文科数学2010-2018高考真题分类专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案

专题四 三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

答案部分

1．A 【解析】因为2

13

cos 2cos

121255

=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得222

32cos 251251()325

=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，

所以=AB A ．

2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222

1sin 24

a b c ab C +-=，

所以222sin cos 2a b c C C ab +-=

=，所以在ABC ∆中，4

C π

=．故选C ． 3．B 【解析】由sin sin (sin cos )B A C C +-0=，

得sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=，

即sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，

所以sin (sin cos )0C A A +=，因为C 为三角形的内角，所以sin 0C ≠， 故sin cos 0A A +=，即tan 1A =-，所以34

A π

=． 由正弦定理

sin sin a c A C =

得，1sin 2C =，由C 为锐角，所以6

C π

=，选B ． 4．D 【解析】由余弦定理，得2

422cos 5b b A +-⨯=，整理得2

3830b b --=，解得3b =

或13

b =- （舍去），故选D ．

5．D 【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，2DC AD =，

所以AC =

=．由正弦定理，知

sin sin AC BC

B A

=，

3sin 2

AD

A =

，解得sin A =，故选D ． 6．C 【解析】由余弦定理得2

2

2

2

2

2cos 22cos a b c bc A b b A =+-=-，所以

222(1sin )2(1cos )b A b A -=-，所以sin cos A A =，即tan 1A =，又0A π<<，

所以4

A π

=

．

7．C 【解析】由余弦定理得：2

2

2

2cos a b c bc A =+-，

所以(2

2

2

22b b =+-⨯⨯， 即2

680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．

8．B 【解析】

11

sin 22

AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =或135B =．

当45B =时，1AC =

=，

此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾；

当135B =时，AC =

=．

9．A 【解析】因为A B C π++=，由1

sin 2sin()sin()2

A A

B

C C A B +-+=--+

得1sin 2sin 2sin 22

A B C ++=

， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22

A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8

A B C =， 又111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B =

==， 因此3

22222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤

得222

311264

a b c ≤≤，

即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，

因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，

因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．

10．C 【解析】由2

2

()6c a b =-+可得222

26a b c ab +-=-①，由余弦定理及3

C π

=

可得222

a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 232

ABC S ab π∆=

=

11．C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-，

∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=

12．D 【解析】2

25cos 10A -=，1

cos 5

A =

，由余弦定理解得5b = 13．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1

sin 2

B =，但B 非最大角，

所以6

B π

=

．

14．C

【解析】由余弦定理可得AC =sin 10

A =

． 15．B 【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，

∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =,∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．

16．

B

【解析】由正弦定理得：

sin sin sin 45BC AC AC

AC A B ︒

=⇔=⇔=

17．D 【解析】由正弦定理，得2

2

sin sin sin cos A B B A A +

=

，

即22

sin (sin cos )B A A

A ⋅+=

，sin B

A =，∴

sin sin b B a A

==． 18．D 【解析】设AB c =，则

AD c =，

BD =

，BC =ΔABD 中，由余弦定

理得222

24

13cos 23

c c c A c +

-=

=，则sin 3A =，在ΔABC 中，

由正弦定理得sin sin c BC C A

==，解得sin C =．

19．A 【解析】因为120

C ∠=，c =

，

所以2

2

2

2cos c a b ab C =+-，2

2

2

122()2

a a

b ab =+--

所以2

2

,0,ab

a b ab a b a b a b

-=-=

>>+ 因为0,0a b >>，所以0ab

a b a b

-=

>+，所以a b >．故选A ．