牛顿提出的问题你也能回答,小学奥数牛吃草问题解答的几种思路
小学奥数之牛吃草问题含答案
小学奥数之牛吃草问题含答案This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。
”英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量4、最后求出可吃天数?想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。
把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：（10×22-16×1O）÷(22-1O）=（220-160）÷12?=60÷12?=5（头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20?=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。
----------------------------------------------------------------“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。
如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。
如何解“牛吃草问题”
娄斌（山东省枣庄市台儿庄区明远实验小学）如何解“牛吃草问题”一例题一块牧场上长满了草一块牧场上长满了草，，草每天都匀速生长草每天都匀速生长。
这片草可供13头牛（每头牛每天的吃草量相同每头牛每天的吃草量相同））吃10天，或可供21头牛吃5天。
（1）这片草可供25头牛吃几天头牛吃几天？？（2）这片草可供几头牛吃20天？分析题目可知，牧场上原有的草量是固定的，每天新长出的草量也是固定的，新长出的总草量＝每天新长出的草量×天数，若干天牧场可提供的总草量＝原有的草量＋新长出的总草量。
假设1头牛1天能吃1份的草，则13头牛10天吃草1×13×10＝130（份），21头牛5天吃草1×21×5＝105（份）。
为什么前一种吃法比后一种多了130－105＝25（份）呢？这是因为前一种吃法比后一种多了10－5＝5（天），多出的25份草是5天长出来的。
可以算出牧场上每天长出的草量是25÷5＝5（份）。
小朋友，“牛吃草问题”是英国科学家牛顿在17世纪提出的，又称为“消长问题”或“牛顿问题”。
“牛吃草问题”中主要涉及三个量：草的数量（原有的草量、每天新生长或减少的草量）、牛的数量、时间。
如何解答这类问题呢，下面我们一起来看一下。
13头牛10天吃草130份，这10天牧场上新长出的草量是10×5＝50（份），牧场上原有的草量是130－50＝80（份）。
（1）计算这片草可供25头牛吃几天头牛吃几天，，可以这样思考可以这样思考：：因为牧场上每天长出5份草，可以让其中的5头牛专门吃新长出的草，剩下的25－5＝20（头）牛吃牧场上原有的80份草，这样问题就变成了牧场上原有的草可以供20头牛吃几天？因为20头牛1天要吃草1×20＝20（份），所以原有的80份草可供20头牛吃80÷20＝4（天），即这片草可供25头牛吃4天。
（2）计算这片草可供几头牛吃20天，可以这样思考可以这样思考：：20天牧场上新长出的总草量是20×5＝100（份），这20天牧场可提供的总草量是80＋100＝180（份），平均每天能提供的草量是180÷20＝9（份）。
解决牛吃草问题的多种算法解析
解决牛吃草问题的多种算法历史起源:英国数学家牛顿(1642—1727说过:“在学习科学的时候,题目比规则还有用些”因此在他的著作中,每当阐述理论时,总是把许多实例放在一起。
在牛顿的《普遍的算术》一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型:1、求时间2、求头数除了总结这两种类型问题相应的解法,在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路:①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后,已知头数求时间时,我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差”求出天数。
②已知天数求只数时,同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量÷天数”,求出只数。
基本公式:解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是∶(1草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数;(2原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`(3吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度;(4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度第一种:一般解法“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。
如果养牛21头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。
”一般解法:把一头牛一天所吃的牧草看作1,那么就有:(127头牛6天所吃的牧草为:27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
(223头牛9天所吃的牧草为:23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
(31天新长的草为:(207-162÷(9-6=15(4牧场上原有的草为:27×6-15×6=72(5每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:72÷(21 -15=72÷6=12(天所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。
巧解应用题：掌握五大解题步骤轻松解决一块草地上牛吃草问题
巧解应用题：掌握五大解题步骤轻松解决一块草地上牛吃草问题英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的牛吃草问题：有一片牧场，已知饲牛 10 头，20 天把草吃完；若饲牛 15 头，则10 天把草吃完；饲牛 25 头，问几天把草吃完？解答此题的难点在于每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在匀速变化。
因此，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量。
牧场上原有的草总量是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为我们假设它是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。
正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量，问题就会迎刃而解。
一、基本知识点1、含义牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场，就是牛在牧场上吃草而草又不断生长的问题，它涉及到三种数量：原有的草、新长出的草、牛吃掉的草，人们把涉及到这三种量的应用题，叫作牛吃草问题，也就牛顿问题。
2、特点（1）随着时间的增长，每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化；（2）草的增长速度不变，即每天新长出的草量不变；（3）草场原有草的量不变；（4）每头牛每天的食草量不变。
3、口诀每牛每天的吃草量假设是份数 1，A 头 B 天的吃草量是几，M 头N 天的吃草量又是几，大的减去小的，除以二者对应的天数差，结果就是每天长草量。
原有草量就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘每天长草量。
将未知吃草量的牛分为两个部分：部分牛先吃新草，个数就是草的比率；有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
4、数量关系（1）每天长草量=（对应牛的头数×吃得较多天数-对应牛的头数×吃得较少天数）÷（吃得较多天数-吃得较少天数）；（2）原有草量=牛头数×吃的天数-每天长草量×吃的天数；（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-每天长草量）；（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+每天长草量5、解题思路（1）假设 1 头牛 1 天吃草量为"1"；（2）求出每天长草量；（3）求出牧场原有草量；（4）求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量-每天长草量=消耗原有草量）；（5）求出可吃天数。
牛吃草问题试题总结
奥数牛吃草问题牛吃草问题是小学奥数五年级的内容;学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题;还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等..那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习..一、解决此类问题;孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变 ..草的总量由两部分组成;分别为：牧场原有草和新长出来的草..新长出来草的数量随着天数在变而变..因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度是均匀生长还是均匀减少第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么时间、牛头数..注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话;会让求需要多少台抽水机二、解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度;再求原有草量..2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后;已知头数求时间时;我们用“原有草量÷每天实际减少的草量即头数与每日生长量的差”求出天数..3、已知天数求只数时;同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”..4、根据“原有草量”+若干天里新生草量÷天数”;求出只数三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数3、吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度四、下面举个例子例题：有一牧场;已知养牛27头;6天把草吃尽；养牛23头;9天把草吃尽..如果养牛21头;那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的..一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1;那么就有：127头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 这162包括牧场原有的草和6天新长的草.. 223头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 这207包括牧场原有的草和9天新长的草.. 31天新长的草为：207－162÷9－6＝154牧场上原有的草为：27×6－15×6＝725每天新长的草足够15头牛吃;21头牛减去15头;剩下6头吃原牧场的草：72÷21－15＝72÷6＝12天所以养21头牛;12天才能把牧场上的草吃尽公式解法：1草的生长速度=207－162÷9－6＝152牧场上原有草=27－15×6＝72再把题目中的21头牛分成两部分;一部分15头牛去吃新长的草因为新长的草每天长15份;刚好可供15头牛吃;剩下21-15=6头牛吃原有草：72÷21－15＝72÷6＝12天所以养21头牛;12天才能把牧场上的草吃完..方程解答：设草的生长速度为每天x份;利用牧场上的原有草是不变的列方程;则有27×6-6x =23×9-9x解出x=15份再设21头牛;需要x天吃完;同样是根据原有草不变的量来列方程：27×6-6×15 =23×9-9×15=21-15x解出x=12天所以养21头牛..12天可以吃完所有的草..牛吃草问题在普通工程问题的基础上;工作总量随工作时间均匀的变化;这样就增加了难度．牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.1. 草场有一片均匀生长的草地;可供27头牛吃6周;或供23头牛吃9周;那么它可供21头牛吃几周这类问题由牛顿最先提出;所以又叫“牛顿问题”．2．有三块草地;面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周;第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周3．如图;一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分;已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草;两天之后把①号草地的草吃光．在这2天内其他草地的草正常生长之后他让一半牛在②号草地吃草;一半牛在③号草地吃草;6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把13的牛放在阴影部分的草地中吃草;另外号的牛放在④号草地吃草;结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草;吃完这些草需要多少时间4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草;牛、马吃需要45天吃完;于是马、羊吃需要60天吃完;于是牛、羊吃需要90天吃完;牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度;求马、牛、羊一起吃;需多少时间5. 有三片牧场;场上草长得一样密;而且长得一样快．它们的面积分别是133公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草;21头牛9星期吃完第二片牧场的草;那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草。
数学运算--牛吃草问题
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随 吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰(1)草的生长速度=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较多天数-(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);(2)原有草量=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的天数草的生长速度×吃的天数;`(3)吃的天数=原有草量÷(相应的牛头数×吃草速度-草的生长速度);(4)牛头数=(原有草量÷吃的天数+草的生长速度)÷吃草速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的数量关系(基本变形)是：1.(相应的牛头数×吃草速度×吃草较多的天数-相应的牛头数×吃草速度×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.相应的牛头数×吃草速度×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
牛吃草3例题思路详解
牛吃草3例题思路详解牛吃草问题：又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
牛吃草问题虽然在杯赛出现的频率没有那么高了,但是在近几年的公务员考试中还是偶有出现,因此大家仍然不可以忽略这类题型。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式：这四个公式是解决牛吃草问题的基础，我们看下这几天的三个例题：例题一：有三块草地，面积分别为5,6和8公顷，草地上草一样厚，而且长得速度一样快，第一块可供11头牛吃10天，第二块可供12头牛吃14天，第三块可供19头牛吃多少天？思路：三块草地面积不同，但草地性质一样，也就是单位面积草生长速度和原有草量是一样的。
分析：设每头牛每天吃草量为“1”综合①②：解题：第三块8公顷草地19头牛中派12头牛吃每天长出的新草，剩下19-12=7头吃原有旧草（公式③）第三块草地可供19头牛吃：56÷(19-12)=8天例题二：牧场上的青草每天匀速生长，有片草地可供17头牛吃30天，或19头牛吃24天，现有群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天吃完，这群牛原有多少头？思路：根据已知条件套用公式①②，可以求出草地草生长速度和原有草量，然后求出假设4头牛没有卖掉相应增加的草量。
分析：解题：假设4头牛没有卖掉，他们在后续2天将会多吃掉：4×2=8份草地原有草量 8份→ 原有牛总数吃 6 2=8天根据公式④ → 原有牛数：(240 8)÷8 9=40头例题三：由于天气变冷，牧场上的草在匀速减少，牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天，这个牧场可供多少头牛吃10天？思路：因为草是在每天都在枯萎的，原来公式要变化：分析：设每头牛每天吃草量为“1”，根据已知条件套用公式①②，可以求出草地草枯萎速度和原有草量。
五年级奥数专题：牛吃草(含答案)
牛吃草牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。
这类问题常用到四个基本公式,分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。
一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。
一、例题与方法指导例1.青青一牧场青青一牧场,牧草喂牛羊；放牛二十七,六周全吃光。
改养廿三只,九周走他方；若养二十一,可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【解说】这道诗题,是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。
牛顿是英国人,他的种种事迹早已闻名于世,这里不赘述。
他曾写过一本书,名叫《普遍的算术》,“牛吃草问题”就编写在这本书中。
书中的这道题目翻译过来是：一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛,要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。
）解答这一问题,首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的,而并非一个固定不变的数值。
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牛顿提出的问题你也能回答，小学奥数牛吃草问题解答的几种思路
著名科学家牛顿说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。
在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。
牛吃草问题主要类型： 1、求时间 2、求头数除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路：①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)； (2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； (3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； (4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
第一种：一般解法。
问☞有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”
解答:把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
) (2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
) (3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 (4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 (5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天) 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃掉。
第二种：公式解法，问☞有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃
完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。
(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
解答：1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 原有草量：21×8-12×8=72(份) 16头牛可吃：
72÷(16-12)=18(天) 2) 要使牧草永远吃不完，则每天
吃的份数不能多于草每天的生长份数所以最多只能放
12头牛。
下面我给大家找了3道奥赛题中的牛吃草问题，大家可以对照着理解理解。