新人教A版数学必修4全套教案

1. 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点，

1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452

=

，3cos302= ，由此我们能否得到

()cos15cos 4530?=-= 大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30- 呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式

()cos ?αβ-=

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、

sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结

构.

思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证

明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--????，再利用两角差的余弦公式得出

()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-????

（三）例题讲解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75

、cos15

的值. 解：分析：把75

、15

构造成两个特殊角的和、差.

()232162

cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224

-=+=-=

?-?=

()232

1

62

c o s 15c o s 45

30

c o s 45c o s 30s i n 45s i n 30222

2

4

+=

-=+=?+

?=

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()

cos15cos 6045=- ，要学会灵活运用. 例2、已知4sin 5α=

，5,,cos ,213παπββ??

∈=- ???

是第三象限角，求()cos αβ-的值.

解：因为,2παπ??∈ ???，4sin 5α=由此得2

2

43cos 1sin 155αα??=--=--=- ???

又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以2

2

512sin 1cos 11313ββ??=--=---=- ???

所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ??????

-=+=-?-

+?-=- ? ? ?

??????

点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.

（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （五）作业：15012.P T T -

（胡仕伟）

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的

过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点

1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．

这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？

提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ

??????????

+=-+=-+=-+- ? ? ???????????????

sin cos cos sin αβαβ=+．

()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-????让学生观察

认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

()()()

sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβ

αβαβαβαβ

+++=

=

+-．

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以

cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-．

注意：,,()2

2

2

k k k k z π

π

π

αβπαπβπ+≠

+≠

+≠

+∈

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

()()()()

tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβ

αβαβαβαβ

+---=+-=

=

????--+

注意：,,()2

2

2

k k k k z π

π

π

αβπαπβπ+≠

+≠

+≠

+∈．

（二）例题讲解

例1、已知3sin ,5

αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα?????

?-+-

? ? ??????

?的值.

解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得2

2

34cos 1sin 155αα??=-=--= ???

，

3

sin 3

5tan 4cos 45

ααα-

===- ，

于是有 242372sin sin cos cos sin 444252510πππααα??

??-=-=?-?-=

? ?????

242372cos cos cos sin sin 444252510πππααα??

??+=-=?-?-= ? ?????

两结果一样，我们能否用第一章知识证明？

3

tan tan

1

44tan 7341tan tan 144π

απαπα---??-===- ?????++- ???

例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）、sin 72cos42cos72sin 42-

；（2）、cos20cos70sin 20sin 70-

；（3）、1tan151tan15+-

．

解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

（1）、(

)1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin302

-=-==

； （2）、(

)cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070

cos90

0-=+==

；

（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15

++==+==--

． 例3、化简2cos 6sin x x -

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

()()132cos 6sin 22cos sin 22sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ??-=-=-=- ? ???

思考：22是怎么得到的？()()

2

2

222

6

=+，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于

1

2

和

32的.

小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规

律，学会灵活运用. 作业：

1、 已知()21tan ,tan ,544παββ??+=

-= ???求tan 4πα?

?+ ???

的值．（

322） 2、 已知()3335

0,cos ,sin 4

445413

π

πππβααβ????<<

<<

-=+= ? ?????，求()sin αβ+的值． §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其

应用.

二、教学重、难点

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-．

我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导：

()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；

()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；

思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？

22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．

()2

tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα

αααααα

+=+=

=--． 注意：2,2

2

k k π

π

απαπ≠

+≠

+ ()k z ∈

（三）例题讲解 例1、已知5sin 2,,1342

ππ

αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由

,4

2

π

π

α<<

得

22

π

απ<<．

又因为5sin 2,13α=2

2512cos 21sin 211313αα??

=--=--=- ???

．

于是512120

sin 42sin 2cos 221313169

ααα??==?

?-=-

???； 2

25119

cos 412sin 21213169

αα??=-=-?= ???；120

sin 4120169tan 4119cos 4119169

ααα-

===-

． 例２、已知1

tan 2,3

α=求tan α的值． 解：2

2tan 1tan 21tan 3

ααα=

=-，由此得2

tan 6tan 10αα+-= 解得tan 25α=-+或tan 25α=--．

（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. （五）作业：

15034.P T T -

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）

一、课标要求：

本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用． 二、编写意图与特色

本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：

学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示2

2

2

sin

,cos ,tan 2

2

2

α

α

α

．

解：我们可以通过二倍角2

cos 2cos 12

α

α=-和2cos 12sin 2

α

α=-来做此题．

因为2

cos 12sin 2

α

α=-，可以得到2

1cos sin

2

2

α

α

-=

； 因为2

cos 2cos

12

α

α=-，可以得到2

1cos cos 2

2

α

α

+=

． 又因为2

2

2

sin 1cos 2tan 2

1cos cos 2

α

α

ααα-=

=+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1

sin cos sin sin 2αβαβαβ=

++-???

?； （２）、sin sin 2sin

cos

2

2

θ?

θ?

θ?+-+=．

证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．

两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1

sin cos sin sin 2

αβαβαβ=

++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,2

2

θ?

θ?

αβ+-=

=

．

把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos

2

2

θ?

θ?

θ?+-+=．

思考：在例２证明中用到哪些数学思想？

例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当

中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

例３、求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解：sin 3cos y x x =+这种形式我们在前面见过，

13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π???

?=+=+=+ ? ? ?????

， 所以，所求的周期22T π

πω

=

=，最大值为２，最小值为2-．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ω?=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：

157158P P - 14T T -

《三角恒等变换》复习课（2个课时）

一、教学目标

进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：

1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、

2

π

±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？

2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；

3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。

4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。

5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos β

cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β tan （α+β）=

βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α-β）=

βαβαtan tan 1tan tan +- sin2α=2sin αcos α

cos2α=cos 2α- sin 2

α

=2cos 2α-1=1-2 sin 2α

tan2α=βαβαtan tan 1tan tan -+

cos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=0

00

030

tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。 例题

例1 已知sin （α+β）=

32，sin （α-β）=51，求β

α

tan tan 的值。 例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°

例3 化简（1）

0070sin 120sin 3-

；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-2

1cos2αcos2β。 例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2

π。

例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m ，渠深8米。则水渠壁的倾角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为α和横断面的周长L 之间建立函数关系，求函数的最小值

8

A E D

B C