2019年高考理科数学真题和模拟题分类汇编：专题03 导数及其应用

1 专题03 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A．e1ab， B．a=e，b=1 C．1e1ab， D．1ea，1b 【答案】D ∵eln1,xyax

∴切线的斜率1|e12xkya，1ea， 将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.

故选D． 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

2．【2019年高考天津理数】已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为 A．0,1 B．0,2 C．0,e D．1,e 【答案】C 当1x时，(1)12210faa恒成立；

当1x时，22()22021xfxxaxaax恒成立，

令2()1xgxx， 则222(11)(1)2(1)1()111xxxxgxxxx 11122(1)2011xxxx







，

当111xx，即0x时取等号， 2

∴max2()0agx，则0a. 当1x时，()ln0fxxax，即lnxax恒成立，

令()lnxhxx，则2ln1()(ln)xhxx， 当ex时，()0hx，函数()hx单调递增， 当0ex时，()0hx，函数()hx单调递减， 则ex时，()hx取得最小值(e)eh， ∴min()eahx， 综上可知，a的取值范围是[0,e].

故选C. 【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.

3．（2019浙江）已知,abR，函数32,0()11(1),032xxfxxaxaxx．若函数()yfxaxb恰有

3个零点，则 A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0

C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 【答案】C 当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x ， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点； 当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b， 2(1)yxax

，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意； 当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点， 3

在[0，+∞）上有2个零点， 如图：

∴ ＜0且 ＞ ＜ ， 解得b＜0，1﹣a＞0，b＞ （a+1）3， 则a>–1，b<0. 故选C． 【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30xy 223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx

所以切线的斜率0|3xky， 则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30xy． 【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线0xy的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 4

由4(0)yxxx，得241yx， 设斜率为1的直线与曲线4(0)yxxx切于0004(,)xxx， 由20411x得02x（02x舍去）， ∴曲线4(0)yxxx上，点(2,32)P到直线0xy的距离最小，最小值为22

232411.

故答案为4． 【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1) 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点00,Axy，则00

lnyx.

又1yx， 当0xx时，01yx， 则曲线lnyx在点A处的切线为0001()yyxxx， 即00ln1xyxx， 将点e,1代入，得00e1ln1xx， 即00lnexx， 考察函数lnHxxx， 当0,1x时，0Hx，当1,x时，0Hx， 5

且ln1Hxx， 当1x时，0,HxHx单调递增， 注意到eeH， 故00lnexx存在唯一的实数根0ex， 此时01y， 故点A的坐标为e,1.

【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 7．【2019年高考北京理数】设函数eexxfxa（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；

若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】1,0

首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用()0fx可得a的取值范围. 若函数eexxfxa为奇函数，则,fxfx即eeeexxxxaa， 即1e e0xxa对任意的x恒成立， 则10a，得1a.

若函数eexxfxa是R上的增函数，则() ee0xxfxa在R上恒成立， 即2exa在R上恒成立， 又2e0x，则0a， 即实数a的取值范围是,0.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明： 6

（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点； （2）()fx有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解+析；（2）见解+析.

（1）设()()gxf'x，则1()cos1gxxx，21sin())(1x'xgx.

当1,2x时，()g'x单调递减，而(0)0,()02g'g'，可得()g'x在1,2有唯一零点， 设为. 则当(1,)x时，()0g'x；当,2x时，()0g'x.

所以()gx在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()gx在1,2存在唯一极大值点，即()f'x在1,2存在唯一极大值点. （2）()fx的定义域为(1,). （i）当(1,0]x时，由（1）知，()f'x在(1,0)单调递增，而(0)0f'，所以当(1,0)x时，()0f'x，故()fx在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0x是()fx在(1,0]的唯一零点.

（ii）当0,2x时，由（1）知，()f'x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f'，

02f'，所以存在,2，使得()0f'，且当(0,)x时，()0f'x；当,2x



时，()0f'x.故()fx在(0,)单调递增，在,2单调递减.

又(0)=0f，1ln1022f，所以当0,2x时，()0fx.从而，()fx在0,2没有零点. （iii）当,2x时，()0f'x，所以()fx在,2单调递减.而02f，()0f，所以()fx

在,2有唯一零点.