5对数运算与对数函数(解析版)Word版

第五讲 对数运算与对数函数

一 知识要点

1、对数概念：一般地，如果)1,0(≠>=a a y a x

且，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作y x a log =，其中

a 叫做对数的底数，y 叫做真数

关系式

指数式底数指数幂（值）

对数式

底数指数真数a

x

y

y

a x =x

y a =log )1,0(≠>a a )

1,0(≠>a a )(R x ∈)

(R x ∈)

(+∈R y )(+∈R y

备注：由于正数的任何次幂都是正数，即)0(0>>a a x ，故0>=x

a y ，因此对数符号)

1,0(log ≠>a a y a 且只有0>y 时才有意义，例如：0log 2，)2(log 2-无意义。

2、对数恒等式与对数的性质

根据对数的定义，可以得到下面的对数恒等式：y a

y

a =log

根据对数的定义，对数)1,0(log ≠>a a N a 且具有下列性质： （1）零和负数没有对数，即0>N ； （2）1的对数为零，即01log =a （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、常用对数与自然对数

对数)1,0(log ≠>a a N a 且，当底数 （1）10=a 时，叫做常用对数，记作N lg ；

（2）e a =时，叫做自然对数。记作)71828.2(ln ≈e N 4、对数的运算性质：

如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么：

（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅；（积的对数等于对数的和） （2）N M N

M

a a a

log log log -=；

（商的对数等于对数的差） （3）)(log log R M M a a ∈=ααα

5、换底公式：)0,1,,0,(log log log >≠>=

N b a b a b

N

N a a b

6、对数函数的图像和性质：

函数)0,10(log >≠>=x a a x y a 且的图像特征和性质

备注：对数函数x y a log =的底a 越大，函数图像在x 轴上方部分越偏居右侧。

7、关系：对数函数x y a log =与指数函数x

a y =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称。

8、对数大小的比较：

（1）如果两对数底数相同，则可有对数函数的单调性进行比较

（2）如果两对数的底数不同而真数相同，则可利用取倒数（m

x y x m log 1

log ==）或者图像法进行比较。

（3）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。 二 易错警示

例1、 已知1)3(log 2)3(=++x x x ，求实数x 的值。

答案：1=x

注意：对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1。 三 考的突破

考点一：对数式与指数式的互化 例一：（1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

①62554

=；

②64

1

2

6

=-；

③73.531=⎪⎭

⎫

⎝⎛m

； ④416log 2

1-=； ⑤201.0lg -=；

⑥303.210ln =

（2）求下列各式中x 的值：

①3

2

log 64-

=x ；②68log -=x ；③x =16log 8；④x =-+)223(log 1

2；

考点二：对数的运算

例二：（1）计算下列各式：

①=-5log 10log 22 ；②=+2lg 5lg ；③=+3

1

log 3log 77 ； ④=-15log 5log 33 ；⑤=-+2

.1lg 1000

lg 8lg 27lg ；

⑥=+-8log 9

32

log 2log 233

3 ； （2）计算下列各式：

①=⋅5log 4log 85 ；②=⋅125log 3log 275 ； ③=⋅⋅9

1

log 81log 251log 532

；④=⋅⋅x z y z y x log log log ； （3）q p ==5log ,3log 38，那么5lg 等于 （用q p ,表示）； （4）已知73,3log 2==b

a ，求56log 12

答案：（1）①1；②1；③0；④1-；⑤2

3

；⑥2

（2）①

3

2

；②1；③12；④1 （3）

pq

pq

313+；

（4）

2

3

++a ab

考点三：对数函数图像性质及定义域

例三、（1）如图是对数函数x y a log =的图像，已知a 取值10

1

,53,34,3，则相应于4321,,,C C C C 的a 值依次是（ ）

A ．101,53,34,3

B ．53,101,34,

3

C ．10

1,53,3,34

D ．5

3,101,3,34

（2）求下列函数的定义域：

①2

log x y a =；

②()1log -=x y a ； ③()x y x -=-3log )1(； ④1log 2

1+=

x y

答案：（1）A ；

（2）①}0|{≠x x ；②),1(+∞；③)3,2()2,1( ；④]2,0(

考点4：对数值的大小比较

例四：（1）比较大小（填“>”，“<”或“=”）