探究应用新思维-数学7年级11-40

当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边,AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-;（2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-.请回答:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________;②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______.（南京市中考题）思维方法天地11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________.（“五羊杯”竞赛题）13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）14.（1）11x x ++-的最小值为__________.（“希望杯”邀请赛试题）（2）111213x x x ++-++的最小值为________.（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示:,则代数式1111a ab a ba a ab b +---+-+--的值为（ ）. A.1-B.0C.1D.2 （“希望杯”邀请赛试题）16.若()2210m n ++-=,则2m n +的值为（ ）.A.4-B.1-C.0D.4（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0,且C 是AB 的中点.如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=,那么原点O 的位置在（ ）.A.线段AC 上B.线段CA 的延长线上.iC.线段BC 上D.线段CB 的延长线上!（江苏省竞赛题）18.设1m x x =+-,则m 的最小值为（ ）. A.0B.1C.1-D.2（重庆市竞赛题）19.已知点A 在数轴上对应的数为a ,点B 对应的数为b ,且()2410a b ++-=,A 、B 之间的距离记作AB . （1）求线段的长AB ;（2）设点P 在数轴上对应的数为x ,当2PA PB -=时,求x 的值;（3）若点P 在A 的左侧,M 、N 分别是的中点,当点P 在A 的左侧移动时,式子PN PM -的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由. 20.已知a b c abcx a b c abc=+++,且a 、b 、c 都不等于0,求1的所有可能值.; （“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设a 、b 为有理数,比较a b +与a b +的大小.（2）已知a 、b 、c 、d 是有理数,9a b -≤,16c d -≤,且25a b c d --+=,求b a dc ---的值.（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数.:（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由. （3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例1（1）已知()()211,2,3,1n a n n ==+,记()1121b a =-,()()()()()21212211,,b 2111n n b a a a a a =--=---,则通过计算推测n b 的表达式n b =_________.（用含n 的代数式表示）（成都市中考题）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是______.（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（2）,运用相关概念的特征解题.例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（ ）.: A.0B.10C.2D.12（江苏省竞赛题）试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （广西竞赛题）（2）111112123123100+++++++++++;（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （“五羊杯”竞赛题）试一试 对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例4 在数学活动中,小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形.图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值; （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n +++++的值的几何图形.（辽宁省大连市中考题）试一试 求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键. 例5 在1,2,,2002前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0.代数和的最小值能是0吗?能是1吗?由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手. 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于1. 又()()()()1234567891011121314-++--++--++--+++()19992000200120021--+=,∴所求非负代数和的最小值为1.类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 例6 观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 问:（1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律. （2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”. 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题. 分析与解 （1）()11111n n n n =-++.（2）从连续自然数到连续偶数,从2个到3个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:①111244620122014+++⨯⨯⨯; ②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯; ③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯;④22221232012++++.数学冲浪知识技能广场1.如图,每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:()135721n +++++-=_______.（用n 表示,n 是正整数）.（第1题）（2012年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加1,第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭,第2位同学报112⎛⎫+⎪⎝⎭,第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为________. （2012年河北省中考题）3.计算:（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=______.（“希望杯”邀请赛试题）（2）23181920223222-----+=_______.（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出12398991005050++++++=,今天我们可以将高斯的做法归纳如下: 1239899100S =++++++ ① 1009998321S =++++++ ② ①+②有()21100100S =+⨯,5050S =. 请类比以上做法,回答下列问题: 若n 为正整数,()35721168n +++++=,则n =_______.（2012年湖北省黄石市中考题）5.设0a <,在代数式|a ,a -,2009a ,2010a,a -,2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭中负数的个数是（ ）. A.1B.2C.3D.4（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:100克以内0.7元,每增加100克（不足100克按100克计）0.4元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为470克,则他应付邮资（ ）元.A.2.3B.2.6C.3D.3.5（2012年四川省竞赛题）7.为了求232012222+++++的值,可令232012222S +=++++,则2342009222222S ++++=+,,因此2009221S S -=-所以2321222221+++++=-.仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）. A.200951-B.201051-C.2009514-D.2010514-（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; 第2个数:()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 第3个数:()()()()234511111111111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ……第n 个数:()()()232111111111112242n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（ ）.A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（1）按下表已填写的形式填写表中的空格:（2012年益阳市中考题）10.观察下列等式: 第1个等式:111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; 第2个等式:2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭第3个等式:3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式:4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; ……请解答下列问题:（1）按以上规律列出第5个等式:5a =______=_______;（2）用含n 的代数式表示第n 个等式n a =______=_______;（n 为正整数）; （3）求1234100a a a a a +++++的值.（2012年广东省中考题）思维方法天地 11.计算: （1）11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_____. （“希望杯”邀请赛试题）（3）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.（江苏省竞赛题）12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a b +,a 的形式,又可分别表示为0,ab,b 的形式,则20042001a b +=______. 13.已知31x x =+,则()2005264489x x ++=______.（“五羊杯”竞赛题）14.已知a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <,则代数式的a b ca b c++值是________.（四川省竞赛题）15.11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）. A.118 B.136 C.133 D.166（北京市竞赛题）16.如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足()()()()77774m n p q ----=,那么m n p q +++等于（ ）. A.10 B.21C.24D.26E.2817.如果3121231t t t t t t ++=,那么123123t t t t t t 的值为（ ）. A.1-B.1C.1±D.不确定（河北省竞赛题）18.观察下列各式: （1）211=; （2）32343++=; （3）2345675++++=; （4）2456789107++++++=;……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）. A.210051006100730162011++++= 2 B.210051006100730172011++++=C.210061007100830162011++++=D.210071008100930172011++++=（济南市中考题）19.观察下面的等式:224⨯=,224+=; 313422⨯=,313422+=; 414533⨯=,414533+=; 515644⨯=,515644+=. （1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++.但n 为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道()()()10112231113n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=+-时,我们可以这样做:（1）观察并猜想:()()()()2212101112101212120112+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯, ()()()2221231011121231012123++=+⨯++⨯++⨯=+⨯++⨯++ ()()23123011223⨯=+++⨯+⨯+⨯,()()()22221134101112123+++=+⨯++⨯++⨯+_______101=+⨯+212323+⨯++⨯+______()()1234_______________=++++;……（2）归纳结论:()()()()222212310111212311n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-⎡⎤⎣⎦()1012123231n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯=（_________________）+（_______________________）=____________+______________ 16=_____________;（3）实践应用::通过以上探究过程,我们就可以算出当n 为100时,正方形网格中正方形的总个数是________.（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国着名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求1234n +++++的值,其中n 是正整数.对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n 的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求1234n +++++的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,,n 个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n +++++的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有n 行,每行有()1n +个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为()1n n +个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为()12n n +,即()112342n n n ++++++=.（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求()135721n +++++-的值,其中n是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）. （2）试设计另外一种图形,求()135721n +++++-的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）（山东省青岛市中考题）22.在“123456789□□□□□□□□□”的小方格中填上“+”、“-”号,如果可以使其代数和为n ,就称数n 是“可被表出的数”（如1是可被表出的数,这是因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）. （1）求证:7是可被表出的数,而8是不可被表出的数; （2）求25可被表出的不同方法的种数.（四川省竞赛题）4.信息技术中的数学问题解读课标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展,人类社会已步入信息时代,并将迈入后信息化时代:IT 技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式. 计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式,现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具.近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景,这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透,构思巧妙、立意新颖,其托容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等. 解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系,将其转化为数学问题. ——问题解决——例1 给出下列程序x k −−→−−→⨯−−→立方输入输出,且已知当输入的x 值为1时,输出值为1;输入的x 值为1-时,输出值为3-,则当输入的x 值为12时,输出值为____. （广西竞赛题）试一试 把程序流程图用代数式表示,由条件先求出k 、b 的值.例2 计算机利用的是二进制数,它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进制数,只需把该数写成若干个2n数的和,依次写出1或0即可.如()()4321219162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十.为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的（ ）. A.10位数 B.11位数 C.12位数D.13位数（湖北省荆门市中考题）试一试本例渗透了计算机的基本知识—“二进制计算”,无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式.例3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送.例如信息到2b 点可由经1a 的站点送达,也可由经2a 的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条.（第17届“希望杯”邀请赛试题）试一试 在阅读理解的基础上,画出路线示意图,穷举得出结论.例4 你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号,据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳.其实,这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的.每个二进制数都由0和1构成,电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”.一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数.例如“开”“开”“关”表示“110”.如图,电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连）,且相邻的两个元件不能同时是关的.（以下各小题要求写出解答过程）（1）若此电路上有4个元件,则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种?（请一一列出）;（2）若用k a 表示电路上()1k k ≥只电子元件所有不同的“开”“关”状态数,试探索k a 、1k a +、2k a +之间的关系式（不要求论证）;（3）试用（2）中探索出的递推关系式,计算10a 的值.（《时间学习报》数学文化节试题）试一试对于（1）,通过穷举,得出答案值;对于（2）,从特例入手,归纳出相应关系式. 例5 先阅读下面的材料,再解答后面各题.现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解,其中Q 、W 、E 、…、N 、M 这26个字母依次对应1、2、给出一个变换公式:()()(),126,3,126,,3217,331,126,318,23xx x x x x x x x x x x x x x ⎧'=⎪⎪+⎪'=+⎨⎪+⎪≤≤≤≤≤≤'=+⎪⎩是正整数被整除是正整数被整除余是正整数被整除余 将明文转换成密文,如:42417193+→+=,即R 变为L ; 111118123+→+=,即A 变为S .将密文转换成明文,如:()2132117210→⨯--=,即X 变为P ; ()133138114→⨯--=,即D 变为F .（1）按上述方法将明文NET 译为密文;（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN ,请找出它的明文.（湖北省十堰市中考题）试一试对于（1）,由明文选择变换公式,求得相应整数,推出密文;对于（2）,逆用变换公式,即由x'导出x值,推出明文,解题的关键是确定变换公式中x'的取值范围.电话号码的破译例6 同学们看电影、看电视时,经常遇到破译密码的故事情节.在军事上、商业上,为了保密,都采用密码.破译密码需要有解密的“钥匙”.下面我们也来破译一个电话号码:一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的,如图,话机上的数字排列顺序是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,图中画出了拨数字5时相应的小孔转过的路线）,随着拨号盘转回的声音,用铅笔以同样的速度在纸上画线,他画出的6条线如下:他很快就知道了那人拨的电话号码,这个号码是多少?（《时代学习报》数学文化节试题）分析与解从电话拨盘上可以看出,拨1时,画出的线段最短,拨0时,画出的线段最长,由于画线速度相同,所以,每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度.间谍所画下的这6条线段的长度互不相等,所表示的6个数字当然也不一样,在0~9这10个数字的6个数字中至少有2个数字是相邻的（想一想为什么）,因此,长度最接近的两条线段的长度差,就一定是上面所谈到的那个固定长度.通过对这6条线段进行度量,可以发现第一条线段与第二条线段最为接近,它们相差0.6厘米（相当于1个格子的宽度）.由于最长的线段与最短的线段相差5.4厘米（相当于9个格子的宽度）,因此可以断定最长的线段代表数字0,而最短的线段则代表1.+=,同样可推知第六条线段代第一条线段比第三条线段长3厘米,因此第一条线段代表156表3,第四条线段代表8,第二条线段代表5,所以这个电话号码是651803.数学冲浪知识技能广场1.二进制数为法国数学家莱布尼兹所创,例如二进制数1101表示十进制数3211212021⨯+⨯+⨯+,即相当于十进制数13,试将二进制数1101化为十进制数________.二进制数是现代计算机理论的基础.2.如图,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为1-时,则输出的数值为_____.()32x−−→⨯-−−→-−−→输入输出（江苏省南通市中考题）那么,当输入数据是时,输出的数据是_______.（广东省深圳市中考题）4.在计算器上按照下面的程序进行操作:下表中的x 与y 分别是输入的6个数及相应的计算结果:（浙江省台州市中考题）5.在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,一层二叉树的结点总数为1,二层二叉树的结点总数为3,三层二叉树的结点总数为7……照此规律,七层二叉树的结点总数为（ ）.（第5题）A.63B.64C.127D.128（呼和浩特市中考题）6.如图所示的运算程序中,若开始输入的x 值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出的结果为12,……,则第2010次输出的结果为（ ）. A.6 B.3C.200632 D.100332（山东省淄博市中考题）7.计算机是将信息换成二进制数进行处理的,二进制即“逢2进1”,如()21101表示二进制数,将它转换成十进制形式是321121202113⨯+⨯+⨯+=,那么将二进制数()21101转换成十进制形式是数（ ）.A.8B.15C.20D.308.按下列程序计算,把答案写在表格内:n n n n −−→−−→+−−→÷−−→-−−→平方答案（1）填写表格:（2）请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.（广东省中考题）9.密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色,下面6道算式,乍看真是莫名其妙！ ①8762+=;②535+=;③12823+=;④50954+=;⑤11155⨯=;⑥091-=. 当你知道这只是密码算式,各个密码数字各自对应另一个不同数字时,算式就合理了. 请根据算式,写出表中密码所对应的数字.10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文（加密）,接收方由密文明文（解密）.已知有一种密码,将英文26个小写字母,,,,a b c z 依次对应0,1,2,3,,25这26个自然数（见表格）.当明文中的字母对应的序号为β时,将10β+除以26后所得的余数作为密s c按上述规定,将明文“”译成密文.（广州市中考题）思维方法天地11.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如9817+=,也可写成()()()1010109817+=;在四进制加法中,逢四进一,如()()()4443711+=,那么在n 进制中有等式()()()5543142n n n +=,则n =______.（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）12.某综合性大学拟建校园局域网络,将大学本部A 和所属专业学院B 、C 、D 、E 、F 、G 之间用网线连接起来.经过测算,网线费用如图所示（单位:万元）,每个数字表示对应网线（线段）的费用,实际建网时,部分网线可以省略不建,但本部及所属专业学院之间可以传递信息,那么建网所需的最少网线费用为_________万元.（第12题） （第13题）13.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”的原则.如图堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b ,a ,取出数据的顺序是a ,b ;堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e ,d ,c ,取出数据的顺序则是c ,d ,e 现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据）,则不同顺序的取法的种数有（ ）.A.5种B.6种C.10种D.12种（江苏省竞赛题）14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相连,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为（ ）. A.19 B.20 C.24 D.26（第14题） （第16题）15.写出一个四位数,它的各个数位上的数字都不相等（如6847）,用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数,并用最大数减去最小数,得到一个新的四位数,对于新得到的四位数,重复上面过程,又得到一个新的四位数,一直重复下去,你发现了什么?请你用计算器,帮助你进行探索.16.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位:小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元?（全国初中数学竞赛题）17.按下面的程序计算,若开始输入的值为正数x ,最后输出的结果为656,那么满足条件的x 的不同值最多有多少个?（浙江省中考题）18.在密码学中,你直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25,现有4个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ,2x ,3x ,4x .已知整数122x x +,23x ,342x x +,43x ,除以26的余数分别是9,16,23,12,请你通过推理计算破译此密码,写出这个单词,并写出此单词的汉语词意.（新疆建设兵团中考题）5.整式的加减解读课标代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,是后续学习中进行运算、解决问题的基础.在代数式中,我们把那些含相同的字母,并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类—称为同类项,一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项,整式的加减就是合并同类项.代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题,解这类问题的基本方法有:将字母的值代人或字母间的关系整体代人,而关键是对代数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数式的结构,是变形求解的常用工具. ——问题解决——例1 平、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m 元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是_______.（2012年黑龙江省绥化市中考题）试一试 用m 的式子分别表示三家超市降价后的价格.例2 下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）. A.1627384950 B.2345678910 C.3579111300 D.4692581470（江苏省竞赛题）试一试 用字母表示数,从揭示100个连续自然数之和的规律入手.例3 已知关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-,当2x =时的值为17-,求当2x =-时该多项式的值.（北京市“迎春杯”竞赛题）试一试 设法求出a 、b 的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a 、b 的等式.例4 有这样的两位数,交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数.例如,29就是这样的两位数,因为2299212111+==,请你找出所有这样的两位数.（江苏省竞赛题）试一试 设原数为发现的特点是解本例的出发点.例5 如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要________枚棋子,摆第n 个图案需要_______枚棋子.（山东省青岛市中考题）1716116a ==+=+⨯;()21916121126a ==++=++⨯; ()33716121811236a ==+++=+++⨯;……猜想()2112346331n a n n n =++++++⨯=++,再将6n =代入该代数式得127.解法二 数形结合,分解图形,感悟从部分研究整体的思想.问题中“按照这样的方式摆下去”,何种方式并没有明确的界定,我们可以有不同的理解,如从平行四边形角度看,把图形分成三个平行四边形. 如图,图的序列号:1,2,3,4,5,图中的点的数目:7,19,37,61,91,()171123a ==+⨯⨯; ()2191233a ==+⨯⨯; ()3371343a ==+⨯⨯; ()4611453a ==+⨯⨯; ()5911563a ==+⨯⨯;……猜想()2113331n a n n n n =++⨯=++⎡⎤⎣⎦.整体思考整体思考是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析与改造,从整体上把握问题的特征和解题方向.例6（1）已知当1x =时,226ax x +的值为3,则当2x =时,268ax x +-的值为_______.（2012年成都市中考题）（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm ,宽为ncm ）的盒子底部（如图②）,盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,。