2020年高中数学必修一第二章函数学案课时8：函数的概念和图像(1)(苏教版)
2019-2020学年高中数学 第二章《第1课时 函数的概念》导学案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学第二章《第1课时函数的概念》导学案苏教版必修11.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢?从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.问题4:如何求函数的定义域?函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示.求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为;②偶次根式的被开方数;③0次幂的底数不能为;④实际问题中定义域要由确定.1.四个函数:①y=x+1;②y=x3;③y=x2-1;③y=.其中定义域相同的函数有.2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.3.已知f(x)=2x+1,则f(5)=.4.已知函数f(x)=-.(1)求函数的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.对函数概念的考查(1)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是.(2)下列函数中,与函数y=x+1相等的函数是.①y=(x+1)0;②y=t+1;③y=()2;④y=|x+1|.函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:(1)f(x)=;(2)f(x)=(a为不等于0的常数).判断下列各组函数是否表示相等函数.(1)f(x)=与g(x)=;(2)f(x)=与g(x)=1;(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);(4)f(x)=与g(x)=()2.已知函数f(x)=x2+|x-2|,求f(1)和f(x2+2).求下列函数的定义域.(1)y=+;(2)y=.1.函数y=的定义域是.2.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则R(A∩B)=.3.把下列集合用区间表示出来.(1){x|≥0}=;(2){x|-2≤x<8且x≠1}=.4.已知f(x)=,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).(2013年·陕西卷)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为().A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)考题变式(我来改编):第二章函数第1课时函数的概念知识体系梳理问题1:函数关系问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A自变量定义域函数值值域问题3:(1)①非空数集②唯一确定定义域对应关系值域(2)定义城对应关系定义域对应关系问题4:①0②非负③0④实际意义基础学习交流1.①②③①②③的定义域都是R,④的定义域是{x∈R|x≠0}.2.(,+∞)由题意,得3a-1>a,则a>.3.11f(5)=2×5+1=11.4.解:(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,即x≥-4且x≠1.即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=-=-3-;f(12)=-=-4=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知③中的图象不表示y是x的函数.(2)①③选项中定义域与y=x+1不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)③(2)②【小结】(1)给定图象判断是否为函数关系时,可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.思维拓展应用应用一:(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.应用二:f(1)=12+|1-2|=2.f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.应用三:(1)为使函数式有意义,则有解得即x>-2,且x≠3.故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足即解得x<0且x≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).基础智能检测1.{x|x≠0}要使函数有意义,需满足x≠0,用集合表示为{x|x≠0}.2.(-∞,3)∪[7,+∞)∵A∩B=[3,7),∴R(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).3.(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)4.解:f(2)==,g(2)=22+2=6,故f(g(2))=f(6)==.全新视角拓展D∵1-x2≥0,即x∈[-1,1],∴f(x)的定义域M=[-1,1],则RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).思维导图构建唯一定义域、值域、对应法则定义域对应关系。
2019-2020年苏教版高中数学必修1： 2-1-1 函数的概念 教案
2019-2020年苏教版高中数学必修1： 2-1-1 函数的概念 教案【教学目标】1．让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应，了解构成函数的三要素； 2．使学生理解函数概念及函数符号f (x )的意义 3．会求一些简单函数的定义域、值域． 【教学重点】函数概念的形成，正确理解函数的概念. 【教学难点】发展学生的抽象思维能力，使学生理解函数概念的本质． 【难点突破】1．让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域、值域的求解过程，渗透归纳推理；2．通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，体验函数思想，通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美． 【教学方法】探究式． 【教学手段】多媒体PPT 与板书相结合． 【教学过程】一、创设情境，引入课题同学们，我是江苏省苏州实验中学一名教师，昨天下午14:00点我怀着激动的心情，亲自驾车从我工作的学校历经80公里来到这里，也就是张家港高级中学报到．在此过程中，我和张家港高级中学的距离随时间是如何变化的？数学上可以用 来描述这种运动变化中的数量关系．（函数）二、回忆旧知，引出困境我们在初中学过函数，请举出初中学过的函数．问题一：你能具体给出一些初中学过的函数吗？ (y ＝3x ，y ＝2x ，y ＝x 2等)问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么？在一个变化过程中，有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量．问题三：y ＝0 (x ∈R)是函数吗？（先请学生回答，有很大的可能会形成两种意见．对两种意见展开讨论，让学生说明自己的判断理由，形成认知冲突．）其实，利用初中所学的函数知识很难回答这个问题．为此我们还需要进一步研究函数的概念．（PPT 打出课题，老师板书课题）三、分析实例，形成概念在丰富多彩的现实生活中，我们可能会遇到下列实际问题．实例1 一物体从490 m 高空由静止开始下落到地面，下落的距离y （m ）与下落时间x（s ）之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2．（1）若物体下落2 s ，你能求出它下落的距离吗？（2）在此例中，x （s ）的范围是什么？y （m ）的范围是什么？事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，而人口数量的变化趋势也将直接影响我国各种政策的制定．表1给出了改革开方以来我国人口变化的情况．实例2 从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至2011年人口数据资料如表1所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？的气温变化图．实例3 图1为某市一天24小时内的气温变化图.（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ （2）在什么时刻，气温为0℃？（3）在什么时段内，气温在0℃以上？ 问题四：实例一、二、三在呈现形式等方面有什么不同？问题五：实例一、二、三有什么共同的特点？（让学生充分讨论，在老师的引导下找出以下共同点：①都有两个非空数集A 、B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应.）满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（函数，请学生根据前面概括的共同特征，拟定函数的新定义，老师做必要补充．）函数的概念：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数（function ），通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域（domain ），将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域（range ）．四、结合典例，理解概念 这样我们容易判断，前面的三个实例都表示两个集合间的函数关系．我们回头再想问题三．再看问题三：)(0R x y ∈=是函数吗？为什么？图1（是，完全满足函数的定义，请同学们指出集合A 、B 及对应法则f ．） 下面我们先来看两个例题：例1 判断下列对应是否为函数：（1）x → 2x ，x ≠0,x ∈R ；（2）x → y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ．分析：判断对应是否构成函数的依据只有定义，所以我们只要判断是否满足定义即可．解 （1）对于任意一个非零实数x ，2x 被x 惟一确定，所以当x ≠0时x → 2x 是函数，这个函数也可表示为f(x)＝2x （x ≠0）．变题1：x → 2x ，x ∈R ； （不是，不满足任意性）变题2：x → 2x ，x ∈{x ∈R|x 2＋1＝0} （不是，不满足集合A ，B 的非空性）（2）考虑输入值为4，即当x ＝4时输出值y 由y 2＝4给出，y ＝2和y ＝－2．这里一个输入值与两个输出值对应（不是单值对应），所以，x → y （y 2＝x ）不是函数．由此看来，判断对应是否为函数对应，关键是依据定义，请同学们再审视定义，完成问题六．问题六：函数概念中的关键词是什么？请用简洁的语言说明．（通过交流得出以下几点：①A 、B 都是非空的数集；②任意性与唯一性；③确定的对应关系，对应关系f 可以以解析式、图象、表格等形式呈现．）这样，函数概念里展现出对应有非空、任意、惟一等三个关键性用词。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数的概念和图象(第2课时)函数的值域及图象教案 苏教版必修1
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2。
1函数的概念和图象第二课时 函数的值域及图象（预习部分）教学目标1．理解函数图象的意义； 2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；4．从“形”的角度加深对函数的理解．教学重点1. 会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2. 能求一些简单函数的值域。
教学难点1。
会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2. 掌握求函数的函数值，掌握函数值域的几种常用求法．四．教学过程(一）创设情境，引入新课见必修一教材第23页实例3.（二）推进新课1．函数图象的定义：将函数()()y f x x A =∈自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ．当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},|x f x x A ∈，即()(){},|,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．注意：函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系是：函数()y f x =的图象在2．几个基本函数的图象 函数图象 常数函数()()f x a a R =∈一次函数()()0f x kx b k =+≠二次函数()()20f x ax bx c a =++≠反比例函数()()0k f x k x =≠3. 函数的值域：若集合A 是函数()y f x =的定义域,则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之一一对应,我们将所有输出值y 组成的集合叫做函数()y f x =的值域（range ）．（三）预习巩固见必修一教材第26页练习5,7；第30页1练习1,2.函数的图象及值域（课堂强化）（四）典型例题题型一 函数概念辨析【例1】.下列图象中,表示函数关系()y f x =的有 ．①② ③④题型二 画下列函数的图象【例2】。
2020学年高中数学第2章函数2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时单调性学案苏教版必修1
第1课时 单调性1.了解函数单调性的实际背景．2.理解函数单调性及几何意义．3.掌握判断或证明函数单调性的方法．[学生用书P24]单调增(减)函数、单调增(减)区间一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .(1)如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数，I 称为y ＝f (x )的单调增区间．(2)如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调减函数，I 称为y ＝f (x )的单调减区间．(3)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( ) (2)已知函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案：D3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12答案：C4．函数f (x )＝x 2＋2x ＋1的单调递减区间是__________． 答案：(－∞，－1]求函数的单调区间[学生用书P25]画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间． 【解】y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4，x <0.函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．(1)利用函数图象确定函数的单调区间，具体作法是先化简函数式，然后再画出它的图象，最后根据函数定义域和图象的形状，确定函数的单调区间．(2)一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示． (3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集．1.(1)如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4，7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是__________．(2)求函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．解：(1)由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]． 故填[－1.5，3]和[5，6]．(2)y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，由图象可得其单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[1，3]．定义法判断或证明函数的单调性[学生用书P25]证明：函数f (x )＝2x 2＋4x 在(－∞，－1]上是单调减函数.【证明】 任取x 1，x 2∈(－∞，－1]，且x 1<x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 21＋4x 1)－(2x 22＋4x 2) ＝2(x 21－x 22)＋4(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)． 因为x 1<x 2≤－1，所以x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(－∞，－1]上是单调减函数．利用定义证明函数单调性的步骤2.证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2.因为2＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．利用函数的单调性求参数的取值范围[学生用书P26]已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围． 【解】 因为f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， 所以f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． 因为f (x )在(－∞，4]上是减函数，所以对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． 所以1－a ≥4，解得a ≤－3.本例中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解：由本例知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， 所以1－a ＝4，a ＝－3.(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)或方程，解不等式(组)或方程可求得参数的取值范围．3.已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上具有单调性，求实数a 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．x 1，x 2的三个特征(1)任意性，即x 1，x 2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换； (2)有大小，即确定的两个值x 1，x 2必须区分大小，一般令x 1＜x 2； (3)同属一个单调区间．2．理解函数的单调性应注意的问题(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，则x 的取值范围为________．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.①因为f (x )是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，所以x －2＜1－x ， 解得x ＜32.②由①②得1≤x ＜32.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32(1)本题易忽视函数的定义域为[－1，1]，直接利用单调性得到不等式x －2＜1－x ，从而得出x ＜32的错误答案．(2)解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f ”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f (x 1)＜f (x 2)，有x 1＜x 2；若函数y ＝f (x )在区间D 上是减函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f (x 1)＞f (x 2)，有x 1＜x 2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域.1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定．2．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为__________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0.答案：(－3，0)3．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调性．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调递增区间为[2，＋∞)．[学生用书P93(单独成册)])[A 基础达标]1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1，4]上单调递增C ．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D ．函数在区间[－5，5]上没有单调性解析：选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|解析：选B.y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x ＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y ＝x 2＋1在(0，2)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减解析：选C.y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x ＜－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数， 在[－2，0]上为增函数．4．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)<0 B ．增函数且f (0)<0 C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，则f (x )＝bx ＋a 在R 上为减函数且f (0)＝a <0，故选A. 5．若函数f (x )在R 上单调递增，则f (x 2－2x )与f (－1) 的大小关系为( ) A ．f (x 2－2x )≥f (－1) B ．f (x 2－2x )≤f (－1) C ．f (x 2－2x )＝f (－1)D ．不能确定解析：选A.因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 又函数f (x )在R 上单调递增， 所以f (x 2－2x )≥f (－1)．故选A.6．已知函数f (x )为R 上的单调减函数，若f (a 2＋2a －1)＝f (3－a )，则a ＝________． 解析：由题意，f (a 2＋2a －1)＝f (3－a )，则a 2＋2a －1＝3－a .所以a 2＋3a －4＝0，所以a ＝1或－4.答案：－4或17．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是__________．解析：由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数，又因为－3>－π，所以f (－3)>f (－π)．答案：f (－3)>f (－π)8．若函数f (x )＝|(x －1)(x －a )|(a >1)的一个单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －a ），x ≤1或x ≥a ，－（x －1）（x －a ），1<x <a ，其图象如图所示．它的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a ＋12和[a ，＋∞)． 所以[a ，＋∞)＝[3，＋∞)，所以a ＝3. 答案：39．证明：函数f (x )＝－x 在定义域上是单调减函数． 证明：易知f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)． 设x 1，x 2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝－x 2－(－x 1)＝x 1－x 2＝ （x 1－x 2）（x 1＋x 2）x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2 .因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )＝－x 在[0，＋∞)上是单调减函数．10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有f (x ＋d )＜f (x )，求满足f (1－a )＜f (2a －1)的a 的取值范围．解：令x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. 因为对任意的正数d ，都有f (x ＋d )＜f (x )， 所以f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＜f (x 1)． 所以函数y ＝f (x )是减函数． 又因为f (1－a )＜f (2a －1)， 所以1－a ＞2a －1， 解得a ＜23.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. [B 能力提升]1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0”的是________(填序号)．①f (x )＝2x； ②f (x )＝－3x ＋1；③f (x )＝x 2＋4x ＋3; ④f (x )＝x ＋1x.解析：由题意f (x )在(0，＋∞)上为增函数，函数f (x )＝2x及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f (x )＝x 2＋4x ＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③.答案：③2．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0，2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是________．解析：由于f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (2)>f (0)，解得a <0.又因f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a2a＝2.所以f (x )在[0，2]上的值域与在[2，4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.答案：[0，4]3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，求a 的值．解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增．所以－a2＝3，所以a ＝－6.4．(选做题)已知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )>0，f (3)＝1.判断g (x )＝f (x )＋1f （x ）在(0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明．解：函数g (x )在(0，3]上是减函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，3]，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x 1）＋1f （x 1）－⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x 2）＋1f （x 2）＝[f (x 1)－f (x 2)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x 1）－1f （x 2）＝[f (x 1)－f (x 2)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1f （x 1）f （x 2）. 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)<0. 又因为f (x )>0，f (3)＝1， 所以0<f (x 1)<f (x 2)≤f (3)＝1. 所以0<f (x 1)f (x 2)<1，所以1f （x 1）f （x 2）>1，1－1f （x 1）f （x 2）<0.所以g (x 1)－g (x 2)>0，所以函数g (x )＝f (x )＋1f （x ）在(0，3]上是减函数．。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数的概念和图象(1)学案(无答案)苏教版必修1(2021年整
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函数的概念和图象（1）【学习目标】1． 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型,理解函数概念； 2． 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域,会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域 。
【课前导学】一、复习回顾下列函数你认识吗?1）21y x =+ 2）221y x x =++ 3)1y x= 初中时候函数的定义：_________________________________________思考: y=1(x ∈R ）是函数吗？二、问题情境阅读课本23页的问题（1）、(2)、（3），并分别说出对其理解（1）这一变化过程中，有哪几个变量?(2）这几个变量的范围分别是多少？（3)如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点？【课堂活动】一、建构数学：一般地，设A ．B 是两个_____的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的______元素x ，在集合B 中都有_______的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数（function),通常记作__________，其中，______________定义域（domain ）,对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域(range)．定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1)函数作为一种数学模型,主要用于刻画两个变量之间的关系；（2）函数的本质是一种对应；（3）y=f （x ）不一定是解析式,在不少问题中,对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研究函数时,除用符号f （x)表示外，还常用g （x)．F （x)．G(x)等符号来表示；(4)对应是建立在A 、B 两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f （x )＝2x ，(x ＝0)注意：f(a ）是常量，f （x ）是变量，f(a ）是函数f(x ）中当自变量x=a 时的函数值．二、应用数学:例1 判断下列对应是否为函数：（1）1,0,x x x R x→≠∈； (2)x y →，这里2,,y x x N y R =∈∈．小结：练习: P26 3、4例2下列各组函数中，是否表示同一函数?为什么？A ．y ＝x 与y ＝（错误!)2； B ．y ＝错误!与y ＝错误!；C ．y ＝2x －1（x ∈R ）与y ＝2t －1（t ∈R)；D ．y ＝错误!·错误!与y ＝错误!小结：练习：同步练习P17例题3例3已知函数1 ()32f x xx=+++,（1）求函数的定义域（2）求2(3),()3f f-的值；（3）当a>0时，求(),(1)f a f a-的值．小结：练习：同步练习P17例题2例4＊。
2019-2020学年高中数学第二章函数2.1.1函数的概念和图象2学案苏教版必修.doc
2019-2020学年高中数学第二章函数2.1.1函数的概念和图象2学案苏教版必修一、教学重难点：会画一些基本函数图象二、新课导航1．问题展示函数)(x f y =图象定义：将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点________。
当自变量去遍函数定义域A 中的________________时，就得到一系列这样的点。
所有这些点组成的集合为________________即________________，所有这些点组成的图形就是函数的图象。
注：作函数图像的常用方法是描述法，其一般步骤是____________________________。
2.基础测评[)的图像。
画出函数+∞⋃--∞∈==,1)1,(,3)()1x xx f y三、合作探究活动1 试画出下列函数图象（1）1)(+=x x f （2）)3,1[,1)1()(2∈+-=x x x f思考：你能写出这两个函数的值域吗？活动2 28()P 例5思考：)(x f y =定义域为A ，{}A x x f y y x P ∈==),(),(，{}A x x f y y Q ∈==),(，P 与Q相等？2121231(2),(1),(3),()()f f f x f x f x +-<活动、试画出函数f(x)=x 的图像，并根据图像回答下列问题：1)比较的大小；2）若0<x 试比较与的大小。
思考:本例中：（1）若把210x x <<改为021<<x x ，则)(1x f )(2x f ；（2）若把210x x <<改为21x x <，则)(1x f )(2x f 。
活动4 作出下列函数图象，并指出其值域。
（1）12(2≤≤-=x x y 且)0≠x (2)213+-=x y§7 函数概念和图象(2) 作业班级 姓名 得分 日期一、填空题1、 下列曲线可作为函数)(x f y =的图象的有(1) (2) ( 3) (4)2、函数12-=x y 的定义域为)5,2[)1,( -∞，则值域为 。
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第八节函数与方程学案理含解析
第八节函数与方程．函数的零点()函数零点的定义()()对于函数＝，我们把使＝()的零点．的实数叫做函数＝()几个等价关系函数＝()⇔()的图象与方程＝有实数根()轴零点．函数＝有有交点⇔()函数零点的判定(零点存在性定理)在区间如果函数＝，()[，那么，函]＜()·()上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)∈内有零点，即存在()数＝(在区间(，也就是方程()＝的根．，，这个)＝，使得()．二次函数＝＋＋(＞)的图象与零点的关系[小题体验]．(·苏州调研)函数＝－的零点是．答案：．函数()＝＋－的零点个数是．答案：．(·海门中学月考)若方程－＝的解所在的区间是(，＋)，则整数＝.解析：令()＝－－，根据方程－＝的解所在的区间是(，＋)，()在(，＋)上单调递减，可得()＝－－在区间是(，＋)上有唯一零点，故有()(＋)＜，再根据(－)＝＞，(－)＝－＜，可得＝－.答案：－．函数()的零点是一个实数，是方程()＝的根，也是函数＝()的图象与轴交点的横坐标．．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]．函数()＝(－)(－＋)的零点为．答案：－，，．给出下列命题：①函数()＝－的零点是(－)和()；②函数＝()在区间(，)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有()·()＜；③二次函数＝＋＋(≠)在－＜时没有零点；④若函数()在(，)上单调且()·()＜，则函数()在[，]上有且只有一个零点．其中正确的是(填序号)．答案：③④函数零点所在区间的判定)[题组练透]．已知定义在上的函数()图象的对称轴为＝－，且当≥－时，()＝－.若函数()在区间(－，)(∈)上有零点，则的值为．解析：当≥－时，由()＝－＝，解得＝.因为＜＜，即函数的零点所在的区间为()，所以＝.又函数()的图象关于＝－对称，所以另外一个零点在区间(－，－)上，此时＝－.答案：－或．设()＝＋－，则函数()的零点所在的区间为．解析：函数()的零点所在的区间转化为函数()＝，()＝－＋图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图所示，可知()的零点所在的区间为()．答案：()．函数()＝－－在区间[]上(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：因为()＝－×－＝－＜，()＝－×－＝＞，所以()·()＜，又()＝－－在区间[]的图象是连续的，故()＝－－在区间[]上存在零点．法二：令()＝，得－－＝，所以(－)(＋)＝.因为＝∈[]，＝－∉[]，所以()＝－－在区间[]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数()的零点所在区间的种常用方法()定义法：使用零点存在性定理，函数＝()必须在区间[，]上是连续的，当()·()＜时，函数在区间(，)内至少有一个零点．()图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()＝()－()，作出＝()和＝()的图象，其交点的横坐标即为函数()的零点．判断函数零点个数)[典例引领]．(·全国卷Ⅲ)函数()＝在[，π]的零点个数为．解析：由题意可知，当＋＝π＋(∈)时，()＝.∵∈[，π]，∴＋∈，∴当＋取值为，，时，()＝，即函数()＝在[，π]的零点个数为.答案：．函数()＝(\\( －＋，＞，＋，≤))的零点个数是．解析：当＞时，由－＋＝，得＝－.作出函数＝，＝－的图象(图略)，由图象可知有两个交点．当≤时，由＋＝，解得＝－.所以函数的零点个数是.答案：[由题悟法]判断函数零点个数的种方法()方程法：令()＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．()零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[，]上是连续不断的曲线，且()·()＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．()数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]．(·上海徐汇区检测)定义在上的偶函数＝()，当≥时，()＝(－＋)，则()在上的零点个数为．解析：当≥时，()＝(－＋)，由(－＋)＝，得－＋＝，解得＝或＝.因为函数＝()是定义在上的偶函数，所以函数的零点个数为.答案：．函数()＝＋－的零点个数为．解析：因为′()＝＋＞，所以()在上单调递增，又()＝－＜，()＝－＞，所以函数在区间()上有且只有一个零点．答案：函数零点的应用)[典例引领](·南通中学高三学情调研)已知函数()＝(\\(－＋，＜，－，≥，))若函数＝(())－有个不同的零点，则实数的取值范围是．解析：当＜时，()＝－＋＞，此时(())＝(－＋)－＝－，当≤＜时，()＝－＜，此时(())＝－(－)＋＝－＋，当≥时，()＝－≥，此时(())＝(－)－＝－，所以函数＝(())＝(\\(－，＜，,－＋，≤＜，－，≥，))画出函数＝(())的图象如图所示．结合图象可知，若函数＝(())－有个不同的零点，则＜≤，即＜≤，所以实数的取值范围是.答案：[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用方法．(·南京、盐城高三一模)设函数()是偶函数，当≥时，()＝(\\(－，≤≤，,－()＋，＞，))若函数＝()－有四个不同的零点，则实数的取值范围是．解析：作出当≥时()的图象，根据偶函数的图象关于轴对称可得＜时的图象，由图象可得∈.答案：．(·启东中学检测)已知()＝－－，若函数＝(－)＋·－＋(＞)有三个不同的零点，则实数的取值范围是．解析：设＝－，≥，则函数＝(－)＋·－＋＝＋(－)＋－.设()＝＋(－)＋－，若函数()有三个不同的零点，则方程()＝有两个不等的实数解，，且解的情况有如下三种：①∈(，＋∞)，∈()，此时有()＞，且()＜，解得＜＜.②＝，∈()，此时由()＝，得＝，所以()＝－，即＝，不符合∈();③＝，∈()，此时由()＝，得＝，所以()＝－＋，即＝，符合∈()．综上，实数的取值范围是.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快．已知函数()＝＋的零点为，则实数的值为．解析：由已知得()＝，即＋＝，解得＝－.答案：－．已知关于的方程＋－＝的一个根比大，另一个根比小，则实数的取值范围是．解析：设函数()＝＋－，则根据条件有()＜，即＋－＜，解得＜.答案：(－∞，)．已知函数()＝(\\(－，＞，,－＋＋，≤，))若()＝－，(－)＝，则函数()＝()＋的零点个数为．解析：依题意得(\\(＝－，,－－＋＝，))由此解得＝－，＝－.由()＝得()＋＝，该方程等价于(\\(＞，,－＋＝，))①或(\\(≤，,－－－＋＝.))②解①得＝，解②得＝－或＝－.因此，函数()＝()＋的零点个数为.答案：．(·连云港调研)已知函数()＝－＋有一个零点，则实数的取值范围为．解析：由已知，函数()＝－＋有一个零点，即函数＝－和＝的图象有个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为＝＋，过点(，)的直线方程为＝＋，所以满足条件的的取值范围是＝－或－＜≤ .答案：{－}∪(－，]．(·苏州质检)已知函数()＝－，则()在[π]上的零点个数为．解析：作出()＝与()＝的图象如图所示，可以看到其在[π]上的交点个数为，所以函数()在[π]上的零点个数为.答案：．(·泰州中学上学期期中)已知函数＝()的周期为，当∈[－]时，()＝，那么函数＝()的图象与函数＝的图象的交点共有个．解析：在同一直角坐标系中分别作出＝()和＝的图象，如图，结合图象知，共有个交点．答案：二保高考，全练题型做到高考达标．设为函数()＝＋－的零点，且∈(，)，其中，为相邻的整数，则＋＝.解析：函数()＝＋－为上的单调增函数，又()＝＋－＝－＜，()＝＋－＝＞，所以()·()＜，故函数()＝＋－的零点在区间()内，故＝，＝，＋＝.答案：．(·镇江中学检测)已知函数()＝＋－的零点为，不等式－＞的最小的整数解为，则＝.解析：函数()＝＋－为上的单调增函数，又()＝－＜，()＝＞，所以函数()＝＋－的零点满足＜＜，故满足＜的最小的整数＝，即－＝，所以满足不等式－＞的最小的整数解＝.答案：．已知方程＋＝的解在[)内，则的取值范围为．解析：令函数()＝＋－，则()在上是增函数．当方程＋＝的解在()内时，()·()＜，即(－)(－)＜，解得＜＜.当()＝时，＝.综上，的取值范围为[)．答案：[)．(·太原模拟)若函数()＝(－)＋＋(＋)的两个零点分别在区间(－)和区间()内，则实数的取值范围是．解析：依题意并结合函数()的图象可知，(\\(≠，－＜，＜，))即(\\(≠，,[－－＋＋＋＜，,[－＋＋＋－＋＋＋＜，))解得＜＜.答案：．(·无锡期末)设函数()＝(\\(，≥，＋，＜，))若方程()－＝恰好有个零点，则实数的取值范围为．解析：当≥时，方程()－＝变为－＝，解得＝；当－＜＜时，方程()－＝变为[(＋)－]＝，解得＝或＝－.因为()－＝恰好有个零点，所以≥，且－＜－＜，解得＜＜，故实数的取值范围为()．答案：()．(·镇江调研)已知为常数，函数()＝(\\((＋－)，≤，，＞，))若关于的方程()＝＋有且只有个不同的解，则实数的取值范围为．解析：作出函数＝()的大致图象如图所示，若关于的方程()＝＋有且只有个不同解，当直线＝＋与＝的图象相切时，设切点为(，)，可得＝，＝的导数为′＝(＞)，可得＝，则＝＋，解得＝，＝－，则实数的取值范围为(，－)．答案：(，－)．(·苏州调研)已知函数()＝(\\( ，＞，＋，≤，))若直线＝与＝()交于三个不同的点(，())，(，())，(，())(其中＜＜)，则＋＋的取值范围是．解析：由已知条件可得(\\(＋＝，＝，))所以(\\(＋()＝，,( )＝，))所以＋＋＝＋)，令()＝＋)，当()＝，＞与＝相切时，由′()＝，得＝，又＝，解得＝，所以要满足题意，则＜＜.由′()＝＋)＞，所以()＝＋)在(，)上单调递增，所以()＝＋＋∈.答案：．(·南京、盐城一模)设()是定义在上的奇函数，且()＝＋，设()＝(\\(，＞，－，≤，))若函数＝()－有且只有一个零点，则实数的取值范围是．解析：因为()为奇函数，所以(－)＝－()，即－＋·＝－(＋·－)，解得＝－，故()＝(\\(－－，＞，－－，≤，))作出函数()的图象(如图所示)．当＞时，()单调递增，此时()＞；当≤时，()单调递减，此时()≥－，所以当∈时，＝()－有且只有一个零点．答案：．已知二次函数()＝＋(－)＋－，()判断命题：“对于任意的∈，方程()＝必有实数根”的真假，并写出判断过程；()若＝()在区间(－)及内各有一个零点，求实数的取值范围．解：()“对于任意的∈，方程()＝必有实数根”是真命题．依题意，()＝有实根，即＋(－)－＝有实根，因为Δ＝(－)＋＝(＋)≥对于任意的∈恒成立，即＋(－)－＝必有实根，从而()＝必有实根．()依题意，要使＝()在区间(－)及内各有一个零点，只需即(\\(－＞，－＜，,()－＞，))解得＜＜.故实数的取值范围为.．(·通州中学检测)已知二次函数()＝＋＋，()＝＋＋.若函数()有两个不同零点，，函数()有两个不同零点，.()若＜＜，试比较，，的大小关系；()若＝＜，，，∈(－∞，)，＝＝，求证：＝＝.解：()因为函数()的图象开口向上，且零点为，，故()＜⇔∈(，)．因为，是()的两个不同零点，故()＝()＝.因为＜＜，故()＜＝()，于是(－)＜.注意到≠，故－＜.所以()－()＝(－)＜，故()＜()＝，从而∈(，)，于是＜＜.()证明：记＝＝，故()＝＋＋＝，()＝＋＋＝，于是(－)＝.因为≠，且≠，故＝.所以()＝()且图象开口向上．所以对∀∈(－∞，)，′()递增且′()＜，()递减且()＞.若＞，则′()＜′()＜，＞＞，从而()＞()＞，故＞.同上，当＞时，可推得＞.所以＞＞＞，矛盾．所以＞不成立．同理，＞亦不成立．所以＝.同理，＝.所以＝＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·镇江期中)函数()＝(\\( ＋，＞，,－－－，≤，))若关于的方程()＋()＋＋＝有个不同的实数根，则实数的取值范围是．解析：令＝()，则原方程等价于＋＋＋＝.作出函数()的图象如图所示．由图象可知，当＞，－≤＜－时，函数＝和＝()各有两个交点，要使方程()＋()＋＋＝有个不同的实数根，则方程＋＋＋＝有两个根，，且＞，－≤＜－.令()＝＋＋＋，则由根的分布可得(\\(－＝＋≥，－＝＋＜，＝＋＜，))解得－≤＜－.答案：．(·南京调研)设函数()＝＋(－)·－(∈，∈)．()若()是偶函数，求不等式()＞的解集；()设不等式()＋()≤的解集为，若∩[]≠∅，求实数的取值范围；()设函数()＝λ()－()－，若()在∈[，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．解：()因为()是偶函数，所以(－)＝()恒成立，即－＋(－)·＝＋(－)·－，所以＝.由＋－＞，得·－·＋＞，解得＜或＞，即＜－或＞，所以不等式()＞的解集为{＜－或＞}．()不等式()＋()≤，即为－－＋·≤，所以≤，即≤＋·－.令＝，∈[]，则∈，设()＝＋－，∈，则()＝＝.由∩[]≠∅，即不等式()＋()≤在[]上有解，则需≤()，即≤.所以实数的取值范围为.()函数()＝λ(－－)－(＋－)－在∈[，＋∞)上有零点，即λ(－－)－(＋－)－＝在∈[，＋∞)上有解，因为∈[，＋∞)，所以－－＞，所以问题等价于λ＝在∈[，＋∞)上有解．令＝，则≥，令＝－，则在∈[，＋∞)上单调递增，因此≥，λ＝.设()＝＝＋，则′()＝－，当≤≤时，′()≤，即函数()在上单调递减，当≥时，′()≥，即函数()在[，＋∞)上单调递增，所以函数()在＝时取得最小值，且最小值()＝，所以()∈[，＋∞)，从而满足条件的实数λ的取值范围是[，＋∞)．。
2020学年高中数学第2章函数2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第2课时函数的最值学案苏教版必修1
第2课时 函数的最值 1.理解函数最值的概念及几何意义． 2.掌握图象法、配方法、函数单调性法求函数最值．
[学生用书P27] 函数的最大值与最小值 定 义 记 法
最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值 ymax＝f(x0)
最小值 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值 ymin＝f(x0) 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)如果一个函数既有最大值又有最小值，那么这个函数的最小值一定比最大值小．( ) (3)函数f(x)＝－x在[2，3)上的最大值为－2，无最小值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．12，2 答案：C 3．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 答案：4
4．函数y＝1x在[2，6]上的最大值与最小值之和等于________．
答案：23 利用图象求函数的最值[学生用书P27] 已知函数f(x)＝－2x，x∈（－∞，0），x2＋2x－1，x∈[0，＋∞）. (1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 【解】 (1)函数的图象如图所示．
由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1.
图象法求最值的一般步骤
1.已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． 解：
y＝－|x－1|＋2＝3－x，x≥1，x＋1，x＜1，图象如图所示，
苏教版高中数学必修一第二章函数的概念和图象教案(2)
2.1.1函数的概念和图象（3）教学目标：1．进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2．通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3．通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考．4．理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想．教学重点：作函数的图象．教学过程：一、问题情境1．情境．回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象．2．问题．是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？二、学生活动1．回忆初中作函数图象的步骤；2．按初中的作图步骤作出函数f(x)＝x－1，f(x)＝x2－1，f(x)＝1x等函数的图象；3．思考课本27页的思考题并给出答案；4．阅读课本27页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象．三、数学建构1．函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象．（1）函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；（2）函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值；（3）每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．2．利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；3．用E x cel帮助作图（1）赋值；（2）命令函数；（3）进行函数运算；（4）选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表．四、数学运用1．例题．例1画出下列函数的图象：（1）f(x)＝x＋1；（2）f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；（3）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；（4）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．例2从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象．例3试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；（2）若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．2．练习：（1）课本28页练习1，2，3；（2）作出下列函数的图象；①f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；②f(x)＝|x－1|－|x＋1|；③f(x)＝x|2－x|．五、回顾小结1．函数图象的作法；2．函数的作图是利用局部来反映全部；3．函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动．六、作业课堂作业：课本29页第3小题；课外作业：利用E x cel帮助研究函数f(x)与f(x＋a)、f(x)＋a的关系．。
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教案讲义·训练检测
精品资源·备学备考
一、自学导航
预习课本第23--27页，完成下列问题：
1.函数的定义：设BA,是两个 数集，如果按某种对应法则f，对于集
合A中的 元素x，在集合B中都有 的元素y和它对应，这样的
对应叫做从A到B的一个函数，记为 ，其中 组成的集合A叫
做函数)(xfy的定义域， 的取值集合叫做函数)(xfy的值域.
2.函数的三要素： ， ， .
二、自学检测
1.从甲地到乙地的火车票价为80元，儿童乘火车时，按照身高选择免票，半
票或全票.选购票种的规则如下表所示：
身高mh/ 购票款数/元
1.1h
0
4.11.1h
40
4.1h
80
（1）若儿童身高h为输入值，相应的购票钱款为输出值，则
1.1 ，3.1 ，5.1
.
（2）若购票钱款为输入值，儿童身高h为输出值，则0 ，
40
.
2.已知函数2()3fxxx，则(0)f ； (3)f ；
()fa
= ； (1)fx= .
三、合作释疑
例1.判断下列5个对应法则是否是从集合A到集合B的函数：
（1）13,1,,6,3,122AB,13()6,(1)3,()122fff.
（2）1,2,3,7,8,9,(1)(2)7,(3)8ABfff.
（3）1,2,3,()21ABfxx.
（4）1,()ABRfxx.
记录与整理
学习目标
1.理解函数的概念，明确函数的三个要素；
2.会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法.
重点：求函数的定义域
难点：函数概念的理解
函数的概念和图像（1）
教案讲义·训练检测
精品资源·备学备考
（5）,1,1AZB，n为奇数时，()1fn；n为偶数时，()1fn.
例2.求下列函数的定义域：
（1）1)(xxf；（2）11)(xxf.
例3.判断下列每组函数是否为相同函数：
（1）323(),()fxxgxx； （2）)(,)(xgxxxf 0,10,1xx.
（3）2()1,()fxxxgxxx；
（4）22()21,()21fxxxgttt.
四、当堂达标
1.求下列函数的定义域：
（1）231xyx； （2）20(27)53xyxx.
2.下列各题中两个函数是否表示同一函数？
（1）2()6,()6fxxgxx；（2）2()6,()6fxxgxx；
（3）33()6,()6fxxgxx； （4）
2
9(),()33xfxgxxx
.
记录与整理
小结与反思