在新教材下函数的放缩能力的提升

新教材下函数的放缩能力的提升与导数结合的函数放缩题是近几年各种大型考试的热点，一诊、二诊、三诊以及高考的压轴题都常常选这一背景进行命题。

如何构造函数是这一类题的精髓所在！在新教材体系下，这一种能力在学生中如何有效突破，如何有效提升成为了一个很关键的课题。

现在就我对教学中的一些做法与想法与大家共同探讨一下，让大家看看我其中的得与失，力争让每一个到会的朋友都能有一定的收获。

一、“抓手一”从我个人的经验看，在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，如何摆脱ln x ，把对数背景的数列转变为普通数列，成了突破函数放缩能力的第一“抓手”，关于不等式：1ln 1x x x x-≤≤-（1x ≥）成为了这一类题的最好素材。

（为了让学生加强记忆，有所沉淀，我把上一不等式常常戏称为“定海神针”，以达到强化记忆的目的。

）所以刚开始时，我就集中选练这一方面的很多小题，如： 例1．求证21+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n1例2．已知n N *∈，求证：111111ln 2122121n n nnn n ++⋅⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅⋅++++-例3．证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．例4．求证:212131211n n>-++++例5．已知,4n N n ∈≥.求证：11117123210n n n n++++<+++ .例6．求证:213121111<++++++<n n n例7．数列{}n a 中，1n n a n =+，求证()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+ 。

例8．求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211(例9．（2012一诊22）已知函数21()ln22f x x m m x m =-+-，0m <。

（1）当1m =-时，求函数()3x y f x =-的单调区间；（2）已知2e m ≤-，（其中e 是自然对数的底数），若存在实数011,22e x -⎛⎤∈-⎥⎝⎦，使0()1f x e >+成立，证明210m e ++<；（3）证明：2183(1)(2)ln32nk k n n k=-++>∑（n N *∈）二、“抓手二”这是我让学生过的第一道关，这一道关其实学生很好就能把握的。

但在学习的过程中，又常常会遇到很多不能用1ln 1x x x x -≤≤-（1x ≥）放缩成功的，比如说：以下几例中所渗透出来的不等式，就比1ln 1x x x x -≤≤-（1x ≥）要求还要高一些，这是我教学中的第二个“抓手” 11ln ()12x x x x≤-≤- （1x ≥），定海神针的内涵也被拓宽成了下列不等式111ln ()12x x x x xx-≤≤-≤-（1x ≥）。

例10．（2010四川理科22题（2））对任意正整数证明不等式2(1)2ln 02n n n n+--+≤。

例11．证明：1111ln(1)(1)232(1)n n n nn ++++>++≥+ 。

例12．证明：11111ln(21)()3521221n n n N n n +++++>++∈-+三、“抓手三”在教学过程中，我还遇到了这样一个题： 例13．（全国二理22，有改动） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2x f x x x =+-+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0；（Ⅱ）证明： 199()10＜21e .在做完这一个题以后，我给一ln x 的逼近函数，12(1)ln 11x x x x xx --≤≤≤-+，就把上面这一个题反复研究，学生对定海神针的内涵又进了一层。

四、“抓手四”在教学过程中，要善于抓住考题中的“乌龙”， 从而提升破题速度。

而这一类题通过1l n 1x x x x-≤≤-（1x ≥）的图象可以看得一清二楚。

常见的真数远远大于1的函数放缩，基本上都是“乌龙”题。

例15．证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例16．求证：<+)1(2n n n ln 4ln 3ln 2ln ∙⋯⋯∙∙∙)2(≥n例17．求证nnn 1ln 44ln 33ln 22ln <∙⋯⋯∙∙∙)2(≥n例18．2222222ln 2ln 3ln 21(,2).232(1)n n n n n nn --+++<∈≥+N例19．求证:)2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα例20．求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n nn n∈+-<++++.例21．求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n例22.（二诊22题）已知函数a xa x g x x f (.23)(,ln )(-==为实常数）．(I)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值； (Ⅱ)若方程)()(2x g e x f =（其中 71828.2=e ）在区间]1,21[上有解，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)证明：*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=（参考数据：6931.02ln ≈）五、“抓手五”既然在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，那么对e 的理解我认为也是一种必需的知识储备，1lim (1)n n e n→+∞+=，做为数学分析中的一种最基本最重要的极限，在导数的公式推导中，我也给学生讲了一下。

但最重要的是：我让学生通过这一个结论的记忆，知道一些常见的不等式：如（1）n N *∈时，1(1)n e n+< ；（2）数列1(1)n n a n=+为一个单调递增数列；（3）1(1)2nn +<（4）1(1)3nn +<（5）22(1)n e n+<有一个晚自习时，我曾经让班上的学生做了两个题，其中的一个题是高三的三诊模拟题， 例23.（四中三诊模拟22题）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）若数列}{n b 中24b =，前n 项和为n S ，且4()(*).n n S nbn a n n N -=+∈证明：1215(1).3nb nb +<很多学生在做最后一个不等式证明时，用15(1)23nn +<<，很快得证。

在教学过程中，还曾经遇到过这样两个题，都是学生问我的，我觉得有一类用贝努里不等式能处理的问题，用定海神针来做，也行。

如： 例24．求证：23423433334(,2)313131313nnn N n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<∈≥----例25．求证：n N *∈时，21)411()411)(411(2>---n六、“抓手六”我个人习惯在讲一种难题时，首先要尽可能多地给学生以铺垫，让学生在成功的体验中学习，更有趣一些。

让学生能自主地找到突破口，是最重要的。

例26．已知：数列{}n a 满足：11a =，11122n n n n a a ++=+，n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1112n n a -≤≤； （3）设224n n nT a n n =-+，且21ln(1)2n n n K T T =++。

证明：22n n nT T K <+。

例27． 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.例28．已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2na e <.例29．(1)证明: ()ln 1(0)x x x +<>(2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n --⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭; ①证明: ()724n a n ≥≥②()21n a en <≥七、“抓手七”当然学生既使学会了这些，也只是具备了一定的能力而已，在未来的高三提升中，还需要更多的磨砺与积累。