数理方程习题综合

例 1、1、1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 ð／ðx(ðv／ðy) =xy 两边对x 积分,得 v y =¢(y)+1/2 x 2Y ,

其中¢(y)就是任意一阶可微函数。进一步地,两边对y 积分,得方程得通解为

v (x,y)=∫v y dy+f(x)=∫¢(y)dy+f(x)+1/4 x 2y 2

=f(x)+g(y)+1/4 x 2y 2

其中f(x),g(y)就是任意两个二阶可微函数。 例1、1、2

即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),

其中F(ξ),G(η)就是任意两个可微函数。

例1、2、1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦,平衡时沿直线拉紧,在受到初始小扰动下,作微小横振动。试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系就是O XU ,弦的平衡位置为x 轴,弦的长度为L,两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动,故u x ≈0、因此α≈0,cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力与外力。可以证明,张力T 就是一个常数,即T 与位置x 与时间t 的变化无关。

事实上,因为弧振动微小,则弧段'MM 的弧长

dx u x

x x

x ⎰

∆++=∆2

1s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于就是由Hooke 定律,张力T 与

时间t 无关。

因为弦只作横振动,在x 轴方向没有位移,故合力在x 方向上的分量为零,即

T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0、

由于co's α’≈1,cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。于就是,张力就是一个与位置x 与时间t 无关的常数,仍记为T 、

作用于小弧段'MM 的张力沿u 轴方向的分量为 Tsin α’-T sin α≈T(u x (x+x ∆,t)-u x (x,t))、

设作用在该段弧上的外力密度函数为F(x,t)那么弧段'MM 在时刻t 所受沿u 轴方向的外力近似的等于F(x,t)x ∆、由牛顿第二定律得

T(u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)+F(x,t)x ∆=ρx ∆tt u ,

其中ρ就是线密度,由于弦就是均匀的,故ρ为常数。这里tt u 就是加速度tt u 在弧段

'MM 上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得

Tu zz (x+θx ∆,t)x ∆+F(x,t)x ∆=ρtt u x ∆, 0<θ<1、 消去x ∆,并取极限x ∆→0得 Tu xx (x,t)+F(x,t)=ρu tt , 即

u tt =ɑ2

u xx +ƒ(x,t), 00,

其中常数ɑ2

=T/ρ,函数ƒ(x,t)=F(x,t)/ρ表示在x 处单位质量上所受的外力。 上式表示在外力作用下弦的振动规律,称为弦的强迫横振动方程,又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时,即ƒ=0时,方程称为弦的自由横振动方程。

类似地,有二维波动方程

u tt =ɑ2

(u xx +u y y )+ƒ(x 、y 、t), (x,y)Ω∈,t>0, 电场E 与磁场H 满足三维波动方程

E c E 2222t ∇=∂∂与H c H 2

22

2t

∇=∂∂, 其中c 就是光速与

22

22222

x z

y ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇⋅∇=∇。

例1、2、2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S(图1、2)。以函数u(x,y,z,t)表

示物体在t 时刻,M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier 热传导定律,在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间dt,曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比,即

dSdt n u

k

-∂∂,

其中k=k(x,y,z)就是在物体M(x,y,z)处的热传导系数,取正值。我们规定外法线n 方向所指的那一侧为正侧。上式中负号的出现就是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故

当

0n

u

>∂∂时,热量实际上就是向-n 方向流去。

对于Ω内任一封闭曲面S,设其所包围的空间区域为V,那从时刻

t 1

到时刻t

2

经曲面流出

的热量为

1Q =dSdt n

u

k

S

⎰⎰⎰∂∂2

1t t - 设物体的比热容为c(x,y,z),密度为ρ(x,y,z),则在区域V 内,温度由u(x,y,z,1t )到u(x,y,z)所需的热量为

[]

dvdt t

u

c dv t z y x u t z y x u c t t V

V

∂∂=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2

1),,,(),,,(Q 122ρ

ρ、 根据热量守恒定律,有

12Q Q -=

即

[]dSst n

u

k

dv t z y x u t z y x t t S

⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=-2

1),,,(),,,u c 12V

（ρ 假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数,那么由高斯公式得

0][2

1t =⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰dvdt z u k z y u k y y u k x t u c t V

ρ

、 由于时间间隔[]21t ,t 及区域V 就是任意的,且被积函数就是连续的,因此在任何时刻t,在Ω内任意一点都有

⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z u k z y u k y y u k y x u ρ

c (1、2、6)