2018年度朝阳高三二模数学理含标准答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试 （理工类）

2018．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合2{log 1}A x x =>，{

}1B x x =≥，则A B U = A ．(1,2] B ．(1+)∞， C ．(1)2， D ．[1+)∞， 2．在ABC △

中，π

=1,==

6

AB AC C ∠，则B ∠= A ．

4π B ．4π或2

π

C ．

43π D ．4π或4

3π 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为

A ．10

B ．13

C ．40

D ．121

4．在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为

A ．相交且过圆心

B ．相交但不过圆心

C ．相切

D ．相离

5．如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点

A ，

B ，则OA OB ⋅u u u r u u u r

=

A ．)sin(βα-

B ．)sin(βα+

C ．)cos(

βα-

D ．)cos(βα+ 6．已知函数22,,

(),,

x x a f x x x a ⎧≥=⎨<⎩则“0a ≤”是“函数()f x 在[0,)+∞上单调递增”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．某校象棋社团组织中国象棋比赛．采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8．若三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足

123

112

x x x +=，则称123,,x x x 成一个“β等差数列”.已知集合{}

100,M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为

A ．25

B ．50

C ．51

D ．100

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．计算

2

1

=(1i)+______．

10．双曲线2

2

(0)x y λλ-=≠的离心率是_____；该双曲线的两条渐近线的夹角是______． 11．若31

()n x x -展开式的二项式系数之和为8，则n =____，其展开式中的含31

x

项的系数为______．（用数字作答）

12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是___．

13．已知不等式组0,2,1(1)y x y y k x ≥⎧⎪

+≤⎨⎪+≥+⎩

在平面直角坐标系xOy 中所表示的平

面区域为D ，D 的面积为S ，则下面结论：

①当0k >时，D 为三角形； ②当0k <时，D 为四边形；

③当13k =时，4S =； ④当1

03

k <≤时，S 为定值．

其中正确的序号是______．

14．如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =

其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD

正视图

侧视图

俯视图

在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)

已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2

π

，a ∈R . （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若当[0,]2

x π∈时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 16．(本小题满分13分)

某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和．根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（Ⅰ）若从交通得分前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；

（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，

求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关

系？ （只写出结果） 17．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ．△PBC 是等腰三角形，且

3PB PC ==；在梯形ABCD 中，AB DC P ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===．

（Ⅰ）求证：//AB 面PDC ；