2019-2020学年人教A版必修第二册 7.3 复数的三角表示 学案
7．3 复数的三角表示
考点学习目标核心素养
复数的三角形式了解复数的三角形式，了解复数的代数
表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几
何意义
数学抽象、数学
运算
问题导学
预习教材P83－P89的内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋b i的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋b i都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ
→
所在射线(射线OZ
→
)为终边的角，叫做复数z＝a＋b i的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋b i的三角表示式，简称三角形式．a＋b i叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)
z1
z2＝
r1（cos θ1＋isin θ1）
r2（cos θ2＋isin θ2）
＝
r1
r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z ＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( ) (3)z ＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( ) (4)复数z ＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
复数z ＝1＋i 的三角形式为z ＝________． 解析：r ＝2，cos θ＝
12＝2
2
， 又因为1＋i 对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝π
4
.
所以1＋i ＝2????cos π4＋isin π
4.
答案：2?
???cos π4＋isin π
4
复数6????cos π2＋isin π
2的代数形式为________．
解析：6????cos π2＋isin π
2＝6cos π2＋6isin π2＝6i.
答案：6i
6????cos π3
＋isin π3×4????cos π6＋isin π
6＝________；
6????cos π3
＋isin π3÷4????cos π6＋isin π
6＝________．
解析：6????cos π3＋isin π3×4????cos π6＋isin π
6
＝24?
??
?cos ??
??π3＋π6＋isin ????π3＋π
6 ＝24i.
6????cos π3
＋isin π3÷4????cos π6＋isin π
6
＝6
4???
?cos ????π3－π6＋isin ????π3－π6
2??66＝
334＋3
4
i. 答案：24i
334＋3
4
i
复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.
【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝
3
2，即θ＝π6
， 所以3＋i ＝2????cos π6＋isin π
6.
(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝
22
， 又因为2－2i 对应的点位于第四象限， 所以θ＝7π
4
.
所以2－2i ＝2?
???cos 7π4＋isin 7π
4.
复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．
[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
??66(2)
3
2
(cos 60°＋isin 60°)； (3)2?
???cos π3－isin π
3.
【解】 (1)复数4????cos π6＋isin π
6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.
4????cos π6＋isin π
6＝4cos π6＋4isin π6
＝4×
32＋4×1
2
i ＝23＋2i. (2)
32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝3
2
，辐角的主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋3
4
i. (3)2?
???cos π3－isin π
3
＝2????cos ????2π－π3＋isin ????2π－π
3
＝2????cos 53
π＋isin 5
3π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.
2????cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×????－32i
＝1－3i.
复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．
下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)1
2????cos π4－isin π4； (2)－1
2???
?cos π3＋isin π3；
2??44(4)cos
7π5＋isin 7π
5
； (5)1
2???
?cos π2＋isin π6. 解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝1
2????cos ????－π4＋isin ????－π4；
(2)原式＝1
2????cos ????π＋π3＋isin ????π＋π3
＝1
2???
?cos 4π3＋isin 4π3； (3)原式＝1
2????cos ????π2－3π4＋isin ????π2－3π4
＝1
2????cos ????－π4＋isin ????－π4； (5)原式＝1
4???
?cos π2＋isin π2.
复数三角形式的乘、除运算
计算：
(1)8????cos 43
π＋isin 43π×4????cos 56π＋isin 5
6π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷
?
???cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8????cos 43
π＋isin 43π×4????cos 56π＋isin 5
6π ＝32????cos ????43π＋56π＋isin ????43
π＋56π ＝32????cos 136π＋isin 13
6π ＝32????cos π6＋isin π6
＝32??
?
?32＋12i
＝163＋16i.
(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]
＝3
2
[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝6
2
(cos 75°＋isin 75°) ＝62? ????6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋23
8i ＝
3－34＋3＋34
i. (3)4÷
?
???cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷
?
???cos π4＋isin π4 ＝4????cos ????－π4＋isin ????－π
4 ＝22－22i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．
计算：
(1)????2?
???cos π3＋isin π
32
；
(2)2(cos 75°＋isin 75°)×????
12－12i ； (3)????－12＋3
2i ÷????2????cos π3＋isin π3.
解：(1)????2????cos π3＋isin π
32
＝(2)2????cos 23π＋isin 2
3π ＝2????－12＋3
2i ＝－1＋3i.
(2)12－12i ＝22????22－22i ＝
22?
?
??cos 74π＋isin 74π，
所以2(cos 75°＋isin 75°)×????
12－12i
＝2????cos 512π＋isin 512π×????2
2????cos 74π＋isin 74π ＝2×22????cos ????5
12
π＋74π＋isin ????512π＋74π ＝cos 2612π＋isin 26
12π ＝cos π6＋isin π6
＝
32＋12
i. (3)因为－12＋32i ＝cos 23π＋isin 2
3π，
所以????－12＋3
2i ÷????2????cos π3＋isin π3
＝????cos 23π＋isin 23π÷????2????cos π3＋isin π
3 ＝12????cos ????23π－π3＋isin ????2
3π－π3 ＝1
2????cos π3＋isin π3 ＝14＋34
i.
复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π
3
，求
所得向量对应的复数．
【解】 因为3－3i ＝23???
?
32－12i
＝23?
???cos 116π＋isin 116π 所以23????cos 116π＋isin 116π×????cos π3＋isin π3 ＝23????cos ????116π＋π3＋isin ????11
6π＋π3
＝23????cos 136π＋isin 13
6π ＝23?
???cos π6＋isin π
6
＝3＋3i ，
23????cos 116π＋isin 116π×????cos ????－π3＋isin ????－π3 ＝23????cos ????116π－π3＋isin ????11
6π－π3
＝23????cos 32π＋isin 3
2π ＝－23i.
故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π
3得
到的复数为－23i.
两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→
绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→
绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →
表示的复数就是积z 1z 2.
在复平面内，把与复数334＋3
4
i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋
转π
3
，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示) 解：334＋34i ＝32??
??cos π6＋isin π6，由题意得
32??
??cos π6＋isin π6×????2????cos π3＋isin π3 ＝3
2×2????cos ????π6＋π3＋isin ????π6＋π3 ＝3????cos π2＋isin π2
＝3i ，
即与所得向量对应的复数为3i.
1．复数1－3i 的辐角的主值是( ) A.5
3π B.23π C.5
6
π D.π3
解析：选A.因为1－3i ＝2????12－3
2i ＝2????cos 53
π＋isin 53π，所以1－3i 辐角的主值为
53
π. 2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：9
3．arg(－2i)＝________． 答案：32π
4．计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷????2????cos 34
π＋isin 34π. 解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷????2????cos 34
π＋isin 34π ＝2????cos 53
π＋isin 53π÷????2????cos 34π＋isin 3
4π ＝2????cos ????53π－34π＋isin ????53
π－34π ＝2????cos 1112π＋isin 1112π ＝－1＋32＋3－12
i.
[A 基础巩固]
1．复数12－3
2i 的三角形式是( )
A ．cos ????－π3＋isin ????－π
3
B ．cos π3＋isin π
3 C ．cos
π3－isin π3
D ．cos
π3＋isin 5π6
解析：选A.12－32i ＝cos 53π＋isin 5
3π
＝cos ????2π－π3＋isin ????2π－π
3
＝cos ????－π3＋isin ???
?－π
3.
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A ．150° B ．40° C ．－40°
D ．320°
解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°) ＝cos 320°＋isin 320°.
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A ．4 B.3π2－4 C ．2π－4
D.5π2
－4 解析：选D.sin 4＋icos 4＝cos ????52π－4＋isin ???
?5
2π－4. 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π
4
B.π4或5π4 C ．2k π＋π
4
(k ∈Z )
D ．k π＋π
4
(k ∈Z )
解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝π
4＋k π，(k ∈Z )．
5．如果θ∈???
?π
2，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( ) A.2?
??
?cos ??
??9π4－θ＋isin ????9π
4－θ B.2[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)] C.2????cos ????π4＋θ＋isin ????π
4＋θ
D.2?
??
?cos ??
??3π4＋θ＋isin ????3π
4＋θ 解析：选A.因为1＋i ＝2????cos π4＋isin π
4，
cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)
＝2????cos ????π4＋2π－θ＋isin ????π
4＋2π－θ
＝2?
??
?cos ??
??9π4－θ＋isin ????9π
4－θ.
6．已知z ＝cos
2π3＋isin 2π3
，则arg z 2＝________． 解析：因为arg z ＝2π3，所以arg z 2＝2arg z ＝2×2π3＝4π
3.
答案：4π
3
7．把复数1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转π
2，所得到的向量对应的复数是________．
解析：(1＋i)????cos ????－π2＋isin ????－π
2
＝2????cos π4＋isin π4????cos ????－π2＋isin ????－π
2
＝2????cos ????π4－π2＋isin ????π4－π
2
＝2????cos ????－π4＋isin ????－π
4＝1－i.
答案：1－i
8．设复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，则z 1
z 2的辐角的主值是_________________．
解析：由题知，z 1＝2????cos π3＋isin π3，z 2＝2????cos π6＋isin π
6，
所以z 1
z 2的辐角的主值为π3－π6＝π6.
答案：π6
9．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2
∈(0，π)，求z 2的代数形式．
解：因为z 1＝2????cos π6＋isin π
6，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z 1z 22＝8????cos ????2α＋π6＋isin ????2α＋π
6.由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2(k ∈Z )，所以α＝k π＋
2π3(k ∈Z )，又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2?
???cos 2π3＋isin 2π
3＝－1＋3i.
10．已知z ＝－1＋i i －2i ，z 1－z －
z 2＝0，arg z 2＝7π12，若z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，
B ，且|AB |＝2，求z 1和z 2.
解：由题设知z ＝1－i ，因为|AB |＝2，即|z 1－z 2|＝2，
所以|z 1－z 2|＝|z －
z 2－z 2|＝|(1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2，又arg z 2＝7π12
，
所以z 2＝2?
???cos 7π12＋isin 7π
12，
z 1＝z －
z 2＝(1＋i)z 2＝2????cos π4＋isin π4·2?
???cos 7π12＋isin 7π12＝2????cos 5π6＋isin 5π6.
[B 能力提升]
11．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角的主值是3π
2，则实数a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－ 2
D ．－ 3
解析：选B.因为z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，arg z ＝3π
2
，
所以?????a 2－1＝0a <0
，所以a ＝－1，故选B.
12．设π<θ<5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角的主值为( )
A ．2π－3θ
B ．3θ－2π
C ．3θ
D ．3θ－π
解析：选B.cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θ
cos （－θ）＋isin （－θ）＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π
4，
所以π<3θ－2π<7π
4
，故选B.
13．已知复数z 满足z 2＋2z ＋4＝0，且arg z ∈????π
2，π，则z 的三角形式为________．
解析：由z 2＋2z ＋4＝0，得z ＝1
2(－2±23i)＝－1±3i.
因为arg z ∈??
?
?π
2，π， 所以z ＝－1－3i 应舍去，
所以z ＝－1＋3i ＝2????cos 2π3＋isin 2π
3.
答案：z ＝2?
???cos 2π3＋isin 2π
3
14．已知k 是实数，ω是非零复数，且满足arg ω＝34π，(1＋ω－
)2＋(1＋i)2＝1＋kω.
(1)求ω的值；
(2)设z ＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2π]，若|z －ω|＝1＋2，求θ的值．
解：(1)设ω＝r ?
??
?
－
22＋22i (r >0)，可求出r ＝2，即ω＝－1＋i. (2)|z －ω|＝
3＋22cos ?
???θ＋π4.
因为|z －ω|＝1＋2， 所以
3＋22cos ?
???θ＋π
4＝1＋2，
化简得cos ????θ＋π
4＝1，
而π4≤θ＋π4≤9π
4， 所以θ＋π4＝2π，即θ＝7π4
.
[C 拓展探究]
15．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A 、B 所对应的复数分别为z 1、z 2，z 1、z 2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB 的重心G 对应的复数为13＋1
15
i ，求tan(α＋β)．
解：由题意可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β. 因为△AOB 的重心G 对应的复数为13＋1
15i ，
所以z 1＋z 23＝13＋1
15i ，即?????cos α＋cos β＝1，sin α＋sin β＝15， 所以???2cos α＋β2cos α－β
2
＝1，2sin α＋β2cos α－β2＝15，
所以tan
α＋β2＝1
5
，故tan(α＋β)＝2tan
α＋β
2
1－tan 2
α＋β2＝5
12
.
人教版高中数学版必修四学案 弧度制
1.1.2 《弧度制》导学案 【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 【重点难点】 弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。 【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、 角的弧度制是如何引入的？ 2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、 弧度是如何定义的？ 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 【学习过程】 （一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ （二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。 例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-． （三）角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： <试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
高考数学新版一轮复习教程学案：第58课复数的概念及其运算
高考数学新版一轮复习教程学案 第58课 复数的概念及其运算 1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算. 1. 阅读：选修 22 第109～117页. 2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一. 3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题. 基础诊断 1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 . 解析：由题意得，z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，且2m －1≠0，解得m ＝－2. 2. 设复数z ＝m ＋3i 1＋m i (m>0，i 为虚数单位)，若z ＝z ，则m 解析：z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i 1＋m 2.因为z ＝z ，所以3－m 2＝0，解得m ＝±3.因为m>0，所以m ＝ 3. 3. 已知复数z ＝ 11＋i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝ 2 . 解析：z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－1 2i ，所以|z|＝ ????122＋????122 ＝22 . 4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 3 5 . 解析：因为(1＋2i )·z ＝3，所以z ＝3 1＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5，所以复数z 的实 数为3 5 . 范例导航 考向? 复数的基本运算 例1 (1) （－1＋i ）（2＋i ） i 3 ； (2) 1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2 ； (3) (－1＋3i )3；
三角形的内角和教学设计
“第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选活动” 参赛作品： 人教版义务教育课程标准实验教科书 小学数学四年级下册 《三角形的内角和》 教学设计 单位：河南省郑州市中原区伏牛路小学 设计者：王晓欢
三角形的内角和教学设计 一、教学背景及学习目标设计 学习内容：《三角形的内角和》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级下册85页及做一做的内容。 课程标准: 通过观察、操作，了解三角形内角和是180o。 根据《数学课程标准》的基本理念“数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。”教师应激发学生的积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能。 设计学习目标的依据，主要是学习内容、学习者特征，内容标准。 1、学习内容分析 《三角形的内角和》属于“空间与图形”的知识领域，它是在学生掌握了角的度量，三角形的认识和分类等知识的基础上学习的，也是学生进一步学习的必备知识。本节课着重抓住“验证三角形的内角和是180°”这一主线进行教学，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，主要让学生在情境中产生问题，在“观察—猜测—验证—概括—应用”的学习过程中掌握知识，充分锻炼学生动手动脑及推理、归纳总结的能力，培养学生尝试探索的精神. 2、学习者分析 为了促进目标的达成，课前对学生进行了初步的调查，许多学生已经知道三角形的内角和是180°，但却不知道为什么。新课程强调，有效的学习活动不是单纯的依赖、模仿与记忆，而是一个主动建构的过程。因此，本节课力求通过教师的引导，为学生展现出“活生生”的思维活动过程，让学生在自己的“观察、猜测、验证、应用”的学习过程中掌握知识。 3、学习目标的确定 根据学习任务和学情分析，可对内容标准“三角形的内角和”进行如图分析： 根据以上分解，本节课的学习目标表述如下： ⑴探索并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。 ⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的能力。 ⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。 5、学习重点 检验三角形的内角和是180°。
高考数学复习 复数学案
2008高考数学复习 复数学案 一、复数的概念及性质 例1．（1）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是 A.ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =0 （2）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m = 二、复数的运算 例2．（1）（06浙江卷）已知 =+-=+ni m i n m ni i m 是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i （2）（湖北卷）设,x y 为实数，且 511213x y i i i +=---，则x y += 。 例3．已知ω,z 为复数，ωωω求且为纯虚数，,25||,2)31(=+= +i z z i . 例4．已知z 1=5+10i ，z 2=3-4i ， 2 1111z z z +=，求z.
三、复数的几何表示 例5．在复平面内，复数 1i i +对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 例6．已知z 为复数，z ＋2i 和 2z i -均为实数，其中i 是虚数单位． （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【考点小测】
1．设,x y 为实数，且511213x y i i i +=---，则x y += 。 2．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈则____z =。 4．复数3i 32 1++i 的值是_________. 5．复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =?在复平面内的对应点位于第 象限. 6．在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 . 7．______8)2(2=-+z i z z 均是纯虚数，则与已知复数 8．.若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += 9.设复数ω＝－ 21＋23i ，则1＋ω＝ 10.复数i z -=11的共轭复数是
人教版四年级下册《三角形的内角和》教学设计
《三角形的内角和》教学设计 【教学内容】：人教版义务教育课程标准试验教科书数学四年级下册第67页。 【设计理念】 遵循由特殊到一般的规律实行探究活动是这节课设计的主要特点之一。《数学课程标准》指出，让学生学习有价值的数学，让学生带着问题、带着自己的思想、自己的思维进入数学课堂，对于学生的数学学习有着重要作用。所以，我尝试着将数学文本、课外预习、课堂教学三方有机整合，在质疑、解疑、释疑中展开教学，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的探究水平。 【教材分析】 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。本课是安排在学习三角形的概念及分类之后实行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。学生在掌握知识方面：已经掌握了三角形的分类，比较熟悉平角等相关知识；水平方面：经过三年多的学习，已具备了初步的动手操作水平和主动探究水平以及合作学习的习惯。所以，教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。教材表现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分实行自主探索和交流的空间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。
【学情分析】 学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，绝大部分学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意图不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。四年级的学生已经初步具备了动手操作的意识和水平，并形成了一定的空间观点，能够在探究问题的过程中，使用已有知识和经验，通过交流、比较、评价寻找解决问题的途径和策略。教学目标： 知识与技能 1、通过“量一量”、“拼一拼”、“折一折”的小组活动的方法，探索发现验证三角形内角和等于180°。 2、使用三角形的内角和的知识解决实际问题。 过程与方法 经历三角形的内角和的探究过程，体验“发现——验证——应用”的学习模式。 情感态度与价值观 1、发展学生动手操作、观察比较和抽象概括的水平。通过把三角形的内角和转化为平角实行探究实验，渗透“转化”的数学思想。 2、通过数学活动使学生获得成功的体验，增强自信心。培养学生的创新意识、探索精神和实践水平。 教学重点：理解掌握三角形内角和是180°
高中数学 新人教A版必修4导学案全套
任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o
问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。
人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
高中数学必修四学案及答案(人教B版)
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .
复数概念教学设计1终稿
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念 学生情况分析： 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 一、教学目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 3.了解复数的代数表示法及其几何意义。 4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、教学重难点 重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用．
三、教具 多媒体 四、教学过程 （一）引入 1.前面我们学习的数系扩充：N Z Q R 思考：如何解决方程210x +=在实数集中无解的问题？ （二）新知导学 探究1复数的引入 引导1: 为了解决方程210x +=在实数集中无解的问题，我们设想我们 引入一个新数i ，并规定：（1）=2i -1 ； （2）实数可以与i 进行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为： a i + ；实数b 与数i 相乘记为：bi ；实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记为：bi a +； （3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 引导2:复数的有关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位 , 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式：
《三角形的内角和》教学设计(冀教版四年级下册)
《三角形的内角和》教学设计(冀教版四年级下册) 教学内容：冀教版《义务教育课程标准实验教科书数学》四年级（下册） 教材分析： 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。本课是安排在学习三角形的概念及分类之后进行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。因此，教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。 学生分析： 学生在掌握知识方面：已经掌握了三角形的分类，比较熟悉平角等有关知识；能力方面：经过三年多的学习，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯。 教学目标： 1.使学生经历自主探索三角形的内角和的过程，知道三角形的内角和是180°能运用这一规律解决一些简单的问题。 2.使学生在观察、操作、分析、猜想、验证、合作、交流等具体
活动中，提动手操作能力和数学思考能力。 3.使学生在参与数学学习活动的过程中，获得成功的体验，感受探索数学规律的乐趣，产生喜欢数学的积极情感，培养积极与他人合作的意识。 教学重难点： 让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。 教学准备：多媒体课件、三角形、剪刀、三角板、量角器等。 教学流程： 一、游戏激趣，设置悬念 1、猜角游戏：学生任意报出两个角的度数，教师快速猜出第三个角的度数。 2、你们想知道游戏的秘密吗？这节课我们共同研究三角形的内角和，板书课题。 【设计意图：以学生感兴趣的游戏，来激发学生的学习兴趣，巧设悬念使学生以良好的状态进入新课的学习。】 二、探究新知，猜想验证 1.猜想。请同学猜一猜三角形的内角和是多少度？ 2.验证。怎样验证“三角形的内角和等于180°”呢？请同学们先在小组里讨论讨论，可以怎样进行验证？再选择合适的材料，以小组为单位进行验证。比一比，哪个组验证的方法多，有创意。学生分小组活动，教师参与学生的活动，并给予必要的指导。
人教版高中英语必修4 Unit5学案：5.4[6页]
Period 4 语法专题课 学习目标 1.Know about the rules of this grammar point. (1)Study three main kinds of word formation:compounding,conversion and derivation. (2)Deal with some exercises about word formation. 2.Make use of word formation to extend their vocabulary. 呈现新知 Look through the first reading passage,and write out the missing words of the following sentences and talk about the meaning of them,meanwhile pay attention to the pattern of them. 1.There are (不同的)kinds of theme parks,with a different park for almost (一切). 2.Some parks are famous for having the (最大或最长的过山车). 3. (不论哪一个和不论什么)you like,there is a theme park for you. 4.The theme park you are (很有可能)most familiar with is Disneyland. 5.If you want to (体验)the ancient days and great deeds of English knight and ladies,princes and queens,then England’s Camelot Park is the place for you. 6.Every area of the park is (仿效,仿造)after life in the days of King Arthur and the knights of the Round Table. 感受新知 https://www.360docs.net/doc/b31189349.html,bine the words from the first two columns to make new words in the third column and discuss the characteristic of the word formation in Column 3. Column 1 Column 2 Column 3 police by (1) black ever(2) English looking(3) ordinary office(4) how board(5) cow boy(6) passer made(7) post stop(8) bus speaking(9) man woman(10) The characteristic of the word formation:words in Column 3 are all words. 2.Write out the missing words in their correct forms according to the requirements and observe the characteristic of the word formation. Verb/Noun/Adj. Opposite word Noun Adj./Adv. agree usual× successful polite knowledge× possible The characteristic of the word formation:the missing words are all words. 3.Read the following sentences and find out the part of speech of the underlined words.Meanwhile translate them into Chinese.
复数教学设计
推理与证明、算法初步、复数 【教材分析】 算法初步是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）第一章的内容，推理与证明是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）第二章的内容，复数是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修2-2）第三章的内容。其中合情推理、演绎推理、程序框图、复数的相关概念及计算相对简单，故复习的时候将这三章放在一起。【学情分析】 在目前小班化形势下，学生已经分组并要求进行捆绑评价。知识方面学生已经学习完了高中所有课程，对推理、算法初步、复数掌握较好，在本阶段需重点复习数学归纳法。【教学环境分析】 根据本节内容程序框图比较多的特点，选择多媒体教室环境，程序框图用多媒体展示很大程度上提高课堂效率。 【教学目标】 知识目标：了解合情推理与演绎推理的含义，并能运用它们进行一些简单推理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环．能力目标：培养类比推理和转化能力思想。 情感目标：体验数学中的美感，体验自主学习的成就感，提高学习探究的兴趣。 【教学重点】复数、程序框图、数学归纳法 【教学难点】数学归纳法 【教学过程】 1、教师布置并批改导学案（导学案附在后面）。 学生完成并上交导学案（完成1-4,8-28题），准备展示用的白板。 2、课堂教学过程。 一、导入新课： 教师活动： 1、评价导学案完成情况。为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。 2、幻灯片展示合情推理与演绎推理的概念，复数的概念以及四则运算法则。 二、新课讲解 （一）合情推理与演绎推理
1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…则a 10＋b 10等于 ( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 2．(2015·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第30行从左到右第3个数是________ 3．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋ 1 AC 2 ，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明： (1)数列???? ?? S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 学生活动：四个小组成员用小白板展示并讲解1-4题。 教师活动：引导学生归纳鹤庆推理与演绎推理的区别。 【设计意图】区分合情推理与演绎推理：（1）合情推理的过程概括为 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想 （2）演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． （二）数学归纳法 （1）用数学归纳法证明等式 5．用数学归纳法证明：
英语高中人教版必修4学案：Unit5 5.3含解析
Period 3知识讲练课 学习目标 After this class,students will be able to: 1.Grasp the usage of such important words and expressions as more than,various,be famous for,no wonder,be modelled after,get to close,come to life,etc. 2.Master the following patterns: (1)Whichever and whatever you like,there is a theme park for you! (2)It will bring you into a magical world and make your dreams come true,whether you are travelling through space,visiting a pirate ship or meeting your favourite fairy tale or Disney cartoon character. (3)Futuroscope is not only for individuals,but is also the perfect mix of fun and learning for class outings. https://www.360docs.net/doc/b31189349.html,e your dictionaries or reference books to understand some difficult words and expressions in reading. 学习过程 ?Step 1:Fill in the blanks according to what you have learned. Parks provide people (1) a place to amuse (2)for a while.In recent decades,many parks have been designed to provide (3)(entertain).We call them theme parks.The new parks are usually huge places and have a (4)(various)of things to see and do.Theme parks have a certain idea—a certain theme—that the whole parks are based (5).For example,a sport theme park will offer visitors sports to play or watch;a history (6)culture theme park will let us see (7)our ancestors dressed,worked or (8)(live).The (9)(old)theme park in the world is Disneyland.It seemed like a place of fantasy.Besides these,we have the marine or ocean parks,which (10) a lot of visitors. ?Step 2:Words and expressions to learn 1.“Theme Parks—Fun and More Than Fun 主题公园——是娱乐,又不仅仅是娱乐 【观察思考】 (1)She stayed in Paris for more than a year.她在巴黎待了一年多。 (2)More than one student has said so.不止一个学生这么说。 (3)Both of us are much more than workmates.We are close friends. 我们俩不只是同事,我们还是知心朋友。 (4)He is more than glad to see me.他见到我非常高兴。 (5)The beauty of nature is more than I can describe.大自然之美是我难以用语言来形容的。 more than+数词,表示“多于,超过”,相当于over。 more than one+可数名词单数,表示“不止一个”,作主语时,谓语动词用单数形式。 more than+名词,意为“不只是,不仅仅”。 more than+形容词,意思是“很,非常”。 more than+句子(句子常含can/could),意为“非……所能的,难以……的”。 【尝试运用】 完成句子 (1)More than one girl (hold)such a view in the school.
人教版数学高一人教B版必修四学案疑难规律方法2
1 向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简 例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)1 24[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD → ) ＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)1 24 [3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝1 24(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32 b . 点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数 例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成
立，则m ＝________. 解析 如图， 因为MA →＋MB →＋MC → ＝0， 即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →. 延长AM ，交BC 于点D ， 所以点D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD → ， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →， 所以m ＝3. 答案 3 点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量 例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB → ，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM → . 解 因为DE ∥BC ，AD →＝23 AB → ， 所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB → ＝b －a . 由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝2 3(b －a ). 又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ，
人教版数学高二学案复数的几何意义(2)
3．1.2复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 知识点一复平面 思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 思考2判断下列命题的真假： ①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限． 梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做__________，x轴叫做________，y轴叫做________．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点二复数的几何意义 知识点三复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作 ______或________．由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝______(r ≥0，r ∈R )． 类型一 复数与复平面内的点的关系 例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在： (1)第三象限； (2)直线x －y －3＝0上． 引申探究 若例1中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上； (2)第四象限． 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 类型二 复数与复平面内的向量的关系 例2 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复 数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i
三角形内角和学案
11.2.1三角形的内角和定理导学案 班级： 姓名： 一、学习目标 1、了解三角形的内角和的验证及证明过程； 2、熟练利用三角形的内角和解决问题； 3、知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法 二、新课导入 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的， 否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？ 活动1、自主探究 在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），将 △ABC 的其中两个内角剪下，随意将它们和第三个内角拼合在一起，经 过拼合你能发现什么？看看得到什么结果。 （图1） （图2） 活动2、议一议 从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。 把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个 角。说明在ABC 中， 。 从中得出： 三角形内角和定理 。 活动3、想一想 1、如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？ 2、 已知： . 求证： . 证明：如右图，过点A 作直线DE ， 使DE //BC 因为DE //BC ， 所以∠B =∠ （ ） 同理∠C=∠ 因为∠BAC 、∠DAB 、∠EAC 组成 角， 所以∠BAC+∠DAB+∠EAC= （ ） 所以∠BAC + ∠B + ∠C= （ ） C
例题1.求下列各图中∠1的度数。 例题2：在△ABC 中， ∠A : ∠B:∠C=1:2:3求∠A 、∠B 、 ∠C 的度数。 三、随堂练习 1、（苏州中考）△ABC 的内角和为（ ） A ．180° B ．360° C ．540° D ．720° 2、（1）在△ABC 中，∠A=55°，∠ B=43°则∠C= ， （2）在△ABC 中,∠A=80°,∠B=∠C , 则∠C ＝____度. 3、在直角三角形ABC 中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______度。 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？ 五、作业布置： 教材P13页的1,2；教材16页的1题 C