华南师范大学研究生入学考试数学分析与高等代数2005
华南师范数学考研大纲
华南师范数学考研大纲全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：华南师范大学数学考研大纲概述华南师范大学数学考研大纲是准备参加华南师范大学数学硕士研究生入学考试的考生必须了解的重要内容。
该大纲包括了数学一、数学二两个科目的考试内容和考试形式。
数学一主要考查数学分析、代数、概率论等内容，数学二主要考查数值计算、离散数学、运筹学、统计学等内容。
下面我们将详细介绍华南师范大学数学考研大纲的具体内容。
一、数学一数学一的考试内容主要包括数学分析、代数、概率论三部分。
具体考试要求如下：1. 数学分析：主要包括实数与函数、极限与连续、导数与微分、微积分、级数等内容。
考生需要掌握这些基本概念和定理，能够熟练应用到实际问题中。
2. 代数：主要包括线性代数、群论、环论、域论等内容。
考生需要掌握代数结构及其性质，能够运用代数方法解决实际问题。
3. 概率论：主要包括概率的基本概念、随机变量、概率分布、数理统计等内容。
考生需要熟练掌握概率统计的基本方法和技巧，能够分析和处理复杂的概率统计问题。
二、数学二3. 运筹学：主要包括线性规划、整数规划、动态规划等内容。
考生需要熟练掌握各种运筹学方法和技巧，能够有效地解决规划和优化问题。
华南师范大学数学考研大纲内容全面，涵盖了数学的各个方面和应用领域。
考生需要认真学习和掌握各个知识点，提高数学解题能力和分析问题的能力，才能顺利通过考试。
希望考生们能够加强自身的数学基础，认真复习备考，取得优异的成绩，实现自己的求学目标。
祝愿大家考试顺利！第二篇示例：华南师范大学数学考研大纲华南师范大学是一所以师范教育为主，注重教师培养的综合性大学。
其数学考研大纲作为考生备考的重要参考资料，在考生们备考过程中扮演着至关重要的角色。
下面就让我们来详细了解一下华南师范大学数学考研大纲的内容和要求。
一、数学分析部分1. 实分析实数的基本性质，上确界、下确界的概念及性质；有界性原理；序列的极限，函数极限的定义及性质；函数的连续性及其性质；导数的概念及性质；微分中值定理的证明及应用；不定积分的概念及性质。
高等代数考研20051
南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e 满足的条件 （2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。
华南师范大学考研真题高代试卷
一．计算行列式111212122212nn n n n n a b x a b a b a b a b x a b a b a b a b x-+----+----+二．设33132()m n p f x x x x ++=-+， 2()1g x x x =-+，其中,,m n p 为非负整数,则()|()g x f x 充要条件是,,m n p 具有相同的奇偶性三．解线性方程组，找出基础解系，写出一般解12341234123412430334059802250x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎪⎨+--=⎪⎪-+=⎩四．设m n ⨯矩阵()ij A a =的最高阶非零子式为1112121222120t t t t tta a a a a a a a a ≠,证明这个子式所在的A 的前t 个行向量12t ααα是A 的行向量组的极大无关组五．求多项式643()7877f x x x x x =-+-+和532()3737g x x x x =-+-的最大公因式(,)fg六．已知两向量组12,,,tααα与121,,,,,,t t s ααααα+有相同的秩，证明12,,,t ααα与121,,,,,,t t s ααααα+等价七．设A ，B 是n 阶对称方阵，证明乘积AB 对称的充要条件是A 与B 可交换一．计算行列式111212122212nn n n n n a b x a b a b a b a b x a b D a b a b a b x++=+二．（1）设0a ≠,证明()|()mm n n xa x a --的充要条件是|m n(2)设(),(),()f x g x h x 是数域F 上的多项式，证明((),()())1f x g x h x =的充要条件是((),())1fx g x =且((),())1f x h x =三．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，满足AC=CA ，AD=CB 和0A ≠，令A B G C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明()2n G n ≤<秩四．设T 为有限维欧氏空间V 的对称变换,证明TV 是(0)T ⊥的中正交补五．用正交变换化二次型22211213223324242x x x x x x x x x +--++为标准型六．设12,,,n V V V 是是向量空间V 的子空间，证明和空间12n V V V +++是直和的充要条件是各子空间(1,2,,)i V i n =的基底合起来是和空间的基底一．计算行列式(1)21132(2)(3)(1)(1)(2)1a n a n a a a a na a a n a n a n a n a n a n a a n++-+++++++-+-++-+-+-++二．（1）设(),()f x g x 是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n ，((),())((),())n n n f x g x f x g x =（2）设a 是一个实数，证明：多项式1221()n n n n nf x x ax a x a x a ---=+++++最多只有一个实根（不计重数） 三．设n 阶矩阵A 满足2A E =，()E n 是阶单位矩阵，证明：（1）A 相似于形为00s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭的矩阵，其中s E 表示s 阶单位矩阵；（2）对于任何正整数,m k ，都有n =mk 秩(A+E)+秩(A-E)四．设(),()f x g x 为数域F 的多项式，且有((),())1f x g x =，A 是F 上的一方阵， 设()()0f A g A X =，()0f A X =，()0g A X =的解空间分别是12,W V V 和，证明12WV V =⊕五．设实数域k 上的全体2阶方阵构成的欧氏空间为22R⨯，取固定的矩阵a b A b d ⎛⎫= ⎪⎝⎭在22R ⨯上定义变换，:,X AX XA σ→- 22X R ⨯∀∈（1）证明σ是线性变换； （2）求出σ关于22R⨯的标准正交基11122122,,,E E E E 下的矩阵；（3）证明存在一个22R ⨯的标准正交基，σ在此基下矩阵为对角阵；并求出其最小多项式六.设实二次型222123112231323(,,)4510210q x x x x x x x x x x x x =+++++（1） 求此二次型的正惯性指标和符号差； （2） 问方程1233(,,)220q x x x x --=对应空间3R 中的什么曲面华南师范大学2002年高代试题一．计算行列式1231231231234n n n x a a a a a x a a a a a x a a a a a a x二．设(),()f x g x 是数域F 上的多项式，11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==，证明：()d x 是(),()f x g x 的最大公因式当且仅当11((),())1f x g x =三．设是C 复数，并且是有理数域Q 上的一个非零多项式的根，令{()()Jf x Q x =∈│}()0f c =，证明：J 中存在唯一的首项系数为1的多项式()P x ，使得对于任意(),()()(),()[]f x J f x p x q x q x Q x ∈=∈四．设A 是m n ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，证明存在n s ⨯矩阵X 满足AX B =的充分必要条件是秩(A,B)=秩A五． 设是V 数域F 上的线性性空间。
(完整版)华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
2000年华南师范大学数学分析一、填空题(3*10=30分)1.设a n ( 1)n sin n—,n 1,2,，则lima n,lim a n4 n --------------------- n- --------------------x x为有理数.2.设f(x) x，x：［mt X R,则f(x)在x 一处连续；X, x为无理数3.. 1 x n」3. lim -------- dx01 xn14.lim(sinx cosx)xx 05.方程x2 3x c 0(c为实常数)在区间［0,1］中至多有个根;、一dx6 .设I n ——2-v(n 1,n为自然数)，写出I n 1的递推公式I n1 __________________________________________________(x a )sinx cosy7 .设u(x, y) ° f(t)dt, f(t)是可微函数，则du8 .设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P I(2,2)的方向导数是1,指向原点的方向导数是-3,则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是;9 .写出函数在x=0处的哥级数展开式：s in2 x;3 . . 3 .10.曲线x a cos t, y a sin t,0 t 2 的弧长s=.(12分)设f(x)在［0,+ 8)上连续，lim f(x)存在，证明：f(x)在［0,+8)上可取得最大值或x最小值.2 ............................... , z三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程z yf(一)所确定，其中f是可微函数，试证:y,2 2 2、z z _(x y z )— 2xy— 2xz.四、（12分）求极限：lim （―n n 1 2n 1 n2n 2■^).n 2n五、（12分）已知a,b为实数，且1<a<b,证明不等式：（a 1）1nb（b l）lna六、（12分）计算曲面积分：Ixdydz y2dzdx z3dxdy.其中S是球面x2 y2 z2 1 S七、（10分）设U n（x） 0,在［a,b］上连续,n=1,2,…，nu n（x）在［a,b］上收敛于连续函数1f(x),证明：U n(x)在［a,b］上一致U^敛于f(x).n 12003年华南师范大学数学分析11 1 .、(12 分)求极限lim(—--------- ------------------------------- ).n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1)、(12 分)设D (x, y): 1 x 1,1 y 1 ,求积分x2dxdy.nx二、(12分)证明——L 在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+8)；在(0,+ 8)上不一致收敛;n 1 1 n3x3 ...................................... nx并证明：函数S(x)= ------ 一■在(0,+ °°)上连续.3 3n 1 1 n x四、(12分)求第二型曲线积分白2y3dx 1x3dy,其中，L : x2 2y2 1,取逆时针方向。
华南师范大学数学分析与高等代数2005
华南师范大学2005年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析与高等代数适用:课程与教学论 基础数学 计算数学 应用数学 运筹学与控制论数学分析部分(75分)一 计算题(每小题8分 ) 1 ,求 3cos(sin )cos limsin x x xx→-2求3sec xdx ⎰ 3求2222(,)(0,0)limx y x yx y→+4 求224Lxdy ydxyx -+⎰其中L:222(1)y R x +-=,0<R ≠1,取逆时针方向二 证明题(每小题9分)1证明 :对21,,()2a ba ba b R ee e +∀∈≤+;2设()121lim 0,:lim......0n nx x a naaa →∞→∞=+++=证明3设f(x)在(0,1)上连续,()01lim lim x x f x →+→-==-∞,证明 ()f x 在()0,1内取到最大值三 讨论题(每题8分) 1,讨论级数()1111111323232311111111......2135246(2)n n -+-+-++-+-的敛散性2设0,0,αβ>>讨论0sin x dx xβα+∞⎰的敛散性(包含条件收敛和绝对收敛)高等代数部分(75分)一(15分) 令()f x 与()g x 是数域F 上的多项式,a,b,c,d ∈F 且ad-bc ≠0,证明()()()()()()()(),,af x bg x cf x dg x f x g x ++=二 (15分)设非零实1⨯n 矩阵A=()12,,...n a a a1 求A A ，及秩(A A ，)2求A A ，的特征值;3 求A A ，的特征值对应的特征向量三 (15分) 设F 是数域,[]()[](){}|n F x f x F x f x n =∈∂< 定义向量空间[]n F x 上 的线性变换σ如下()()()()()[]()'nf x xf x f x f x F x σ=-∀∈1 求子空间Ker σ=()[]()(){}|n f x F x f x σ∈=,[]()()()[]{}|nnF x f x F x σσ=∈2 证明[]n F x =ker σ⊕σ([]n F x )四 (15分) 设A 是正定矩阵,证明1 ,1A -,kA,m A (m 是正整数),*A 都是正定矩阵2 ()1110...,0(0,1,2...)mm m m j g x a x a xa x a a i m --=++++≥=有一个为正,则g(A)正定五 (15分) 设V 是n 维欧氏空间,{}1,2,...n ααα是V 的标准正交基, {}12,...,,n βββ是V 中一组向量且()12,...,,n βββ=()1,2,...n αααA, A 为n 阶实方阵.证明{}12,...,,n βββ是V 的标准正交基当且仅当A 是正交矩阵。
华师大 05年 高等代数
华东师范大学2005年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2________ 2. 如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。
3. 设向量组s ααα,...,,21()2≥s 线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα4. 设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果rankA=3，rankB=2,821K W W =+那么()=⋂21dim W W __________ 5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：（A ）正实数（B ）负实数（C ）1或0（D ）纯虚数6. 若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，则 A 。
∆>0 B 。
∆=0 C 。
∆<0 D 。
∆R ∉7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个8. 设A 是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A 的特征值。
9. 排列n n j j j j 121...-与排列121...j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设0r 是数域K 上非齐次线性方程组AX=B 的特解，s ηηη,...,,21是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A ．s r r r r ηηη---020100,...,,,是AX=B 的一组线性无关解向量B ． A X=B 的每个解均可表为s s r ηηη,...,2,,210的线性组合。
C ． s r ηη+++...210是AX=B 的解。
D ．AX=B 的每个解均可表为001020,,,s γγηγηγη+++++ 的线性组合。
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华南师范大学《613数学分析》历年考研真题专业课考试试题
2005年华南师范大学数学分析考研真题
2004年华南师范大学数学分析考研真题
2003年华南师范大学数学分析考研真题
2000年华南南师范大学数学分析考研真题
2013年华南师范大学数学分析考研真题
2010年华南师范大学数学分析考研真题
2009年华南师范大学数学分析考研真题
2008年华南师范大学数学分析考研真题
2007年华南师范大学数学分析考研真题
2006年华南师范大学数学分析考研真题
目 录
2014年华南师范大学数学分析考研真题 2013年华南师范大学数学分析考研真题 2010年华南师范大学数学分析考研真题 2009年华南师范大学数学分析考研真题 2008年华南师范大学数学分析考研真题 2007年华南师范大学数学分析考研真题 2006年华南师范大学数学分析考研真题 2005年华南师范大学数学分析考研真题 2004年华南师范大学数学分析考研真题 2003年华南师范大学数学分析考研真题 2000年华南师范大学数学分析考研真题
华中师范大学《高等代数》《数学分析》考研真题(2009-2017汇总)
考试复习重点资料（最新版）资料见第三页封面第1页温馨提示提示：本套资料经过精心编排，前2页是封面和提示部分，后面是资料试题部分。
资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你复习备考。
资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯定能取得理想的成绩。
寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然会得到回报。
1.一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。
要有总体的时间规划，也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。
2.资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复刻意练习的结果。
公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料，一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应对。
3.态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了，才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。
4.坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。
切记心浮气躁，半途而废。
5.希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。
第2页目录1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析331.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ111¨¨¨1x a1a2¨¨¨a nx2a21a22¨¨¨a2n............x n a n1a n2¨¨¨a n nˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ“0.2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不是f1p x q的根).(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜A BC0¸是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶零方阵.(1)证明:rank ˜A BC0¸ěrank p B q`rank p C q.这里rank p B q表示矩阵B的秩.(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.(1)证明:12p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是12p A`A1q的全部特征根.(2)证明:µ1ďrďµn.(3)你有类似的估计s的办法吗?1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.2.(20分)(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当rank p A q`rank p A´kE q“n.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,定义V上的线性变换A:VÑV为A pB q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.设A“¨˚˝000010002˛‹‚.求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.4.(30分)设有三元实二次型f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6.(30分)(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
重庆师范大学2005年 数学分析与高等代数考研试题
重庆师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题（初试）考试科目：数学分析一、用""N ε-定义证明极限。
（8分）2233lim212n n n n →∞+=- 二、求下列极限（5⨯5=25分）（1）limx →∞（2）2lim 1sin x arctgx xπ→∞-（3）22233312lim 13n n n n n n n n n →∞⎛⎫++++++ ⎪+++⎝⎭ （4）1lim n n →∞+（5）202sin lim xn t dtt x→∞⎰ 三、求下列积分（5315⨯=分）（1）2cos x xdx ⎰（2）23⎰（3）52sec tg x xdx ⎰四、（12分）设函数()f x 在0x 的某个领域内具有4阶连续导函数，如果()()()()4/"0000,0f x f x f x ==≠则（1）当()()400f x <时，()0x f x 为的极大值点。
（2）当()()4000,f x x f x >时为的极小值点。
五（8分）设12m a a a 、、、、为m 个正数，{}1,22max ,m nm n a a a a a == 证明： 六、设()[]()()()(),f x a b a b f a f b =为、上的非常值连续函数且f x 在内可导， 证明：(),,a b ζ∃∈，使()'0fζ>。
七、（10分）若()f x 为[),a +∞是上的连续函数，且存在极限()lim x f x →∞证明：函数()f x 在[),a +∞上有界。
八、（10分）设函数()f x ，()g x 在区间[],a b 上可积，证明：()()()()222.b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰九 （12分）证明级数1352nn n ∞=+∑收敛，并求和。
十 （10分）用确界存在定理证明单增有上界的数列必收敛十一 求二重积分2ln ,Dy dxdy x ⎰⎰，其中D 是由曲线()22,0y ax y bx a b ==<<和曲线(),0xy x xy d c d ==<<围城的平面区域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1,
2,
... n 是 V 的标准正交基, 1 , 2,..., n 是 V 中一
A 为 n 阶实方阵.证明
,
n = 1, 2, ... n A,
,
1
2,...,
n 是 V 的标准正
交基当且仅当 A 是正交矩阵
2 设 lim an 0, 证明 : lim
x
1 ...... a n 0 x n a 1 a 2
x 0 x 1
3 设 f(x)在(0,1)上连续, lim f x lim ,证明
f x 在 0,1 内取到最大值
三 讨论题(每题 8 分) 1,讨论级数 1
af x bg x , cf x dg x f x , g x
二 (15 分)设非零实 1 n 矩阵 A= a1 , a2, ...an 1 求 A A 及秩( A A )
， ， ，
2 求 A A 的特征值; 3 求 A A 的特征值对应的特征向量
1 2
1 3
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 2
1 6
1 3
...
1
2n 1
1 2
1 (2n)
1 3
... 的敛散性
2 设 0, 0, 讨论
0
sin x dx 的敛散性(包含条件收敛和绝对收敛) x
高等代数部分(75 分) 一(15 分) 令 f x 与 g x 是数域 F 上的多项式,a,b,c,d F 且 ad-bc 0,证明
华南师范大学 2005 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析与高等代数 适用:课程与教学论 基础数学 计算数学 应用数学 运筹学与控制论
数学分析部分(75 分) 一 计算题(每小题 8 分 ) 1 ,求 lim
cos(sin x) cos x x 0 sin 3 x
3
2 求 sec xdx
1 m
四 1 2
(m 是正整数), A 都是正定矩阵
*
g x am x m am 1 x m 1 ... a1 x a0 , a j 0(i 0,1, 2...m) 有一个为正,则 g(A)正定
五 (15 分) 组向量且
1
设 V 是 n 维欧氏空间,
2,...,
1 求子空间 Ker = f x Fn x | f x , Fn x | F x
n
2
证明 Fn x =ker ( Fn x ) (15 分) 设 A 是正定矩阵,证明 , A ,kA, A
，
三 (15 分) 设 F 是数域, Fn x f x F x | f x n 定义向量空间 Fn x 上 的线性变换 如下
f x xf ' x f x f x Fn x
3求
x2 y 2 ( x , y ) (0,0) x 2 y 2 lim
4 求
xdy ydx 4x y
2 2
L
其中 L:
x
2
( y 1) 2 R 2 ,0<R 1,取逆时针方向
二 证明题(每小题 9 分) 1 证明 :对 a, b R, e
a b 2
1 (e a e b ) ; 2