高三年级上学期期末考试文科数学试题及答案

高三年级上学期期末考试

文 科 数 学 试 题 卷

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注意事项：

1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．

2．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：

样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差 锥体体积公式

s = 13

V Sh =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh =

24πS R =，34

π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项符合题目要求的)

1、已知全集U =R ，集合{}

0322

≤--=x x x A ，{}|24B x x =<<，则集合=

?B A （ ）

A ．{}|14x x -≤≤

B ． {}|23x x <≤

C ． {}|23x x ≤<

D ．{}|14x x -<< 2、若复数2(23)(1)i z m m m =+-+-是纯虚数，则实数m 的值为

（ ）

A ．1

B ．3-或1

C ．3-

D ．1-或3

3、甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是

（ ）

A ．甲

B ．丙

C ．乙

D ．丁

4、已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则 （ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

5、2(sin cos )1y x x =+-是

（ ）

A ．最小正周期为2π的偶函数

B ．最小正周期为2π的奇函数

C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

6、设ABC △是正三角形，则以A B ，为焦点且过BC 的中点的双曲线的离心率为（ ） A ．21+

B ．31+

C ．

221+ D ．2

3

1+ 7、设x 、y 满足约束条件260,

260,0,x y x y y +-≥??

+-≤??≥?

则目标函数z x y =-的最大值是（ ）

A .3

B .4

C .6

D .0

8、设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

①若,,m n αα⊥?则m n ⊥；②若

,m n αα??，//,//m n ββ，则

//αβ；

③若,,,m n n m αβα

βα⊥=?⊥，则n β⊥；④若,,//

m m n ααβ⊥⊥，则//n β．

其中正确的命题为：

（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①②③

D ．②③④

9、四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面

ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图

所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为（ ） A.2

2

2S a = B. 22

2S a = C. 2

2

4S a = D. 22

3S a =

D

10、已知圆M ：()()22

4325,x y -+-=P 为圆M 上任意一点，则点P(x , y )到直线3x +4y +11=0的距离的最小值为 ( )

A. 4

B.12

C.7

D.2 11、已知流程图如右图所示, 该程序运行后,为使输出的 b 值为16，则循环体的判断

框内①处应填 ( ). A 、5 B 、4 C 、2 D 、3

12、 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x ∈[]11，-时 f (x) =x 2

,那么函数y = f (x) 的图像与

函数y =x lg 的图像的交点共有 （ ）

（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分)

13、已知向量),4,(),2,1(x =-=且,//则||+的值是___________. 14、曲线x x y 43

-=在点(1,3)-

处的切线倾斜角为__________

15、已知幂函数()y f x =的图象过点12? ??

，则2log (2)f =_______.

16、给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =?αα ②存在实数α，使2

3

cos sin =

+αα； ③函数)23sin(x y +=π是偶函数； ④8π=x 是函数)4

5

2sin(π+=x y 的一条对称轴方程；

⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；其中正确命题的序号是_______________．

三、 解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程) 17、（本题满分12分）

已知{}n a 是等差数列，其中37618,11a a a +==.

（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足()

1

2n n n b a n N -*=+∈　

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18、（本题满分12分）

某人居住在A 处，准备开车到B 处上班.若各路段发生堵车都是相互独立的，且

同一路段发生堵车最多只有一次，发生堵车的概率如图(例如: D C A →→算作两段:路段AC 发生堵车的概率为

31，路段CD 发生堵车的概率为4

1

)。 （Ⅰ）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使不堵车的概率最大；

（Ⅱ）求路线B F E A →→→中堵车不多于2次的概率.

19、（本题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2

PA AB ==，E F , 分

别为CD PB ,的中点，AE （Ⅰ）求证：AE ⊥平面PAB ． （Ⅱ）求三棱锥A PEF -的体积．

11题

B

20、( 本题满分12分)

已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，左焦点为F ，左准线与x 轴的交点为M ，

4=.

（Ⅰ）求椭圆的离心率

e

；

（Ⅱ）过左焦点F 且斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2-=?，求椭圆的方程.

21、（本题满分12分）

已知函数R m x m x m x x f ∈-+-=,)1(ln 2

1)(2

（Ⅰ）当2=m 时，求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）讨论)(x f 的单调性.

请考生在22、23、24两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做题时请写清题号。

22、（本题满分10分）【几何证明选讲】

如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ,D 是⊙O 上两点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，

CF =FG ．

求证：（Ⅰ）C 是弧 BD 的中点；

（Ⅱ）BF =FG ．

23、（本题满分10分）【坐标系与参数方程】

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．设点

O 为

坐标原点, 直

线42:2

x l y t ?=+????=??()t R ∈参数与曲线C 的极坐标方程为θ

θρcos 4sin 2=．

（Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；

（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于Ａ，Ｂ两点，求证：0=?OB OA ．

24、（本题满分10分）【不等式选讲】

已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ （Ⅰ）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；

（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。

数学参考答案及评分标准

第I 卷（选择题 共60分）

第I I 卷(非选择题共90分）

二、填空题（共4道小题，共20分）

13、5 14、34

π 15、

2

1

16、③④ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程)

17.（12分）

解：（Ⅰ）375218a a a +==，则59a =

652d a a =-=，11a =，所以21n a n =- ….6分 （Ⅱ）

()()()()()()()0110

1

1

212322121321222

21

n n n n

T n n n --=++++???+-+=++???+-+++???+=+-

….12分

18．（12分）解：记AEFB 表示B F E A →→→不堵车，其它类似.

（1）P (AEFB )=3

1546521=??， P (ACDB )=125654332=??，P (ACFB )=25

8

545332=??，

,31125> 25

8

125>， ∴B D C A →→→为最佳路线.

（2）堵车3次的概率60

1

516121=??=P ，

堵车不多于2次的概率60

5960111=-=-P .

19．（12分）

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴2AD CD AB ===．…………………1分

在ADE ?中，AE =，1DE =， ∴222AD DE AE =+． ∴90AED ∠=?，即AE CD ⊥．

又AB CD //， ∴AE AB ⊥．…………………2分 ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A =，

∴AE ⊥平面PAB ，………………………………………4分 又∵AE ?平面AEF ，

平面AEF ⊥平面PAB ． ………………………………6分 又AB CD //， ∴AE AB ⊥．

∵PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，

∴PA ⊥AE ． ………………………………………5分 又∵PA AB A =，

∴AE ⊥平面PAB ． ……………………………6分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，AE ⊥平面PAB ，所以，

AE 是三棱锥E APF -底面上的高，且AE …………7分

∵2PA AB ==

∴1

112212

22APF PAB S S ??==???=，…………………10分

∴13A PEF E APF APF V V S AE --?==?=11分

所以，三棱锥A PEF -． ………………12分

解法二：13A PEF P AEF AEF V V S PE --?==?=．

F

P

E A

D

C

B

20．(12分)

解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b +=，(,0)F c -，2

(,0)a M c -.

由OF OM 4=，有2

(,0)a c -=4(,0)c -. …………………………………3分 则有2

4a c c =，即2

2

14c a

=，∴1

2c a =. ……………………………………5分 （Ⅱ）设直线AB

的方程为)y x c =+.直线AB 与椭圆的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y .

由（Ⅰ）可得22

4a c =，223b c =.

由2223412,).x y c y x c ?+=??

=+?

? 消去y ，得22

111640x cx c +-=. ……………………………………8分

121611c x x +=-

，2

124

11x x c =-.

21212211),(),(y y x x y x y x OB OA +=?=?，

且12122()()y y x c x c ?=++=2

121222()2x x c x x c +++.

∴

2121232()22x x c x x c +++=-. ………………………………………………10分 即22

21232221111c c c -

-+=-. ∴21c =. 则24a =，2

3b =. 椭圆的方程为22

143x y

+=. ……………………………………………12分

（21）解（Ⅰ）m = 2, f(x) = 12

x 2

－2lnx+x 定义域{x| x>0}

f '(x) = x －2x +1 = x 2+x －2x = (x+2)(x －1)

x

……………………2分

当0

x

< 0

∴f(x) 在(0, 1) 上单调递减

当 x>1 f '(x) =

(x+2)(x －1)

x

> 0

∴f (x) 在(1, +∞) 上单调递增 ………………………………………3分 ∴当 x = 1， f(x)有最大值 f(x)

max

= f(1) =

3

2

……………………4分

（Ⅱ）f '(x) = x －

m x +m －1 = x 2+(m －1)x －m x = (x+m)(x －1)

x

∵x > 0 ①当 m ≥0, x+m>0

当0< x<1, f ' (x) < 0 ∴f (x)单调减区间是(0, 1)， 单调增区间(1, +∞)……5分

②当－1 < m< 0 时 0<－m < 1

当x ∈ (0, －m), f ' (x) > 0 当 x ∈(－m, 1), f ' (x) < 0 当 x ∈ (1, +∞) , f ' (x) > 0

∴f (x)增区间是(0, －m), (1, +∞)，减区间是(－, 1) ……………8分

③当 m = －1时，f ' (x) =

(x －1)2

x ≥0 恒成立

∴f (x) 单调增区间 (0, +∞) ……………………………………………9分 ④当m < －1时，当 x ∈(0, 1), f ' (x) > 0，当 x ∈ (1, －m), f ' (x) < 0

当 x ∈(－m, +∞), f ' (x) > 0

∴f (x)单调递增区间(0, 1), (－m, +∞)，单调递减区间(1, －m)…12分 22、（ 10分） 证明：（Ⅰ） ∵CF=FG

∴∠GCF =∠CGF ∵AB 是⊙O 的直径

∴AC ⊥BD 又CE ⊥AB

∴∠GCF =∠ABC=∠CBD+∠GBA 又∠GCF=∠A+∠GBA ∴∠CBD=∠A

∴BC=CD 即C 为弧 BD 的中点----6分 （Ⅱ）由（Ⅰ） ∠CBD=∠A=∠BCF

∴BF=CF 又CF=FG ∴BF=FG -------10分 23．（ 10分）

（I ）直线l :4,y x =- 曲线C ：24y x =, ……………５分

（II ）设1122(,),(,)A x y B x y ,由24,4,y x y x ?=?=-?消去y 得212160,x x -+=

121212,16,x x x x ∴+== …………………７分 ∴y 1y 2=（x 1-4）（x 2-4）=x 1x 2-4（x 1+x 2）+16

∴=?OB OA x 1x 2+ y 1y 2= 2x 1x 2-4（x 1+x 2）+16=0． …………………10分

24．（ 10分）

解：（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。 当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞； 当1a >时，不等式的解集为R ；

当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者

3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞。………（5分）

（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。 由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。

所以m 的取值范围是(,5)-∞。…….（10分）