小学生数学素养与数学思想方法

2. 模型思想的应用。 数的表示，自然数列：0,1,2,…用数轴表示数 用数字和图形表示排列规律 数的运算a+b=c，c－a =b, c－b＝a， a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a 用字母表示运算定律，方程ax+b=c 数量关系：时间、速度和路程：s=vt 数量、单价和总价：a=np 正比例关系：y/x=k 反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系 用字母表示周长、面积和体积公式 用图表示空间和平面结构 用统计图表描述和分析各种信息 用分数表示可能性的大小。
当前初中数学所需要的能力： 数及代数式的运算、概念、判断、推理论证、空间想象、作图。 其中概念、性质、公式、定理是基础，运算中有推理 解决实际问题的能力： 方程、函数（包括三角函数）、统计与概率 传统的数学教学，尤其是中学数学教学，习惯于精讲多练，重点 在训练，导致普通学生吃夹生饭，学不好数学、害怕数学。
数学思想方法对于小学数学教学的意义 （一）有利于建立现代数学教育观、落实新课程理念 学生数学素养的内涵、数学的价值要更新 （二）有利于提高教师专业素养、提高教学水平
学本课堂，教师要提高专业素养，否则无法授人以渔
（三）有利于提高学生的思维水平、培养“四能” 不能让学生单纯地认为学数学就是考试拿分的工具
①用字母表示数。 ②用字母表示数量关系。 运算定律、公式、数量关系。 加法交换律:a+b=b+a 时间、速度和路程的关系:s=vt ③用符号表示变化规律。 数列的变化规律:1,2,3,5,8,„ 图形的变化规律,小棒的根数：y=3x+1
一年级上册，比大小。
情境图中小猴和各种水果是散乱放置的，先进行分类，将相同的 东西放在一起，并一一对应竖直排成一列，统计出数量，然后再 比较数的大小。在这里呈现了简单的象形统计图，渗透了统计思 想和一一对应思想。接着引出数学符号“＝”“＞”“＜”，介 绍如何用数学符号“＝”“＞”“＜”来表示数的大小的比较结 果。让学生从具体到抽象，经历了符号化的过程，渗透符号化思 想。
问题解决：主要是指解决实际问题和开放题
学（生）本课堂的重要体现是培养独立思考能力、自学 能力、问题解决能力、创造性： 是什么？ 概念等 为什么？ 判断推理等 如何运用、应用？ 运算、问题解决
数学思想方法
数 学 知 识
陈述性知识（概念系统） 程序性知识（规则、技能） 策略性知识 （思想方法）
理解、记忆 适当训练 感悟、智慧
《标准（ 2011 ）》在教学建议中强调让学生感悟数 学思想。教科书中的很多内容都渗透了各种数学思想， 有些是明显的，有些是隐藏的。如二上第一单元长度单 位体现了符号思想，用字母符号“ cm ”“ m ”来表示 长度单位厘米和米，是非常明显的；而在第 4 和 6 单元 表内乘法中体现了函数思想，就是隐藏的。
第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规 律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从 特殊到一般的探索和归纳的过程。
第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一 个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、 表格和图象等表示情境中数量间的关系。
第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定， 便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的， 可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米， 那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数 量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t 表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换 的。
一、抽象的思想
1. 对抽象思想的认识。 数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式 的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用 数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象 思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。
(1) 数学抽象在数学教学的过程中无处不在。 任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习， 都要用到抽象概括。 (2) 数学抽象是有层次的。 随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。 例如，数的发展，从结绳记数得到1，2，3，„等有 限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成 了无限的正整数序列： 1，2，3，„，n, „ 在此基 础上形成了正整数集合N。 再如，整数 →小数 → 分数 → 有理数→实数 算术中的数（1等）→代数中的常量（a）→变量(χ)
如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳 出长方形的面积公式，并用符号表示：S＝ab。 如假设一个正方形的边长是 a ，那么该正方形的周长 c=4a，该正方形的面积s=a² 。
符号思想是模型思想、方程思想、函数思想、推理思 想的基础。有利于从本质上理解和应用数学。 如学习了正比例关系，用符号表达比语言更有利于判 断数量之间的关系。与y=kx比较。
独立思考+在交流中学他人之长
综合来看，小学生数学核心素养为： 知识：概念、公式、法则、性质、定律等 能力：运算、推理、空间想象、 解决问题（纯数学、联系实际、开放性） 思想方法：理性思维的升华，智慧 教学模式：学本课堂，独立思考、自学、合作交流
2014年10月召开的中国教育学会小学数学年会， 美国陶森大学孙伟教授认为： 美国数学教育，学生分为三个层次： 前20%：高中学习Advanced Placement（大学预修课） 中间60%：基本达标 后20%：不达标 中国整体平均数高于美国，极差和方差小于美国， 说明： 中国保底教育搞得好：人人获得良好的数学教育 上面封顶了：不同的人在数学上没有得到更好的发展 今后应该把天花板盖高一些，让那些好孩子不要在题 海战术中消磨了大学进一步学习的热情和创造力。
2. 抽象思想的应用。
抽象思想在数学中无处
不在。一年级上册，10来自的认识，11-20的认识。
在教学 10 的认识时，多数教师会结合计数器、点子 图、小棒等直观教具认识到 9 添上 1 是 10 ，然后再进一 步学习 10 的组成及加减法；没有引导学生思考： 10 与 前面学习的 0 ～ 9 这些数有什么不同？这里实际上隐含 一个非常重要的思想方法 — 数学抽象，它比 8 和 9 的抽 象水平更高，因为 10 不仅是对任何数量是 10 的物体的 抽象，进一步地它已经不再用新的数字计数了而是采 用了伟大的十进位值制计数原理。 在11-20的认识时，就要引导学生思考：10与9的不同？ 11中的两个1有什么不同？
《义务教育数学课程标准》（2011年版） 总体目标 通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础 知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 基本思想作为第三基，不再是附属品，而是实实在在 的教学目标和数学素养的一部分，需要在课堂教学中 根据学生的年龄特征和思想方法的难易程度进行不同 程度的体现。
三、模型思想
1. 对模型思想的认识。 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事 物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义 角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、 数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思 想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学 符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处， 同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型 的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特 定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、 农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模 型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分 开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学 数学的应用及数学模型的构建。
把教材中哪些内容体现什么数学思想，进行具体描述， 便于老师们把握。为了让广大教师更好地理解有关数学 思想的理念、落实数学思想的教学目标，建议采用《标 准（ 2011 ）》中的行为动词来描述数学思想的教学目 标。
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教学目标要具体、全面、用词准确、便于落实和检测。 了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据 对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。 理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间 的区别和联系。 掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。 运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决 问题。 经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。 体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征， 获得一些经验。 探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出 问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象 的区别和联系，获得一定的理性认识。
第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的 问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行 数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非 常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。
2. 符号化思想的具体应用。 （1）数的表示、运算和关系。 数字0~9、+、－、×、÷、＝、>、<是比较早 期的数学符号，便于人们计数和计算。是小学数 学应用最广泛的符号。 （２）代数思想。 代数在早期的主要特征是以文字为主的演算， 到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹 等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。
小学生数学素养与数学思想方法
人民教育出版社小学数学室 王永春
大纲时代小学数学传统的四大能力： 运算能力、推理能力、解决问题和空间想象能力（空间观念） 2001版课标： 知识、活动经验、应用技能 六大核心概念： 数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力 2011版课标： 四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 四能：发现问题、提出问题、分析问题、解决问题 十大核心概念： 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、 运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识
数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行 适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决 策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便 可以指导我们的实践。如上所述，数学模型在当今市场经济和信息 化社会已经有比较广泛的应用；因而，模型思想在数学思想方法中 有非常重要的地位。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达， 那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤 其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是 一个抽象的过程。 2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化，在课程内容部 分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想 的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建 立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问 题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量 关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习 有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。