2020年中考数学培优 专题讲义 第3讲 几何模型之双子型
第3讲 几何模型之双子型
模型讲解
【双等边类型】
△BCD ≌△ACE
△ABD ≌△ACE
△BOE ∽△COF
【双等腰直角类型】
△BCD ≌△ACE △BCE ≌△DCF
△ABD ∽△ACE
【一般情况】
基本条件:△ABC ∽△EDC ，连接AE 、BD 后,有△AEC ∽△BDC ，相似比为AC 边与BC 边之比。 可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。
【例题讲解】 例题1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0),以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB ,点C 为x 正半轴上一动点(OC ＞1),连接BC ，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD ,直线DA 交y 轴于点E ．
(1)△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；
(2)着点C 位置的变化，点E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E 的坐标；若有变化，请说明理由．
E
解：①全等．
理由：∵△AOB 和△CBD 是等边三角形，
∴OB ＝AB ，∠OBA ＝∠OAB ＝60°，BC ＝BD ，∠CBD ＝60°， ∴∠OBA ＋∠ABC ＝∠CBD ＋∠ABC ，即∠OBC ＝∠ABD ， 在△OBC 和△ABD 中， ∵
，
∴△OBC ≌△ABD （SAS ）． ②不变．
理由：∵△OBC ≌△ABD ， ∴∠BAD ＝∠BOC ＝60°， 又∵∠OAB ＝60°，
∴∠OAE ＝180°﹣∠OAB ﹣∠BAD ＝60°， ∴Rt △OEA 中，AE ＝2OA ＝2， ∴OE ＝
，
∴点E 的位置不会发生变化，E 的坐标为E （0，
）．
例题2、如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC ＝∠DAE ＝90°,AB ＝AC ＝2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ） A ．12 B ．2
2 C ．1 D ．2
解：设Q 是AB 的中点，连接DQ ，
O
E D
C
B
A
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE ，
∵AB ＝AC ＝2，O 为AC 中点， ∴AQ ＝AO ，
在△AQD 和△AOE 中，
，
∴△AQD ≌△AOE （SAS ）， ∴QD ＝OE ，
∵点D 在直线BC 上运动， ∴当QD ⊥BC 时，QD 最小， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝45°， ∵QD ⊥BC ，
∴△QBD 是等腰直角三角形， ∴QD ＝QB ， ∵QB ＝AB ＝1， ∴QD ＝
，
∴线段OE 的最小值是为．
故选：B ．
例题3、如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°,cosC ＝5
6,点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将
△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时, AE
BD 的大小有无变化？请仅就图2
的情况给出证明．
（图1） （图2）
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD ＝∠ACB ， ∴∠ECA ＝∠DCB ， 又∵
＝
＝
，
∴△ECA ∽△DCB ， ∴
＝
＝
；
【巩固练习】 1． 如图所示，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连接AD 、CE ，若∠BAD ＝39°,那么∠ACE ＝_______．
2.如图,△ABC 为等边三角形,AB ＝2,点D 为BC 边上的动点,连接AD ,以AD 为一边向右作等边△ADE ,连接CE
(1)在点D 从点B 运动到点C 的过程中,点E 运动的路径长为_________;
2)在点D 的运动过程中,是否存在∠DEC ＝60°,若存在,求出BD 的长,若不存在,请说明理由. (3)取AC 中点P ,连接PE ,在点D 的运动过程中,求PE 的最小值.
E
D
C B
A
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
3.在锐角△ABC 中，AB ＝4,BC ＝5,∠ACB ＝45°,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1,CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；
图1 图2
4.【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ,连结CN ．求证：BM ＝CN ． 【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变,(1)中结论BM ＝CN 还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ,AB ＝6,AC ＝4，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ,使顶角∠AMN ＝∠ABC ．连结CN ．试探究BM 与CN 的数量关系，并说明理由．
图1 图2 图3
5.如图，正方形ABCD 、BGFE 边长分别为2、1，正方形BGFE 绕点B 旋转，直线AE 、GC 相交于点H ． （1）在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中,∠AHC 的大小是否始终为90°,请说明理由； （2）连接DH 、BH ，在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中，求DH 的最大值；
E
D
C
B
A
C 1
A 1
C
B
A
B
C
A
A 1
C 1
A
B C M
N
N
M
C
B A
N
C
B A
备用图
6.如图1，已知点A (0,－3)和x 轴上的动点C (m ,0),△AOB 和△BCD 都是等边三角形．
（1）在C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC 的长度，请将它找出来，并说明理由．
（2）如图2，将△BCD 沿CD 翻折得△ECD ,当点C 在x 轴上运动时，设点E (x ,y ),请你用m 来表示点E 的坐标并求出点E 运动时所在图象的解析式． （3）在C 点运动的过程中，当m ＞
3时，直接写出△ABD 是等腰三角形时E 点的坐标．
图1 图2
【旋转构造双子型】
此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！
H
G F
E
D
C
B
A
【例题讲解】
例题4．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ＝3,CD ＝2,∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°,则BD 的长为_________．
解：作AD ′⊥AD ，AD ′＝AD ，连接CD ′，DD ′，如图： ∵∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAD ′＋∠CAD ， 即∠BAD ＝∠CAD ′， 在△BAD 与△CAD ′中，
，
∴△BAD ≌△CAD ′（SAS ）， ∴BD ＝CD ′，∠DAD ′＝90°， 由勾股定理得DD ′＝＝3，∠D ′DA ＋∠ADC ＝90°， 由勾股定理得CD ′＝＝
，
∴BD ＝CD ′＝．
故答案为：
．
【杂说】若用旋转,只需将△ADB 绕点A 顺时针旋转90°,连接DD ,再证明△ADD 是等腰直角三角形即可。 例题5.如图，在△ABC 中,∠ABC ＝60°,AB ＝2 3,BC ＝8，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰△ACD ,且∠
DAC ＝120°,则BD 的长为________.
D
C
B
A
解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ， 则∠BAE ＝120°，AB ＝AE ， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，
∴BP ＝AB ?cos ∠ABP ＝3，∠AEB ＝90°， ∴BE ＝2BP ＝6， 在Rt △BED 中，BD ＝＝10，
故答案为：10．
【巩固练习】 1．【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ,使AE ＝AB ,AD ＝AC ,∠BAE ＝∠CAD ,连接BD ,CE ,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由． 【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝7cm ,BC ＝3cm ,∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°,求BD 的长． （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．
图1 图2 图3
2.(1)如图1，已知△ABC ,以AB 、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ,连接BE 、CD ，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE ＝CD ；
（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD ＝3,BD ＝2,∠ABC ＝∠ACB
＝∠
E
D
B A
D
A
C B B C
A
D
ADB ＝45°,求BD 的长；
（3）如图3，四边形ABCD 中,∠BAC ＝90°,∠ADB ＝∠ABC ＝α,tanα＝4
3,BD ＝5,AD ＝12，求BD 的长．
图1 图2 图3
C B A
A
B C D
D
C
B A
参考答案
1.解：∵△ABC 和△BDE 均为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠DBE ＝60°，AB ＝BC ，BE ＝BD ， ∴∠CBD ＝60°，
∴∠ABD ＝∠CBE ＝120°， 在△ABD 和△CBE 中，，
∴△ABD ≌△CBE ，（SAS ） ∴∠AEC ＝∠ADB ，
∵∠ADB ＝180°﹣∠ABD ﹣∠BAD ＝21°，
∴∠AEC ＝21°，∴∠ACE ＝99°，故答案为：99°．
2.解：
(1)△ABD ≌△ACE 可得BD =CE ,E 的运动路径的长即D 的运动路径长，BC =2.
(2)∠DEC ＝60°相当于∠AEC =∠ADB =120°，即∠EDC =0°,此时点D 与点B 重合.因此不存在. (3)∠ACE =60°,当PE ⊥CE 时取最小值.PE =PC cos 60°=1
2.
3.解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B ＝∠ACB ＝45°，BC ＝BC 1， ∴∠CC 1B ＝∠C 1CB ＝45°，
∴∠CC 1A 1＝∠CC 1B ＋∠A 1C 1B ＝45°＋45°＝90°． （2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，
∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1， ∴
，∠ABC ＋∠ABC 1＝∠A 1BC 1＋∠ABC 1，
E
D
C
B
A
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1＝4，
∴S△CBC1＝；
4.（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，
∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．
5.解：（1）是，理由如下：
如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE＝∠BCG，
记AH与BC的交点为点P，
∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，
∴∠AHC＝∠ABC＝90°，
（2）DH≤DE+EG=BD=22
6.解：（1）连接AD，如图1所示．
A、D两点间的距离始终等于OC的长度．理由如下：
∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠OBC．
在△ABD和△OBC中，有，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD＝OC．
（2）过D作DF⊥y轴于F，连接BE，如图2所示．
由（1）可知△ABD≌△OBC，
∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°∴DF＝AD?sin∠DAF＝m，AF＝AD?cos∠DAF＝m，
∵A（0，﹣3），
∴D（m，m﹣3）．
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分．
∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），
∴点B（，﹣），
∴E（m﹣，m﹣）．
∵m﹣＝（m﹣），
∴点E在图形y＝x上运动．
（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），
∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，
△ABD为等腰三角形分三种情况：
①当AB＝AD时，有3＝m，
此时点E的坐标为（﹣，﹣）；
②当AB＝BD时，有3＝，
解得：m＝0（舍去），或m＝3，
此时点E的坐标为（3，3）；
③当AD＝BD时，有m＝，
解得：m＝（舍去）．
综上可知：在C点运动的过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）．
1.解：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝．
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，
又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE，
∵BC＝3，
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．
2.解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，
由勾股定理得：DE＝＝3，
∴∠EDA＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴EC＝BD，
在Rt△DCE中，EC＝＝＝，
∴BD＝EC＝；
（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，
∠DEA＝∠ACB，连接EC，
容易得到△DAE∽△BAC，
∴，即，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴，
在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，
∴∠EDC＝90°，
∵，AD＝12，
∴AE＝9，∠DAE＝90°，
∴DE＝＝15，
CE＝＝5，
由△EAC∽△DAB，
∴
BD＝．
浙教版初中数学中考培优题(含答案)
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人
人教中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含答案(1)
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为； （2）如图2，若31）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．
（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析. 【解析】 分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； 详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE≌△ACD， ∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF， ∴∠FBE=45°，
中考数学 专题 四边形培优试题
四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。
3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。
4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
中考数学培优专题复习相似练习题及答案
中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 【答案】（1）解：AC是⊙O的切线 理由：， ， 作于， 是的角平分线， ， AC是⊙O的切线 （2）解：连接， 是⊙O的直径， ,即 . . 又 (同角) ， ∽ ,
（3）解：设 在和中，由三角函数定义有： 得： 解之得： 即的长为 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的. 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC， 在中， ∵别是的中点， ∴EF∥AD， ∴ EF∥BC，
人教备战中考数学培优(含解析)之相似含详细答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1） 把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
中考数学总复习 培优专题精选经典题
专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1．(2016·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( ) A ．(x －3)2＝14 B ．(x －3)2＝4 C ．(x ＋3)2＝14 ．(x ＋3)2＝4 2．(2016·攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3 2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 3．(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( ) A ．－43 B.83 C ．－83 D.43 4．(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次， 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20 C ．20(1＋x )2＝28.8 D ．20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝28.8 5．(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．已知三角形两边的长是3和4，第三边长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 7．(2016·深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n － 1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A ．x 1＝4，x 2＝－4 B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝0 D ．x 1＝23，x 2＝－2 3 8．★关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m －2n ≤1，其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________． 10．方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为____________． 11．(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________． 12．(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________． 13．关于x 的反比例函数y ＝ a ＋4 x 的图象如图所示，A 、P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋1 4 ＝0的根的情况是______________． 14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析 1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是； （2）如果＝，那么＝； （3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明． 2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC． （1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF； （2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明． 3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD． （1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系； （2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明． 4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G． （1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；
（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF ＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF． （1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数； （2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？ 若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由． 6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点． （1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点； （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，
2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积
第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1 2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题： 如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； ②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． C B 1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b 由1y ＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3； （2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝ 1 2 ×3×2＝3（平方单位）；
②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x 2＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x 2＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得： 1 2 ×3×（－x 2＋3x ）＝3 化简得：x 2－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2， 将1x ＝1代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）． ∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）． 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）.
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
中考数学总复习培优专题精选经典题
初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）
中考数学二轮 旋转 专项培优易错试卷及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（17 5 ，3）；（3） 30334 - ≤S≤30334 + ． 【解析】 【分析】 （1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可； ②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题； （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中， ∵A（5，0），B（0，3），
∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD=22 AD AC -=4， ∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中， 由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°， 由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）． ②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA， ∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2， ∴m=17 5 ， ∴BH=17 5 ， ∴H（17 5 ，3）． （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=1 2 ?DE?DK= 1 2 ×3× （34 ） 30334 -
上海数学初三中考冲刺讲义5(几何证明)培优(教案)【陈玉婷】
志航教育学科教师辅导讲义 限速训练 一、选择题：：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分） 1．下列计算正确的是（ ） A ．422a a a =+； B ．236a a a =÷； C ．32a a a =?； D ．532)(a a =． 2．关于x 的方程2 10x mx --=根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实根； B ．有两个相等的实根； C ．没有实数根； D ．不能确定． 3．已知反比例函数1 y x =的图像上有两点),(11y x A ，),(22y x B ，且21x x <，那么下列结论中，正确的是（ ） A .21y y <； B .21y y >； C .21y y =； D .1y 与2y 之间的大小关系不能确定. 4．如果一组数据1a ，2a ，…，n a 的方差2 0S =，那么下列结论一定正确的是（ ） A ．这组数据的平均数0x =； B ．12n a a a == =； C ．120n a a a ====； D ．12n a a a << <． 5．若一个多边形的内角和等于900，则这个多边形的边数是（ ） A ．8； B ．7； C ．6； D ．5． 6．一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ） A ．是轴对称图形，但不是中心对称图形； B ．是中心对称图形，但不是轴对称图形； C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形； D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 二、填空题：：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分） 7．分解因式3 9x x -= ． 8．4的平方根 ．
2020年中考数学 专题培优 圆 解答题(含答案)
2020年中考数学专题培优圆解答题 1.如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C， E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若OB=BF，EF=4，求AD的长． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结 DE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：∠BDF=∠F； （2）如果CF=1，sinA=0.6，求⊙O的半径．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两 点． （1）求证：MD=MC； 4，求MC的长． （2）若⊙O的半径为5，AC=5 4.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点 E，过点E作EH⊥AB于H． （1）求证：△HBE∽△ABC； （2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．
5.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且 ∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD 相交于点G，且∠GAF=∠GCE （1）求证：直线CG为⊙O的切线； （2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH. ①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值. 6.如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是弧AB上的动点，且不与点A、C、B重合， 直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM． （1）若半圆的半径为10． ①当∠AOM=60°时，求DM的长； ②当AM=12时，求DM的长． （2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
中考数学专题--正方形经典题型(培优提高)
正方形的性质及判定 知识归纳 1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ①边的性质：对边平行，四条边都相等． ②角的性质：四个角都是直角． ③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用 例题讲解 一、正方形的性质 例1：如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且20 AE AF AF ⊥= ，，则BE的长为 F E D C B A 变式1：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若1 AG=，2 BF=，90 GEF ∠=?，则GF的长为． 正 方 形 菱形 矩形 平行四边形
变式2：将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 例2：如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =． E D C B A 变式1：如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证： AP EF =. F E P D C B A 例3：如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ?为等边三角形，那么DCP ∠= P D C B A 变式1：如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=?， 则CME CNF ∠+∠= ． N M F E D C B A
中考数学培优
中考数学培优 1.（江苏南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则 B、C两点的坐标分别是（） A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4） 2.（江苏南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A （2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（______,_____）． 3.（江苏扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（） A．B．C．D．﹣2 4.（江苏苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°， B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）
x y E 4C 3E 3C 2E 2E 1D 1C 1B 2A 3 A 2A 1 B 3B 1O A.3+318 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 5.（江苏苏州）如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止.已知△PAD 的 面积S （单位：错误！未找到引用源。） 与点P 移动的时间t （单位：s ）的函数关系式如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一 共用了________秒（结果保留根号） . (第6题） 6.（江苏泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在 这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是_________. 7.（江苏常州）如图，已知反比例函数y=（k 1＞0），y=（k 2＜0）．点A 在y 轴的正半 轴上，过点A 作直线BC ∥x 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B 和C ，连接OC 、 OB ．若△BOC 的面积为，AC ：AB=2：3，则k 1=___________，k 2=__________．
2019中考数学培优试题
2019级初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学二轮 旋转 专项培优 易错 难题附详细答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?<
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=?-?=?。 又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。 ∵∠BCE=150°，∴(180150) EBC 152 ?-?∠= =?。 而1 EBC 30152 α∠=?-=?。∴30α=?。 （1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2 α ?-∠= 。 ∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，∴DBC 60∠=?。 ∴180ABD ABC DBC 603022 αα ?-∠=∠-∠= -?=?-。 （2）由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，由AAS 证明△ABD ≌△EBC ，即可根据有一个角等于60?的等腰三角 形是等边三角形的判定得出结论。 （3）通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150) EBC 152 ?-?∠==?，由（1） 1 EBC 302α∠=?-，从 而1 30152 α?-=?，解之即可。 2．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式； （2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 142 y x =- +；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173．
中考数学培优讲义
专题复习之中档题3 考点分析： 一、一元二次方程： 三大陷阱：①a ≠0；②验△；③方程类型的分类讨论； 例：如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜ 12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜1 2 且k≠0 根与系数关系： 例、已知关于x 的方程2()10x a b x ab -++-=，1x 、2x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①12x x ≠；②12x x ab <；③222212x x a b +<+．其中正确结论个数是（ ） A 、0 B 、 1 C 、2 D 、 3 练习：1、若关于x 的一元二次方程0522 =-+x ax 的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l ），则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜3 B 、a ＞3 C 、a ＜-3 D 、a ＞-3 2、方程0120082006)2007(2 =-?-x x 的较大根为α，方程020******* =-+x x 的 较小根为β，则=-βα_______ 。 3、一元二次方程0422 =--x x 的两根为a 、b ，则=++-12 b a a ________ 4、对于一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）,下列说法： ①若a+c=0，方程02 =++c bx ax 必有实根；②若ac b 42 +＜0，则方程02=++c bx ax 一定有实数根；③若a-b+c=0,则方程02=++c bx ax 一定有两个不等实数根；④若方程 02=++c bx ax 有两个实数根，则方程02=++a bx cx 一定有两个实数根。其中正确的 是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、①③④ 5、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，)，若x 1、x 2是原方程的两根， 且|x 1－x 2|＝，则m=____. 6、有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l ，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程()()2x 2a 1x a a 30--+-=有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数 () 22y x a 1x a 2=-+-+的图象不经过点（1，0）的概率是 。