导数的应用
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数作为微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具之一。
在数学领域中，导数的运用非常广泛，它不仅可以用来解决数学问题，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
导数在实际生活中的运用，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的生活带来便利与乐趣。
一、导数在物理学中的应用在物理学中，导数被广泛应用于描述物体运动的规律。
通过对物体位移、速度、加速度等物理量的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
以小车匀速运动为例，假设小车在 t 时刻的位置为 s(t)，则小车的速度可以表示为 s'(t)，而小车的加速度可以表示为 s''(t)。
通过对速度和加速度的分析，可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律，为实际的运动控制提供依据。
在经济学中，导数被广泛应用于描述经济变量的变化规律。
通过对需求函数、供给函数等经济函数的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解价格、产量等经济变量的变化规律。
导数还可以用来解决相关的最优化问题，在经济决策中发挥着重要作用。
通过对经济变量的导数进行分析，可以帮助经济学家更好地理解市场运行的规律，为经济政策的制定提供依据。
在工程领域中，导数被广泛应用于描述各种物理现象和工程问题。
在电路设计中，导数可以帮助我们分析电流、电压等电学量的变化规律，为电路的设计提供依据。
在机械设计中，导数可以帮助我们分析力、速度、加速度等物理量的变化规律，为机械系统的设计提供依据。
通过对工程问题中的导数进行分析，可以帮助工程师更好地理解物理现象和工程问题，为工程设计提供科学依据。
除了在物理学、经济学和工程领域中的应用外，导数还可以在生活中的许多其他领域中找到应用。
通过对人口增长率、疾病传播速率等进行导数分析，可以帮助我们更好地理解社会现象和生活问题。
在生产实践中，导数也可以用来描述生产过程中的效率和变化规律。
导数还可以在艺术创作、音乐编排等方面找到应用，帮助我们更好地理解艺术和音乐作品的规律。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在物理学中的应用举例
导数在物理学中的应用举例
导数是微积分的一个重要概念，它在物理学中具有广泛的应用。
下面是一些导数在物理学中的应用举例：
1.速度和加速度计算：导数在描述物体的速度和加速度方面发
挥着关键作用。
在物理学中，我们可以通过对位移函数进行求导来
计算速度和加速度。
例如，一个物体在时间t的位移函数s(t)可以
通过对s(t)关于t的导数来得到物体的速度v(t)，进一步对v(t)关于t 求导，可以得到物体的加速度a(t)。
2.斜率和曲线的切线：导数可以用来计算曲线在特定点的斜率。
在物理学中，我们经常需要计算曲线在某一点的斜率，以便确定物
体在该点的运动特性。
导数也可以用来计算曲线在特定点的切线方程，帮助我们更好地理解曲线的形状和特征。
3.极值和拐点：导数是寻找函数的极值点和拐点的有力工具。
在物理学中，我们经常需要确定物体在某一时刻的极值点，例如物
体的最大高度或最大速度等。
通过对物体的位移、速度或加速度函
数进行求导，我们可以找到这些极值点的位置和数值。
4.动力学方程：导数在描述物体的运动和力学方程中起着重要
作用。
通过对运动方程进行求导，我们可以得到物体的速度和加速
度之间的关系。
物理学中的很多重要方程都是基于导数的运算得到的，例如牛顿第二定律F=ma，其中a是加速度，m是质量，F是力。
综上所述，导数在物理学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于
计算速度、加速度和斜率等物理量，还可以用于寻找极值点和描述
物体的运动特性。
了解导数的概念和应用对于理解和研究物理学中
的各种现象和问题非常重要。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。
在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。
2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。
3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。
4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。
总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
例谈导数的几个简单的应用
例谈导数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题等来运用．实际上，它还有其他方面更多的应用．本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考．1．利用导数的定义求极限 在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是00型，感觉不好求．若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解．例1．求值：（1）0sin lim x x x →，（2）0ln(1)lim x x x→+． 解：（1）根据导数的定义，该式实际上为求函数()sin f x x =在点0x =处的导数． 所以00sin sin sin 0lim =lim x x x x x x→→-00(sin )|cos |cos 01x x x x =='====． （2）根据导数的定义，该式实际上为求函数()ln(1)f x x =+在点0x =处的导数． 所以000ln(1)1lim=[ln(1)]||11x x x x x x x ==→+'+==+． 例2．（2010年全国卷文科21题）设函数2()(1)x f x x e ax =--．若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．解：由已知得()(1)x f x x e ax =--≥0（x ≥0），即1x e ax --≥0（x ≥0）， 当0x =时，a R ∈；当0x >时，分离参数得1x e a x -≤（0x >），令1()x e g x x-=（0x >），求导得21()x x xe e g x x-+'=（0x >），再令()1x x h x xe e =-+（0x >），则()0x h x xe '=>（0x >），∴()1x x h x xe e =-+在(0,)+∞上递增，∴()(0)0h x h >=，∴()0g x '>，∴1()x e g x x-=在(0,)+∞上递增．∴0()lim ()x g x g x →>，所以0lim ()x a g x →≤．因为00001lim ()=lim =lim 0x x x x x e e e g x xx →→→---00()||1x x x x e e =='===，所以1a ≤． 综上所述，实数a 的取值范围为1a ≤．2．利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3．已知()sin 2cos 2()f x a x x a R =+∈图像的一条对称轴方程为2x π=，则a 的值为（ ）A ．12B C ．3 D ．2 解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点，所以由()2cos 22sin 2f x a x x '=-，得()2cos 2sin =0266f a πππ'=-，故3a =． 例4．已知函数()cos f x x x =的图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π解析：设函数()f x 图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后的函数解析式为：()cos())g x x x ϕϕ=++，由于()g x 为偶函数，所以(0)0g '=．又()sin())g x x x ϕϕ'=-+-+，所以sin 0ϕϕ-=，tan ϕ=ϕ的最小值为23π．例5．已知2cos sin x x -=，求tan x 的值．解析：设()2cos sin f x x x =-，则曲线()2cos sin f x x x =-过点(,t ．由于2cos sin )x x x x -=+cos cos sin )x x ϕϕ=+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以函数()2cos sin f x x x =-在点(,t 处取极小值，导数为零．即()2sin cos 0f t t t '=--=，所以1tan 2t =-，从而1tan 2x =-．3．导数在数列求和中的应用例6．已知数列{}n a 的通项为12n n a n -=⋅，求数列{}n a 前n 项的和n S ．解析：令2x =，则11ni i i x -=⋅∑1()n i i x ='=∑12(1)1(1)=1(1)nn n x x n x n x x x +'⎡⎤--++⋅=⎢⎥--⎣⎦所以n S 121(1)22=(12)n n n n +-+⋅+⋅-1=1(1)22n nn n +-+⋅+⋅4．导数在二项式中的应用例7．证明：1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．证明：令012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=+++++…，对等式两边求导，得：1121321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++…， 令1x =，代入上式即得1123223n n n n n n n C C C nC -⋅=+++⋯+，即1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．5．导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通．（1）两角和、差的三角函数公式cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（），①视α为变量，β为常量，对等式①两边求导，得sin()sin cos cos sin αβαβαβ--=-+即sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，②反过来，视α为变量，β为常量，对等式②两边求导，得cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（）故利用上述求导方法有：cos cos cos sin sin αβαβαβ±=（）αα对求导对求导sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（2）二倍角公式 22cos 2cos sin ααα=-αα对求导对求导sin 22sin cos ααα=（3）积化和差公式 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- αα对求导对求导1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-， 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=+-- αα对求导对求导1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=-+--． 当然，导数的应用不只这些，本文只是抛砖引玉，有兴趣的读者还可以继续探索．。
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第三章 导数的应用第一节 中值定理教学目标：1．了解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理；2．掌握中值定理的简单应用教学重点：罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理 教学难点：中值定理的简单应用 共2学时 一、拉格朗日中值定理定理1（罗尔中值定理）：设函数满足：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(a f b f =。
则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf （),(b a ∈ξ）。
定理2（拉格朗日中值定理）：设函数)(x f y =满足：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导。
则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=)()()('ξ，⇒ ))((')()(a b f a f b f -=-ξ，),(b a ∈ξ 拉格朗日中值定理的意义：①由))((')()(a b f a f b f -=-ξ，),(b a ∈ξ 得 ab a f b f f --=)()()('ξ，),(b a ∈ξ， 即曲线上至少有一点M ))(,(ξξf 处的切线的斜率)('ξf 与过两点))(,()),(,(b f b B a f a A 的直线的斜率相同。
②函数)(x f y =在区间],[b a 上的增量)()(a f b f y -=∆可用区间),(b a 内某点ξ的导数)('ξf 与区间长度a b -的乘积表示。
例1、 设函数xx f 1)(=在区间]2,1[上是否否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，求适合定理的ξ值。
解：因为x x f 1)(=是初等函数，在区间]2,1[上连续，且在开区间)2,1(内可导，且,1)(2'xx f -=所以函数x x f 1)(=在区间]2,1[上满足拉格朗日中值定理的条件。
由拉格朗日中值定理得)12)((')1()2(-=-ξf f f ，即21121ξ-=-， 解得.2=ξ 推论：在区间I 内，若0)('≡x f ，则).()(为常数C C x f =证明：任取),(,21b a x x ∈，不妨设21x x <，则函数)(x f 在],[21x x 上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点),(21x x ∈ξ，使得))((')()(1212x x f x f x f -=-ξ ).(21x x <<ξ由于0)('≡x f ，故,0)('=ξf 所以0)()(12=-x f x f ，即 )()(12x f x f =。
这说明在),(b a 内的任意两点的函数值相等，所以)(x f 在区间),(b a 内是一个常数。
第二节 洛必达法则教学目标：1.掌握洛必塔法则； 2.会运用洛必塔法则求不定式的极限；3.了解运用洛必塔法则可化为不定式的极限．教学重点：洛必塔(L ’Hospilal)法则教学难点：洛必塔(L ’Hospilal)法则的应用；未定式极限 共4学时定理1、设函数)(x f 、)(x g 满足： （1）、0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x ；（2）、在0x 的某去心邻域内，)('x f 与)('x g 存在，且0)('≠x g ；（3）、)()(lim ''0x g x f x x →存在或为无穷大，则 =→)()(lim 0x g x f x x )()(lim ''0x g x f x x →。
证明从略。
定理1的意义：0x x →时，未定式0型在符合定理条件下，可以通过分子、分母分别求导后再求极限，这种确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
例1、 求).(1)1(lim 0为任何实数ααx x x -+→例2、 求xx x )1ln(lim 0-→.例3、 求.2cos lim 2ππ-→x xx例4、 求.sin 2lim0x x xe e x x x ----→ 解：⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛----→-→00cos 12lim 00sin 2lim 00x e e x x x e e x x x x x x =.2cos lim 00sin lim 00=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-→x e e x e e xx x x x x 即：在使用洛必达法则时，若)()(lim ''0x g x f x x →还是00型未定式，且函数)('x f 与)('x g 仍满足洛必达法则的条件，则可继续使用洛必达法则：)()(lim 0x g x f x x →=)()(lim ''0x g x f x x →=)()(lim ""0x g x f x x →。
例5、 求x xx 1arctan 2lim -+∞→π； 二、∞∞型未定式的极限定理2、设函数)(x f 、)(x g 满足：（1）、∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ；（2）、在0x 的某去心邻域内，)('x f 与)('x g 存在，且0)('≠x g ；（3）、)()(lim ''0x g x f x x →存在或为无穷大，则 =→)()(lim 0x g x f x x )()(lim ''0x g x f x x →。
对于∞→x 有类似的结论。
例6、求下列极限（1）、求（2）x x x 3tan tan lim 2π→；（2）、)0(ln lim >+∞→n x xn x ；（3）、x n x exλ+∞→lim （0>λ，n 为正整数）；三、其它未定式的极限对于00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞等未定式，可以通过适当的变形将它们先转化为型或∞∞型的未定式，再用洛必达法则计算。
例7、求下列极限（1）x x n x ln lim 0+→（n>0）；（2）)tan (sec lim 2x x x -→π；（3）21)sin (cos lim x x x x x +→；注意：①定理中的条件对于结论来讲是充分的，即若)()(lim '')(0x g x f x x x ∞→→存在，则)()(lim)(0x g x f x x x ∞→→存在，而当)()(lim '')(0x g x f x x x ∞→→不存在时则未必)()(lim )(0x g x f x x x ∞→→不存在。
这时洛必达法则失效，改用其它方法求极限。
②对于,0-→x ,0+→x ,-∞→x +∞→x 有相应的洛必达法则。
例3．求x x xx x sin sin lim 20-→；例4．xx xx x cos sin lim +-∞→；作业：P103T （1）~（4），T3（1）（2），T4。
第三节函数的极植与最大值、最小值教学目标： 1．了理解函数的极值概念；2. 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法；3．掌握较简单的最大值和最小值的应用问题的求解．教学重点：利用导数判断函数的单调性和求极值教学难点：简单的最大值和最小值的应用问题函数的极值及其求法 共4学时一 函数的单调性的判定定理1（函数单调性的判定定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，（1） 如果在),(b a 内0)('>x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； （2） 如果在),(b a 内0)('<x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少。
证明：任取],[,21b a x x ∈，不妨设21x x <，则函数)(x f 在],[21x x 上满足拉格朗日中值定理的条件,则有))((')()(1212x x f x f x f -=-ξ ).(21x x <<ξ若在),(b a 内0)('>x f ，则0)('>ξf ，且012>-x x ，于是 0))((')()(1212>-=-x x f x f x f ξ，即 <)(1x f )(2x f 。
这就是说，)(x f 在],[b a 上单调增加。
同理，若在),(b a 内0)('<x f ，则0)('<ξf ，于是0))((')()(1212<-=-x x f x f x f ξ，即 >)(1x f )(2x f 。
这就是说，)(x f 在],[b a 上单调减少。
注：若将定理中的闭区间换成开区间或无穷区间，判定定理的结论仍然成立。
例2、 判别函数3)(x x f =的单调性。
解：因为03)(2'≥=x x f ，且只有当0=x 时，0)('=x f ，所以函数3)(x x f =在定义域),(+∞-∞内是单调增加的。
由例2知：当)('x f 在某区间内的有限个点处为零，其余各点处均为正（负）时，函数在该区间内仍为单调增加（减少）的。
例3、 讨论函数32)(2+-=x x x f 的单调性。
例4、 讨论函数32)(x x f =的单调性。
解：函数32)(x x f =在),(+∞-∞内连续，当0≠x 时，3'32)(xx f ⋅=，没有使导数)('x f 等于零的点，但当0=x 时)('x f 不存在。
在)0,(-∞内，0)('<x f ，函数)(x f 单调减少；),0(+∞内，0)('>x f ，函数)(x f 单调增加。
由此可见，导数不存在 的点也可能是函数增减区间的分界点。
结论：讨论连续函数的单调性时，先求也使导数为零的点和导数不存在的点，用这些点将定义域划分为若干个区间，然后在每个区间上根据导数的正负来确定函数的单调性。
二、函数的极值定义1、函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若对于该邻域内的任一点x ≠x ()0x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值，称0x 为函数)(x f 的极大值点；若对该邻域内的任一点x ≠x ()0x ，均有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是)(x f 的一个极小值，称0x 为函数)(x f 的极小值点。
函数的极大值与极小值勤统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。