离散数学第二章一阶逻辑

(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
(2)由于p→(q→p)⇔￢p∨(￢q∨p) ⇔1为重言式, 而原公式∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))是该重言式的 代换实例,因而是逻辑有效的. (3)由于p→(p∨q)⇔￢p∨(p∨q) ⇔1为重言式 而原公式∀xF(x)→(∀xF(x)∨∃yG(y))是该重言式的代换 实例,所以是逻辑有效的. (4)由于￢(p→q)∧q⇔(p∧￢q)∧q⇔0是矛盾式, ⇔ ⇔ 而原公式￢(F(x,y)→R(x,y))∧R(x,y)是该矛盾式的代 换实例,故是矛盾式. (5)取解释I如下:1)个体域为自然数集合N;2)F(x,y)为x=y 为此∀x∃yF(x,y)→∃x∀yF(x,y),有前件∀x∃yF(x,y)为真, 后件∃x∀yF(x,y)为假;故原公式为矛盾式; 又取解释I如下:2)F(x,y)为x≤y; 前件∀x∃yF(x,y)为真,后 件∃x∀yF(x,y)为真;公式为重言式;故原公式为可满足式
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一.合式公式(谓词公式) 1.原子公式:设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词,t1,t2,…,tn是 项, R(t1,t2,…,tn)为原子公式. 2.合式公式定义如下: (1)原子公式是合式公式; (2)若A是合式公式,则(￢A)也是合式公式; (3)若A,B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也 是合式公式. (4)若A是合式公式,则∀xA,∃xA也是合式公式; (5)只有有限次地应用(1)-(4)构成的字符串才是合式公式, 也称为谓词公式,并简称为公式.
解: 设(1),(2),(3)中公式分别为A,B,C,在解释I下: (1)A⇔(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2))⇔(0∧1)∧(1∧1)⇔0 (2)B⇔(F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3)∧G(3,f(3))) ⇔(F(3)∧G(2,3))∨(F(2)∧G(3,2))⇔(1∧1)∨(0∧1)⇔1 (3)C⇔(L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3))⇔1∧1⇔1
2.1一阶逻辑的基本概念 2.1一阶逻辑的基本概念
个体常项:表示具体的或特定的个体的词(用a,b,c,…表示). 个体变项:表示抽象的或泛指的个体的词(用x,y,z,…表示). 个体域(论域):个体变项的取值范围. 全总个体域:宇宙间的一切事物组成的个体域. 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词(用F,G,H,…表示). 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词(用F,G,H,…表示). 在谓词中所包含的个体词数,含n(n≥1)个个体词的谓词称为n元 谓词.一元谓词是表示个体词性质的,n(n≥2)元谓词是表示个体 词之间关系的.有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词. 个体变项x具有性质F,记作F(x),个体变项x,y具有关系L,记作 L( ∀x∀y(R(x,y)∨L(y,z))∧∃xH(x,y)改为 ∀x∀y(R(x,y)∨L(y,z))∧∃tH(t,w); 可知x,y为指导变项,量词的辖域为(R(x,y)∨L(y,z)),x,y 为约束出现,z为自由出现;t为指导变项,∃的量词辖域为 H(t,w),t为约束出现,w为自由出现,此公式为非闭式.
第2章一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
2.3 一阶逻辑等值式
名词与术语
一阶逻辑(谓词逻辑):对简单命题分析出其中的个体词,谓词, 量词等,研究他们的形式结构及逻辑关系,总结出正确的推理 形式和规则. 简单命题被分解成个体词和谓词两部分. 个体词:是指可以独立存在的客体,它可以是一个具体的事物, 也可以是一个抽象的概念.(名词或代词). 谓词:是用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词. 量词:表示数量的词,表示存在性的量词称为存在量词,用“∃” 表示,表示全局性的量词称为全程量词,用“∀”表示.
例2.6指出下列各合式公式中的指导变项,量词的辖域, 个体变项的自由出现和约束出现. (1) ∀x(F(x)→∃yH(x,y)); (2) ∃xF(x)∧G(x,y); (3) ∀x∀y(R(x,y)∨L(y,z))∧∃xH(x,y) 解: (1) ∃yH(x,y)中, y为指导变项, ∃的辖域为H(x,y),其 ∃ ∃ 中y是约束出现的,x是自由出现.整个合式公式中,x是指导变 项, ∀的辖域(F(x)→∃yH(x,y)),x,y都是约束出现的,x约束 出现2次,y约束出现1次. ∀ ∀x(F(x)→∃yH(x,y))为闭式. ∃ (2)利用换名规则,将∃xF(x)∧G(x,y)改为 ∃zF(z)∧G(x,y); 可知:z为指导变项, ∃的辖域F(z),z为约束出现,x,y为自 由出现,此公式为非闭式. 或利用代替规则将∃xF(x)∧G(x,y)改为 ∃xF(x)∧G(z,y).
例2.1 将下列命题用0元谓词符号化 (1)2是素数且是偶数. (2)如果2大于3,则2大于4. (3)如果张明比李民高,李民比赵亮高,则张明比赵亮高. 解: (1)设F(x):x是素数; G(x):x是偶数; a:2; 则命题符号化为F(a)∧G(a). (2)设L(x,y):x大于y; a:2; b:3; c:4; 则命题符号化为L(a,b) →L(a,c). (3)设H(x,y):x比y高; a:张明; b:李民; c:赵亮; 则命题符号化为H(a,b)∧H(b,c) →H(a,c).
二.公式的解释 1.特定解释:一个解释I由下面4部分组成: (1)非空个体域D; (2)D中一部分特定元素; (3)D上一些特定的函数; (4)D上一些特定的谓词; 注)若D={a1,a2,…,an},对于任意的谓词A(x)都有 (1) ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧… ∧A(an) (2) ∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨ … ∨A(an)
3.指导变项,辖域,约束出现和自由出现 在合式公式∀xA和∃xA中,称x为指导变项,称A为相应量 词的辖域,在辖域中,x的所有出现称为约束出现;A中不是 约束出现的其他变项的出现称为自由出现. 4.封闭的合式公式(闭式) 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是封闭 的合式公式,简称闭式. 注)闭式在任何解释下都是命题. 5.换名规则和代替规则 换名规则:将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及 对应的指导变项,改成另一个辖域中未曾出现过的个体变项符 号,公式中其余部分不变. 代替规则:对自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变 项符号不同的变项符号去代替,且处处代替.
例2.8 给定解释N如下: 1)个体域为自然数集合DN, 2)DN中特定元素a=0,
3)DN上特定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y 4)DN上特定谓词F(x,y)为x=y 在解释N下,下面哪些公式为真,哪些公式为假? (1) ∀xF(g(x,a),x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) ∀ ∀ ∃ (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) (4) ∀x∀yF(f(x,y),g(x,y)) ∀ ∀ (5)F(f(x,y),f(y,z)) 解: 在解释N下,公式分别化为 (1) ∀x(x*0=x) 假命题
例2.4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡偶数均能被2整除; (2)存在着偶素数; (3)没有不犯错误的人; (4)在北京工作的人未必都是北京人. 解: 在本题中,没指定个体域,因而取个体域为全总个体域. (1) 设F(x):x是偶数,G(x):x被2整除; 则∀x(F(x)→G(x)); (2) 设F(x):x是偶数,G(x):x是素数; 则∃x(F(x)∧G(x)); ∃ (3) 设M(x):x是人,G(x):x犯错误，则￢∃x(M(x)∧￢G(x)); 或∀x(M(x)→G(x)); (4) 设F(x):x在北京工作的人, G(x):x是北京人; 则命题符号化为∃x(F(x)∧￢G(x))或￢∀x(F(x)→G(x));