无锡市江阴市2019-2020学年上学期高一数学期末考试卷附答案详析
2020-2021学年江苏省无锡市江阴新桥中学高一数学文上学期期末试题含解析
2020-2021学年江苏省无锡市江阴新桥中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是A BC D参考答案：C2. 下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素；函数的图象．【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C3. 角的终边过点P（4，－3），则的值为A.4B.－3C.D.参考答案：C4. 函数f（x）=ax2+（2+a）x+1是偶函数，则函数的单调递增区间为（）A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，+∞）D．[1，+∞）参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】利用函数f（x）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），解出a．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴ax2﹣（2+a）x+1=ax2+（2+a）x+1，化为（2+a）x=0，对于任意实数x恒成立，∴2+a=0，解得a=﹣2．∴f（x）=﹣2x2+1，其单调递增区间为（﹣∞，0]．故选B．5. 从装有2个红球和2个白球的的口袋中任取2个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是（）①至少有1个白球与都是白球；②至少有1个白球与至少有1个红球；③恰有1个白球与恰有2个红球；④至少有1个白球与都是红球。
A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C6. 函数，那么的奇偶性是（）A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数参考答案：略7. （5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1参考答案：D考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．因此f（x）有最大值﹣1．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．8. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．2参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5参考答案：B【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B10. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数学九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A．15 B．3 C．－3 D．－15参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 个正数排成行列:其中每一行的数由左至右成等差数列,每一列的数由上至下成等比数列,并且所有公比相等,已知,,,则=.参考答案：12. 在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是参考答案：213. 阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是____参考答案：1114. 已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________参考答案：【分析】使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.【详解】已知圆C的方程为，要使过A点作圆的切线有两条即点A(1,2)在圆C外：恒成立.综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.15. 给出下列四个命题：①若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，，则f （sinθ）＞f（cosθ）；②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；③已知扇形的半径为R，面积为2R2，则这个扇形的圆心角的弧度数为4；④f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则．其中真命题的序号为．参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）由已知可得函数在[0，1]上单调递减，结合，可知0＜cosθ＜sinθ＜1，从而可判断（1）（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（）＞sinβ，则有，则可判断（2）（3）由扇形的面积公式和弧度数公式进行求解判断（4）根据函数奇偶性的性质，故可判断（4）【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，可得函数在[0，1]上单调递减，由，可得0＜cosθ＜sinθ＜1，则f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（）＞sinβ，则有即，故②正确（3）设扇形的弧长为l，则扇形的面积S=lR=2R2，即l=4R，则这个扇形的圆心角的弧度数α==4，故③正确，（4）∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，∴f（﹣）=﹣f（）=﹣（sin+cos）=﹣（+）=﹣，故④正确，故答案为：②③④16. 由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数命名为狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.正确结论是．参考答案：①17. 奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增；②f（1）=0，则不等式x?f（x）＜0的解集为．参考答案：（﹣1，0）∪（0，1）【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数在对称区间上有相同的单调性，结合题意即可求得不等式x?f（x）＜0的解集．【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，且f（1）=0，∴当0＜x＜1时，f（x）＜0；当x＞1时，f（x）＞0；∴当x＞0时，x?f（x）＜0的解集为（0，1）；①∵f（x）为奇函数，∴f（x）在对称区间上有相同的单调性，∴f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣1）=0，∴当x＜0时，x?f（x）＜0的解集为（﹣1，0）；②综合①②知，不等式x?f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查奇函数的单调性与对称性，考查解不等式的能力，考查逻辑思维与运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省无锡市江阴四校2023届高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
∴表面积为：4×1 a 3 a= 3 a2，
2
2
故选 D 6、C
【解析】根据 x 1, 2, x2 ，分 x 1 ， x 2 ， x x2 讨论求解.
【详解】因为 x 1, 2, x2 ，
当 x 1 时，集合为1, 2,1 ，不成立；
当 x 2 时，集合为1, 2, 4 ，成立；
（1）试求该函数模型的解析式；
（2）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 0.08mg / m3 ，试问至少进行多少次改良
工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？
22．已知函数 f x ax2 4x 5 ， g x log2 x . （1）若 f x 在区间1, 2 上是单调函数，则 a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，是否存在实数 a ，使得函数 f x 与函数 g x 的图象在区间1, 2 上有唯一的交点，若存在，
故选：D
3、A
【解析】由题意得 M (1 , 2), N ( 2 , 1) ，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解. 33 33
【详解】BM＝MN＝NA，点 A(1，0)，B(0，1)，
所以 M (1 , 2), N(2 , 1) ， 33 33
将两点坐标分别代入 y＝xa，y＝xb，得 (1)a 2 , ( 2)b 1 3 33 3
有 3 个不同根，
画出函数 y k log3 x 与 y h x 的图象如图：
要使函数
y
k
log3
x
与
yLeabharlann h x的图象有
3
个交点，则
k
0
，且
k k
log3 log3
3 5
2 2
2023-2024学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，1]C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，2]2．已知幂函数f （x ）＝x a ，且f （3）＝27，则f （2）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣9C ．8D ．93．“x ＞1”是“|x ﹣1|＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f （x ）＝cos x •e x +1e x −1的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知角α的终边过点（1，2），则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cos(−α)的值为（ ）A ．√55B ．2√55C ．﹣2D ．−2√556．已知函数f(x)=log 12(−x 2+4x −3)，则f （x ）的单调递减区间为（ ） A ．[2，3）B ．（﹣∞，2]C ．（1，2]D ．[2，+∞）7．化简sin140°(tan10°−√3)，得（ ） A ．−√32B ．−√2C ．﹣1D ．−128．若关于x 的方程|x|x+4=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．(14，1)C ．(14，+∞)D ．（1，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知全集为U ，则如图阴影部分表示正确的为（ ）A ．∁A （A ∩B ） B ．（∁U A ）∩（∁U B ）C ．（∁U B ）∩AD ．∁U （A ∩B ）10．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则（ ） A ．xy 的最大值为18B ．2x +1y 的最小值为9C ．x 2+4y 2的最小值为1D ．√x +√2y 的最大值为√211．已知函数f(x)=12cos(2x −π3)，把y ＝f （x ）的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，以下说法正确的是（ ）A ．x =π6是y ＝f （x ）图象的一条对称轴B ．f （x ）的单调递减区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)C ．y ＝g （x ）的图象关于原点对称D ．f （x ）+g （x ）的最大值为1212．已知函数f(x)={|x|，x ≤1，3−2x，x ＞1．则下列说法正确的是（ ）A ．不等式f （x ）＞x +1的解集为(−∞，−12)B ．当x ∈(12，32)时，f （x ）的取值范围为(12，1]C ．若关于x 的方程f （x ）＝t 有三个不同实数根x 1，x 2，x 3，则1＜x 1+x 2+x 3＜log 23D ．令g （x ）＝f 2（x ）﹣f （x ）+c ，不存在常数c ，使得g （x ）恰有5个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13．命题“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是 ．14．写出一个同时具有下列性质①②的函数f （x ）＝ ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），②当x ＞0时，f （x ）＞115．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL 血液中酒精含量达到20﹣79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg /mL ，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过 ．小时，才能驾驶？（结果精确到0.1h ）（附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）16．已知f （x ）＝ax ﹣1，g （x ）＝x 2+bx ﹣5（a ＞0，b ∈R ）．当a ＝2时，f （x ）＝g （x ）的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|的最小值为 ；当x ＞0时，f （x ）•g （x ）≥0恒成立，则b +3a的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ≤6}，C ＝{x |10﹣2a ＜x ＜3a }． （1）求A ∪B ；（2）若A ∩C ＝∅，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣1（a ，b ∈R ）．（1）若不等式f （x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，求a ，b 的值；（2）当b ＝3时，若不等式f （x ）＜0对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=√3sinxcosx +sin 2x −12．（1）当x ∈(π4，7π12)时，求f （x ）的取值范围；（2）若x 0∈(π4，7π12)且f(x 0)=13，求cos2x 0的值．20．（12分）已知函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R 上的奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断并证明函数f （x ）的单调性；（3）对任意t ∈[1，e ]，关于t 的不等式f [（lnt ）2﹣ln （et 2）]+f （k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）如图，已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一个定点，过点A 作直线l 垂直于l 1，l 2且分别交于点E ，D ，AD ＝2，AE ＝1．B 是直线l 2上的一个动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ．设∠ABD ＝α，α∈[π6，π3]．（1）设△ABD 的面积为S 1，△ACE 的面积为S 2，求S 1+S 2的最小值； （2）若△ABC 的外接圆面积不超过5π2，求角α的取值范围．22．（12分）已知函数y ＝f （x ），若对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有f(x)+f(1x)=0，就称函数y ＝f （x ）满足性质P ．（1）已知f （x ）＝2x +1，判断y ＝f （x ）是否满足性质P ，并说明理由； （2）若y ＝f （x ）满足性质P ，且定义域为（0，+∞）． ①已知x ∈（0，1）时，f(x)=log 3x −3x 2，求函数f （x ）的解析式并指出方程f （x ）＝255是否有正整数解？请说明理由；②若f （x ）在（0，1）上单调递增，证明：f （x ）在（1，+∞）上单调递增．2023-2024学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，1]C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，2]解：因为A ＝{x |x ＞1}，所以∁R A ＝{x |x ≤1}，因为B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝{x |﹣2＜x ≤1}． 故选：B ．2．已知幂函数f （x ）＝x a ，且f （3）＝27，则f （2）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣9C ．8D ．9解：幂函数f （x ）＝x a ，且f （3）＝27，则3a ＝27，解a ＝3，故f （x ）＝x 3，f （2）＝23＝8． 故选：C ．3．“x ＞1”是“|x ﹣1|＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为|x ﹣1|＞1，所以x ＞2或x ＜0，所以“x ＞1”是“|x ﹣1|＞1”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．4．函数f （x ）＝cos x •e x +1e x −1的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数的定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）＝cos （﹣x ）•e −x +1e −x −1=cos x •1+e x1−e x =−f （x ），则f （x ）是奇函数，排除A ，D ，当0＜x ＜π2时，cos x ＞0，e x +1e x −1＞0，则f （x ）＞0，排除C ，故选：B ．5．已知角α的终边过点（1，2），则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cos(−α)的值为（ ）A ．√55B ．2√55C ．﹣2D ．−2√55解：角α的终边过点（1，2），则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cos(−α)=cosα⋅(−sinα)−tanα⋅cosα=cos α=1√1+2=√55．故选：A ．6．已知函数f(x)=log 12(−x 2+4x −3)，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．[2，3）B ．（﹣∞，2]C ．（1，2]D ．[2，+∞）解：根据题意，设t ＝﹣x 2+4x ﹣3，则y =log 12t ，有t ＝﹣x 2+4x ﹣3＞0，解可得1＜x ＜3，即函数的定义域为（1，3），在区间（1，2]上，t ＝﹣x 2+4x ﹣3为增函数，区间（2，3）上，t ＝﹣x 2+4x ﹣3为减函数， y =log 12t 在（0，+∞）上为减函数，则f （x ）的单调递减区间为（1，2]．故选：C ．7．化简sin140°(tan10°−√3)，得（ ） A ．−√32B ．−√2C ．﹣1D ．−12解：sin140°(tan10°−√3)=sin40°（sin10°cos10°−√3）=sin40°(sin10°−√3cos10°)cos10°=2sin40°(−sin50°)cos10°=−−2sin40°cos40°sin80°=−sin80°sin80°=−1．故选：C ． 8．若关于x 的方程|x|x+4=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．(14，1)C ．(14，+∞)D ．（1，+∞）解：要使方程|x|x+4=kx2有四个不同的实数解，当x＝0时，是方程的1个根，所以只要方程|x|x+4=kx2有3个不同的实数解，变形得1k={x(x+4)，x＞0−x(x+4)，x＜0，设函数g（x）={x(x+4)，x＞0−x(x+4)，x＜0，如图，所以只要0＜1k＜4即可，所以k＞14；故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知全集为U，则如图阴影部分表示正确的为（）A．∁A（A∩B）B．（∁U A）∩（∁U B）C．（∁U B）∩A D．∁U（A∩B）解：由韦恩图可知，图中阴影部分为A∩（∁U B）或∁A（A∩B）．故选：AC．10．若正实数x，y满足x+2y＝1，则（）A．xy的最大值为18B．2x+1y的最小值为9C．x2+4y2的最小值为1D．√x+√2y的最大值为√2解：因为正实数x，y满足1＝x+2y≥2√2xy，当且仅当x＝2y，即x=12，y=14时取等号，所以xy≤18，A正确；2 x +1y=2x+4yx+x+2yy=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x＝2y，即x=12，y=14时取等号，B错误； 因为x 2+4y 22≥(x+2y2)2=14，当且仅当x ＝2y ，即x =12，y =14时取等号，所以x 2+4y 2≥12，C 错误；因为√x+√2y2≤√x+2y 2=√22，当且仅当x ＝2y ，即x =12，y =14时取等号，所以√x +√2y ≤√2，D 正确． 故选：AD ．11．已知函数f(x)=12cos(2x −π3)，把y ＝f （x ）的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，以下说法正确的是（ ）A ．x =π6是y ＝f （x ）图象的一条对称轴B ．f （x ）的单调递减区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)C ．y ＝g （x ）的图象关于原点对称D ．f （x ）+g （x ）的最大值为12解：函数f(x)=12cos(2x −π3)，把y ＝f （x ）的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）=12cos（2x ﹣π）=−12cos2x 的图象，令x =π6，求得f （x ）=12，是最大值，故直线x =π6是函数f （x ）图象的一条对称轴，故A 正确．令2k π≤2x −π3≤2k π+π，k ∈Z ，求得k π+π6≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调减区间为[k π+π6，k π+2π3]，k ∈Z ，故B 正确．由于g （x ）＝﹣cos2x 是偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故C 错误．由于f （x ）+g （x ）=12cos （2x −π3）+（−12cos2x ）=12[12cos2x +√32sin2x ]−12cos2x=√34sin2x −14cos2x =12sin （2x −π6）≤12，即f （x ）+g （x ）的最大值为12，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f(x)={|x|，x ≤1，3−2x ，x ＞1．则下列说法正确的是（ ）A ．不等式f （x ）＞x +1的解集为(−∞，−12)B ．当x ∈(12，32)时，f （x ）的取值范围为(12，1]C ．若关于x 的方程f （x ）＝t 有三个不同实数根x 1，x 2，x 3，则1＜x 1+x 2+x 3＜log 23D ．令g （x ）＝f 2（x ）﹣f （x ）+c ，不存在常数c ，使得g （x ）恰有5个零点 解：作出函数f(x)={|x|，x ≤1，3−2x，x ＞1.的图象如下．对于A．在同一坐标系中画出f（x）和y＝x+1的图象如下．联立{y=x+1y=−x，得x=−12，y=12，所以不等式f（x）＞x+1的解集为(−∞，−12)，故A正确；对于B．由图可知，函数f（x）在(12，1)上单调递增，在(1，32)上单调递减，又f(1)=1，f(12)=12，f(32)=3−2√2，所以f（x）的取值范围为(3−2√2，1]，故B错误；对于C．若关于x的方程f（x）＝t有三个不同实数根x1，x2，x3，即函数f（x）与函数y＝t有三个不同的交点，不妨设x1＜x2＜x3，如图．其中x1+x2＝0，1＜x3＜log23，所以1＜x1+x2+x3＜log23，故C正确；对于D．g（x）＝f2（x）﹣f（x）+c，g（x）恰有5个零点令f（x）＝t，则h（t）＝t2﹣t+c，当h （t ）＝t 2﹣t +c 只有1个零点时，设为t 0，则方程f （x ）＝t 0有5个根，不可能； 当h （t ）＝t 2﹣t +c 有2个零点时，设为t 1，t 2，且t 1＜t 2，则f （x ）＝t 1和f （x ）＝t 2共有5个根，可得{t 1=00＜t 2＜1或{0＜t 1＜1t 2=1若h （t ）＝t 2﹣t +c 有一个零点是0，则另一个零点为1，不满足{t 1=00＜t 2＜1，若h （t ）＝t 2﹣t +c 有一个零点是1，则另一个零点为0，不满足{0＜t 1＜1t 2=1，故存在常数c ，使得g （x ）恰有5个零点，D 正确． 故选：ACD ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13．命题“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是 ∀x ∈R ，x +2＞0 ． 解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈R ，x +2＞0， 故答案为：∀x ∈R ，x +2＞0．14．写出一个同时具有下列性质①②的函数f （x ）＝ 2x （答案不唯一） ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），②当x ＞0时，f （x ）＞1 解：由性质①联想到指数函数f （x ）＝a x ， f （x 1+x 2）=a x 1+x 2=a x 1•a x 2=f （x 1）•f （x 2）， 又当x ＞0时，f （x ）＞1，可得a ＞1， 可取a ＝2，则满足条件的函数为f （x ）＝2x ． 故答案为：2x （答案不唯一）．15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL 血液中酒精含量达到20﹣79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg /mL ，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过 6 小时，才能驾驶？（结果精确到0.1h ）（附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 解：假设经过x 小时才能驾驶，则100（1﹣25%）x ＜20， 所以（34）x ＜15，所以xlg 34＜lg 15，所以x ＞lg 15lg 34=lg2−1lg3−2lg2=0.3010−10.4771−2×0.3010≈5.6，故x ＝6．故答案为：6．16．已知f （x ）＝ax ﹣1，g （x ）＝x 2+bx ﹣5（a ＞0，b ∈R ）．当a ＝2时，f （x ）＝g （x ）的两根为x 1，x 2，则|x1﹣x2|的最小值为4；当x＞0时，f（x）•g（x）≥0恒成立，则b+3a的最小值为2√10．解：当a＝2时，方程f（x）＝g（x），即x2+（b﹣2）x﹣4＝0，则有x1+x2＝2﹣b，x1x2＝﹣4，|x1−x2|=√(x1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1x2=√(2−b)2+16，所以当b＝2时，|x1﹣x2|的最小值为4，此时b＝2满足Δ＞0．当x＞0时，f（x）•g（x）＝（ax﹣1）（x2+bx﹣5）≥0恒成立，由a＞0，当0＜x＜2时，ax﹣1＜0，x2+bx﹣5≤0；当x＞1a时，ax﹣1＞0，x2+bx﹣5≥0，x=1a是方程x2+bx﹣5＝0的根，即有1a2+ba−5=0，得b=5a−1a，b+3a=5a+2a≥2√5a⋅2a=2√10，当且仅当5a=2a，即a=√105时等号成立，所以b+3a的最小值为2√10．故答案为：4；2√10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2＜x≤6}，C＝{x|10﹣2a＜x＜3a}．（1）求A∪B；（2）若A∩C＝∅，求实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2＜x≤6}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤6}．（2）C＝{x|10﹣2a＜x＜3a}，当10﹣2a≥3a时，即a≤2时，C＝∅，此时A∩C＝∅，满足题意；当10﹣2a＜3a时，即a＞2时，C＝{x|10﹣2a＜x＜3a}，若A∩C＝∅，则10﹣2a≥3或3a≤﹣1，即a≤72或a≤−13，∴2＜a≤7 2．综上，实数a的取值范围为{a|a≤72 }．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx﹣1（a，b∈R）．（1）若不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}，求a，b的值；（2）当b＝3时，若不等式f（x）＜0对一切实数x恒成立，求a的取值范围．解：（1）由题意得1，3为方程ax2+bx﹣1＝0的两实数根，且a＜0，则{−1a=3−ba=4，解得{a=−13b=43．（2）当b ＝3时，f （x ）＝ax 2+3x ﹣1，即不等式ax 2+3x ﹣1＜0对一切实数x 恒成立， 当a ＝0时，即3x ﹣1＜0，显然对一切实数x 并不是恒成立，则a ≠0， 则有{a ＜0Δ=9+4a ＜0，解得a ＜−94，综上所述：a ＜−94，即a 的取值范围是（﹣∞，−94）．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinxcosx +sin 2x −12．（1）当x ∈(π4，7π12)时，求f （x ）的取值范围；（2）若x 0∈(π4，7π12)且f(x 0)=13，求cos2x 0的值．解：（1）f(x)=√3sinxcosx +sin 2x −12=√32sin2x −12cos2x ＝sin （2x −π6）， 当x ∈(π4，7π12)时，π3＜2x −π6＜π，所以0＜sin （2x −π6）≤1，即f （x ）的取值范围为（0，1]；（2）若x 0∈(π4，7π12)且f(x 0)=13=sin （2x 0−π6），则π3＜2x 0−π6＜π，因为sin （2x 0−π6）＜√32，所以cos （2x 0−π6）=−2√23，故cos2x 0＝cos （2x 0−π6+π6）=√32cos （2x 0−π6）−12sin （2x 0−π6）=√32×(−2√23)−12×13=−1−2√66．20．（12分）已知函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R 上的奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断并证明函数f （x ）的单调性；（3）对任意t ∈[1，e ]，关于t 的不等式f [（lnt ）2﹣ln （et 2）]+f （k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）∵函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R 上的奇函数，∴f （0）＝0，f （1）＝﹣f （﹣1），即−1+b 3+a =0，−3+b 9+a =−−13+b 1+a，解得a ＝3，b ＝1，此时f(x)=−3x +13x+1+3=13(23x +1−1)，可得f （x ）+f （﹣x ）=13（23x +1−1）+13（23−x +1−1）=13（23x +1+2×3x 3x +1−2）＝0，即a ＝3，b ＝1符合题意．（2）函数f （x ）在R 上单调递减，证明如下：由（1）可得，f （x ）=−3x−13x +1×13=−13(1−23x +1)=−13+23×13x +1，设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=23(11+3x 1−11+3x 2)=23⋅3x 2−3x1(1+3x 1)(1+3x 2)＞0，∴f （x 1）＜f （x 2），即函数f （x ）在R 上单调递减．（3）对任意t ∈[1，e ]，关于t 的不等式f [（lnt ）2﹣ln （et 2）]+f （k ）＜0恒成立，且f （x ）为单调递减的奇函数，∴f [（lnt ）2﹣ln （et 2）]＜﹣f （k ）＝f （﹣k ）， ∴（lnt ）2﹣ln （et 2）＞﹣k ，可得（lnt ）2﹣2lnt ﹣1＞﹣k 对任意t ∈[1，e ]恒成立， 令u ＝lnt ，由t ∈[1，e ]，可知u ＝lnt ∈[0，1]，可得g （u ）＝u 2﹣2u ﹣1且g （u ）的图象开口向上，对称轴为u ＝1，则g （u ）在[0，1]内单调递减，可得g （u ）在[0，1]内的最小值为g （1）＝﹣2， 则﹣2＞﹣k ，解得k ＞2，∴实数k 的取值范围为（2，+∞）．21．（12分）如图，已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一个定点，过点A 作直线l 垂直于l 1，l 2且分别交于点E ，D ，AD ＝2，AE ＝1．B 是直线l 2上的一个动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ．设∠ABD ＝α，α∈[π6，π3]．（1）设△ABD 的面积为S 1，△ACE 的面积为S 2，求S 1+S 2的最小值； （2）若△ABC 的外接圆面积不超过5π2，求角α的取值范围．解：（1）根据题意，∠ABD ＝α，则∠EAC ＝α，α∈[π6，π3]，∴|BD|=2tanα，|AB|=2sinα，|EC |＝tan α，|AC|=1cosα， S 1=12×|AD|×|BD|=2tanα，S 2=12×|AE|×|EC|=tanα2， ∴S 1+S 2=2tanα+tanα2，α∈[π6，π3]， 令x =tanα∈[√33，√3]，f(x)=2x +x2， 任取x 1，x 2∈[√33，√3]，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1+x 12−(2x 2+x22)=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−42x 1x 2，∵√33≤x 1＜x 2≤√3，∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2﹣4＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在[√33，√3]上单调递减，∴f(x)≥f(√3)=2√3√32=7√36，即S 1+S 2的最小值为7√36， 当且仅当α=π3时等号成立；（2）设△ABC 外接圆半径为r ，则|BC |＝2r ， 又△ABC 外接圆面积S =πr 2≤5π2，即4r 2≤10，即|BC |2≤10， 由题可得|BC|2=|AB|2+|AC|2=1cos 2α+4sin 2α， ∴1cos 2α+4sin 2α≤10，即1+3cos 2α≤10sin 2αcos 2α，化简整理得5cos 22α+3cos2α≤0，解得−35≤cos2α≤0，又α∈[π6，π3]，2α∈[π3，2π3]，∴−12≤cos2α≤0，∴π2≤2α≤2π3，解得α∈[π4，π3]．22．（12分）已知函数y ＝f （x ），若对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有f(x)+f(1x)=0，就称函数y ＝f （x ）满足性质P ．（1）已知f （x ）＝2x +1，判断y ＝f （x ）是否满足性质P ，并说明理由； （2）若y ＝f （x ）满足性质P ，且定义域为（0，+∞）． ①已知x ∈（0，1）时，f(x)=log 3x −3x 2，求函数f （x ）的解析式并指出方程f （x ）＝255是否有正整数解？请说明理由；②若f （x ）在（0，1）上单调递增，证明：f （x ）在（1，+∞）上单调递增． 解：（1）因为f （x ）+f （1x）＝2x +1+2x +1＝2x +2x +2＝0不恒成立，所以y ＝f （x ）不满足性质P ； （2）①当x ＞1时，0＜1x＜1，此时f （x ）＝﹣f （1x ）＝﹣（log 31x−3x 2）＝3x 2+log 3x ，又当x ＝1时，f （1）+f （1）＝0，所以f （1）＝0， 所以f （x ）={log 3x −3x 2，0＜x ＜10，x =13x 2+log 3x ，x ＞1；假设方程f（x）＝255有正整数解n，则3n2+log3n＝255，要使上式能成立，则必有n＝3k，k≥1，k∈N，所以3×32k+log33k＝32k+1+k＝255，明显y＝32k+1+k为单调递增函数，又当k＝2时，32k+1+k＝35+2＝245＜255，当k＝3时，32k+1+k＝37+3＝2190＞255，故方程f（x）＝255没有正整数解；②证明：任取x1＞x2＞1，则0＜1x1＜1x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（1x1）﹣[﹣f（1x2）]＝f（1x2）﹣f（1x1），因为f（x）在（0，1）上单调递增，且0＜1x1＜1x2＜1，所以f（1x2）＞f（1x1），所以f（x1）﹣f（x2）＝f（1x2）﹣f（1x1）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．。
2019-2020学年苏教版江苏省无锡市高三第一学期期末数学试卷 解析版
2019-2020学年高三第一学期（上）期末数学试卷一、选择题1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝．3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为分钟．4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点．5．等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为．6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE 的距离是．8．如图所示的流程图中，输出n的值为．9．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为．10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是．11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝．12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为．14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是．二、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面PAB；（2）求证：CD⊥PA．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19．（16分）已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P （﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．参考答案一、填空题1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，3} ．【分析】利用交集定义直接求解．解：因为2k﹣1，k∈Z表示为奇数，集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}．故答案为：{1，3}．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝﹣8 ．【分析】把z＝a+bi两边同乘i，得到iz，结合iz＝9+i利用复数相等的条件求得a，b 的值，则答案可求．解：由z＝a+bi，得iz＝ai+bi2＝﹣b+ai＝9+i，∴a＝1，b＝﹣9，则a+b＝﹣8．故答案为：﹣8．3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为7.5 分钟．【分析】直接利用平均数的计算公式求解即可．解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；所以：平均用时：，故答案为：7.5．4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点（0，﹣2）．【分析】利用指数函数的性质即可求解．解：令x＝0得：f（0）＝1﹣3＝﹣2，∴函数f（x）恒过定点（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．5．等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为 4 ．【分析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，则有a2＝a1+d，a6＝a1+5d．然后根据等比中项的性质有，代入整理可得d＝3a1，再通过q＝即可算出等比数列的公比．解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d，a6＝a1+5d．依题意，，即整理得d＝3a1，∴a2＝a1+d＝4a1，∴q＝．故答案为：4．6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．故答案为：．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是．【分析】利用等体积法，转化求解点A到平面A1DE的距离即可．解：，，解得．故答案为：．8．如图所示的流程图中，输出n的值为 4 ．【分析】根据流程图的顺序一步一步走，注意对数的运算．解：模拟程序的运行，可得S＝1，n＝1；S＝1+log2＝0，n＝2；S＝0+log2，n＝3；S＝，n＝4；S≤﹣1．跳出循环，输出结果，n＝4，故答案为：49．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为（x﹣3）2+y2＝4 ．【分析】求关于直线对称的圆，只需要圆心关于直线对称即可，半径相同，直线为两个圆的圆心的中垂线，求出圆心的对称点即可．解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（﹣1，2），关于y＝2x﹣1对称点设为（x，y），则有：，解得，所以对称后的圆心为（3，0），故答案为：（x﹣3）2+y2＝4．10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是[0，1] ．【分析】由＝，即可得解．解：作图如下，＝，又，故，故，即的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝﹣．【分析】利用已知条件推出直线的斜率的关系式，然后求解λ的值即可．解：双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，可得：，，故答案为：．12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为 3 ．【分析】作出图象，根据题设条件得出各边的关系，利用正切的差角公式即可求解．解：设AC＝x，BC＝3t，由∠BAC＞45°可知，tan∠BAC＝，，令，即，解得m＝1或，则tan∠BAC＝3或tan∠BAC＝1（舍），故tan∠BAC＝3．故答案为：3．14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是（﹣，﹣8）．【分析】分段函数，由两个零点分别讨论k的取值不同零点的区间也不同．解：f（x）＝0（x∈（0，3）可得：﹣k＝＝如图所示：由两个零点的范围满足8＜﹣k，所以k∈（﹣，﹣8）故答案为：（﹣，﹣8）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．【分析】（1）根据向量共线以及正弦定理得到sin A＝2sin A cos C；再结合三角形中教的范围即可求解；（2）利用（1）的结论整理得到y＝2sin（A+）；再结合角A范围即可求解．解：（1）由，得c cos B﹣（2a﹣b）cos C＝0；由正弦定理得：sin C cos B﹣（2sin A﹣sin B）cos C＝0；∴（sin C cos B+sin B cos C）＝2sin A cos C；∴sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos C；∵sin A≠0；∴cos C＝；又C∈（0，π）；∴C＝；（2）由（1）知A+B＝π﹣C＝，所以B﹣＝﹣A，A；所以y＝sin A+＝y＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+＝2sin （A+）；∵A；∴A+∈（，）；∴A+＝即A＝时，y取最大值2．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面PAB；（2）求证：CD⊥PA．【分析】（1）连结BD，则O是BD中点，从而OE∥PB，由此能证明OE∥平面PAB．（2）作PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABCD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．【解答】证明：（1）连结BD，∵ABCD是平行四边形，O为其中心，∴O是BD中点，∵E是PD中点，∴OE∥PB，∵PB⊂平面PAB，OE⊄平面PAB，∴OE∥平面PAB．（2）作PH⊥AD于H，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面PAD，∴PH⊥平面ABCD，又CD⊥PD，PD∩PH＝P，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，所以，△PF1Q的周长为4a＝12；（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），直线PR：，得M（，0），联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，，，x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，所以•|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，故△PF1M面积的最大值为．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．【分析】本题第（1）题先根据题意有长方形ABCD的面积S＝＝225米2，然后设AD ＝x米，则AB＝米，初步得到x的取值范围，设发酵池造价总费用为f（x），列出f（x）的表达式，然后根据题意得到发酵池AD边长的范围；第（2）题设发酵馆的占地面积为S（x），列出S（x）的表达式，再对S（x）求导，然后通过单调性分析找到S（x）的最小值，注意要对b进行分类讨论．解：（1）由题意，长方形ABCD的面积S＝＝225米2，设AD＝x米，则AB＝米．则x＞＞0，解得x≥15．设发酵池造价总费用为f（x），则f（x）＝225×200+150×2•（2x+）＝600（x+）+45000＜65400．解得9≤x≤25，又x≥15，故x∈[15，25]．（2）由题意，可设发酵馆的占地面积为S（x），则S（x）＝（x+8）（+2b）＝2bx++16b+225，x∈[15，25]．S′（x）＝，x∈[15，25]．①当b≥4时，S′（x）≥0．即S（x）在[15，25]上单调递增，此时当x＝15时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AB＝AD＝15米时，发酵馆的占地面积最小；②当0＜b≤时，S′（x）≤0．即S（x）在[15，25]上单调递减，此时当x＝25时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AD＝25米，AB＝9米时，发酵馆的占地面积最小；③当＜b＜4时，有当15≤x＜时，S′（x）＜0，S（x）单调递减；当＜x≤25时，S′（x）＞0，S（x）单调递增．当x＝＝时，S′（x）＝0，S（x）取得极小值．即AD＝，AB＝时，发酵馆的占地面积最小．19．（16分）已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．【分析】本题第（1）题由S n﹣1＝1﹣2a n可得S n＝1﹣2a n+1，两式相减可发现数列{a n}成等比数列，则通过计算可得出通项公式，而b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，通过整理化简，再根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列，通过计算也可得出通项公式．第（2）题先对数列{c n}的一般项化简整理后进行裂项，在求和时相消可得到前n 项和P n．解：（1）由题意，S n﹣1＝1﹣2a n，则有S n＝1﹣2a n+1，两式相减，整理得a n+1＝a n，（n≥2）．当n＝2时，S1＝a1＝＝1﹣2a2，解得a2＝＝a1．∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．∴a n＝，n∈N*．又∵b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，n≥2．整理，得＝＝T n+T n﹣1，n≥2．∵b n＞0，∴T n＞0．∴＝1，n≥2．即2b n＝b n+1+b n﹣1，n≥2．根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列．∵b1＝1，b2＝2，∴d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．∴数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴b n＝n，n∈N*．（2）由（1），得c n＝＝•＝﹣，根据累加法，可得：P n＝c1+c2+…+c n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．【分析】（1）结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合导数的符号可判断函数的单调性，（2）（Ⅰ）结合导数与单调性的关系及零点判定定理可求a的范围，（Ⅱ）由题意构造函数，然后转化为证明函数的单调性．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）＝﹣a，当a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，由f′（x）＞0可得，x，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0可得，x，此时函数单调递减，综上可得，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数的递增区间（0，），单调递减区间为（）；（2）（Ⅰ）由（1）可知，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），最多一个零点，不符合题意，当a＞0时，若使得f（x）有两个零点，则f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＞0，解可得0＜a＜，∵f（1）＝﹣a＜0，且1，∴存在x1使得f（x1）＝0，又因为f（）＝﹣2lna﹣，设g（a）＝﹣2lna﹣，a，则g′（a）＝＞0，故g（a）单调递增，所以g（a）＝2﹣e＜0，即f（）＜0，∵，所以存在使得f（x2）＝0，综上可得，a，（Ⅱ）由题意可得，lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax0＝0，∴，∵x1＜x2，∴＞1，令t＝＞1，则x2＝tx1，∴＝，解可得，lnx1＝，∴lnx2＝lnt+lnx1＝，所以ln（x1x2）＝，设h（t）＝，t＞1，则h′（t）＝，令H（t）＝t﹣﹣2lnt，t．＞1，则H′（t）＝1+＝＞0，∴H（t）单调递增，H（t）＞H（1）＝0，则h′（t）＞0，故h（t）单调递增，即ln（x1x2）随着＝t的增大而增大，所以x1•x2随着的增大而增大．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P （﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．【分析】推导出＝5＝，且＝，由此能求出矩阵A．解：∵a，b∈R，矩阵A＝，矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），∴＝5＝，且＝，∴，解得，∴矩阵A＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【分析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．曲线C1：，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝16．所以圆心（0，0）到直线的距离d＝．所以AB＝2＝＝4．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【分析】（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DE所成角的余弦值．（2）求出平面ADE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C 的正弦值．解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），＝（0，），＝（，，﹣3），设异面直线OC与DE所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），设平面DEC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（2，0，1），设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．【分析】根据数学归纳法的证明步骤，先证明当n＝1时，不等式是成立，然后假设n＝k成立，即得一个不等式成立，证明当n＝k+1时，也成立即可，从而证明不等式．【解答】证明：①当n＝1时，设f（x）＝e x﹣1﹣x，x∈（1，+∞），则f'（x）＝e x﹣1﹣1＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，即e x﹣1＞x，∴当n＝1时，原命题成立；②假设当n＝k时，对任意x∈（1，+∞），当n＝k+1时，设，则，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，由①②知，e x﹣1＞成立．。
2019-2020学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题）1.集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝．2.已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝﹣．3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为分钟．4.函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点﹣．5.等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为．6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．7.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是．8.如图所示的流程图中，输出n的值为．9.圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为﹣．10.正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是．11.双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接P A交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝﹣．12.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．13.在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为．14.函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是﹣﹣．二、解答题（共10小题）15.在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．16.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△P AD为锐角三角形，且平面P AD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面P AB；（2）求证：CD⊥P A．17.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．18.一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19.已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20.设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．21.已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．22.已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．23.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．24.对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：因为2k﹣1，k∈Z表示为奇数，集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}．故答案为：{1，3}．【知识点】交集及其运算2.【分析】把z＝a+bi两边同乘i，得到iz，结合iz＝9+i利用复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由z＝a+bi，得iz＝ai+bi2＝﹣b+ai＝9+i，∴a＝1，b＝﹣9，则a+b＝﹣8．故答案为：﹣8．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】直接利用平均数的计算公式求解即可．【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；所以：平均用时：，故答案为：7.5．【知识点】众数、中位数、平均数4.【分析】利用指数函数的性质即可求解．【解答】解：令x＝0得：f（0）＝1﹣3＝﹣2，∴函数f（x）恒过定点（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【知识点】指数函数的单调性与特殊点5.【分析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，则有a2＝a1+d，a6＝a1+5d．然后根据等比中项的性质有，代入整理可得d＝3a1，再通过q＝即可算出等比数列的公比．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d，a6＝a1+5d．依题意，，即整理得d＝3a1，∴a2＝a1+d＝4a1，∴q＝．故答案为：4．【知识点】等差数列与等比数列的综合6.【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】利用等体积法，转化求解点A到平面A1DE的距离即可．【解答】解：，，解得．故答案为：．【知识点】点、线、面间的距离计算8.【分析】根据流程图的顺序一步一步走，注意对数的运算．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，n＝1；S＝1+log2＝0，n＝2；S＝0+log2，n＝3；S＝，n＝4；S≤﹣1．跳出循环，输出结果，n＝4，故答案为：4【知识点】程序框图9.【分析】求关于直线对称的圆，只需要圆心关于直线对称即可，半径相同，直线为两个圆的圆心的中垂线，求出圆心的对称点即可．【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（﹣1，2），关于y＝2x﹣1对称点设为（x，y），则有：，解得，所以对称后的圆心为（3，0），故答案为：（x﹣3）2+y2＝4．【知识点】圆的标准方程、关于点、直线对称的圆的方程10.【分析】由＝，即可得解．【解答】解：作图如下，＝，又，故，故，即的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律11.【分析】利用已知条件推出直线的斜率的关系式，然后求解λ的值即可．【解答】解：双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接P A交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，可得：，，故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题13.【分析】作出图象，根据题设条件得出各边的关系，利用正切的差角公式即可求解．【解答】解：设AC＝x，BC＝3t，由∠BAC＞45°可知，tan∠BAC＝，，令，即，解得m＝1或，则tan∠BAC＝3或tan∠BAC＝1（舍），故tan∠BAC＝3．故答案为：3．【知识点】三角形中的几何计算14.【分析】分段函数，由两个零点分别讨论k的取值不同零点的区间也不同．【解答】解：f（x）＝0（x∈（0，3）可得：﹣k＝＝如图所示：由两个零点的范围满足8＜﹣k，所以k∈（﹣，﹣8）故答案为：（﹣，﹣8）．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、解答题（共10小题）15.【分析】（1）根据向量共线以及正弦定理得到sin A＝2sin A cos C；再结合三角形中教的范围即可求解；（2）利用（1）的结论整理得到y＝2sin（A+）；再结合角A范围即可求解．【解答】解：（1）由，得c cos B﹣（2a﹣b）cos C＝0；由正弦定理得：sin C cos B﹣（2sin A﹣sin B）cos C＝0；∴（sin C cos B+sin B cos C）＝2sin A cos C；∴sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos C；∵sin A≠0；∴cos C＝；又C∈（0，π）；∴C＝；（2）由（1）知A+B＝π﹣C＝，所以B﹣＝﹣A，A；所以y＝sin A+＝y＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+＝2sin（A+）；∵A；∴A+∈（，）；∴A+＝即A＝时，y取最大值2．【知识点】两角和与差的余弦函数、正弦定理16.【分析】（1）连结BD，则O是BD中点，从而OE∥PB，由此能证明OE∥平面P AB．（2）作PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABCD，从而CD⊥平面P AD，由此能证明CD⊥P A．【解答】证明：（1）连结BD，∵ABCD是平行四边形，O为其中心，∴O是BD中点，∵E是PD中点，∴OE∥PB，∵PB⊂平面P AB，OE⊄平面P AB，∴OE∥平面P AB．（2）作PH⊥AD于H，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面P AD，∴PH⊥平面ABCD，又CD⊥PD，PD∩PH＝P，∴CD⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴CD⊥P A．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定17.【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，所以，△PF1Q的周长为4a＝12；（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），直线PR：，得M（，0），联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，，，x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，所以•|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，故△PF1M面积的最大值为．【知识点】椭圆的简单性质18.【分析】本题第（1）题先根据题意有长方形ABCD的面积S＝＝225米2，然后设AD＝x米，则AB＝米，初步得到x的取值范围，设发酵池造价总费用为f（x），列出f（x）的表达式，然后根据题意得到发酵池AD边长的范围；第（2）题设发酵馆的占地面积为S（x），列出S（x）的表达式，再对S（x）求导，然后通过单调性分析找到S（x）的最小值，注意要对b进行分类讨论．【解答】解：（1）由题意，长方形ABCD的面积S＝＝225米2，设AD＝x米，则AB＝米．则x＞＞0，解得x≥15．设发酵池造价总费用为f（x），则f（x）＝225×200+150×2•（2x+）＝600（x+）+45000＜65400．解得9≤x≤25，又x≥15，故x∈[15，25]．（2）由题意，可设发酵馆的占地面积为S（x），则S（x）＝（x+8）（+2b）＝2bx++16b+225，x∈[15，25]．S′（x）＝，x∈[15，25]．①当b≥4时，S′（x）≥0．即S（x）在[15，25]上单调递增，此时当x＝15时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AB＝AD＝15米时，发酵馆的占地面积最小；②当0＜b≤时，S′（x）≤0．即S（x）在[15，25]上单调递减，此时当x＝25时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AD＝25米，AB＝9米时，发酵馆的占地面积最小；③当＜b＜4时，有当15≤x＜时，S′（x）＜0，S（x）单调递减；当＜x≤25时，S′（x）＞0，S（x）单调递增．当x＝＝时，S′（x）＝0，S（x）取得极小值．即AD＝，AB＝时，发酵馆的占地面积最小．【知识点】根据实际问题选择函数类型19.【分析】本题第（1）题由S n﹣1＝1﹣2a n可得S n＝1﹣2a n+1，两式相减可发现数列{a n}成等比数列，则通过计算可得出通项公式，而b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，通过整理化简，再根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列，通过计算也可得出通项公式．第（2）题先对数列{c n}的一般项化简整理后进行裂项，在求和时相消可得到前n项和P n．【解答】解：（1）由题意，S n﹣1＝1﹣2a n，则有S n＝1﹣2a n+1，两式相减，整理得a n+1＝a n，（n≥2）．当n＝2时，S1＝a1＝＝1﹣2a2，解得a2＝＝a1．∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．∴a n＝，n∈N*．又∵b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，n≥2．整理，得＝＝T n+T n﹣1，n≥2．∵b n＞0，∴T n＞0．∴＝1，n≥2．即2b n＝b n+1+b n﹣1，n≥2．根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列．∵b1＝1，b2＝2，∴d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．∴数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴b n＝n，n∈N*．（2）由（1），得c n＝＝•＝﹣，根据累加法，可得：P n＝c1+c2+…+c n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．【知识点】数列递推式、数列的求和20.【分析】（1）结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合导数的符号可判断函数的单调性，（2）（Ⅰ）结合导数与单调性的关系及零点判定定理可求a的范围，（Ⅱ）由题意构造函数，然后转化为证明函数的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）＝﹣a，当a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，由f′（x）＞0可得，x，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0可得，x，此时函数单调递减，综上可得，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数的递增区间（0，），单调递减区间为（）；（2）（Ⅰ）由（1）可知，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），最多一个零点，不符合题意，当a＞0时，若使得f（x）有两个零点，则f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＞0，解可得0＜a＜，∵f（1）＝﹣a＜0，且1，∴存在x1使得f（x1）＝0，又因为f（）＝﹣2lna﹣，设g（a）＝﹣2lna﹣，a，则g′（a）＝＞0，故g（a）单调递增，所以g（a）＝2﹣e＜0，即f（）＜0，∵，所以存在使得f（x2）＝0，综上可得，a，（Ⅱ）由题意可得，lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax0＝0，∴，∵x1＜x2，∴＞1，令t＝＞1，则x2＝tx1，∴＝，解可得，lnx1＝，∴lnx2＝lnt+lnx1＝，所以ln（x1x2）＝，设h（t）＝，t＞1，则h′（t）＝，令H（t）＝t﹣﹣2lnt，t．＞1，则H′（t）＝1+＝＞0，∴H（t）单调递增，H（t）＞H（1）＝0，则h′（t）＞0，故h（t）单调递增，即ln（x1x2）随着＝t的增大而增大，所以x1•x2随着的增大而增大．【知识点】利用导数研究函数的单调性21.【分析】推导出＝5＝，且＝，由此能求出矩阵A．【解答】解：∵a，b∈R，矩阵A＝，矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），∴＝5＝，且＝，∴，解得，∴矩阵A＝．【知识点】矩阵与矩阵的乘法的意义22.【分析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．曲线C1：，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝16．所以圆心（0，0）到直线的距离d＝．所以AB＝2＝＝4．【知识点】简单曲线的极坐标方程、参数方程化成普通方程23.【分析】（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DE所成角的余弦值．（2）求出平面ADE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【解答】解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），＝（0，），＝（，，﹣3），设异面直线OC与DE所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），设平面DEC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（2，0，1），设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、异面直线及其所成的角24.【分析】根据数学归纳法的证明步骤，先证明当n＝1时，不等式是成立，然后假设n＝k成立，即得一个不等式成立，证明当n＝k+1时，也成立即可，从而证明不等式．【解答】证明：①当n＝1时，设f（x）＝e x﹣1﹣x，x∈（1，+∞），则f'（x）＝e x﹣1﹣1＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，即e x﹣1＞x，∴当n＝1时，原命题成立；②假设当n＝k时，对任意x∈（1，+∞），当n＝k+1时，设，则，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，由①②知，e x﹣1＞成立．【知识点】数学归纳法。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_5
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共40分）一：选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5．故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.3.中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A. 30B. 70C. 80D. 100【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的特点，在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学抽取的占比等于总体中的占比，即可求解.【详解】因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽同学有，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取人，故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样，总体、样本的概念，属于容易题.4.从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正品为，次品为，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可.【详解】设正品为，次品为,任取两件所有的基本事件为，，共3个基本事件，其中恰有1件次品的基本事件为，，共2个，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.5.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使函数有意义，只需满足分母不为零，被开方数不为负数即可.【详解】因为，所以，解得且，所以函数定义域为，故选：D【点睛】本题主要考查了有函数解析式的定义域的求法，属于容易题.6.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【详解】A中为奇函数，故排除A；B中的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；C中，既不是奇函数也不是偶函数，故排除C；D中为偶函数，在x∈(0,+∞)时，函数为，函数单调递增，故排除D.故选：B．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性、单调性，属于容易题.7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征，属于基础题.8.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）A. 第天B. 第天C. 第天D. 第天【答案】D【解析】【分析】由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半.【详解】因为每天增加一倍，且第30天时，刚好被浮萍盖满，所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半.故选：D.【点睛】本题主要考查了在实际问题中的数学应用，从后往前推是解决问题的关键，属于容易题.9.已知向量，，那么“”是“//”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质，及向量的坐标运算即可分析答案.【详解】当时，，，所以，所以//，当//时，因为，，所以，解得，所以“”是“//”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，向量共线的性质，向量的坐标运算，属于中档题.10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法：甲乙①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数；②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．其中正确命题的个数是（）（注：，其中为数据的平均数）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出甲、乙成绩的平均数；再根据方差公式求出甲、乙的方差，计算甲、乙的中位数，计算甲、乙的极差，即可得出答案．【详解】甲五次成绩平均数为：（4+5+6+7+8）÷5=6，乙五次成绩的平均数为：（5+5+5+6+9）÷5=5，所以①错误；因为，，所以③正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以②错误；因为甲的极差为8-4=4，乙的极差为9-5=4，所以④错误，综上知，正确的只有③，故选：A.【点睛】本题主要考查了极差，方差，平均数，中位数，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11.在平行四边形中，已知向量，，则__．【答案】【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，利用向量的坐标运算即可.【详解】因为在平行四边形中，所以，又因为，，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题.12.已知函数是指数函数，如果，那么__（请在横线上填写“”，“”或“”）【答案】>【解析】【分析】由题意设，根据求出解析式，即可比较，的大小.【详解】因为函数是指数函数，设，则，解得或（舍去）所以，是增函数，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题.13.已知，且，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由，为定值，运用均值不等式求的最大值即可.【详解】,,,当且仅当时，等号成立，即，而，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，所以函数图象关于轴对称，作出函数的图象：若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，由图象可知：时，即有4个交点.故m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）说法不正确；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：（Ⅱ）不正确，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确．考点：概率统计【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．【此处有视频，请去附件查看】17.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成五组，得到频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．【答案】（Ⅰ）40人（Ⅱ）0.4（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意可知,解得. 所以此次测试总人数为.故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件.由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为,则估计.（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，因为相互独立，相互独立，所以，，又因为互斥，所以.所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了互斥事件和的概率，独立事件同时发生的概率，属于中档题.18.已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为【解析】【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；（2）由函数的单调性即可得函数最值.试题解析：（1）解：在区间上是增函数.证明如下：任取，且，.∵，∴，即.∴函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为.点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；（4）下结论.19.已知函数（，且）．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）判断函数奇偶性；（Ⅲ）解关于x的不等式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）奇函数. （Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据对数的真数为正可求出函数定义域（Ⅱ）由定义域的对称性及的关系可判断函数奇偶性（Ⅲ）分，两种情况讨论，利用单调性求不等式的解.【详解】（Ⅰ）要是函数有意义，则解得，故函数的定义域为.（Ⅱ），所以函数为奇函数.（Ⅲ），所以，不等式可化为.当时，，解得；当时，，解得或.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，对数函数的单调性，分类讨论，属于中档题.20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，，即，解得或，∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当时，；当时，；∴；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共40分）一：选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5．故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.3.中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A. 30B. 70C. 80D. 100【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的特点，在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学抽取的占比等于总体中的占比，即可求解.【详解】因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽同学有，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取人，故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样，总体、样本的概念，属于容易题.4.从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正品为，次品为，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可.【详解】设正品为，次品为,任取两件所有的基本事件为，，共3个基本事件，其中恰有1件次品的基本事件为，，共2个，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.5.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使函数有意义，只需满足分母不为零，被开方数不为负数即可.【详解】因为，所以，解得且，所以函数定义域为，故选：D【点睛】本题主要考查了有函数解析式的定义域的求法，属于容易题.6.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【详解】A中为奇函数，故排除A；B中的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；C中，既不是奇函数也不是偶函数，故排除C；D中为偶函数，在x∈(0,+∞)时，函数为，函数单调递增，故排除D.故选：B．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性、单调性，属于容易题.7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征，属于基础题.8.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）A. 第天B. 第天C. 第天D. 第天【答案】D【解析】【分析】由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半.【详解】因为每天增加一倍，且第30天时，刚好被浮萍盖满，所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半.故选：D.【点睛】本题主要考查了在实际问题中的数学应用，从后往前推是解决问题的关键，属于容易题.9.已知向量，，那么“”是“//”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质，及向量的坐标运算即可分析答案.【详解】当时，，，所以，所以//，当//时，因为，，所以，解得，所以“”是“//”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，向量共线的性质，向量的坐标运算，属于中档题.10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法：甲乙①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数；②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．其中正确命题的个数是（）（注：，其中为数据的平均数）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出甲、乙成绩的平均数；再根据方差公式求出甲、乙的方差，计算甲、乙的中位数，计算甲、乙的极差，即可得出答案．【详解】甲五次成绩平均数为：（4+5+6+7+8）÷5=6，乙五次成绩的平均数为：（5+5+5+6+9）÷5=5，所以①错误；因为，，所以③正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以②错误；因为甲的极差为8-4=4，乙的极差为9-5=4，所以④错误，综上知，正确的只有③，故选：A.【点睛】本题主要考查了极差，方差，平均数，中位数，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11.在平行四边形中，已知向量，，则__．【答案】【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，利用向量的坐标运算即可.【详解】因为在平行四边形中，所以，又因为，，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题. 12.已知函数是指数函数，如果，那么__（请在横线上填写“”，“”或“”）【答案】>【解析】【分析】由题意设，根据求出解析式，即可比较，的大小.【详解】因为函数是指数函数，设，则，解得或（舍去）所以，是增函数，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题.13.已知，且，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由，为定值，运用均值不等式求的最大值即可.【详解】,,,当且仅当时，等号成立，即，而，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，所以函数图象关于轴对称，作出函数的图象：若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，由图象可知：时，即有4个交点.故m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）说法不正确；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：（Ⅱ）不正确，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确．考点：概率统计【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．【此处有视频，请去附件查看】17.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成五组，得到频率分布直方图如图所示．。
2019-2020学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）集合{|21A x x k ==-，}k Z ∈，{1B =，2，3，4}，则A B =I ． 2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b += ． 3．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 分钟．4．（5分）函数()(1)3(1,2)x f x a a a =-->≠过定点 ．5．（5分）等差数列{}n a （公差不为0)，其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为 ．6．（5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为 ．7．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是 ．8．（5分）如图所示的流程图中，输出n 的值为 ．9．（5分）圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为 ．10．（5分）正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切与正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围是 ．11．（5分）双曲线22:143x y C -=的左右顶点为A ，B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线PB ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，若12k k λ=，则λ= ．12．（5分）对于任意的正数a ，b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +++…恒成立，则k 的最大值为 ．13．（5分）在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>︒，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为 ． 14．（5分）函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ，向量(23,3)m a b c =-r，向量(cos ,cos )n B C =r，且//m n r r ．（1）求角C 的大小；（2）求sin 3sin()3y A B π=+-的最大值．16．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥． （1）求证：//OE 平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥．17．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行与坐标轴的直线l 交椭圆与P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M ． （1）求△1PFQ 的周长； （2）求△1PF M 面积的最大值．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD （如图所示），其中AD AB …．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元 （1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道(b 为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19．（16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n …，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P ．20．（16分）设函数()f x lnx ax =-，a R ∈，0a ≠． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，212()x x x <． （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x g 随着21x x 的增大而增大． 【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知a ，b R ∈，矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点(2,1)P -在A 对应的变换作用下得到点(1,2)P '-，求矩阵A ． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线14cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB 的长．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．（10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠=︒，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值．24．（10分）对于任意的1x >，*n N ∈，用数学归纳法证明：1!nx x e n ->．2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）集合{|21A x x k ==-，}k Z ∈，{1B =，2，3，4}，则A B =I {1，3} ． 【解答】解：因为21k -，k Z ∈表示为奇数， 集合{|21A x x k ==-，}k Z ∈，{1B =，2，3，4}， 故{1A B =I ，3}． 故答案为：{1，3}．2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=8- ．【解答】解：由z a bi =+，得29iz ai bi b ai i =+=-+=+，1a ∴=，9b =-，则8a b +=-．故答案为：8-．3．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 7.5 分钟．【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟； 所以：平均用时：761471584107.5714154⨯+⨯+⨯+⨯=+++，故答案为：7.5．4．（5分）函数()(1)3(1,2)x f x a a a =-->≠过定点 (0,2)- ． 【解答】解：令0x =得：(0)132f =-=-，∴函数()f x 恒过定点(0,2)-，故答案为：(0,2)-．5．（5分）等差数列{}n a （公差不为0)，其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为 4 ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 21a a d =+，615a a d =+．依题意，2216a a a =， 即2111()(5)a d a a d +=+ 整理得13d a =， 2114a a d a ∴=+=，214a q a ∴==．故答案为：4．6．（5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为12． 【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数246n C ==， 抽到的2道题小李都会包含的基本事件233m C ==， 则抽到的2道题小李都会的概率为232412C P C ==．故答案为：12． 7．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是6．【解答】解：1111211323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯=三棱锥，116611123233A DE A A DE S V h -=⨯⨯==⨯⨯=V 三棱锥，解得6h =． 故答案为：6． 8．（5分）如图所示的流程图中，输出n 的值为 4 ．【解答】解：模拟程序的运行，可得1S =，1n =；211log 02S =+=，2n =； 220log 3S =+，3n =； 2222321344S log log log =+==-，4n =； 1S -…．跳出循环，输出结果，4n =，故答案为：49．（5分）圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为22(3)4x y -+= ．【解答】解：圆22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有：2121 222112y xyx+-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故答案为：22(3)4x y-+=．10．（5分）正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PM PNu u u u r u u u rg的取值范围是[0，1]．【解答】解：作图如下，2222211[()()][(2)]144PM PN PM PN PM PN PO NM PO=+--=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u rg，又1||2POu u u r剟，故212POu u u r剟，故2011PO-u u u r剟，即PM PNu u u u r u u u rg的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．11．（5分）双曲线22:143x yC-=的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为1k，2k，若12k kλ=，则λ=34-．【解答】解：双曲线22:143x yC-=的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为1k，2k，若12k kλ=，可得：341PA PBPA QBk kk k⎧=⎪⎨⎪=-⎩gg，34PBQBkkλ==-，故答案为：34-．12．（5分）对于任意的正数a ，b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +++„恒成立，则k 的最大值为 22 ．【解答】解：依题意，22224()43443221b bb ab a a a k b ab a a++++=++g g g „， 令0bt a=>，则22443(21)22121t t t k t t ++++=++„， 令211t μ=+>，则222k μμμμ+=+„，而函数2y μμ=+在(1,)+∞2222=故2k „k 的最大值为22 故答案为：2213．（5分）在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>︒，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为 3 ． 【解答】解：设AC x =，3BC t =，由45BAC ∠>︒可知，3tan 1tBAC x∠=>，2231tan ,tan 321t t t x x CAD DAB t xx-∠=∠==+， 令t m x =，即231132m m m -=+，解得1m =或13m =，则tan 3BAC ∠=或tan 1BAC ∠=（舍)，故tan 3BAC ∠=． 故答案为：3．14．（5分）函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是 26(3-，8)- ． 【解答】解：()0((0f x x =∈，3)可得：2210,(0,1)|1|982,[1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，如图所示：有两个零点的范围满足2683k <-<，所以26(3k ∈-，8)-故答案为：26(3-，8)-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ，向量(233)m a b c =r，向量(cos ,cos )n B C =r，且//m n r r ．（1）求角C 的大小；（2）求sin 3sin()3y A B π=+-的最大值．【解答】解：（1）由//m n r r，得3cos (23)cos 0c B a b C --=；由正弦定理得：3sin cos (2sin 3sin )cos 0C B A B C --=；∴3(sin cos sin cos )2sin cos C B B C A C +=； ∴3sin()3sin 2sin cos B C A A C +==；sin 0A ≠Q ；3cos C ∴=； 又(0,)C π∈；6C π∴=；（2）由（1）知56A B C ππ+=-=， 所以32B A ππ-=-，5(0,)6A π∈； 所以sin 3sin()sin 3sin()sin 3cos 2sin()323y A B y A A A A A πππ=+-==+-=+=+；5(0,)6A π∈Q ； (33A ππ∴+∈，7)6π； 32A ππ∴+=即6A π=时，y 取最大值2．16．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥． （1）求证：//OE 平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥．【解答】证明：（1）连结BD ，ABCD Q 是平行四边形，O 为其中心，O ∴是BD 中点，E Q 是PD 中点，//OE PB ∴， PB ⊂Q 平面PAB ，OE ⊂/平面PAB ， //OE ∴平面PAB ．（2）作PH AD ⊥于H ，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， PH ∴⊥平面ABCD ，又CD PD ⊥，PD PH P =I ，CD ∴⊥平面PAD ，PA ⊂Q 平面PAD ，CD PA ∴⊥．17．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行与坐标轴的直线l 交椭圆与P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M ． （1）求△1PFQ 的周长； （2）求△1PF M 面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则24c =，2c =，1( 2.0)F -，2(2,0)F ，且椭圆过点5(2,)3A ，由椭圆的定义1226a AF AF=+=，故3a =， 所以，△1PFQ 的周长为412a =； （2）由（1）知，2945b =-=，故椭圆的方程为22195x y +=，设直线:2l x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则2(R x ，2)y -， 直线121112:()y y PR y x x y x x +=-+-，得121212(y x x yM y y ++，0)， 联立222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(59)20250m y my ++-=，1222059m y y m -+=+，1222559y y m -=+， 1221121229022()59mx y x y my y y y m -+=++=+，所以112211112113135(2)||||24PF M x y x y S y y y y +=+=+V g g „，当且仅当P 在短轴顶点处取得等号，故△1PF M 面积的最大值为135． 18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD （如图所示），其中AD AB …．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元 （1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道(b 为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．【解答】解：（1）由题意，长方形ABCD 的面积4502252S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米．则2250x x>>，解得15x …． 设发酵池造价总费用为()f x ，则450225()2252001502(2)600()4500065400f x x x x x=⨯+⨯+=++<g ． 解得925x 剟，又15x …，故[15x ∈，25]． （2）由题意，可设发酵馆的占地面积为()S x ，则2251800()(8)(2)216225S x x b bx b x x=++=+++，[15x ∈，25]． 222(900)()bx S x x -'=，[15x ∈，25]． ①当4b …时，()0S x '…．即()S x 在[15，25]上单调递增， 此时当15x =时，发酵馆的占地面积()S x 最小， 即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②当36025b <„时，()0S x '„．即()S x 在[15，25]上单调递减， 此时当25x =时，发酵馆的占地面积()S x 最小， 即25AD =米，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；③当36425b <<时，有当15x <„时，()0S x '<，()S x 单调递减；25x <„时，()0S x '>，()S x 单调递增．当x ==时，()0S x '=，()S x 取得极小值．即AD =AB = 19．（16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n …，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P ．【解答】解：（1）由题意，112n n S a -=-，则有112n n S a +=-，两式相减，整理得112n n a a +=，(2)n …．当2n =时，1121122S a a ===-， 解得211142a a ==． ∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列． 12n na ∴=，*n N ∈． 又22111112()2n n n n n n n n T T b T T T b b ---+--=-=-+Q ，2n …．整理，得111111112()()2()n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T b b b b --+-+-+--++==+++，2n …． 0n b >Q ，0n T ∴>．∴1121nn n b b b +-=+，2n …． 即112n n n b b b +-=+，2n …．根据等差中项的性质，可知数列{}n b 成等差数列． 11b =Q ，22b =，21211d b b ∴=-=-=．∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列．n b n ∴=，*n N ∈．（2）由（1），得221(2)211122(1)2n n n n n nn n b a n c b b n n n n -++===-+++g g g ， 根据累加法，可得： 12n n P c c c =++⋯+2111111(1)()()2222322(1)2n nn n -=-+-+⋯+-⨯⨯⨯+g g 11(1)2nn =-+g ． 20．（16分）设函数()f x lnx ax =-，a R ∈，0a ≠． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，212()x x x <． （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x g 随着21x x 的增大而增大． 【解答】解：（1）()f x lnx ax =-Q ，1()f x a x∴'=-， 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，当0a >时，由()0f x '>可得，1(0,)x a ∈，此时()f x 单调递增，由()0f x '<可得，1(,)x a ∈+∞，此时函数单调递减，综上可得，0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数的递增区间1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞；（2）（Ⅰ）由（1）可知，0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，最多一个零点，不符合题意，当0a >时，若使得()f x 有两个零点，则1()()10max f x f lna a ==-->，解可得10a e<<， f Q （1）0a =-<，且11a<， ∴存在11(1,)x a∈使得1()0f x =，又因为211()2f lna a a=--， 设g （a ）12lna a=--，1(0,)a e ∈，则g '（a ）2120aa -=>， 故g （a ）单调递增，所以g （a ）1()20g e e <=-<，即21()0f a <， Q211a a>， 所以存在2211(,)x a a ∈使得2()0f x =，综上可得，1(0,)a e∈，（Ⅱ）由题意可得，11200lnx ax lnx ax -=-=，∴1212lnx lnx x x =， 12x x <Q ，∴211x x >，令211xt x =>，则21x tx =， ∴121121lnx lnx lntx x x tx ==， 解可得，11lntlnx t =-， 211tlntlnx lnt lnx t ∴=+=-， 所以12(1)()1t lntln x x t +=-， 设(1)()1t lnth t t +=-，1t >， 则212()(1)t lnt t h t t --'=-， 令1()2H t t lnt t=--，t ．1>，则22212(1)()10t H t t t t -'=+-=>，()H t ∴单调递增，()H t H >（1）0=，则()0h t '>，故()h t 单调递增，即12()ln x x 随着21x t x =的增大而增大， 所以12x x g 随着21x x 的增大而增大． 【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知a ，b R ∈，矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点(2,1)P -在A 对应的变换作用下得到点(1,2)P '-，求矩阵A ．【解答】解：a Q ，b R ∈，矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点(2,1)P -在A 对应的变换作用下得到点(1,2)P '-，∴1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩， ∴矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线14cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()3πρθ-=1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB 的长．【解答】解：曲线2C的极坐标方程为cos()3πρθ-=，转换为直角坐标方程为：0x +-．曲线14cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为2216x y +=．所以圆心(0,0)到直线0x -=的距离d ==所以24AB ===．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．（10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠=︒，30EAB ∠=︒，AB =3AD =．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值．【解答】解：（1）以O 为原点，在平面ABE 中过O 作AB 的垂线为x 轴，OB 为y 轴， 过O 作AD 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，90AEB ∠=︒Q ，30EAB ∠=︒，23AB =3AD =．132BE AB ∴==(0C 33)，(0D ，3-3)，(0A ，3-0)，3(2E 3，0)， 3,3)OC =u u u r ，3(2DE =u u u r 33，3)-，设异面直线OC 与DE 所成角为θ， 则9||62cos ||||1218OC DE OC DE θ==u u u r u u u rg u u u r u u u r g g ∴异面直线OC 与DE 6（2）Q (0AD =u u u r ，0，3)，333(3)2DE =-u u u r ，(0DC =u u u r ，230)，设平面ADE 的法向量(m x =r，y ，)z ，则30333302m AD z m DE x y z ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1y =，得(3m =-r 1，0)， 设平面DEC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则230333302n DC y n DE x y z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1z =，得(2n =r ，0，1)， 设二面角A DE C --的平面角为θ， 则||233|cos |||||455m n m n θ===r rg r r g g2310sin 1()5θ∴=-，第21页（共21页）∴二面角A DE C --的正弦值为10．24．（10分）对于任意的1x >，*n N ∈，用数学归纳法证明：1!nx x e n ->． 【解答】证明：①当1n =时，设1()x f x e x -=-，(1,)x ∈+∞，则1()10x f x e -'=->， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x f ∴>（1）0=，即1x e x ->， ∴当1n =时，原命题成立；②假设当n k =时，1!kx x e k ->对任意(1,)x ∈+∞， 当1n k =+时，设11()(1)!k x x g x e k +-=-+，则1()0!k x x g x e k -'=->， ()g x ∴在(1,)+∞上单调递增， ∴1()(1)10(1)!g x g k >=->+， ∴11(1)!k x x e k +->+， 由①②知，1!nx x e n ->成立．。
2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{02},{11}A x x B x x =≤<=-<<∣∣，则A B ⋃=（）A ．(1,0]-B ．(1,2)-C ．[0,1)D ．(0,1)【正确答案】B【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解：因为{02},{11}A x x B x x =≤<=-<<∣∣，所以A B ⋃={12}xx -<<∣，即A B ⋃=(1,2)-.故选：B2．tan(420)- 的值为（）A ．B C ．D 【正确答案】C【分析】根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得.()()tan(420)tan 300720tan 300tan 36060tan 60-=︒-︒=︒=︒-︒=-︒=-o故选：C.3．已知对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则4log a =（）A ．14B ．12C ．2D ．4【正确答案】C【分析】根据题意结合对数运算求解.【详解】由题意可得：1214log log log 2a a a a ===4=，解得16a =，则44log log 162a ==.故选：C.4．函数()e e x xxf x -=+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】先判断()f x 的奇偶性，排除B ；再由0x >得()0f x >，排除C ，再取特殊点法推得()f x 在()0,∞+上并不单调递增，从而排除D ；再分析A 中的图像性质，满足()f x 的性质，从而得解.【详解】因为()e e x xxf x -=+，所以()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又因为()()e e e e x x x xx xf x f x ----==-=-++，所以函数()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故B 错误；当0x >时，因为e 0,e 0x x ->>，所以()0e ex xxf x -=>+，故C 错误；因为()111e ef -=+，()2222212e e e e 22f --==++，又()2112e 2e e e 2e 12e 2e --=->⨯>>=，所以21e e e 2->+，则221e e e e 22--+>+，所以()()22111120e e e e 22f f ---=->++，即()()12f f >，所以()f x 在()0,∞+上并不单调递增，故D 错误；由于排除了选项BCD ，而且选项A 中的图像满足上述()f x 的性质，故A 正确.故选：A.5．已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c<<【正确答案】A【分析】找中间量12和1进行比较，根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.【详解】因为e 4<2<，则1ln 2ln e 12=<<=又22210log 1log 1.41log 2=<<，0.410221>=，所以102a <<，1b >，112c <<，所以a c b <<.故选：A6．已知3sin(30),601505αα+=<<，则cos α的值为（）A ．310-B ．310-C ．410--D 【正确答案】B【分析】根据平方关系式求出()cos 30α+ ，再根据()cos cos 3030αα=+-及两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为60150α<< ，所以9030180α<+< ，又因为()3sin 305α+=，所以()cos 30α+= 45==-，所以()cos cos 3030αα=+- ()()cos 30cos30sin 30sin 30αα=+++431552=-=.故选：B7．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象，图（2）（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（）A ．图（1）中的点A 表示当乘客量为0时，亏损1.5个单位B ．图（1）中的点B 表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利C ．图（2）的建议为降低成本同时提高票价D ．图（3）的建议为保持成本同时提高票价【正确答案】C【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，纵截距表示乘客人数为0时的支出)，分析图形即可得出结论.【详解】对于A ，当0x =时，15y =-.，所以图（1）中当乘客量为0时，亏损1.5个单位，故本选项说法正确；对于B ，当3x =时，0y =，所以图（1）中点B 表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利本选项说法正确；对于C ，根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收支差额（负值)变大了，即支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以本选项不正确；对于D ，根据题意和图（3）知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即每增加一个乘客时收支差额的增加值变大，即票价提高了，但乘客人数为0时的收支差额(负值)没有变化，即说明此建议是提高票价而保持成本不变所以本选项说法正确.故选：C8．函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是（）A ．1B ．5C ．6D ．7【正确答案】D【分析】令()0f x =，利用诱导公式化简可得(2π)sin cos 0x x x -+=，然后分类讨论，利用正切函数的图象和性质即可求解.【详解】令()0f x =，即ππ(2π)cos sin 022x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(2π)sin cos 0x x x -+=，当3πππ3π5π,,,,22222x ≠--时，方程可化为tan π2x x =-，在同一直角坐标系中分别做出tan y x =与π2y x =-的图象，由图可知：当3πππ3π5π,,,,22222x ≠--时，函数tan y x =与π2y x =-的图象有6个交点，分别为,,,,,A B C D E F ,又因为π2x =，满足方程(2π)sin cos 0x x x -+=，所以π2也是函数()f x 的一个零点，综上，函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是7，故选.D二、多选题9．下列说法错误的是（）A ．命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”B ．命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃≤使得215x +≤”C ．“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件D ．“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件【正确答案】BC【分析】根据含有一个量词的否定的定义，可判断A ，B ；根据充分条件和必要条件的定义可判断C ，D.【详解】对于A ，命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”，故A 正确；对于B ，命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃>使得215x +≤”，故B 不正确；对于C ，“a b >”推不出“ln ln a b >”，如12a b =>=-，“ln ln a b >”能推出“0a b >>”，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件，故C 不正确；对于D ，若1122(1)(3)a a +<-，则103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：11a -≤<，所以“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件，故D 正确.故选：BC.10．下列函数既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的是（）A ．3y x =-B ．1||y x =C ．2ln(1)y x =+D ．221y x x =-【正确答案】BD【分析】函数3y x =-为奇函数，故A 不正确；当0x <时，11||y x x==-为增函数，故B 正确；根据1-和2-的函数可知，C 不正确；根据偶函数的定义以及函数21y x=在(,0)-∞上为增函数，2y x =在(,0)-∞上为减函数，可知D 正确.【详解】因为33()--=x x ，所以函数3y x =-为奇函数，故A 不正确；因为11||||x x =-，所以函数1||y x =为偶函数，且当0x <时，11||y x x ==-为增函数，故B 正确；当=1x -时，2ln(1)ln 2y x =+=，当2x =-时，2ln(1)ln5y x =+=，因为12->-，ln 2ln 5<，所以函数2ln(1)y x =+在(,0)-∞上不是增函数，故C 不正确；因为222211()()x x x x --=--，所以函数221y x x=-为偶函数，因为21y x=在(,0)-∞上为增函数，2y x =在(,0)-∞上为减函数，所以函数221y x x=-在(,0)-∞上为增函数，故D 正确.故选：BD11．若,(0,),1a b a b ∈+∞+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 的最大值为14B ．11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C ．144a b-的最大值为2D ．12a b+的最小值为3+【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可【详解】对于A ，因为1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，取等号，所以ab 的最大值为14，故正确；对于B ，因为,(0,),a b ∈+∞1a b +=，所以1,1,a b ≠≠所以12a a+>，（当且仅当1a a =即1a =时取等号，故等号不取）12b b+>，（当且仅当1b b =即1b =时取等号，故等号不取），所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；对于C ，因为1a b +=，所以1a b =-，所以144a b -=1144444244b b b b ⎛⎫--=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当144b b =即14b =时，取等号，故正确；对于D ，()1221233b a a b a a b b ⎛⎫++=+++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=即1,2a b ==故选：ACD12．函数21,()321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，则下列结论正确的是（）A ．当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)B ．不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C ．不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D ．存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数【正确答案】ABD【分析】对于A，根据指数函数和二次函数的单调性可知A正确；对于B，根据指数函数与二次函数的图象可知B正确；对于C，根据函数1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与x轴没有交点，当1a≥函数2()210(1f x x x x=-++=>+的图象与x轴没有交点，可知C不正确；对于D，当1a≥()f x为R上的减函数，可知D正确.【详解】对于A，当0a=时，函数21,0()321,0xxf xx x x⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，当0x≤时，1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当0x>时，2()21f x x x=-++的单调递增区间为(0,1)，故A正确；对于B，当x a≤时，1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，()f x 趋近于正无穷，即()f x没有最大值；当x a>时，2()21f x x x=-++的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a为何值，当x趋近于正无穷时，()f x趋近于负无穷，即()f x没有最小值；故B正确；对于C，当x a≤时，函数1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与x轴没有交点，当x a>时，由2210-++=x x得1x=1x=1a≥2()210(1f x x x x=-++=>+的图象与x轴没有交点，故C不正确；对于D，当1a≥1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,]a-∞上为减函数，函数2()21f x x x=-++在(,)a+∞上为减函数，且103a⎛⎫>⎪⎝⎭，2221(1)20a a a-++=--+≤，21213aa a⎛⎫>-++⎪⎝⎭，所以此时函数()f x为R上的减函数，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________【正确答案】【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2，由211S==222lr r α=求得半径，再由弧长公式求解.【详解】设弧长为l ，半径为r ，弧度为α，因为扇形的面积为2，所以211S==222lr r α=，又因为扇形圆心角的弧度数是2，所以r =所以扇形的弧长为l r α==故本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．不等式4220x x --≤的解集是________．【正确答案】(],1-∞【分析】结合换元法及指数函数单调性求解.【详解】令20x t =>，则可得(]22020,2xt t t --＾=，由指数函数单调性可得(],1x ∈-∞.故答案为.(],1-∞15．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型3()log ()K n n λλ=为常数来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出6,60Q T ==．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为________天．（结果保留一位小数．参考数据：ln 20.30,ln 30.48≈≈）【正确答案】19.5【分析】根据已知数据可求得λ，设初始时间为1K ，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为2K ，利用21K K -，结合对数运算法则可求得结果．【详解】解： 1TQ λ=+，6Q =，60T =，∴6061λ=+，解得：12λ=．设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为2K ，则21333ln 2ln 312log (6)12log 12log 612()19.5ln 3K K n n +-=-==≈（天)．故19.5．16．已知函数3()1a f x ax x +=++对于任意121x x ≤<，都有1212()()12f x f x a x x ->-，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】3a ≥【分析】将不等式1212()()12f x f x a x x ->-化为12(1)(1)26a x x a ++>+，分类讨论a ，利用12(1)(1)4x x ++>可得答案.【详解】因为对于任意121x x ≤<，都有1212()()12f x f x a x x ->-，即121212331112a a ax ax x x a x x +++--++>-，即12121212(3)()()1(1)(1)2a x x a x x x x ax x +---++>-,即1231(1)(1)2a a a x x +->++，即12(1)(1)26a x x a ++>+恒成立，因为121x x ≤<，所以12(1)(1)4x x ++>，当a<0时，1226(1)(1)a x x a+++<不可能恒成立，当0a =时，12(1)(1)26a x x a ++>+化为06>不成立，当0a >时，1226(1)(1)a x x a +++>恒成立，则264a a+≥，得3a ≥，综上所述：实数a 的取值范围是3a ≥.故答案为.3a ≥四、解答题17．设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．【正确答案】(1)(3,4](2)()2,-+∞【分析】（1）首先求解集合B ，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；（2）根据条件转化为R A B ≠∅ ð，列式求a 的取值范围.【详解】（1）()2log 12x -≤，得014x <-≤，解得：15x <≤，即{}15B x x =<≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，所以BA ，则32131215a a a a -<-⎧⎪-≤⎨⎪->⎩，解得：34a <≤；（2）由条件可知，R A B ≠∅ ð，{1R B x x =≤ð或5}x >，所以31321a a a -<⎧⎨-<-⎩或215321a a a ->⎧⎨-<-⎩，解得：2a >-，所以a 的取值范围是()2,-+∞18．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的顶点均为坐标原点O ，始边均与x 轴的非负半轴重合，角β的终边过点(1,2)Q -，将OQ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4后与角α的终边OP 重合．(1)写出角α与角β的关系，并求出tan α的值：(2)求π3πcos 2sin cos(π)22ααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【正确答案】(1)π2π(Z)4k k αβ=--∈；tan 3α=.(2)710-【分析】(1)根据题意可得：π2π(Z)4k k αβ=--∈，然后利用任意角三角函数的定义得到sin tan 2cos βββ==-，最后再利用两角差的正切公式即可求解；(2)利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简可得：2π3π2tan 1cos 2sin cos(π)221tan ααααα--⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，结合（1）的结论代入即可求解.【详解】（1）由题意可得：π2π(Z)4k k αβ=--∈，由任意角的三角函数可知：cos 5β=-，sin 5β=，所以sin tan 2cos βββ==-，则ππtan 1tan tan(2π)tan()3441tan k βαβββ-=--=-==+.（2）π3πcos 2sin cos(π)sin 2cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos cos ααα=--2222sin cos cos sin cos ααααα--=+22tan 11tan αα--=+23119-⨯-=+710=-19．已知函数π()2cos()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式：(2)将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,]π上的单调减区间．【正确答案】(1)π()2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】（1）由图象可得T ，则可得ω，再将点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式中可求出ϕ的值，从而可求得函数()f x 的解析式;（2）利用函数图象变换求得()π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出函数()g x 在R 上的单调递减区间，再与[0,]π取交集可得结果.【详解】（1）由图可得函数()f x 的最小正周期为5ππ2π63T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以，22Tπω==，π22cos 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则2πcos 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π||2ϕ<即ππ22ϕ-<<，则π2π7π636ϕ<+<，2ππ32ϕ∴+=，则π6ϕ=-，所以π()2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由题意可得()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令π2π2π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈，得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，记()π5ππ,πZ 1212A k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎦=⎣，则[]5π11π0,π0,,π1212A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，函数()g x 在[]0,π上的减区间是5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20．已知二次函数2()41f x ax x =--．(1)当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立：(2)若()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(),4-∞-(2){4}[3,0)(0,5]-- 【分析】（1）对a 分类讨论，结合二次函数图象及判别式法求解；（2）对零点个数分类讨论，结合判别式法及零点存在定理列式求解，另外需要注意讨论零点在1±的临界情况.【详解】（1）()f x 为二次函数，则0a ≠，当0a >时，二次函数开口向上，不等式()0f x <不对一切实数x 都成立，不满足题意；当a<0时，则有1640a D =+<，解得4a <-.故当(),4a ∈-∞-时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）i.当()f x 仅有一个零点时，由16404a a D =+=Þ=-，此时零点为4122x a -=-=-，符合题意；ii.当()f x 有两个零点时，16404a a D =+>Þ>-①当()105f a =Þ=，则由2()5410f x x x =--=解得另一个零点为15x =-，符合题意；②当()103f a -=Þ=-，则由2()3410f x x x =---=解得另一个零点为13x =-，符合题意；③当()()110f f -¹，由零点存在定理，则有()()()()11530f f a a -=-+<，解得(3,0)(0,5)a ∈-.综上，()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点时，实数a 的取值范围为{4}[3,0)(0,5]-- .21．某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将*(1032,N )x x x ≤≤∈个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5%x ，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为38m x ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元．(1)当20m =时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，求x 的取值范围(2)当2223m <<时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值．【正确答案】(1)*1632,N x x ≤≤∈(2)887.530m+【分析】（1）当20m =时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为12,y y ，表示出12,y y ，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，即1210010140%y y +≥⨯⨯，解不等式结合*1032,N x x ≤≤∈，即可得出答案.（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为Z 万元，可得()()3100100.258Z x m x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质结合2223m <<，即可得出答案.【详解】（1）当20m =时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为12,y y ，则13208y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，*(1032,N )x x ≤≤∈，()()()()210010100.025100100.25y x x x x =-+⨯=-+20.25151000x x =-++，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，则1210010140%y y +≥⨯⨯，所以23200.2515100014008x x x x ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭，化简得：2566400x x -+≤，即()()40160x x --≤，解得：1640x ≤≤，又因为*1032,N x x ≤≤∈，所以1632x ≤≤，*N x ∈.（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为Z 万元，所以()()3100100.258Z x m x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()()251510001032,N*8x m x x x =-+++≤≤∈，()()22542=151********x m m ⎡⎤--++++⎢⎥⎣⎦，当2223m <<时，()()41529.6,30.45x m =+∈，所以当()410,155x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，函数在单调递增，当()415325x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，时，函数在单调递减，所以，当29x =时，129909.375Z m =+，当30x =时，230887.5Z m =+，当31x =时，331864.375Z m =+，所以当2223m <<时，2121.875Z Z m -=-，所以21Z Z >，3223.125Z Z m -=-，所以23Z Z >，所以2Z 最大，所以当30x =时，蔬菜种植大棚全年总收入最大为：30887.5m +万元.22．定义在区间[4,4]-上的函数1()1(R,01x a f x a b b +=-∈>+且1)b ≠为奇函数．(1)求实数a 的值，并且根据定义研究函数()f x 的单调性：(2)不等式222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 对于任意的π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)1；答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用(0)0f =即可求出1a =，然后利用奇函数的定义进行检验；分01b <<和1b >结合单调性的定义进行讨论即可；（2）题意可得到()π(2sin 21)26f m f θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭，利用π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得到[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭，然后分01b <<和1b >两种情况进行讨论即可【详解】（1）因为1()11x a f x b +=-+是奇函数，所以1(0)1011a f +=-=+，解得1a =，所以2()11x f x b =-+，检验：22()()11011x xf x f x b b --+=-+-=++，满足题意；任取12,[4,4]x x ∈-，且12x x <，则()()2121221111x x f x f x b b ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭()()()1212211x x x xb b b b -=++，因为12,[4,4]x x ∈-，12x x <，所以110x b +>，210x b +>，当01b <<时，12x x b b >，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，此时()f x 在[4,4]-上单调递增；当1b >时，12x x b b <，所以()()210f x f x -<即()()21f x f x <，此时()f x 在[4,4]-上单调递减；（22π22cos sin 2cos 212sin 216θθθθθ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，由222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 可得()22π1(2sin 21)261b f m f b θ-⎛⎫+++>= ⎪+⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π2π6π,66θ⎡⎤∈⎢⎣⎦+，所以1πs ,in 2126θ⎡⎤∈⎢⎥⎭⎣⎛⎫+ ⎝⎦⎪，所以[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭，所以2434m m +≥-⎧⎨+≤⎩，解得61m -≤≤，当01b <<时，由()f x 在[4,4]-上单调递增可得π2sin 2126m θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭恒成立，所以2261m m +>⎧⎨-≤≤⎩，解得01m <≤；当1b >时，由()f x 在[4,4]-上单调递减可得π2sin 2126m θ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭恒成立，所以3261m m +<⎧⎨-≤≤⎩，解得61m -≤<-；当01b <<时，实数m 的取值范围是{}01m m <≤；当1b >时，实数m 的取值范围是{}61m m -≤<-；方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①()()f x g a <存在解min ()()f x g a ⇔<；()()f x g a <恒成立max ()()f x g a ⇔<；②()()f x g a ≤存在解min ()()f x g a ⇔≤；()()f x g a ≤恒成立max ()()f x g a ⇔≤；③()()f x g a >存在解max ()()f x g a ⇔>；()()f x g a >恒成立min ()()f x g a ⇔>；④()()f x g a ≥存在解max ()()f x g a ⇔≥；()()f x g a ≥恒成立min ()()f xg a ⇔≥。