2020年高考数学真题汇编12 平面向量文(解析版)

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专题07 平面向量解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解

专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-，所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ，所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ，所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是．【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（5分）（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．（5分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A ．B．2+C ．﹣2D．2﹣6．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（5分）执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E 两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．（5分）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．（5分）已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A ．B ．C．1D ．12．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020—2021年最新高考总复习数学(通用)平面向量(真题+模拟)专项复习及解析.docx

第四章平面向量考点14 平面向量的概念与运算两年高考真题演练1．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)2．(2015·四川)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．63．(2015·新课标全国Ⅱ)已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b)·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·重庆)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b)，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π65．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．26．(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2015·陕西)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b|≤|a||b|B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b)2＝|a ＋b|2D ．(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 28．(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．9．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．10．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE→·AF →的值为________． 11．(2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b|＝________．12．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b)⊥BC→. 13．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|； (2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．考点14 平面向量的概念与运算一年模拟试题精练1．(2015·惠州市二调)已知向量AB →＝(3，7)，BC →＝(－2，3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 2．(2015·山西省三诊)若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD→|等于( ) A ．2 B ．1 C ．2 2 D. 2 3．(2015·山西四校联考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( ) A ．0 B.BE → C.AD→ D.CF →4．(2015·衡水二调)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b|＝1，则|a ＋2b|等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4 D.105．(2015·乐山市调研)在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，若AB→＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( ) A ．(2，4) B ．(3，5)C ．(－2，－4)D ．(－3，－5)6．(2015·烟台市检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝52，则|b|＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．257．(2015·山东省实验中学三诊)已知|a|＝1，|b|＝6，a ·(b －a)＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π4D.π68．(2015·洛阳市高三统考)设等边三角形ABC 边长为6，若BC →＝3BE→，AD →＝DC →，则BD →·AE →等于( ) A ．－621 B ．621 C ．－18 D ．189．(2015·西安八校联考)若向量a 、b 满足：a ·b ＝12，|a|＝|b|＝1，则|2a ＋b|＝________．10．(2015·成都市一诊)若非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则a ，b 的夹角的大小为________．11．(2015·大同市调研)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________．12．(2015·天津六校联考)在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP→·CA →＝________． 13．(2015·重庆市一诊)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin x 2，cos 2x 2，设函数f(x)＝m ·n ＋1.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＝6abcos C ，sin 2C ＝2sin Asin B ，求f(C)的值．考点15 平面向量的应用两年高考真题演练1．(2015·福建)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.322．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2014·重庆，理)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.1524．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.7125．(2014·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a|＝|b|＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ→＝2(a ＋b)．曲线C ＝{P|OP →＝acos θ＋bcos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r ≤|PQ →|≤R ，r<R}．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r<R<3B ．1<r<3≤RC ．r ≤1<R<3D ．1<r<3<R 6．(2015·江苏)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．7．(2014·陕西)设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________．8．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m ＝(a ，3b)与n ＝(cos A ，sin B)平行．(1)求A; (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．9．(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C)的值．考点15 平面向量的应用一年模拟试题精练1．(2015·江西省质检三)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD→＝4DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.45b －15c D.45b ＋15c2．(2015·云南师大附中检测)设x ∈R ，向量a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6 B.10 C. 5 D ．103．(2015·济南一中高三期中)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则|b|＝( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．204．(2015·昆明三中，玉溪一中高三统考)已知向量a ，b ，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a －b)⊥a ，则向量a 与b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π2D.π35．(2015·晋冀豫三省二调)已知向量a ＝(1，k)，b ＝(2，2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2015·北京东城区高三期末)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3，3)7．(2015·济南一中高三期中)在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA→·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形8．(2015·杭州七校联考)已知平面向量m ，n 的夹角为π6，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．(2015·惠州市三调)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，且a ⊥b ，则实数x ＝________．10．(2015·衡水中学二调)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y)，若a ∥b ，则y ＝________．11．(2015·南昌市调研)已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．12．(2015·四川省统考)已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C.(1)设BC→·CA →＝CA →·AB →，求证△ABC 是等腰三角形； (2)设向量s ＝(2sin C ，－3)，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2C ，2cos 2C 2－1，且s∥t ，若sin A ＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B 的值．参考答案第四章平面向量考点14 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1．A [AB→＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．]2．B [a ＝(2，4)，b ＝(x ，6)，∵a ∥b ，∴4x －2×6＝0，∴x ＝3.]3．C [因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a ＋b)·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.]4．C [因为a ⊥(2a ＋b)，所以a ·(2a ＋b)＝2a 2＋a ·b ＝0，即2|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos 〈a ，b 〉＝0即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.]5．A [∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．∴AD→·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.] 6．A [由数量积定义a ·b ＝|a|·|b|·cos θ＝|a|·|b|，(θ为a ，b 夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a ∥b ；反之，当a ∥b 时，a ，b 的夹角θ＝0°或180°， a ·b ＝±|a|·|b|.]7．B [对于A ，由|a ·b|＝||a||b|cos a ，b |≤|a||b|恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立．故选B.]8．－3 [∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]9．9 [因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB→)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.] 10.2918 [在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos120°＝2918.]11.233 [因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b|·|e 1|cos30°＝1.∴|b|＝233.]12．①④⑤ [∵△ABC 为边长是2的等边三角形，∴|AB →|＝|2a|＝2|a|＝2，从而|a|＝1，故①正确；又BC→＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴b ∥BC→，故④正确；又(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴(AB→＋AC →)⊥BC →，即(4a ＋b)⊥BC →，故⑤正确．] 13．解 (1)法一 ∵PA→＋PB →＋PC →＝0，又PA→＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y)＋(2－x ，3－y)＋(3－x ，2－y)＝(6－3x ，6－3y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2即OP→＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 法二 ∵PA→＋PB →＋PC →＝0，则(OA→－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)， ∴|OP→|＝2 2. (2)解 ∵OP→＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x. 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.【一年模拟试题精练】1．C [－12AC →＝－12(AB →＋BC →)＝－12[(3，7)＋(－2，3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.] 2．A [|AB→－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.] 3．D [因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF→.] 4．B [由已知得|a|＝2，∴|a ＋2b|2＝a ＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a ＋2b|＝23，故选B.]5．D [由题可知BD→＝BC →＋CD →＝(AC →－AB →)＋BA →＝AC →＋2BA →＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5)，故选D.]6．C [(a ＋b)2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋|b|2＝50，|b|＝5.]7．B [a ·(b －a)＝a ·b －a 2＝|a||b|cos θ－|a|2＝2，故cos θ＝12，θ＝π3.]8．C [令AB →＝c ，AC →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－c ＋12b ， AE →＝AB →＋BE →＝13b ＋23c ，BD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b ＋23c ＝－12b 2＝－18.]9.7 [∵a ·b ＝12，|a|＝|b|＝1，∴|2a ＋b|＝（2a ＋b ）2＝7.]10．90° [∵|a ＋b|＝|a －b|， ∴(a ＋b)2＝(a －b)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，a ·b ＝0，故a ⊥b.] 11.23π [∵非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ， ∴(a ＋b)2＝c 2，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝c 2， ∴|a|2＋2|a|2cos a ，b ＝0， ∴cos a ，b＝－12，∴a ，b＝23π.故答案为：23π.] 12．4 [设CB→＝a ，CA →＝b ，AB →＝AC →＋CB →＝a －b ，CP →＝CA →＋AP→ ＝CA →＋13AB →＝13a ＋23b ，CP→·CB →＋CP →·CA → ＝CP →·(CB →＋CA →)＝13a 2＋a ·b ＋23b 2＝4.]13．解 (1)f(x)＝3sin x 2cos x 2－cos 2x 2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＋12. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z)．所以所求增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)． (2)由a 2＋b 2＝6abcos C ，sin 2C ＝2sin Asin B ，得c 2＝2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝6abcos C －2ab 2ab ＝3cos C －1得cos C ＝12，又∵0＜C ＜π，C ＝π3，∴f(C)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝1.考点15 平面向量的应用【两年高考真题演练】1．A [c ＝a ＋kb ＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k ，2＋k)，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k)＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，∴k ＝－32，故选A.]2．B [由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴线段AC 为圆的直径，故PA→＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B(x ，y)，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB→＝(x －2，y)，所以PA→＋PB →＋PC →＝(x －6，y)，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B.]3．C [因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)．因为(2a －3b)⊥c ，所以(2a －3b)·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，故选C.]4．C [∵AE→＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →， ∴AE→·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB→·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC → ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋4μ＋4λ＋2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12λμ ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. ∴2(λ＋μ)－λμ＝32.①∵CE→·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD → ＝(λμ－λ－μ＋1)CB→·CD →＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12(λμ－λ－μ＋1) ＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.]5．A [由已知可设OA→＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P(x ，y)，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P|OP→＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P|0<r ≤|PQ→|≤R ，r<R}表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]6．9 3[∵a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6，∴a k ·a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cos k π6·cos k ＋16π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故错误!错误!＝32k ＝011cos π6＋12k ＝011cos 2k ＋16π＋k ＝011sin 2k ＋16π. 由k ＝011cos 2k ＋16π＝0，k ＝011sin 2k ＋16π＝0，得 ∑k ＝011a k ·a k ＋1＝32cos π6·12＝9 3.] 7.12 [因为a ·b ＝0，所以sin 2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ，因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.] 8．解 (1)因为m ∥n ，所以asin B －3bcos A ＝0，由正弦定理，得sin Asin B －3sin Bcos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bcsin A ＝332.法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3 ＝sin Bcos π3＋cos Bsin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12absin C ＝332. 9．解 (1)由BA→·BC →＝2得c ·acos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2accos B.又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因a>c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（13）2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因a ＝b>c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－（429）2＝79. 于是cos(B －C)＝cos Bcos C ＋sin Bsin C＝13×79＋223×429＝2327. 【一年模拟试题精练】1．D [∵BD→＝4DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝4DC →＝4(AC →－AD →)， ∴5AD →＝4AC →＋AB →，∴AD →＝45AC →＋15AB →＝45b ＋15c.]2．D [∵a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10.]3．B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝x －4＝0，即x ＝4，故|b|＝42＋22＝2 5.] 4．B [因为(a －b)⊥a ，所以(a －b)·a ＝0，即a 2＝a ·b ＝|a|2＝2，所以cosa ，b ＝a ·b |a|·|b|＝22×2＝22，所以向量a 与b 的夹角为π4.] 5．D [∵a ＝(1，k)，b ＝(2，2)，∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又∵a ＋b 与a 共线，∴3×2－(k ＋2)·2＝0，即k ＝1，故a ·b ＝(1，1)·(2，2)＝2＋2＝4.]6．C [由题意可得，{a ，b}是平面的一组基底，所以a 与b 不共线，所以2m －3≠3m ，所以m ≠－3.]7．D [∵AB→2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，∴AB →2－AB →·AC →＝AB→·CB →＝BC →·(BA →－CA →)＝BC →2，∴BC →·(BC →－BA →)＝0，即BC →·AC →＝0，故△ABC 是直角三角形．]8．A [AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2m ＋2n ＋2m －6n)＝2m －2n ，故|AD→|＝2|m －n|＝2（m －n ）2＝2m 2－2m ·n ＋n 2 ＝2m 2－2|m||n|cos m ，n ＋n 2＝2.] 9．0 [∵a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋1)＋2＝0，解之可得x ＝0.]10．－4 [∵a ＝(1，2)，b ＝(－2，y)，a ∥b ，∴1·y ＝2×(－2)，∴y ＝－4.]11．(－2，－2]∪[2，2) [圆心O 到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m|2.由|OA →＋OB →|≥|AB|得，|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，所以|OA→|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →≥|OA →|2＋|OB →|2－2OA →·OB →，所以OA→·OB →≥0，所以0＜∠AOB ≤π2，22≤cos 12∠AOB ＜1，又|m|2＝2cos 12∠AOB ，所以2×22≤|m|＜2，解得－2＜m ≤－2或2≤m ＜2.]12．(1)证明因为BC→·CA →＝CA →·AB →，所以CA→·(BC →－AB →)＝0，又AB→＋BC →＋CA →＝0，所以CA→＝－(AB →＋BC →)，所以－(AB→＋BC →)·(BC →－AB →)＝0，所以AB→2－BC →2＝0，所以|AB→|2＝|BC →|2，即|AB →|＝|BC →|，故△ABC 为等腰三角形．(2)解 ∵s ∥t ，∴2sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos 2C 2－1＝－3cos 2C ， ∴sin 2C ＝－3cos 2C ，即tan 2C ＝－3，∵C 为锐角，∴2C ∈(0，π)，∴2C ＝2π3，∴C ＝π3， ∴A ＝2π3－B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3－B －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π3，又sin A ＝13，且A 为锐角，∴cos A ＝223， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π3＝sin Acos π3－cos Asin π3＝1－266。

2020高考真题汇编7：平面向量(文)

A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
2．答案：A
解析：设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
2020高考真题汇编7：平面向量
一、选择题
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()
A．a+2bB．2a+bC．a–2bD．2a–b
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为()
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．
8．【2020年高考江苏】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是____________．
参考答案
1．答案：D
解析：由已知可得： .
故答案为：0或 .
7．答案：
解析：，，
，
.
故答案为： .
8．答案：
解析：∵ 三点共线，
∴可设，
∵ ，
∴ ，即，
若且，则三点共线，，
设，，则， .
∴根据余弦定理可得，
，
∵ ，
∴ ，解得，
∴ 的长度为 .
当时，，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

2020高考数学分项汇编专项05平面向量(含解析)文

(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编专项05 平面向量（含解析）文1. 【2018高考北京文第2题】向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，如果//c d ，那么 A、1k 且c 与d 同向 B 、1k 且c 与d 反向 C 、1k 且c 与d 同向 D 、1k且c 与d 反向【答案】 D2. 【2018高考北京文第4题】假设a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠｜b |，那么函数f (x )＝(xa ＋b )·（xb－a )是( ) A 、一次函数且是奇函数 B 、一次函数但不是奇函数C 、二次函数且是偶函数D 、二次函数但不是偶函数【答案】 A 3. 【2019高考北京文第3题】向量2,4a ，1,1b ，那么2a b 〔〕 A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9【答案】 A考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4. 【2005高考北京文第4题】假设||1,||2,a b c a b ，且c a ，那么向量a 与b 的夹角为( )〔A 〕30°〔B 〕60° 〔C 〕120°〔D 〕150°5. 【2007高考北京文第11题】向量2411a b ，，，==．假设向量()ba b +，那么实数的值是．6. 【2006高考北京文第12题】向量a =(cos α,s in α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角的大小是 .7. 【2006高考北京文第9题】假设三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,那么a 的值等于 .【答案】48. 【2018高考北京文第11题】向量(3,1),(01),(,3)a b c k 。

假设2a b 与c ，共线，那么k =.【答案】19. 【2019高考北京文第13题】正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE CB 的值为________，DE DC 的最大值为________．【答案】 1 110．【2018高考北京文第11题】向量a 与b 的夹角为120，且4a b ，那么a b 的值为．【答案】811. 【2019高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，〝a b a b 〞是〝//a b 〞的〔〕A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】||||cos ,a b a b a b ，由得cos ,1a b ，即,0a b ，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是，此时||||a b a b ，故〝a b a b 〞是〝//a b 〞的充分而不必要条件，应选A. 【考点定位】充分必要条件、向量共线.。

2020高考数学全国真题及答案汇编

2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I
本试卷 5 页, 23 题 (含选考题). 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
4
√ D： 5 + 1
2
题3图 4. 已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p =( ).
A： 2
B： 3
C： 6
D： 9
2020 年高考数学全国 I 卷理科真题
2
5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: ◦C) 的关系, 在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据 xi, yi (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图:
目录
2020 年高考数学全国 I 卷理科真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 2020 年高考数学全国 I 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 2020 年高考数学全国 I 卷文科真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 2020 年高考数学全国 I 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 2020 年高考数学全国 II 卷理科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 2020 年高考数学全国 II 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32 2020 年高考数学全国 II 卷文科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40 2020 年高考数学全国 II 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 44 2020 年高考数学全国 III 卷理科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51 2020 年高考数学全国 III 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 55 2020 年高考数学全国 III 卷文科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 63 2020 年高考数学全国 III 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 67 2020 年新高考数学 I 卷真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 74 2020 年新高考数学 I 卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 79 2020 年新高考数学 II 卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 87 2020 年新高考数学 II 卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92 2020 年高考数学北京卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 100 2020 年高考数学北京卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 104 2020 年高考数学天津卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 112 2020 年高考数学天津卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 116 2020 年高考数学上海卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 124 2020 年高考数学上海卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 127 2020 年高考数学浙江卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 135 2020 年高考数学浙江卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 139 2020 年高考数学江苏卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 146 2020 年高考数学江苏卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

2024年高考数学真题和模拟题汇编专题03 平面向量 PDF版含解析

试题精讲

12024 Ⅰ·3
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2020高考试题分类汇编：12：平面向量一、选择题1.【2020高考全国文9】ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r【答案】D【解析】如图，在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 2.【2020高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A 5 （B 10（C ）5（D ）10 【答案】B【解析】因为⊥，所以有02=-x ，解得2=x ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+10=+b a ，选B.3.【2020高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．4.【2020高考四川文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是（）A 、||||a b =r r且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r【答案】Ｄ【解析】A.可以推得||||a ba b =r rr r ==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.5.【2020高考陕西文7】设向量a r =（1.cos θ）与b r=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】02cos 0cos 212=⇔=+-⇔⊥θθ，故选C.6.【2020高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

7.【2020高考广东文3】若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r，则AC =u u u rA. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 【答案】A【解析】(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=u u u r u u u r u u u r.8.【2020高考广东文10】对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅o αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=o a b A.52 B. 32 C. 1 D. 12【答案】D【解析】因为||||||||||2b a b b a b b b a b a ==••=ρο，同理||||a b a a a b a b =••=ορ，因为b a ρο和a b ο都在集合}|2{Z n n ∈中，令),(||2,||22121Z n n a b n b a n ∈==，所以θ221cos ||||22=•=•a b b a n n ，即θ221cos 4=•n n ，又因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22cos 0<<θ，所以2cos 402<<θ，即2021<•<n n ，只有当1,121==n n 时，121=•n n 满足条件，故有2121==n b a ρο．故选D ．9.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=0 【答案】D【解析】00122)1(=⇔=⨯+⋅-⇔⊥x x b a ，故选D10.【2020高考天津文科8】在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP r =AB λr ，AQ r=(1-λ)AC r ，λ ∈R 。

若BQr •CPr=-2，则λ=（A ）13（B ）23C ）43（D ）2【答案】B【解析】如图，设==, 0,21=•==c b ，又)1(λ-+-=+=，λ+-=+=，由2-=•得2)1(4)1()(])1([-=--=--=+-•-+-λλλλλb c ，即32,23==λλ，选B.二、填空题1.【2020高考新课标文15】已知向量,a b r r 夹角为45︒，且1,210a a b =-=r r r 则_____b =r【答案】32【解析】因为102=-b a ，所以10)2(2=-b a ，即104422=+•-b b a a ，所以1045cos 4402=-+b b ，整理得06222=--b b ，解得23=b 或2-=b （舍去）.2.【2020高考安徽文11】设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______.[ 【答案】2【解析】1(3,3),()3(1)3022a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=r r r r r r g 。

3.【2020高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC u u u v u u u vg = .【答案】18【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u vg 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.4.【2020高考浙江文15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅u u u r u u u r=________.【答案】-16【解析】由余弦定理222222cos 53253cos AB AM BM AM BM AMB AMB =+-⋅∠=+-⨯⨯∠， 222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，0180AMB AMC ∠+∠=，两式子相加为222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=，2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC+-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .5.【2020高考山东文16】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP u u u r的坐标为＿＿＿＿.【答案】)2cos 1,2sin 2(--【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA ,,则22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(-=-=πPB ，2sin )22cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .6.【2020高考江西文12】设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。

若，则=_______________【答案】5【解析】因为),(y x m =为单位向量，所以122=+y x 。

又b m ⊥，所以02=-=•y x b m ，即x y 2=，两式联立解得512=x 。

5254422222==++=+x y xy x y x ，所以52=+y x 7.【2020高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r g ，则AE BF u u u r u u u rg 的值是 ▲ ．2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由2AB AF =u u u r u u u r g cos 2AB AF FAB ∠u u u r u u u rg g cos =AF FAB DF ∠u u u r g 。

∵2AB =22DF =1DF =。

∴21CF 。

记AE BF u u u r u u u r和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。