方程函数思想的应用
2从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导(二)
7.5x-271.4+5.9x=10
13.4x=281.4
直接设元法
x=21。
答：胶鞋有21双。
间接设元法
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案例2
一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次， 按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球， 投进不到8个球的人平均投进3个球。问： 共有多少人参加测验？
系：Ｖ＝πr²h。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量
的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而 构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。 （小学六年级初步学习正、反比例函数）
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2、方程和函数的关系
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分析与解：4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加 上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）= 5+8+6×（x-16） = 6x-83，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至 少投进8个球的人的进球数，3×（x-3-4-1） +8×3+9×4+10×1= 3×（x-8）+24+36+10=
这是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这 样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变 量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、 指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一 个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学 里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关
初中数学方程函数思想例题
方程函数思想例题例1：已知函数y=x³的图像，求解方程x³-x²+1=0.分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图像与方程结合出来，却完全可以做到事半功倍的效果。
错误解法：完全运用方程的思想x³-x²+1=0 →x²(x-1)+1=0 →x²(x-1)=-1进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x²这个目前完全大于0的数，所以可以得出：X=0不成立，x²>0 →x-1=-1 →x=0 ? 这里你没有看错，先前我们假定x不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错误的。
但是问题出在哪里了呢？此刻我们应当收拾心情，仔细观察一下，将函数的思想带入其中。
正确解法：同样，将方程式布局整理一番。
x³-x²+1=0 →x³= x²-1，这时我们运用函数的思想。
将等式两边的x³，x²-1同时设为函数式y= x³,y= x²-1。
我们便得到两个函数式，根据已知中我们得知的y= x³的图像，在坐标图上作出y= x²-1的图像，取两个图像的交点，即为问题的答案。
不仅方便，而且直观形象，也大大降低了解题的风险。
这里，我们可以清楚的看出方程函数思想结合的优势。
例2：2010年杭州市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家庭用水各多少立方米？分析：这是一道简便通俗的题目。
本题中所涉及的是等量关系，可以运用方程，也可以运用基本函数知识来解答。
本题的设置是旨在培养大家的思维定性，培养方程函数相结合的思想。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．命题思路与知识要点：2．1一般函数2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xy=0； 点P(x ，y)在y ； ②点P(x ，y)x=y ； 点P(x ，y)③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)；点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践
关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践陈瑞飞(江苏省扬州中学教育集团树人学校㊀２２５０００)摘㊀要:函数与方程之间联系紧密ꎬ基于此人们提出函数与方程思想.在该思想指引下ꎬ学生解答高中数学相关习题ꎬ能尽快找到解题思路ꎬ提高解题效率ꎬ因此授课中为使学生牢固掌握函数与方程思想ꎬ提高其解答数学习题的灵活性ꎬ应做好相关题型总结ꎬ认真讲解该思想在解题中的应用.关键词:高中数学ꎻ函数与方程思想ꎻ解题ꎻ实践中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１２－００３２－０２收稿日期:２０２０－０１－２５作者简介:陈瑞飞(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省扬州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁函数与方程思想求解参数范围求解参数范围是高中数学的重要题型ꎬ解答该题型的思路有两种:其一ꎬ认真审题ꎬ深入挖掘已知条件中的不等式关系ꎬ运用不等式知识求解参数范围.其二ꎬ借助题干中的等量关系构建对应的函数ꎬ在定义域内求解函数的取值范围.授课中既要注重相关例题的筛选与讲解ꎬ使学生把握函数与方程思想解题步骤ꎬ明确解题注意事项ꎬ又要鼓励学生总结函数与方程思想在解题中的应用技巧ꎬ遇到类似数学习题少走弯路ꎬ能够迅速找到解题思路.例１㊀已知ａ㊁ｂ为正数ꎬ满足ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ求ａｂ的取值范围.该题目题干简单ꎬ已知条件关系明了ꎬ解题方法较多ꎬ关键如何找到最简解法.观察可知题干中涉及两个参数的积与两个参数的和ꎬ由此可联想到一元二次方程两根的关系ꎬ借助函数知识解答.设ａｂ＝ｔꎬ由ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ可知ａ＋ｂ＝ｔ－３.因此可构造方程ｘ２－(ｔ－３)ｘ＋ｔ＝０ꎬ显然ａ㊁ｂ为该方程的两个正根ꎬ不难得出如下关系:Δ＝(ｔ－３)２－４ｔȡ０ꎬｔ－３>０ꎬｔ>０ꎬ解得ｔȡ９.即ａｂ的取值范围为[９ꎬ＋ɕ).解题感悟㊀求解参数取值范围时不能思维定势ꎬ应结合已知条件巧妙地运用函数与方程思想进行解答ꎬ尤其当习题中出现两个参数和与积的关系时ꎬ可考虑构造相关的方程ꎬ借助根与系数的关系解答.㊀㊀二㊁函数与方程思想解答方程问题高中数学学习的函数类型较多ꎬ包括二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等.针对一般的方程问题可通过分离变量转化为对应的函数ꎬ借助函数图象进行分析.针对稍微复杂些的方程问题ꎬ可采用换元法构建新的函数ꎬ通过研究新函数找到要求解的答案.授课中仅仅讲解理论知识是不够的ꎬ应借助例题为学生做好解题的示范ꎬ使其掌握函数与方程间的转化思路.同时ꎬ鼓励其在学习中加强训练ꎬ认真剖析经典习题ꎬ能够举一反三.例２㊀已知两个函数ｆ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ假设两个函数的图象在(０ꎬπ)范围内至少有一个公共点ꎬ求ａ的最小值.读懂该题并进行巧妙的转化是使用函数与方程思想解题的关键.两个函数图象在给定的区间内至少有一个解ꎬ即当两个函数相等时有解ꎬ如此便将其转化为方程问题.由已知可知ꎬｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)在(０ꎬπ)上有解ꎬ即２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ化简得到:ａ(１＋ｃｏｓｘ)＝(ｃｏｓｘ＋１)２＋１.ȵｘɪ(０ꎬπ)ꎬ即０<１＋ｃｏｓｘ<２ꎬ则ａ＝１＋ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓｘ＋１ȡ２ꎬ当且仅当１＋ｃｏｓｘ＝１ｃｏｓｘ＋１等号成立ꎬ此时ｃｏｓｘ＝０ꎬ显然ａ的最小值为２.解题感悟㊀部分习题并未直接给出等量关系ꎬ需要学生深刻理解题意进行正确的转化ꎬ因此ꎬ在以后的解题中应注重积累相关转化经验ꎬ养成使用函数与方程思想解题的良好习惯.㊀㊀三㊁函数与方程思想求解不等式问题高中数学中不等式问题常和恒成立问题联系在一起ꎬ求解时除使用基本不等式知识求解外ꎬ多数采用函数与方程思想进行解答.通过分离参数㊁移项构造新的函数ꎬ运用函数知识求解函数最值是常用的解题思路.授课中为学生讲解对应例题ꎬ使学生深刻体会函数与方程思想在解答不等式问题中的应用.同时ꎬ要求学生具体问题具体分析ꎬ尤其针对存在多个参数的习题ꎬ应结合已知条件确定变量与要求解的参数ꎬ明确其之间的函数关系ꎬ灵活运用函数知识解答.例３㊀求证:对于一切大于１的正整数ｎ恒有(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)>１＋２ｎ２.２３该题目题干简单ꎬ证明的技巧性较强ꎬ没有正确的思路ꎬ难以解答.认真观察要证明的不等式ꎬ结合以往解题经验可知ꎬ需要先进行移项构造新的函数ꎬ通过研究新函数的单调性求解其最值进行证明.设ｆ(ｎ)＝(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)/１＋２ｎꎬ则ｆ(ｎ＋１)＝(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)(１＋１２ｎ＋１)/１＋２(ｎ＋１).通过作商判断函数ｆ(ｎ)的单调性.ｆ(ｎ＋１)ｆ(ｎ)＝(１＋１２ｎ－１) １＋２ｎ２ｎ＋３＝２(ｎ＋１)４(４ｎ＋１)２－１>１ꎬｆ(ｎ)为增函数ꎬ因为ｎ为大于１的正整数ꎬｆ(２)＝(１＋１３)/５＝１６４５>１６６４＝１２ꎬʑ当ｎ＝２ꎬ３ꎬ 时ꎬ恒有ｆ(ｎ)>１２ꎬ原题得证.解题感悟㊀构造函数技巧性较强ꎬ对学生的各项能力要求较高.为使学生能够顺利使用函数与方程思想解题ꎬ要求其在学习中做好解题总结ꎬ明确使用函数与方程思想解题的思路ꎬ掌握函数构造技巧ꎬ结合题干构造合理的函数ꎬ巧妙运用函数知识解答.函数与方程思想是高中数学重要的思想ꎬ在解题中的应用率较高.授课中为使学生牢固掌握这一思想ꎬ并灵活应用于解题中ꎬ应做好能够使用该思想解答的数学习题类型的汇总ꎬ选择经典例题为学生深入剖析ꎬ把握函数与方程思想在不同题型中的应用方法与技巧ꎬ实现解题能力的显著提高.㊀㊀参考文献:[１]蔡慧鸿.函数思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].黑河教育ꎬ２０２０(０１):２８－２９.[２]鲍科臻.函数与方程思想在高中数学解题中的实践[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(２１):１４８－１４９.[３]庞景红.论数学思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].教育现代化ꎬ２０１８ꎬ５(２７):３６８－３６９.[责任编辑:李㊀璟]基于解题和研究性学习的数学文化教学策略刘小丹(江苏省栟茶高级中学㊀２２６４０６)摘㊀要:基于 文化数学 理念下高中数学学习的研究ꎬ除了从数学概念(包括公式㊁定理等)的角度去常规执行外ꎬ还可以从解题教学(包括试卷讲评)和研究性学习(包括阅读等)的视角探讨渗透数学文化的教学策略.解题是形成 审慎的思维习惯 与 锲而不舍的钻研精神和科学态度 的绝好机会ꎬ也是体现 蕴含的数学精神和人文价值 的重要途径.主题鲜明的研究性学习能依据教学实际设置 微探究 ꎬ安排灵活且易操作.关键词:高中数学解题教学ꎻ研究性学习ꎻ数学文化渗透中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１２－００３３－０２收稿日期:２０２０－０１－２５作者简介:刘小丹(１９８３.５－)ꎬ女ꎬ江苏省如东人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁解题教学中渗透数学文化的主要实施路径解题教学似乎与文化味道不搭.事实上ꎬ解题是形成 审慎的思维习惯 与 锲而不舍的钻研精神和科学态度 的绝好机会ꎬ也是体现 蕴含的数学精神和人文价值 的重要途径.目前的数学教育提倡解题教学也应沁溢文化ꎬ不能把解题教学演变成 题型＋技巧 ꎬ退化成 刺激 反应 ꎬ而且仅满足于解出答案.１.发掘试题背景ꎬ促进数学理解许多高考试题改编自数学名题ꎬ或者取材于重要的定理㊁结论㊁猜想等.例１㊀狄利克雷函数:Ｄ(ｘ)＝０ꎬｘ为无理数ꎬ１ꎬｘ为有理数.{分析㊀近年的理科数学中就有多道试题是以著名的狄利克雷函数为背景考查函数的值域㊁奇偶性㊁周期性和单调性等性质.如果教学时为增大课堂容量而匆匆带过就太可惜了.这一 病态 的函数不只可让相对抽象㊁枯燥的函数性质有趣及具有探究价值ꎬ还可引导学生主动探究函数概念的内涵与外延:没有公式展示ꎬ得以从函数解析式中获得解放ꎻ没有图形演示ꎬ又从函数的直观认识中解放出３３。
函数与方程思想在解题中的应用
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方 程 为 ５
在初中数学教学中方程函数思想的运用
在初中数学教学中方程函数思想的运用作者：刘昭慧来源：《数理化学习·教育理论版》2013年第04期摘要：在初中数学教学中，方程与函数是十分基础且重要的内容.方程函数思想的灵活运用，能够将数学问题化繁为简，令我们的解题思路清晰明了，迅速找到正确合理的解题方法.本文就方程函数思想在初中数学教学中的运用，提出作者肤浅的见解，以期与广大同行交流沟通.关键词：初中数学；方程函数思想；概念；运用一、方程函数思想的概念所谓方程思想，是指以问题的数量关系为切入点，利用题目中所提供的已知条件，通过数学语言，将问题转化为方程（组）、不等式（组）或者方程与不等式的混合组等来求解的方法；所谓函数思想，是指通过构造一次函数、反比例函数、二次函数等来求解的方法.方程与函数虽然是两个不同的概念，但是在具体的解题过程中，二者相互渗透，相辅相成，在一定条件下还可以相互转化.因此，在一般情况下，我们把这两种思想统一起来，称为方程函数思想.二、方程函数思想在初中数学教学中的运用（一）方程函数思想的形成在数学教学中，我们要从以下几个方面入手，帮助学生形成方程函数思想：1. 夯实基础，提高认识在日常教学中，要重视学生对基础知识的掌握，只有将方程、函数、不等式等的性质与用法烂熟于心，才能在具体的解题过程中对其灵活运用，综合把握.2. 提高方程函数思想意识要在日常教学与练习中，着重培养学生运用数学方法去挖掘题目中的隐含条件，进而构建方程或函数的能力.帮助他们在形成解题技巧的同时，提高自身的观察能力、逻辑思维能力和发散思维能力.3. 培养学生创新思维能力数学是十分灵活多变的一门学科，只有不断提高学生的创新思维能力，才能做到触类旁通，举一反三，将公式、定理和已知条件做到活学活用.（二）方程函数思想在初中数学教学中的具体应用下面我们通过一些实例，来具体分析方程函数思想在初中数学教学中的运用.1.利用方程或方程组解题例1现有一“鸡兔同笼”问题，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，请问笼中有鸡和兔各多少只？解析：要解决这一问题，需要根据已知条件寻求数量上的隐含关系.本题可以用方程或方程组来解决.解法1：假设有鸡x只，则有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.解法2：假设有鸡x只，有兔y只，得出方程组：x+y=35；2x+4y=94通过求解方程或者方程组，可以得出有鸡23只，有兔12只.（二）利用函数解题例2赵强拥有一家玩具熊销售公司.他所销售的玩具熊每件进价20元，在销售过程中赵强摸索出每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以用一次函数：y=-10x+500来表示.假设赵强每月的销售利润为M（元），试问每件玩具熊的定价为多少元时，他可获得最大利润？解析：根据题目中所给条件，我们可以得出一个二次函数，通过求解二次函数，可以得到答案.解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.由此得出答案，定价应为35元时，赵强可获得最高利润.（三）利用函数与不等式解题例3接例题2，根据相关规定，赵强所经营的这一类玩具熊每个单价不得超过32元，如果赵强每月想获得不低于2000元的利润，那么每月成本最低需要多少钱？分析：根据已知条件和问题，我们发现，解决这一问题需要利用到一次函数、二次函数和不等式性质三个知识点相结合.解法：因为a=-10（四）利用函数与方程相转化的方法解题在上文中我们提到，在一定条件下，函数与方程可以相互转换.在一些时候，从函数的角度看方程，或者用方程的观点看函数，也能使解题达到事半功倍的效果.例4k取何值时，能令方程x2-3x+k的根一个大于1，一个小于1？分析：从表面上看，这是一个方程问题，然而，如果我们能利用函数的性质来解题，采取数形结合的方法，则可以从很大程度上简化解题过程.解法：由已知条件我们可以将方程x2-3x+k的根看成是使函数y=x2-3x+k=0的值为0的自变量的值，也就是说抛物线与x轴的交点.根据所画抛物线可知，抛物线开口向上，那么当x=1，y总之，在新课程标准指导下的初中数学教学，已经不仅仅满足于教给学生定理、公式及其简单用法的层面，而是要在夯实基础知识的同时，培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和创造力，以及他们运用课堂所学的数学知识，解决生活中实际问题的能力.方程函数思想在初中数学教学中的应用，正是按照新课标的这一要求，让学生在掌握数学知识的同时，对知识能够抽象分析、综合运用，灵活掌握，做到举一反三、游刃有余.[江西省九江市第三中学（332000）]。
妙法函数号令天下,方程不出谁与争锋——函数与方程的思想在解三角形的应用问题中的教学研究
Ａ
Ｂ ＝ ， Ｂ ｃ Ａ ＝ ， 以先利用 余弦 Ｃ ａＡ ＝ ，Ｃ ｂ 可
定 理 ０＝ ２ｂ— ａ Ｏ ０ ， 结 合 ２ ａ＋ ２ ２ ｂＣ Ｓ６ 。
同时不能死抠 （ 如本题 中根的分布问题的处理 对于 多数 学生
Ｂ
ｃ一建 两 的 系 ａｂ— ＝手 立 边 关 得Ｌ＋ ｃ ｂ ａｂ
值常见的形式建立函数模 型 ；如果学生 已经用宇母 ａ和 ｂ建 立 了关系， 加以引导成 ｂ为函数 ， ａ为自变量 的函数形式 ： 若个 别学生按 照第一种思路解答 ， 可加以给予鼓励并引导。从本题 可得以下教学反思：
下面我们通过几道例题 的分析来 总结有 关这类问题 的教
学方法。
（） １本题并不是说 明函数的思想优于方程的思想 ， 而是应 明确一点解决数学问题时以所求解 问题 为出发点寻求得的方 法往往要比以条件为出发点摸索 出的方法更具严密性 ， 因此这 要求在平常教学中一定要让学生养成带着 问题思考的习惯。
Ｉ教 学争鸣
。
妙法函数号令天下 ， 方程不出谁与争锋
— —
函数与方程的思想在解三角形 的应用问题 中的教学研 究
３ ２ ０ 福建泉州培元中学 ６００ 柳汉伟
函数与方程思想是最重要的一种数 学思想 ，高考中所 占 比重较大， 综合知识多、 应用技巧多。函数思想即将所研究的
问题 借 助 建立 函数 关 系 式亦 或 构 造 中 间 函 数 ，结 合 初 等 函数
者 自 己处理 ）
综合分析 ， 比较 ２种做 法我们可以得出以下几个特点 ：
（ ） 同的 起 始 步 骤 ， 明 入 手 相 对 简 单 ， 是 由于 思考 １相 说 但
方程和函数思想的关系（摘录）
方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。
王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
（1） 方程思想。
含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已之与未知数的对立统一。
(2) 函数思想。
设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。
其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。
函数与方程的思想方法(新课标,含习题及详细解答)
函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
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方程和函数思想的应用 1、某服装原价为200元，连续两次涨价a％后，售价为242元，则a的值为（ ） A、5 B、10 C、15 D、20
2、如图1，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ） 。 A．400 cm2 B．500 cm2 C．600 cm2 D．4000 cm2
3．已知二次函数2(0)yaxbxca，其中abc，，满足0abc
和930abc，则该二次函数图象的对称轴是（ ） Ａ．2x Ｂ．1x Ｃ．2x Ｄ．1x
5、为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/小时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（ ）
A．x – y = 13267.42 B． y – x = 13267.42 C．13261326xy = 7.42 D． 13261326yx = 7.42
7、某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是（ ） A．45% B．50% C．90% D．95%．
9．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55x的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
10、如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的长为常数， 点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设点P所走过路程 CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图象能大致反映y 与 x之间的函数关系的是（ ）
时间（分钟） 10 12
41 21 路程 1
O
图1
B y O x C y O x D y O x y O x
A
A B P
C x
（第10题图） 11、已知（x1，－2），（x2，2），（x3，3）都在反比例函数6yx的图像上，则下列关系中正确的是（ ） A. 123xxx B. 132xxx C. 321xxx D. 231xxx 12、某超市购进了一批不同价格的运动鞋，根据近几年统计的平均数据，运动鞋单价为40元，35元，30元，25元的销售百分率分别为60%，75%，82%，98%．要使该超市销售运动鞋收入最大，该超市应多购单价为（ ）的运动鞋． Ａ．40元 Ｂ．35元 Ｃ．30元 Ｄ．25元 13、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛 物线在y轴右侧与 x轴交点的坐标是( )
A．（12 ，0）； B．（1， 0）； C．（2， 0）； D．（3， 0） 14.免交农业税，大大提高了农民的生产积极性，镇政府引导农民对生产的耨中土特产进行加工后，分为甲、乙、丙三种不同包装推向市场进行销售，其相关信息如下表： 质量（克/袋） 销售价（元/袋） 包装成本费用（元/袋） 甲 400 4.8 0.5 乙 300 3.6 0.4 丙 200 2.5 0.3 春节期间，这三种不同的包装的土特产都销售了1200千克，那么本次销售中，这三种包装的土特产获得利润最大是（ ） A.甲 B. 乙 C.丙 D. 不能确定
一、 填空（10道题） 1、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为abab*22，根据这个规则，方程()*x250的解为_______。 2、已知一次函数y = ax +b(a，b是常数)，x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 －2 －4 那么方程ax + b = 0的解是___________；不等式ax + b＞0的解集是____________. 3、在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD
边上的一个动点，动点P从A点 出发，沿A B C E运动，到达点E. 若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y＝13时，x的值等于___________________. 5、向银行申请两种贷款共35万，每年需付利息4.4万。甲种贷款年利率12%，乙种年利率13%求两种贷款数额，则甲种贷款______万元;乙种贷款____万元 6、下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨迹污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价是 元． 甲商场商品进货单 供货单位 乙单位 品名与规格 P4200 商品代码 DN—63D7 商品归属 电脑专柜 进价（商品的进货价格） 元 标价（商品的预售价格） 5850元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 210元
售后服务 保修终生，三年内免收任何费用，三年后收取材料费，五日快修，周转机备用，免费投诉，回访。
7、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？” 小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？” 小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工 了 千克．” 8、一少年问一长者今年多少岁？长者对少年说：“等你到我这样岁数时，我已是60岁的老头；而当我像你一样大时，你还是个6岁的顽童。”则长者 _____岁。
9．某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60 为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为 元．
二、 解答 1.随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场。一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售。预计每箱水果的盈利情况如下表：
A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店_________箱，乙店__________箱；B种水果甲店_________箱，乙店__________箱。
（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元？ （2）请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？ （3）在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
2、 有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺; 把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺?
5、20．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶。已知油箱中的余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系如下表，与行驶路程x(千米)的关系如下图。请你根据这些信息求A型车在实验中的速度。
6、如图矩形ABCD的边AB=8㎝，BC=10㎝。沿AE折叠后点D落在边BC的F处。求EC的长。 7、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调
行驶时间t(小时) 0 1 2 3 油箱余油量y(升) 100 84 68 52 查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。 （1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式。 （2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值。
8、今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨； (1)该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（6分） (2)若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？（4分）
9、在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对 （x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形， 判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函 数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式， 并求出当x取何值时，P的值最大？
13、邮政部门规定：信函重100克以内(包括100克)每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算． (1)若要寄一封重35克的信函，则需贴邮票多少元? (2)若寄一封信函贴了6元邮票，问此信函可能有多少重? (3)七(1)班有九位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克．请你设计方案，将这9份答卷分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少．
销售价 x（元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量 y（千克） … 2000 2500 3000 3500 …