公倍数与公约数关系详解
数字运算解题方法之公约数与公倍数问题
公务员考试中，数学运算是常见题型，数学运算又包含了很多类型，而利用公倍数和公约数常常是快速解题的一种有效手段。
概念
(1)最大公约数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
(2)最小公倍数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公约数中最小的一个大于零的公倍数，称为这几个自然数的最小公倍数。
联创世华专家提醒：这类概念的应用一般在星期日期、余数相关等问题中，考生不但要熟练求最大公约数、最小公倍数的方法，还要学会在特定的情境中灵活运用。
例题讲解
例题1：有两个两位数，这两个两位数的最大公约数与最小公倍数的和是91，最小公倍数是最大公约数的12倍，求这较大的数是多少？
A.42
B.38
C.36
D.28
【答案】D。
【解析】这道例题非常清晰的点明了主旨，就是最大公约数与最小公倍数问题，那么我们可以根据定义来解决。这两个数的最大公约数是91÷(12+1)=7，最小公倍数是7×12=84，故两数应为21和28。
例题2：三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？
A.8
B.9
C.10
D.11
【答案】C。
【解析】这道例题中隐含了最大公约数的关系。“截成相等的小段”，即为求三数的公约数，“最少可截成多少段”，即为求最大公约数。每小段的长度是120、180、300的约数，也是120、180和300的公约数。120、180和300的最大公约数是60，所以每小段的长度最大是 60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
例题3：一个小于200的数，除以24或36都有余数16，则这个数是( )
A.52
B.78
C.88
D.156
【答案】C。
【解析】这道例题中隐含了最小公倍数的关系。“除以24或36都有余数16”，说明此数减去16，即为24和36的公倍数。24和36的最小公倍数为72，则此数应为72+16=88。
特点小结
1.在互质的几个数中，1是这些互质的数的公约数。
2.约数：如果数A能被数B整除(B不为0)，A就叫做B的倍数，B就叫做A的约数(或因数)，倍数和约数是相互依存的。
公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的是1,最大的是它本身。
例：在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数
3.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
一个数的倍数是无限的，几个数的公倍数也是无限的。
利用分解质因数的方法可以求出两个数的最小公倍数。
例：求6和8的最小公倍数。
6=2×3，8=2×4
所以6和8的最小公倍数是：2×3×4=24
思考问题：
下列各组数的最小公倍数和最大公约数分别是多少？
(1)较大数是较小数倍数的。
最小公倍数：较大数
最大公约数：较小数
(2)两个数是互质数的。
最小公倍数：两个数乘积
最大公约数：1
(3)两个数既不互质，较大数又不是较小数倍数的。
最小公倍数：两数所有独有质因数及公有质因数的乘积
最大公约数：所有的公有质因数的乘积
下面是专家组为大家精选的两道公考真题，掌握方法是关键！
1. 甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？(2008中央)
A.10月18日
B.10月14日
C.11月18日
D.11月14日
2. 有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是()。(2006山东)
A.216
B.108
C.314
D.348
【答案】
1. D。
2. C。
1. D.【解析】甲每隔5天去一次，意思是每6天去一次，依此类推，也就转化为求6，12，18，30的最小公倍数，即180；也就是在5月18的基础上往后180天，再考虑5,7,8,10四个月是大月，可知答案为D。
2. C.【解析】自然数A是5，6，7的公倍数，5，6，7的最小公倍数是210，而A小于400，所以A=210，B=A/5－1=41，同理得出C=34，D=29，210+41+34+29=314。
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C语言【最大公约数和最小公倍数】的两种方法
C语言【最大公约数和最小公倍数】的两种方法 By Minecig 1. //第一种是比较麻烦的方法，着重看加粗的函数实现部分：#include return i; } } 2： //这种函数算法要好的多，利用了“辗转相除法”和“最小公倍数=x*y/最大公约数" 的算法#include 小学奥数之最大公约数和最小公倍数1．两个自然数的最小公倍数是180，最大公约数是12，并且小数不能整除大数。求这两个数。 2．能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？ 3．三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去借一次，乙4天去一次，丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？ 4．小佳的储蓄筒里存有二分和五分的硬币，他把这些硬币 倒出来，估计有五、六元钱。小佳把这些硬币分成钱数相等的两堆，第一堆中二分硬币和五分硬币的个数相等；第二堆中二分硬币和五分硬币的钱数相等。你知道小佳存了多少钱吗？ 5．某班学生列队，如果每排3人，就多出1人；如果每排5人，就多出3人；如果每排7人，就多出2人。问：这个班至少有多少人？ 6．已知A，B两个数的最大公约数是12，最小公倍数为72，A=36，求B=？ 7．两个自然数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公 倍数是144。这两个数各是多少？ 8．有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，咖上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数。这种自然数除1以外，最小的数是多少？ 9．有一批砖，长45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖多少块才能铺成一个实心的正方形？ 10．现有语文本42本，数学本112本，外语本70本，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？ 11．从运动场的一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗（两个端点各插一面旗）。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问：可以不拔出来的小红旗有多少面？ 12．有四个自然数A，B，C，D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。这四个自然数的和是多少？ 13．甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分，乙跑完一圈要1分15秒。现在三人同时同地出发，几分后，三人又在出发地相会？这时他们各跑了几圈？ 公约数与公倍数问题 知识框架 在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定公约数与公倍数问题。 核心点拨 1.题型简介 （1）约数与倍数 若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。 （2）公约数与最大公约数 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。 公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。 （3）公倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。 公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。 考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。 2.核心知识 （1）两个数最大公约数和最小公倍数 一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。 A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。 B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。 如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。 24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12； 24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3) =72。 （2）三个数最大公约数和最小公倍数 A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除1外），然后把所有共同的质因数连乘起来。 B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。 如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。 3.核心知识使用详解 （1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。 （2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。 最大公约数与最小公倍数应用（一） 一、知识要点： 1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。 例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。 2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。 a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。 例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。 3、辗转相除法 二、热点考题： 例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。（运用性质2） 练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。 练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。 例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。 习题四 1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。 2．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。 3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。 4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。 第三讲：公因数和公倍数 一、公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。 例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12 18的约数有：1,2,3,6,9,18 12和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6 1．求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711 =??，22 252237 =??，所以(231,252)3721 =?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 396 32 ，所以(12,18)236 =?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151******** ÷=；6003151285 ÷=；315285130 ÷=；28530915 ÷=；301520 ÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2．最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n． 二、公倍数的概念与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84... 18的倍数有：18,36,54,72,90... 12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36知识点拨 奥数公约数和公倍数 知识要点： 1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 3、求最大公约数和最小公倍数的方法：（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。 4、最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 典例巧解 例1、有三根木棒，长度分别是1.5米、2.4米、1.8米，王师傅想把它们截成长度相等的小段。为了最大限度地利用材料，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 例2、把一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木料，锯后不许有剩余。正方体的棱长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？ 例3、有一批作业本，无论是平均分给10人、12人还是15人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？ 例4、甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。三人同时同地同向出发环绕操场走，当他们三人第一次相遇时，他们三人分别走了多少圈？ 例5、狐狸和兔子进行跳跃比赛，狐狸每次跳41 2 米，兔子每次跳2 3 4 米，它们 每秒钟都跳一次，从起点开始，每隔123 8 米设有一个陷阱。当它们其中一个掉 进陷阱时，另一个跳了多少米？ 例6、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819.甲数是多少？ 例7、A、B两个数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？ 例8、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144。有几组这样的数？这两个数各是多少？ 例9、有一个三位数，如果这个数加上4，就能被4整除；如果这个数减去5，就能被5整除；如果这个数乘以6，就能被6整除；如果这个数除以7，就能被7整除。这个数最小是多少？ 例10、两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60，这样的自然数共有多少组？ 最大公约数法 通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？ 2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？ 3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？ 4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度） 5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度） 6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度） 7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度） 8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克？ 9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？ 10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米） 最小公倍数法 通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。 1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？ 2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？ 3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？ 4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度） 名师精编优秀教案 奥数公约数和公倍数 知识要点： 1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 3、求最大公约数和最小公倍数的方法：（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。 4、最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 典例巧解 例1、有三根木棒，长度分别是1.5米、2.4米、1.8米，王师傅想把它们截成长度相等的小段。为了最大限度地利用材料，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 例2、把一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木料，锯后不许有剩余。正方体的棱长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？ 例3、有一批作业本，无论是平均分给10人、12人还是15人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？ 例4、甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。三人同时同地同向出发环绕操场走，当他们三人第一次相遇时，他们三人分别走了多少圈？ 名师精编优秀教案 13例5、狐狸和兔子进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 米，兔子每次跳2 米，它们423每秒钟都跳一次，从起点开始，每隔12 米设有一个陷阱。当它们其中一个掉8进陷阱时，另一个跳了多少米？ 例6、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819.甲数是多少？ 例7、A、B两个数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？ 最大公约数和最小公倍数练习题 一. 填空题。 3. 所有自然数的公约数为（）。 4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。 6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。 7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。 10. 根据下面的要求写出互质的两个数。 （1）两个质数（）和（）。 （2）连续两个自然数（）和（）。 （3）1和任何自然数（）和（）。 （4）两个合数（）和（）。 （5）奇数和奇数（）和（）。 （6）奇数和偶数（）和（）。 二. 判断题。 1. 互质的两个数必定都是质数。（） 2. 两个不同的奇数一定是互质数。（） 3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（） 4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（） 三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。 26和13（）13和6（）4和6（） 5和9（）29和87（）30和15（） 13、26和52 （）2、3和7（） 四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数） 45和60 36和60 27和72 76和80 42、105和56 24、36和48 五. 动脑筋，想一想： 学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？ 五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数 小学 如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1,a2,…,a n的最大公约数通常用符号（a1,a2,…,a n）表示,例如,（8,12）=4,（6,9,15）=3。 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1,a2,…,a n的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,a n]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。 所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5（元）。 为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。 例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？ 分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450=48,450-414=36,498-414=84。 所求数是（48,36,84）=12。 例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？ 分析与解：只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。 例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图）,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？ 分析与解：（30,24）=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个） 五年级下最大公约数和最小公倍数——课堂讲解 姓名：_____________ 一、知识导航（熟记！！！） 1．几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 2．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 3．求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数法。 4．两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 二、经典例题 例1．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人。把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要多少条船？ 同步演练1：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 例2．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 同步演练2：三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。上次三人是星期二在图书馆相逢的，至少要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？ 例3．两个数的最大公约数是14，最小公倍数是84。已知其中一个数是28，则另一个数是多少？ 同步演练3：甲数是28，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。 例4．三个连续自然数的最小公倍数是360，求这三个数。 同步演练4：三个连续自然数的最小公倍数是1092，求这三个数。 例5．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 同步演练5：大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花坛的周长。亮亮每步长54厘 最大公约数和最小公倍数的比较 教学目标 (一)进一步理解并掌握最大公约数和最小公倍数的概念，分清求最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。 (二)培养学生仔细、认真的做题习惯和比较的思维方法。 (三)培养学生观察、分析、比较的能力。 教学重点和难点 最大公约数和最小公倍数异同点的比较。 教学用具 教具：小黑板，投影片。 学具：判断卡，选择卡。 教学过程设计 (一)复习准备 教师： ①什么叫最大公约数和最小公倍数？ ②怎样求最大公约数和最小公倍数？ ③求下面各题的最大公约数和最小公倍数？(口答) 8和1613和262和97和15 教师：对上面几道题你是怎么想的？各有什么特点？你能发现什么规律？ 明确： ①两个数有倍数关系，最大公约数最较小数，最小公倍数是较大数。 ②两个数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两个数乘积。 (二)学习新课 1．出示例5。 求28和42的最大公约数和最小公倍数。(要求学生独立完成。) 学生口述教师板书。 28和42的最大公约数是： 2×7=14 28和42的最小公倍数是 2×7×2×3=84 教师：观察上面两道题，谁能说出求最大公约数和求最小公倍数有什么地方相同？什么地方不同？(讨论) 在讨论的基础上，总结出下面的结论。 教师：为什么求最大公约数只要把所有除数乘起来，而求最小公倍数就要把所有除数和商都乘起来呢？ 明确：求最大公约数是两个数公有质因数的积；求最小公倍数既要包含两个数公有质因数，又要包括各自独有的质因数。 教师：既然求两个数的最大公约数和最小公倍数的短除过程是相同的，那么，我们就可以用一个短除式来表示。例5怎样做简便？(由学生 最大公约数和最小公倍数 例1、一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？ 【思路导航】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。 （270,18,15）=3 3 厘米=0.3 分米 答：正方体的棱长最大是0.3分米。 练习1、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？ 练习2、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？ 例2、一个数除200余4,除300余6,除500余10。求这个数最大是多少？ 【思路导航】200-4=196，300-6=294，500-10=490； 196、294和490都是这个数的倍数。 196=2 X 2X 7X 7 294=2 X 3X 7X 7 490=2 X 5X 7X 7 贝U 196、294和490的最大公因数是：2X 7X 7=98。 答：这个数最大是98。 练习1、一个数除425余5,除500少4,除300余6,这个数最大是多少？ 练习2、如果把110本练习本平均分给五（1）班同学，则多5本；如果把210 本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240本练习本平均分给这班同学，还少5本，五（1）班最多有多少名同学？ 例3、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙 村相距675米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？ 【思路导航】因为要在甲、乙，乙、丙两村的中点栽上树，甲、乙，乙、丙 两村距离的一半分别是360- 2=180 （米），675- 2=337.5 （米）； 因为360与675的最大公因数为45,且360- 2=180 675-2=337.5，所以180与337.5的最大公因数为45十2=22.5 , 也就是说相邻两棵树之间的最大距离是22.5米。 答：相邻两棵树之间的距离最多是22.5米。 练习1、一条公路由A经B到C.已知A、B相距300米,B、C相距200米.现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB BC的中点上都要植一棵,那么两树间的距离最多有多少米 练习2、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？ 例4、已知两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？ 公约数公倍数的问题：是指用求几个已知数的最大公约数或最小公倍数来解答的应用题。题中常常出现“最大”“最小”“最少”“至少”一类的词，一般都不直接指明是求最大公约数，还是求最小公倍数。我们要通过对已知条件进行全面分析，才能更好解题。 最后几题是剩余定理的题目，之所以把这两个类型的题目放一起，是因为求解过程中经常要先求公倍数，剩余定理的题目基本是余同、差同、和同或它们的变式，通常也可以通过代入法直接解决。在常规做剩余定理的时候，经常要先求最小公倍数，然后加余，加和或者减差得出答案。 2、加工一种机器零件有三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成36个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第一道工序每个工人每小时可完成24个。则每道工序最少应分别安排多少工人，才能使生产顺利？ A、4 7 6 B、6 7 9 C 、8 9 12 D、10 12 15 3、学习委员收买练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组2.61元，第二组3．19元，第三组2.61元．第四组3.48元，又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有多少人?( ) A、29 B、33 C 、37 D、41 4、大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以雪地上纸留下60个脚印，这个花圃的周长是多少米？ A、1030 B、2160 C 、4320 D、12960 5、有三根电线，分别长300厘米，444厘米、516厘米。把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段，不许剩余，每小段折成一个正方形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形（每次一拼都必须全部用上这些小正方形），这样可能拼成的长方形有几张？ A、3 B、4 C 、6 D、8 7、三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲乙丙三个人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。开始时，三个人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1/5千米，中圈跑道长1/4千米，里圈跑道长3/8千米。甲每小时跑7/2千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。他们同时出发，几小时后，三人第一次同时回到出发点？（） A、5 B、6 C 、7 D、8 8、有一些铅笔分给三个小组，平均每人正好分6支，若只分给第一组，则平均没人分10枝，若只分给第三组，则平均每人分21枝，已知第二组人数在5-10人之间，则铅笔共有多少枝？（） A、210 B、420 C 、630 D、315 9、西桥小学中年级学生列队时，若每排3人，则多1人；若每排5人，则多3人；若每排8人，则多6人；则该小学人数有多少（） A、122 B、120 C 、118 D、115 10、袋子里有一百多个小球，五个五个取出来剩余4个，六个六个取出来剩余3个，八个八个取出来剩余1个，问袋子里面有多少个小球？（） A、109 B、119 C 、129 D、139 11、一个数除以5余2，除以7余3，除以8余6，问最小三位数是多少？（） A、112 B、118 C 、236 D、262 1、解析：由题意可知下一次三人相遇需要过3×4×5=60天，60/7=8……4。所以相遇时时星期一。选D 2、解析：36、32、24的最小公倍数是288，因此第一道工序需要8人，第二道工序需要9人，第三道工序需要12人。选C 最大公约数和最小公倍数怎么求？ 首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。 比如：求45和30的最小公倍数。 45=3*3*5 30=2*3*5 不同的质因数是2,3,5。3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3. 最小公倍数等于2*3*3*5=90 又如：计算36和270的最小公倍数。 36=2*2*3*3 270=2*3*3*3*5 不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。 最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540 最大公约数和最小公倍数<练习题> 1．有一级茶叶96克，二级茶叶156克，三级茶叶240克，价值相等．现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整数克），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？ 2．a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a与b． 3．两个数的积是6912，最大公约数是24，求：（1）它们的最小公倍数；（2）满足已知条件的自然数是哪几组？ 4．甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次，如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？ 5．求被5除余2，被6除余3，被7除4的大于1000、小于1500的所有自然数． 6．某个数与36的最大公约数是12，与36的最小公倍数是180，求这个数． 7．有三个自然数a、b、c，a与b的最大公约数是2；b和c的最大公约数是4；a和c的最大公约数是6；a、b、c三个数的最小公倍数是60，求这三个数的最小的和是多少？ 答案仅供参考： 1．三种数量不等的茶叶价值相等，等分装袋后，每袋价值仍相等，由于每种茶叶的总价值相等，每袋价值也要相等，所以这三种茶叶分装的袋数也一定相同．为了使每袋价值最低，就应使袋数尽可能多， 第三讲最大公因数和最小公倍数 1.公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12； 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 12和18的公因数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。 2.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。 3.互质数 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。 例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少 例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？ 例6一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？ 例7用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？ 例9两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 例10求21672和11352的最小公倍数。 第四讲带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除 第五讲--最大公约数与最小公倍 数 第五讲最大公约数与最小公倍数 【知识导引】 一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数（在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。最大公约数：如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b] 的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 1.求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：231 3 7 11， 252 223" 7，所以（231,252） 3 7 21 ； 21812 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：暮6，所以 3 2 （12,18） 2 3 6 ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最 大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一 个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一 个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0 为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1,那么原来的 两个数是互质的）。例如，求600和1515的最大公约数：1515 600 2L 315 ；600 315 1L 285 ； 315 285 1L 30 ； 285 30 9L 15 ； 30 15 2L 0 ;所以1515 和600的最大公约数是15。 2.最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。 3.求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各 个分数的分子的最大公约数b；b即为所求。 a 二、倍数的概念与最小公倍数 对于整数m能被n整除(n/m),那么m就是n的倍数。女口15能够被3或5整除, 我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 1.求最小公倍数的方法 ①分解质因数法求最小公倍数 例如：231 3 7 11， 252 22327，所以 231,252 22 32 7 11 2772 ； ②短除法求最小公倍数 218 12 例如：3L_6，所以18,12 2 3 3 2 36 ； 3 2 ③公式法：［a,b］弭 (a,b) 2.最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 最大公约数与最小公倍数（一） 教学目标： 1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。 2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。 3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。 教学过程： 一、基本概念知识 1.公约数和最大公约数 ①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。 ②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。 例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。 自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。 （8，12）=4，（6，9，15）=3。 2.公倍数和最小公倍数 ③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 自然数 n a a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[ n a a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有： 36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。 [8，12]=24，[6，9，15]=90。 3.互质数 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别： 求n 个数的最大公约数： （1） 必须每次都用n 个数的公约数去除； （2） 一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）； （3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。 求n 个数的最小公倍数： （1） 必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用 1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约 数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数； （2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质 为止； （3） n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。 第十五讲公约数与公倍数进阶 这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识．首先来看一下最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系． 两个数，如果它们的最大公约数是k．那么可以假设这两个数分别为、，其中a、b互质． 而它们的最小公倍数可以表示为． 通过观察，我们发现．由此可得： 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积 注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明．性质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行．如果只给出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？ 例题1．（1）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数是多少？ （2）若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080．这两个数有哪几组？ 「分析」最大公约数是18，说明两个数都是18的倍数，可以分别设为18a ?和18b ?，且a、b互质．接下来，我们讨论一下a、b的取值． （1）两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数． （2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数． 经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表示出来．比如说两数的最大公约数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a和12b，而且a和b互质．那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用a和b表示出来了． 例题2．两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数．「分析」可以设两个数分别是13a ?和13b ?，且a、b互质． ()()() k a k b k k a b ???=??? k a b ?? k b? a和b互质 k a? k b ? k a ?小学奥数之最大公约数和最小公倍数
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