(cm) ， ∴该菱形的周长为：256×4＝503（cm ）．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．解：延长AB 至M ，使BM ＝AE ，连接FM ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°∴AB ＝AD ，∠A ＝60°，∵BM ＝AE ，∴AD ＝ME ，∵△DEF 为等边三角形，∴∠DAE ＝∠DFE ＝60°，DE ＝EF ＝FD ，∴∠MEF ＋∠DEA ═120°，∠ADE ＋∠DEA ＝180°－∠A ＝120°，∴∠MEF ＝∠ADE ，∴在△DAE 和△EMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ME∠MEF ＝∠ADE DE ＝EF∴△DAE ≌EMF （SAS ），∴AE ＝MF ，∠M ＝∠A ＝60°，又∵BM ＝AE ，∴△BMF 是等边三角形，∴BF ＝AE ，∵AE ＝t ，CF ＝2t ，∴BC ＝CF ＋BF ＝2t ＋t ＝3t ，∵BC ＝4，∴3t ＝4，∴t ＝43． 同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 为AD 中点，∴2MD ＝AD ＝CD ＝2，∠FDM ＝60°，∴∠FMD ＝30°，∴FD ＝12MD ＝12 ， ∴FM ＝DM ×cos30°＝32， ∴MC ＝FM 2＋CF 2＝7 ，∴A ′C ＝MC －MA ′＝7 －1．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．解：∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°，顺次连结菱形ABCD 各边中点，∴△AA 1D 1 是等边三角形，四边形A 2B 2C 2D 2 是菱形，∴A 1D 1 ＝5，C 1D 1＝12AC ＝5 3 ，A 2B 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝A 2D 2 ＝5， 同理可得出：A 3D 3＝5×12 ，C 3D 3＝12C 1D 1＝12×5 3 ， A 5D 5＝5×（12）2 ，C 5D 5＝12C 3D 3＝（12）2×5 3 ， …∴四边形A 2015B 2015C 2015D 2015 的周长是：5＋5321007 ．例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）解：延长CB ，FE 交于点G ，∵∠AEF ＋∠BEC ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴∠AEF ＝∠BCE ，①正确；在△AEF 和△BEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE ＝∠GBE ＝90°AE ＝BE∠AEF ＝∠BEG， ∴△AEF ≌△BEG （ASA ），∴AF ＝BG ，EF ＝EG ，∵CE ⊥EG ，∴S △CEG ＝S △CEF ，CG ＝CF ，∴S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ，②正确；∴AF ＋BC ＝BG ＋BC ＝CG ＝CF ，③错误；∵BC CD ＝32， ∴∠BCE ＝30°，∴∠FCE ＝∠FCD ＝30°，在△CEF 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠FEC ＝90°∠DCF ＝∠ECFCF ＝CF， ∴△CEF ≌△CDF （AAS ），④正确．同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；其中正确结论的序号是____________．解：∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE= 2 AB ，∵AD= 2 AB ，∴AE ＝AD ，在△ABE 和△AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DAE∠ABE ＝∠AHD ＝90°AE ＝AD， ∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE ＝DH ，∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12（180°－45°）＝67.5°，∴∠CED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵∠AHB=12 （180°－45°）＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB （对顶角相等）， ∴∠OHE ＝∠AED ，∴OE ＝OH ，∵∠DOH ＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH ＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DOH ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ，∴OE ＝OD ＝OH ，故⑤正确；∵∠EBH ＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD ，又∵BE ＝DH ，∠AEB ＝∠HDF ＝45°在△BEH 和△HDF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EBH ＝∠OHDBE ＝DH ∠AEB ＝∠HDF∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，HE ＝DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD ＝BE 、DF ＝EH ＝CE ，CF ＝CD －DF ，∴BC －CF ＝（CD ＋HE ）－（CD －HE ）＝2HE ，所以④正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④⑤．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）解：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝2AB ＝ 2 CD ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ＝45°，∵AD ⊥DE ，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD ＝ 2 AB ，∴AH ＝AB ＝CD ，∵△DEC 是等腰直角三角形，∴DE ＝ 2 CD ，∴AD ＝DE ，∴∠AED ＝67.5°，∴∠AEB ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠AEB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ，故①正确；设DH ＝1，则AH ＝DH ＝1，AD ＝DE ＝ 2 ，∴HE ＝ 2 ，∴22HE ＝22≠1，故②错误；∵∠AEH ＝67.5°，∴∠EAH ＝22.5°，∵DH ＝CD ，∠EDC ＝45°，∴∠DHC ＝67.5°，∴∠OHA ＝22.5°，∴∠OAH ＝∠OHA ，∴OA ＝OH ，∴∠AEH ＝∠OHE ＝67.5°，∴OH ＝OE ，∴OH ＝12 AE ，故④正确；∵AH ＝DH ，CD ＝CE ，在△AFH 与△CHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AHF ＝∠HCE ＝22.5°∠FAH ＝∠HEC ＝45°AH ＝CE， ∴△AFH ≌△CHE ，∴∠AHF ＝∠HCE ，∵AO ＝OH ，∴∠HAO ＝∠AHO ，∴∠HAO ＝∠BCF ，∵∠B ＝∠AH E ＝90°，∴△AEH ∽△CFB ，故③正确．答案为：①③④．同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（）A ．24 B ．14 C ．13 D ．23解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12 AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EFAF ＝BEAD ＝12 ，∴EF ＝12 AF ，∴EF ＝13 AE ， ∵点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE ＝DE ，∴EF ＝13DE ，设EF ＝x ，则DE ＝3x ， ∴DF ＝DE 2－EF 2＝2 2 x ，∴tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24； 选A ．例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．解：①∵∠EAB ＋∠BAP ＝90°，∠PAD ＋∠BAP ＝90°，∴∠EAB ＝∠PAD ，又∵AE ＝AP ，AB ＝AD ，∵在△APD 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AP∠EAB ＝∠PAD AB ＝AD， ∴△APD ≌△AEB （SAS ）；故此选项成立；③∵△APD ≌△AEB ，∴∠APD ＝∠AEB ，∵∠AEB ＝∠AEP ＋∠BEP ，∠APD ＝∠AEP ＋∠PAE ，∴∠BEP ＝∠PAE ＝90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90°，∴∠AEP ＝∠APE ＝45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB ＝∠FBE ＝45°，又∵BE ＝BP 2－PE 2 ＝2，∴BF ＝EF ＝ 2 ，故此选项正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE ＝AP ＝1， ∴EP ＝ 2 ， 又∵PB ＝ 6 ，∴BE ＝2，∵△APD ≌△AEB ，∴PD ＝BE ＝2， ∴S △ABP ＋S △ADP ＝S △ABD －S △BDP ＝12 S 正方形ABCD －12×DP ×BE ＝12×（4＋6）－12×2×2＝62． 故此选项不正确．⑤∵EF ＝BF ＝ 2 ，AE ＝1，∴在Rt △ABF 中，AB 2＝（AE ＋EF ）2＋BF 2＝5＋2 2 ，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝5＋22，故此选项不正确．答案为：①②③．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14解：根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4×90π×12360＝π， ∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝4－π4． 选：A ．同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解：①②如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝90°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠FAD ＝∠CAF ＝22.5°，∵BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF ，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠FAD ＝22.5°，∴∠HAC ＝∠FAC ，∴HM ＝FM ，AC ⊥FH ，∵AE 平分∠DAC ，∴DF ＝FM ，∴FH ＝2DF ＝2BH ，故选项①②正确；③在Rt △FMC 中，∠FCM ＝45°，∴△FMC 是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC ＝2 2 ，MC ＝DF ＝2 2 －2，∴FC ＝2－DF ＝2－（22－2）＝4－2 2 ， S △AFC ＝12CF ﹒AD ≠1， 所以选项③不正确；④AF ＝AD 2＋DF 2＝22＋(22－2)2＝24－2 2 ，∵△ADF ∽△CEF ，∴AD CE ＝AF FC ， ∴2CE ＝24－224－22 ，∴CE ＝4－2 2 ，∴CE ＝12AF ， 故选项④正确；⑤延长CE 和AD 交于N ，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE＝EN，∵EG∥DN，∴CG＝DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG 2＝FG﹒CG，∴EG 2＝FG﹒DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P 与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________．（1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠COE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE ＝∠COFOB ＝OC∠OBE ＝∠OCF， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，BE ＝CF ， ∴EF ＝ 2 OE ；故正确； （2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE ＋S △BOE ＝S △BOE ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故正确；（3）∴BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝ 2 OA ；故正确；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12， 设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ﹒BF ＋12CF ﹒OH ＝12x （1－x ）＋12（1－x ）×12＝－12（x －14）2＋932， ∵a ＝－12＜0， ∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14；故错误；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB ＝OG ：OE ，∴OG ﹒OB ＝OE 2 ，∵OB ＝12 BD ，OE ＝22EF ， ∴OG ﹒BD ＝EF 2 ，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2 ，∴EF 2＝AE 2＋CF 2 ，∴OG ﹒BD ＝AE 2＋CF 2 ．故正确．故答案为：（1），（2），（3），（5）．同类题型4.4 如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D时，点G 移动的路径长为 _____________．解：如图，设KH 的中点为S ，连接PE ，PF ，SE ，SF ，PS ， ∵E 为MN 的中点，S 为KH 的中点，∴A ，E ，S 共线，F 为QR 的中点，S 为KH 的中点，∴B 、F 、S 共线，由△AME ∽△PQF ，得∠SAP ＝∠FPB ，∴ES ∥PF ，△PNE ∽△BRF ，得∠EPA ＝∠FBP ，∴PE ∥FS ，则四边形PESF 为平行四边形，则G 为PS 的中点， ∴G 的轨迹为△CSD 的中位线，∵CD ＝AB －AC －BD ＝6－1－1＝4，∴点G 移动的路径长12 ×4＝2．。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

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1、 《求长度》 （答案）1、（容易）如图1的矩形ABCD 中，有一点E 在AD 上，今以BE 为折线将A 点往右折，如图2所示，再作过A 点且与CD 垂直的直线，交CD 于F 点，如图3所示，若AB= 36，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF 的长度为 4【解】作AH ⊥BC 于H2、（难）如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=6，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为36-【解】长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示： 则CP=DP=21CD=26，△GCP 为直角三角形，∵四边形EFGH 是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG ⊥FH ，∴OG=GH•sin60°=2×23=3，由折叠的性质得：CG=OG=3，OM=CM ，∠MOG=∠MCG ，∴PG==26，∵OG ∥CM ，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM ∥CG ，∴四边形OGCM 为平行四边形，∵OM=CM ，∴四边形OGCM 为菱形，∴CM=OG=3，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN+CM=2PG=6，∴DN=36-3、（中等）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为25【解】△BNA ≅△BNE∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=21DE=25．4、（难度）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG=2，BG=6，则BE 的长为______2.8【解】作EH ⊥BD ，设BE=x在Rt △EHG 中，EG 2=EH 2+GH 2，即(8－x )2=(23x )2+(6－21x )2，解得，x =2.8，即BE=2.8， 故答案为：2.85、如图，▱ABCD 中，AB=7，BC=3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧， 两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是_____ 10．6、（容易）如图，ABCD 的对角线相交于点O ，且AD CD ，过点O 作OM AC ，交AD 于点M ．如果CDM 的周长为8，那么ABCD 的周长是_ 16【解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，∵OM ⊥AC ，∴AM=CM ，∵△CDM 的周长为8， ∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD 的周长是：2×8=16.7、（中等）如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE=8，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD 、CD 于G 、F 两点．若点P 、Q 分别为DG 、CE 的中点，则PQ 的长为_____ 1328、（难度）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=OB ，点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，连接EF ，∠CEF=45°，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，FN=，则线段BC 的长为_____249、（难度）如图，平行四边形ABCD 中，AM ⊥BC 于M ，AN ⊥CD 于N ，已知AB ＝10，BM ＝6，MC ＝3，则MN 的长为___________5734【方法】将目标量置入直角三角形中10、（容易）如上图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为 4【解】以CD 为对称轴作对称变换11、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE : EC ＝4 : 1，则线段DE 的长为 ____102_______．【方法】AD = AE=10；勾股定理12、如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是 [5【解】连接EF 交AC 于O ，∵四边形EGFH 是菱形，∴EF ⊥AC ，OE =OF ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠D =90°，AB ∥CD ，∴∠ACD =∠CAB ， 在△CFO 与△AOE 中，，∴△CFO ≌△AOE ，∴AO =CO ，A BDCM NAE BDC F∵AC ==4，∴AO =21AC =2，∵∠CAB =∠CAB ，∠AOE =∠B =90°，∴△AOE ∽△ABC ，∴，∴，∴AE =5．13、（难度）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝2．点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为 1、2、22-【解】①CF ＝CD 时，过点C 作CM ⊥DF ，垂足为点M ，则CM ∥AE ，DM ＝MF ，延长CM 交AD 于点G ，∴AG ＝GD ＝1，∴CE ＝1， ∵CG ∥AE ，AD ∥BC ，∴四边形AGCE 是平行四边形，∴CE ＝AG ＝1，∴BE ＝1 ∴当BE ＝1时，△CDF 是等腰三角形；②DF ＝DC 时，则DC ＝DF ＝2，∵DF ⊥AE ，AD ＝2，∴∠DAE ＝45°，则BE ＝2， ∴当BE ＝2时，△CDF 是等腰三角形；③FD ＝FC 时，则点F 在CD 的垂直平分线上，故F 为AE 中点． ∵AB ＝2，BE ＝x ，∴AE ＝，AF ＝，∵△ADF ∽△EAB ，∴＝，，x 2﹣4x +2＝0，解得：x ＝2±2，∴当BE ＝22-时，△CDF 是等腰三角形．综上，当BE ＝1、2、22-时，△CDF 是等腰三角形．14、如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60度．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC=60°；连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；…，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 1)3(-n ．解：连接DB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB ．AC ⊥DB ， ∵∠DAB=60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=21， ∴AM==23，∴AC=3，同理AC 1=3AC=（3）2，AC 2=3AC 1=33=（3）3， 按此规律所作的第n 个菱形的边长为1)3(-n15、如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4，AO=26，那么AC 的长等于 16 ．【解】如图，过O 点作OG 垂直AC ，G 点是垂足．∵∠BAC=∠BOC=90°，∴ABCO 四点共圆，∴∠OAG=∠OBC=45° ∴△AGO 是等腰直角三角形，∴2AG 2=2GO 2=AO 2=2)26(=72， ∴OG=AG=6，∵∠BAH=∠OGH=90°，∠AHB=∠OHG ，∴△ABH ∽△GOH ，∴AB/OG=AH/（AG ﹣AH ），∵AB=4，OG=AG=6，∴AH=2.4 在直角△OHC 中，∵HG=AG ﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG 又是斜边HC 上的高， ∴OG 2=HG×GC ，而OG=6，GH=3.6，∴GC=10．∴AC=AG+GC=6+10=16． 故AC 边的长是16．16、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，E 为DC 中点，tanC=34．则AE 的长度为265【解】过点E 作BC 的垂线交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M ， 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，∴∠M=∠MFC ，DE=CE ；在△MDE 和△FCE 中，∠M=∠MFC ，∠DEM=∠CEF ，DE=CE ；∴△MDE ≌△FCE ，∴EF=ME ，DM=CF ． ∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=23， 在Rt △FCE 中，tanC=CFEF =34，∴EF=ME=2，在Rt △AME 中，AE=265)232(222=++ 17、如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，延长BA 到点G ，使AG = CF ，连接GF ．若BC = 7，DF = 3，tan ∠AEB =3 ，则GF 的长为 23【解】连接AC ，羊场AE 与DC 延长线交于一点H18、（容易）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = 3，BC=4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 于 点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为1DG ABCDEMABC DEF【解】构造平行四边形。

等量迁移。

19、（难度）图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为8+42，则图3中线段AB 的长为2+1 ．【解】设原八角形边长为a ，则图2正方形边长为2a +2a 、面积为（2a +2a ）2，四个小 三角形面积和为2a 2，列式得（2a +2a ）2+2a 2=8+42，解得a =1，则AB=1+2．20、如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 32或72或2 ．【解】当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO ，∴PO=BO ， ∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP 为等边三角形， ∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×23=32 当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP 中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO ，∠APB=90°，∴PO=AO ， ∵∠AOC=60°，∴△AOP 为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．21、（容易）如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ， 则线段GH 的长为 2222、如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OA=OB=a ，以线段AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，CD 的延长线交x 轴于点E ，再以CE 为边作第二个正方形ECGF ，…，依此方法作下去，则第n 个正方形的边长是 .122n a -yO D CG NBEHF K MA23、如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD ，AD =2，E 为CD 中点，连接AE ，且AE =23，∠DAE = 30°，作AE ⊥AF 交BC 于F ，则BF = 224-【解】如图，延长AE 交BC 的延长线于G ，∵E 为CD 中点， ∴CE =DE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DAE =∠G =30°，在△ADE 和△GCE 中，，∴△ADE ≌△GCE （AAS ），∴CG =AD =2，AE =EG =23，∴AG =AE +EG =23+23=43， ∵AE ⊥AF ，∴AF =AGtan 30°=43×33=4，GF =AG ÷cos 30°=43÷23=8， 过点A 作AM ⊥BC 于M ，过点D 作DN ⊥BC 于N ，则MN =AD =2 ∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴BM =CN ， ∵MG =AG •cos 30°=43×23=6，∴CN =MG ﹣MN ﹣CG =226- ∵AF ⊥AE ，AM ⊥BC ，∴∠F AM =∠G =30°，∴FM =AF •sin 30°=4×21=2，∴BF =BM ﹣MF =6﹣22﹣2=224-24、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为线段BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ，CF 交DE 于点P ．若AC =24，CD = 2，则线段CP 的长 1【解】过A 作AM ⊥BD 于M ，∵∠BAC =90°，AB =AC =24，∴∠B =∠ACB =45°，由勾股定理得：BC =8，∵CD =2，∴BD =8﹣2=6，∵∠BAC =90°，AB =AC ，AM ⊥BC ，∴∠B =∠BAM =45°，∴BM =AM ， ∵AB =4，∴由勾股定理得：BM =AM =4，∴DM =6﹣4=2，在Rt △AMD 中，由勾股定理得：AD ==2， ∵四边形ADEF 是正方形，∴EF =DE =AF =AD =2，∠E =90°，∵ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°． ∵∠BAC =90°，∴∠BAD =∠CAF =90°﹣∠DA C ．设CP=x，∵在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD=6，∠B=∠ACB=∠ACF=45°，∴∠PCD=90°=∠E，∵∠FPE=∠DPC，∴△FPE∽△DPC，∴=，∴=，x2+3x﹣4=0，x=﹣4（舍去），x=1，即CP=1，25、（难度）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点6，则另一直角边BC的长为7 ．O，连接OC，已知AC=5，OC=2【解法一】如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∵OC=2∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=N B．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．∵OC=226、四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH ⊥DG 与H ．若AB =4，AE =2时， 则线段BH 的长是5108【解】连结GE 交AD 于点N ，连结DE ，如图，∵正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°，∴AF 与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上， ∵AE =2，∴AN =GN =1，∴DN =4﹣1=3，在Rt △DNG 中，DG =22GN DN =10 可得：△ABE 相当于逆时针旋转90°得到△AGD ，∴DG =BE =10， ∵S △DEG =21GE •ND =21DG •HE ，∴HE =106=5103∴BH =BE +HE =5103+10=510827、如图，平行四边形ABCD 中，AM ⊥BC 于M ，AN ⊥CD 于N ，已知AB ＝10，BM ＝6，MC ＝3，则MN 的长为_____5734______【方法】将目标量置入直角三角形中28、如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，将纸片折叠，使点A 落在边CD 上的A ′处，折痕为BE ．在折痕BE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点A 的距离相等，则此相等距离为______25_____． ABD CMN【方法】可证：PAEA '为菱形29、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为17178【解】过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴四边形ABED 是矩形，∴BE =AD =2， ∵BC =CD =5，∴EC =3，∴AB =DE =4，延长AB 到A ′，使得A ′B =AB ，连接A ′D 交BC 于P ，此时P A +PD 最小，即当P 在AD 的中垂线上，P A +PD 取最小值，∵B 为AA ′的中点，BP ∥AD ∴此时BP 为△AA ′D 的中位线，∴BP =21AD =1， 根据勾股定理可得AP =22BP AB =17，在△APD 中，由面积公式可得△APD 中边AP 上的高= 2×4÷17=17178．2、《四边形》求值（答案）1、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB=4，AD=6，则tanB = 22【解】∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，C A BD A ′EPCAB DA ′E∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC （等腰三角形三线合一的性质）， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=21AB=2， ∵==1，∴DF=EF=2，在Rt △ADF 中，AF==24，则AC=2AF=28，tanB===22．2、如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）a 223、如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，连接DE ，若△DEC 是等腰三角形，则 ABAD的值为___________1或21-522或________【解】设AD=1, AB= a , 利用相似建立方程求出a 值。

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