广东省高中数学必修一教案：对数函数及其性质

广东省高中数学必修一教案：对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ．2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x ．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象与性质要点诠释：关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0.要点三、底数对对数函数图象的影响1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)要点四、反函数1．反函数的定义设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1()y f x -=（,x B y A ∈∈）的形式．函数1()x f y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1f -．由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y f x -=的定义域．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．【典型例题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log 0,1)a y a a =>≠；（2）2log 2;y x =+（3）28log (1)y x =+；（4）log 6(0,1)x y x x =>≠；（5）6log y x =．【答案】（5）【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x ，二非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数．【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为；(2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y =()2lg 23y x x =+-. 【答案】（1）(1，23) (23，2)；（2）(()[),115,32,-∞----+∞．【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠->->-1)1(log 0)1(log 012121x x x ， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2).（2）由22240,230,lg(23)0,x x x x x ⎧-≥⎪+->⎨⎪+-≠⎩得22,31,1x x x x x ⎧≤-≥⎪<->⎨⎪≠-±⎩或或故所求定义域为(()[),115,32,-∞----+∞．类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5；(3)2log 5与7log 5；(4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log 3.6log 8.9<；解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且3.6<8.9，所以33log 3.6log 8.9<；(2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且 1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>；(3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>．(4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==>36log 5log 4∴>(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log 4.2log 4.8a a <当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a > 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令1log 4.2a b =，则1b a =4.2，令2log 4.8a b =，则24.8b a =， 当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8，所以，b 1<b 2，即log 4.2log 4.8a a <当时01a <<，x y a =在R 上是减函数，且4.2<4.8所以，b 1>b 2，即a a log 4.2>log 4.8.【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．例4．利用对数函数的性质比较0.23、3log 2、5log 4的大小．【答案】0.235log 4>>3log 2 【解析】0.231>，3log 21<，5log 41<，∴只需比较3log 2与5log 4的大小即可 3222952222log 2log 5log 5log 5log 51log 4log 3log 42log 3log 9====< ∴3log 2<5log 4∴0.235log 4>>3log 2 【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于12342345<<<的一个结论，2345log 1log 2log 3log 4<<<，得出三个数的大小．举一反三：【变式1】 已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】 C 【解析】另2log 3.4m =，4log 3.6n =，310log 3l =，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得m l n >>又∵5x y =为单调递增函数，∴ a c b >>故选C .例5．求函数212log (21)y x x =-++的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式2210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数221t x x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．【答案】[-1，+∞)；增区间为1,1⎡+⎣；减区间为()1．【解析】设221t x x =-++，则2(1)2t x =--+.∵ y=12log t 为减函数，且02t <≤，∴ 12log 21y ≥=-，即函数的值域为[-1，+∞).再由：函数212log (21)x x -++的定义域为2210x x -++>，即11x <<∴ 221t x x =-++在()1上递增而在1,1⎡+⎣上递减，而y=12log t 为减函数.∴ 函数212log (21)y x x =-++的增区间为1,1⎡⎣，减区间为()1.【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即log ()a y f x =型；另一类是内函数为对数函数，即(log )a y f x =型．对于log ()a y f x =型的函数的单调性，有以下结论：函数log ()a y f x =的单调性与函数()u f x =[]()0f x >的单调性，当1a >时相同，当01a <<时相反．研究(log )a y f x =型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．举一反三：【变式1】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间．【答案】[)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞．【解析】设24t x =+，则244t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222l o g l o g (4)l o g 42t x ∴=+≥= ()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．再由：22log (4)y x =+的定义域为R24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而2log y t =为增函数∴ 函数y=22log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.类型四、函数的奇偶性例6. 判断下列函数的奇偶性.(1)2-()ln ;2x f x x=+ (2)())f x x =. 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。