动力学II第五章习题解答

代入拉格朗日方程：
d dt
(∂∂θL&) −
∂L ∂θ
=
0
，整理得物体的运动微分方程为：
J1θ&&+ ω 2 (J 2 − J 3 ) sin θ cosθ = −mgl sin θ
5-15 长为 2 l，质量为 m 的均质杆 AB 的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，如图所示，框架
以角速度ω 绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。
代入拉格朗日方程
d dt
(
∂L ) ∂ϕ&
−
∂L ∂ϕ
= QϕM
=M
，整理可得：
mr2 sin2 θϕ&&+ mr2 sin 2θϕ&θ&= M
圆环绕铅垂轴 AB 匀速ω 转动，即：ϕ&= ω,ϕ&&= 0 ，代入上式可得：
M = mr2ωθ&sin 2θ
5-14 如图所示，质量为 m 的物体可绕水平轴 O1O2 转动，轴 O1O2 又绕铅垂轴 OC 以匀角速 度ω 转动。物体的质心 G 在垂直于 O1O2 的直线上，O3G = l 。设 O1O2 和 O3G 是物体过O3
M 2 g − T = M 2a2
解得绳子的拉力T = 56.1(N) 。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。
5-4 如图所示，质量为 m 的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为 R 的固定圆柱体上， 构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的质量，试求摆的运动微分 方程。 解：
则拉格朗日函数： L = T − V = 1 mS&2 − mg S 2
2
8b
代入拉格朗日方程：
d dt
( ∂∂SL&)
−
∂L ∂S
=
0
，整理得摆的运动微分方程为： S&&+
g 4b
S
=
0，
解得质点的运动规律为： S = Asin(1 2
g b
t
+
ϕ0
)
=
0
，其中
A, ϕ 0
微积分常数。
5-13 质量为 m 的质点沿半径为 r 的圆环运动，圆环以匀角速度ω 绕铅垂直径 AB 转动，如 图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩 M 。
零势面
拉格朗日函数 L = T − V ，代入拉格朗日方
程有：
d dt
(∂∂θL&) −
∂L ∂θ
=
0
整理得摆的运动微分方程为：
(l + Rθ )θ&&+ Rθ&2 + g sinθ = 0
5-6 质量为 m 的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为
s = 4b sin ϕ ，式中 s 是以 O 为原点的弧坐标，ϕ 是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质
代入拉格朗日方程：
d dt
(∂∂θL&) −
∂L ∂θ
=
0
，整理得系统的运动微分方程为：
4lθ&&− 4lω 2 sinθ cosθ − 3g sinθ = 0
5
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由于角θ 描述的是杆 AB 相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。
动力学第五章部分习题解答
5-2 滑轮组上悬挂有质量为 10kg 的重物 M1 和质量为 8kg 的重物 M 2 ，如图所示。忽略滑轮
的质量，试求重物 M 2 的加速度 a2 及绳的拉力。
解： 取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理 想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力
M1g, M 2 g 。假设重物 M 2 的加速度 a2 的方向竖直向
2
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解：
1.求质点的运动微分方程
圆环（质量不计）以匀角速度ω 绕铅垂轴 AB 转动，该 系统有一个自由度，取角度θ 为广义坐标。系统的动能
为：
T = 1 m(rθ&)2 + 1 m(ωr sinθ )2
2
2
取圆环最低点 A 所在的水平面为零势面，系统的势能 为：
4
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取圆环最低点 A 所在的水平面为零势面，系统的势能为： V = −mglcosθ
则拉格朗日函数：
L
=
T
−V
=
1 2
[
J
1θ&2
+
J 2 (ω
cosθ )2
+
J 3 (ω sin θ )2 ] +
mgl cosθ
1 2
2l m dx(ωx sinθ )2 0 2l
=
2 ml 2ω 2 sin2 θ 3
O C
系统的动能T = T1 + T2 。
取θ = 900 为势能零点，则系统的势能为：
V = mglcosθ
则拉格朗日函数：
L = T − V = 2 ml2 (θ&2 + ω 2 sin2 θ ) − mgl cosθ 3
点的运动规律。 解：
该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标 S
为广义坐标。系统的动能为：
T = 1 mS&2 2
取轨线最低点 O 所在的水平面为零势面，系 统的势能为：
h 零势面
V = mgh
由 题 可 知 dh = sinϕ = S ， 因 此 有 ：
dS
4b
∫S
h=
S dS = S 2
0 4b
8bBiblioteka 5-17 重 P1 的楔块可沿水平面滑动，重 P2 的楔块沿楔块 A 的斜边滑动，在楔块 B 上作用一水
平力 F ，如图所示。忽略摩擦，角ϕ 已知，试求楔块 A 的加速度及楔块 B 的相对加速度。
解：
取楔块 A，B 构成的系统为研究对象，该系统有
二个自由度，取楔块 A 水平滑动的位移 x ，以
s
及楔块 B 相对于 A 的沿斜面滑动的位移 s 为广
取δx ≠ 0,δs = 0 ，在这组虚位移下力 F 所作的虚功为 [δW ]δx = Fδx ，因此力 F 对应于广
义坐标 x 的广义力 QxF = F ；
取δx = 0,δs ≠ 0 ，在这组虚位移下力 F 所作的虚功为[δW ]δs = F cosϕδs ，因此力 F 对应
于广义坐标 s 的广义力 QsF = F cosϕ ；
L = T − V = 1 mr 2 (θ&2 + ϕ&2 sin2 θ ) − mgr(1 − cosθ ) 2
力偶 M 为非有势力，它对应于广义坐标θ 和ϕ 的广义力计算如下：
取δθ ≠ 0,δϕ = 0 ，在这组虚位移下力偶 M 所作的虚功为 [δW ]δθ = 0 ，因此力偶 M 对应
于广义坐标θ 的广义力 QθM = 0 ；
+
(s&sinϕ)2 ]
=
1 2g
(P1
+
P2
)x&2
+
1 g
P2
cosϕx&s&+
1 2g
P2 s&2
取过 x 轴的水平为零势面，系统的势能为：
V = P2s sinϕ
则拉格朗日函数：
L
=T
−V
=
1 2g
(P1
+
P2 )x&2
+
1 g
P2
cosϕx&s&+
1 2g
P2 s&2
−
P2 s sinϕ
将水平力 F 视为非有势力，它对应于广义坐标 x 和 s 的广义力计算如下：
该系统为保守系统，有一个自由度，取θ 为广义坐标。系统的动能为：
T = 1 m[(l + Rθ )θ&]2 2
1
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取圆柱轴线 O 所在的水平面为零势面，系统 的势能为：
V = mg[l + R sinθ − (l + Rθ ) cosθ ]
根据运动学关系可知：
δx1
=
1 2
δx2
a1
=
1 2
a2
（2） （3）
将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意δx2 ≠ 0 有：
M2g δx2
T
a2
=
4M 2 − 2M1 4M 2 + M1
g
=
2.8(m /
s2)
M2g a2
方向竖直向下。取重物 M 2 为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：
V = mgr(1− cosθ )
则拉格朗日函数：
L = T − V = 1 mr 2 (θ&2 + ω 2 sin2 θ ) − mgr(1− cosθ ) 2
零势面
代入拉格朗日方程：
d dt
(∂∂θL&) −
∂L ∂θ
=
0
，整理得质点的运动微分方程为：
θ&&+
g (
−ω2
cosθ )sinθ
=
0
r
2.求维持圆环作匀速转动的力偶 M 如果求力偶 M ，必须考虑圆环绕铅垂轴 AB 的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴 AB 匀 速ω 转动”这一约束，将力偶 M 视为主动力。此时系统有两个自由度，去角度θ 和圆环绕轴