分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用

摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。

分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。

一、分类讨论的几个注意点

1. 明确分类讨论的对象

分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。

例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-?-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？

解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：

（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；

（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；

（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842

2=-+-k

y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4

②当64<

③当6=k 时，方程表示圆心在圆点的圆；

④当86<

⑤当8>k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．

解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的涵对参数k 进行分类。

2. 掌握分类讨论的标准

凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准。

例2、设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.

分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解. 解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=a

b ， ∴ b=2. ∴ 55

52

22==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率

为2=b

a ，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于2

55或.

3. 找准分类讨论的界点

将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“0”与“1”，如指数、对数的底a ，常分01两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论等等，具体的问题具体分析。

例3、解不等式()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a≠－12

) 分析：含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，故对参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12

分别加以讨论。 解：2a ＋1>0时，a>－12

； －4a<6a 时，a>0 。所以分以下四种情况讨论： 当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ；

当a ＝0时，x 2>0，解得：x≠0； 当－12

0，解得: x<6a 或x>－4a ； 当a>－12

时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a0时，x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x≠0；当－12

－4a ；当a>－12

时，6a

４. 分清分类讨论的“级别”

例4、解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()

解析：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>

（）当时，原不等式化为20110a a x x a

≠--<()()， ①若，则原不等式化为a x x a

<-->0110()()， 1011a a <∴< ，∴<>不等式解为或x a

x 11； ②若，则原不等式化为a x x a

>--<0110()()， （）当时，

，不等式解为i a a a x ><<<11111； ()ii a a

x 当时，，不等式解为==∈?111； ()iii a a x a 当时，

，不等式解为011111<<><<； 综上所述，得原不等式的解集为：

当时，解集为或a x x a x <<>??????

011；{}当时，解集为a x x =>01|； 当时，解集为0111<<<

a x x a ；当时，解集为a =?1； 当时，解集为a x a x ><

111。 这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1

a

谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

二、分类讨论的应用

1、集合中分类讨论问题

例5、（06全国II 卷）设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，数a 的取值围。

解析：由f （x ）为二次函数知0a ≠，

令f （x ）＝0解得其两根为121

1x x a a =-=+由此可知120,0x x <>

（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =，A B φ?≠的充要条件是23x <，

即1

3a 解得67a >； （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<，A B φ?≠的充要条件是21x >，即

11a >解得2a <-； 综上，使A B φ?=成立的a 的取值围为6(,2)(,)7

-∞-?+∞。

2、函数、方程中分类讨论问题

例6、函数y=sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx |tanx|＋|cotx|cotx

的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2，0,4} C.{-2，0，2，4} D.{-4，-2，0,4} 解析：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号，因此必须对角x 所在的象限进行讨

论.由题意可知x ≠k π2

(k ∈Z),

(1)当x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4；

(2)当x 在第二象限时，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；

(3)当x 在第三象限时，y=-1+(-1)+1+1=0；

(4)当x 在第四象限时，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2.

故值域为{-2,0,4},应选B.

3、数列中分类讨论问题

例7、已知}a {n 是首项为2，公比为2

1的等比数列，n S 为它的前n 项和 （1）用n S 表示1n S +； （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c

S c S k k 成立 解析（1）由=n S 4(1n 21-），得221)2

11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21

>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k

k S c S c 因为4)211(4<-

=k k S ，所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)， 故只要2

3<<-c 2S k k S ，（k ∈N *） 因为>+1k S k S ，(k ∈N *) ① 所以23≥-2S k 2

312S 1=- 又4S k <，故要使①成立，c 只能取2或3

当2=c 时，因为1S =2，所以当1=k 时，k S c <不成立，从而①不成立

当2k ≥时，因为c S >=-252232，由k S ＜1k S + (k ∈N *)得23<-2S k 2

31k S +–2

故当2k ≥时，2

3c >-2S k ，从而①不成立 当3=c 时，因为2S 1=，3S 2=，

所以当1k =，2k =时，k S c <不成立，从而①不成立

因为c S >=-4132233，又23<-2S k 2

32S 1k -+， 所以当3k ≥时，2

3>-2S k c ，从而①成立 综上所述，不存在自然数c ，k ，使21>--+c

S c S k k 成立 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在解决第2问时，先分析问题使问题得以转化，再运用分类讨论的思想方法，对双参数k ，c 轮流分类讨论，对解题者的逻辑思维能力要求较高。

4、解析几何中的分类讨论问题

例8、 在xoy 平面上给定曲线y 2＝2x ，设点A(a,0)，a ∈R ，曲线上的点到点A 的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。

分析：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x ≥0下的最小值问题，而引起对参数a 的取值讨论。

解：设M(x,y)为曲线y 2＝2x 上任意一点，则

|MA|2＝(x －a)2＋y 2＝(x －a)2＋2x ＝x 2－2(a －1)x ＋a 2＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)

由于y 2＝2x 限定x ≥0，所以分以下情况讨论：

当a －1≥0时，x ＝a －1取最小值，即|MA}2

min ＝2a －1； 当a －1<0时，x ＝0取最小值，即|MA}2min

＝a 2； 综上所述，有f(a)＝21a a -???

|| ()()a a ≥时时11< 。 本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a ，以及还有隐含条件x ≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d ＝f(a)的函数表达式。

5、不等式中分类讨论问题

例9、解关于x 的不等式：

a(x-1)x-2＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1

)(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣

a-2a-1)(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1

＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1

)∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1

， 当0

a-2a-1>2，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1

，2).