力矩和力偶的相同点和不同点
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力矩和力偶矩的概念
力矩和力偶矩的概念力矩和力偶矩是物理学中的基本概念，它们在机械、力学等领域中应用广泛。
下面将详细地介绍它们的含义和相关概念。
一、力矩力矩，也称为力臂矩，是指力在某一点的偏转能力，即力通过某一点产生的旋转效应。
在物理学中，力矩的计算公式为：M=F*d，其中M 表示力矩，F表示作用力，d表示作用力对应的力臂。
通常我们用N·m 来表示力矩的单位。
力矩的方向与力的方向垂直，遵循右手定则，即以力为轴心，右手四指指向力的方向，拇指的方向就是力矩的方向。
下面简单介绍一下力矩的几种类型：1. 静止力矩：当物体处于静止状态时，力的作用点到旋转轴的距离与力的大小乘积就是静止力矩。
静止力矩越大，物体的旋转就越困难。
2. 动态力矩：当物体处于运动状态时，动态力矩就是作用在物体上的动态力量产生的效应。
动态力矩通常通过对物体的角加速度进行计算得出。
3. 平衡力矩：在物体处于平衡状态时，所有的力矩相互抵消，这些力矩被称为平衡力矩。
判断物体是否处于平衡状态时，可以通过计算平衡力矩来得出结论。
4. 转动惯量：在计算力矩时，还需要用到转动惯量的概念。
转动惯量是物体绕一个轴旋转时所需要的力矩与角加速度之比。
通常我们用kg·m2表示转动惯量的单位。
二、力偶矩力偶矩，也称为耦合力矩，是指通过两个相等作用力产生的旋转效应。
力偶矩的大小等于两个相等作用力的大小乘积再乘以它们之间的距离。
力偶矩的方向垂直于作用力的方向，并且遵循右手定则。
下面简单介绍一下力偶矩的几种性质：1. 力偶矩平面：将力偶矩所产生的旋转轴称为力偶矩平面。
通常情况下，力偶矩平面是由两个作用力之间的连线和它们施加力的垂线所构成的。
2. 产生力偶矩的条件：只有在作用力方向相反、大小相等，并且在同一平面内的两个力才能产生力偶矩。
3. 力偶矩的效应：力偶矩可以使物体产生旋转效应，但同时也会改变物体的转动惯量。
因此，力偶矩会对物体的旋转产生影响。
总之，力矩和力偶矩是物理学中非常重要的概念。
力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
力 偶
图2-26
力偶对物体的转动 效应完全取决于力偶矩的 大小、力偶的转向和力偶 的作用面。这就是力偶的 三要素。
建筑力学
用力和力偶臂的乘积并冠以正负号(以示转向)来度量力偶对物体 的转动效应，称为力偶矩，用记号M (F，F ' )表示，简记为M，即
M F d (2-9)
力偶使物体逆时针转动时为正，反之为负，单位 N m 或 kN m。
1.2 力偶的基本性质
性质1 : 力偶没有合力，故不能用一个力来代替。
证明: 设F和F'为大小相等、方向相反、作用线相互平行且不共线的两个 力，且力与x 轴的夹角为α，如图2-24 所示。
图2-25
由此可见:力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，而与 矩心的位置无关。
性质3 :在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转 向相同，则这两个力偶等效。
从以上性质可以得到如下两个推论: 推论1：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可在其作用面内 任意转移，而不改变它对物体的转动效应。 推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以任意改变组成力 偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的转动效应。 用这一推论可将力偶矩 M 100 N m 表示为图2-26所示的多种情形：
性质2 :力偶对其作用面内任一点的矩恒等于此力偶矩，而与矩心 位置无关。
证明: 设一力偶(F，F ' ) ，其力偶臂为d，如图2-25 所示。在力偶作用面内任取一点O为矩心，则有
MO( F ,F' ) MO( F ) MO( F' ) F( d x ) F'x Fd Fx Fx Fd M
由合力投影定理得
Fx F cos F' cos F cos F cos 0 Fy F sin F' sin F sin F sin 0 FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
力偶对物体的转动 效应完全取决于力偶矩的 大小、力偶的转向和力偶 的作用面。这就是力偶的 三要素。
建筑力学
用力和力偶臂的乘积并冠以正负号(以示转向)来度量力偶对物体 的转动效应，称为力偶矩，用记号M (F，F ' )表示，简记为M，即
M F d (2-9)
力偶使物体逆时针转动时为正，反之为负，单位 N m 或 kN m。
1.2 力偶的基本性质
性质1 : 力偶没有合力，故不能用一个力来代替。
证明: 设F和F'为大小相等、方向相反、作用线相互平行且不共线的两个 力，且力与x 轴的夹角为α，如图2-24 所示。
图2-25
由此可见:力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，而与 矩心的位置无关。
性质3 :在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转 向相同，则这两个力偶等效。
从以上性质可以得到如下两个推论: 推论1：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可在其作用面内 任意转移，而不改变它对物体的转动效应。 推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以任意改变组成力 偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的转动效应。 用这一推论可将力偶矩 M 100 N m 表示为图2-26所示的多种情形：
性质2 :力偶对其作用面内任一点的矩恒等于此力偶矩，而与矩心 位置无关。
证明: 设一力偶(F，F ' ) ，其力偶臂为d，如图2-25 所示。在力偶作用面内任取一点O为矩心，则有
MO( F ,F' ) MO( F ) MO( F' ) F( d x ) F'x Fd Fx Fx Fd M
由合力投影定理得
Fx F cos F' cos F cos F cos 0 Fy F sin F' sin F sin F sin 0 FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第3章 力偶系
6
力偶的等效条件
作用于刚体上的两个力偶等效的条件是力偶矩矢相等， 即两个力偶矩矢相等的力偶等效。
力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡。 性质二 力偶可在其作用面或平行平面内任意移动,而 不改变力偶对刚体的作用效应。
性质三 只要力偶矩矢的大小与方向不变,即使改变力 与力偶臂的大小，均不改变力偶对刚体的作用效应。
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 力偶矩矢与力偶的性质
力偶
力偶-等值、反向、作用线平行的力F与F’组成的力系, 并用（F,F’）表示。
力偶作用面-两力作用线所在平面
力偶臂-两力作用线间垂直距离d
力偶系-作用于刚体上的一组力偶
平面力偶系-各力偶作用面的方位 相同的力偶系
空间力偶系-各力偶作用面的方位
工程力学（静力学与材料力学）
7
§3 力偶系的合成与平衡条件
力偶系的合成
刚体上两个力偶,力偶矩矢 M1与M2，转换至A与B点,得
M1rF1 M2 rF2
F F1F2 形成M
M rF r(F1F2) rF1rF2
M M1M2 MR
n
MR Mi
i1
空间力偶系可合成为一合力偶，其力偶矩矢等于
系内各分力偶矩矢的矢量和 。
MO (F )Fd
MO (F ) 2ABO
平面力对点之矩是代数量，使刚体绕矩心沿逆时针
方向转动者为正，反之为负。
工程力学（静力学与材料力学）
2
力对点之矩矢
空间力系各力，使刚体绕同一点转动的转轴方位不 同, 力对点之矩应该用矢量表示，即力对点之矩矢。
MO (F ) r F
r-A点对于O点的矢径 rF Frsin Fd
2力、力矩、力偶-2
力臂
顺时针转向为负。
矩心 h
力矩的单位 N.m, kN.m
O
F
注意：同一个力对不同点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为 力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
MA(F )=FhA MB(F )= –FhB MC(F )=0
A hA C
F
hB B
力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
W3 2gV3 19009.8 (240103 3 4) 53625 N
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
3000 350
ρ1=2600kg/m3
W3
F=1kN
W2
70
A
W1
ρ2=1900kg/m3
240 1000
计算倾覆力矩
W3
2.力矩的矢量表示 用右手螺旋法则将力矩表示为矢量 拇指表示力矩矢量的方向
MO (F)
n MO(F )
O
平面内，力对O点之矩实际上是力使物体绕着 过O点垂直于该平面的轴转动的物理量。
力对轴的矩
n F
Oh
n MO(F )
O
O
F
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
平衡？分别是多少？
1.1m
M A(W1) W1 1.1 82.5kN.m M A(W2) W2 2 240kN.m M A(F) F 1.6 144kN.m
F
W1
W2
1.6m
A
1m
3m
作业
P.27: 2-9
= –4 kN.m
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
第二章 力 力矩 力偶
R = F + F2 1
推论2：三力平衡汇交定理 三力平衡汇交定理 推论 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
[证] 证
∵ F , F , F 为平衡力系， 1 2 3 ∴ R , F 也为平衡力系。 3 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线， ∴ 三力 F , F , F 必汇交，且共面。 1 2 3
K L
F
A
印刷体用黑体 印刷体用黑体 字，手写时用 字，手写时用
F
或 表示。 或 F 表示。
F
力的单位： 力的单位：国际单位制：牛顿(N),千牛顿(kN) 力系： 力系：是指作用在物体上的一群力。 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡， 平衡力系： 我们称这个力系为平衡力系。 Q
A D C B
W
二.刚体
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
只用白体字 F 表示力的 作用线共线， 大小，而不 作用于同一个物体上。 在其上加‘－’ 或‘→’矢量 符号。
指向相反 F1 = –F2
讨论：①对刚体来说，上面的条件是充要的 讨论 ②对变形体(或多体)来说，上面的条件只是必要条件
受力图上只画外力，不画内力。 ⒌ 受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。 ⒍ 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致， 互协调，不能相互矛盾。 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局 部或单个物体的受力图上要与之保持一致。 正确判断二力构件。 ⒎ 正确判断二力构件。
第3章-平面与空间一般力系
【解】 土压力 FR 可使挡土墙绕A点倾覆，
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶