“函数自变量的取值范围”教学案例

２０１６年第ｌｌ期（下）　中学数学研究　１５　“函数自变量的取值范围＂教学案例　浙江省嵊州市三界镇中学（３１２４５２）　沈玲玲　一、

写在前面　

现在我们在课堂教学中提倡“学为中心”，“学”指学生，　而不单单指学习，学生是学习的主人，学生的数学学习活动　应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的活动过程．教　师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动　的机会，把课堂还给学生，把学习的主动权交给学生，帮助他　们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的　数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经　验．教师在教学中应鼓励与提倡解决问题策略的多样化，尊　重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．　《１７．１变量与函数》是八年级数学下册的内容．函数是　研究运动变化的重要数学模型，它源自生活，又服务于生活．　函数有着广泛的应用。初中阶段对函数的认识也是逐步加深　的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学　习．《函数自变量的取值范围》是本节课的重点内容之一，我　把它单独安排一个课时来学习．　二、教学目标　１．知识与技能　（１）能根据函数关系式直观得到自变量取值范围……　（２）理解实际背景对自变量取值的限制．　２．过程与方法　ｆ１）通过让学生主动的观察、交流、归纳等探索活动形成　自己对数学知识的理解和有效的学习模式．　（２）联系代数式中未知数的取值的要求，探索求函数自　变量取值范围的方法．　３．情感态度与价值观　使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，　增强数学建模意识．　教学重难点　１．教学重点：函数自变量取值范围的求法．　

２．教学难点：理解实际背景对自变量取值的限制．　三、教学过程：　教师：上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一　个变化过程中有两个变量ｚ、Ｙ，如果对于Ｘ的每一个值，Ｙ都　有唯一的值与它对应，那么就说Ｘ是自变量，Ｙ是Ｘ的函数．　生活中有很多实例反映了函数关系，比如现在我们的课堂上　就有一种函数关系（全班学生用好奇的目光注视着教师）：若　全班学生共５１人，来听课的老师为他人，则教室里的人数为　ｍ人，写出ｍ与ｎ的函数关系式．　学生很快地回答道：ｍ＝５１＋ｎ，ｍ是函数，ｎ是自变　量．　教师：那么此时此地自变量ｎ等于多少？函数ｍ的值　是多少？自变量ｎ的取值范围是多少？ｆ本节课是一节校级　公开课，来听课的老师较多）　学生纷纷环视四周，数出听课教师人数，听课教师也和　学生相互讨论起来，共同得出ｎ＝５，进而求出ｍ＝５６；但是　在求ｎ的取值范围时出现问题，许多同学只说ｎ＞０而没有　想到ｎ应该为自然数．（这就是实际问题的特点，要引导学生　注意自变量取整数）　教师：可见在某些函数关系式中，自变量的取值范围有　时是有限制的，今天我们就来研究一下相关知识．　教师：刚才引例中的函数，要考虑到自变量的取值必须　使解析式有意义，所以ｎ必须是正整数或０．（简单解释一下　解析式就是数学式子即可）我们来看下面的例题，请分小组　讨论，然后我找学生上黑板来讲解．　例１．求下列函数中自变量　的取值范围．（学生分组　合作，积极地展开讨论．）　１　（１）Ｙ＝２ｘ＋３　（２）Ｙ：　＿＿　

１　（３）Ｙ　、／　一２（４）Ｙ　—ｖ＇￣—　－５　

识点与新知识点联系起来，帮助学生更快的理解与吸收新知　识点，从而实现知识结构的更新．此外还需要指导学生在原　知识网络结构的基础上进行拓展，这样才能使学生熟练应用　知识点．　参考文献　

［１】沈松乾．帮助学生构建数学知识网络［Ｊ］ｌ数学教学，２０１３，０８（１３）：　１Ｏ４．１０６．　［２］夏炎．让学生在体验中主动构建新知识［Ｊ］．数学通报，２０１３，ｏ８（１２）：　

９８—１Ｏ０．　［３］李军．对中学生数学认知结构建构途径的研究［Ｊ］＿柳州师专学　报．２０１４，ｌＯ（２４）：１０５—１０６．　ｌ６　中学数学研究　２０１６年第１１期（下）　【５）　＝　学生１讲课：在（１）中，　取任意实数，２　＋３有意义．　

（２）小题的—　是一个分式，分式成立的条件是分母　不为０．这道题的分母是Ｘ一１，因此要求　一１≠０　．Ｘ≠１．　学生２：第（３）小题，　是二次根式，二次根式成　立的条件是被开方数大于、等于零．　的被开方数是　Ｘ一２，　一２≥０，．’．ｚ≥２．　学生３：　第（４）小题Ｙ　志是二次根式，２ｘ一５　

是被开方数　．２ｘ一５≥０　．２ｘ≥５　．ｚ≥兰；但是　１　Ｙ　志也是分式，所以２　一５≠０　≠　；结沦为　

ｚ＞昙．（教师点头表示赞许）　学生４：中，　≥一１且　≠２．　教师点评：像第（５）小题，有些同学犯这样的错误，将答　案写成ｚ≥一１或　≠２．在解一元二次方程时，方程的两根　用“或者”联接，但在不等式中应说明　≥一１与　≠２是并　且的关系．有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量　的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要ｚ≠０　即可．可将解题步骤设计得细致一些．先提问本题的分母是　什么？然后再要求分式的分母不为零．求出使函数成立的自　变量的取值范围．二次根式的问题也类似．　教师：请同学们模仿例１编出类似但是又容易出错的　题目来挑战其他组．（学生活动再一次出现高潮）　学生分小组编题如下：　第（１）组　＝　＿二二　答案：　＞２且　≠８该　组有学生反问一句：　一８改为Ｘ一１又如何？答案：ｚ＞２　（这一问非常好，加深了大家对“且　≠８”的理解）　第（２）组ｍ＝　＿二　答案：ｎ≠１　（可见学生对函数和自变量可以用任意字母表示是清楚　的，不一定要用Ｙ和　１　第（３）组　：　答案：　＞０　ｘ／　

第（４）组Ｙ＝—　答案：　≠１（学生能联想到三次根　号）　第（５）组Ｙ一、，　＝—　，＿　（学生知道等号左侧不一定只　能是ｖ１　教师引导学生小结从做题中得到的规律：　１．函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；　２．函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为　零：　３．函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开　方数大于、等于零；　

４．函数的解析式是分式和二次根式的综合时，自变量的　取值应使分母不为零，且被开方数大于、等于零；　５．函数是实际问题时，自变量的取值应使解析式有实际　意义．　设计意图：让学生从已经学过的知识人手，从解题再　到编题，感觉函数就在我们身边，使他们打破函数很难这样　

一个思维定势，从而重新建立我能学好的信心．从大量的题　目实践中，尤其是通过学生自编题目这一环节，能够使学生　对容易出错的题目更加印象深刻，让学生自己解题编题，当　小老师，真正落实学生是课堂的主人这一概念，体现“学为中　心”的思想．　例２分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的　取值范围：　（１）已知等腰三角形的面积为２０ｃｍ　，设它的底边长为　ｘ（ｃｍ），求底边上的高ｙ（ｃｍ）关于ｚ的函数关系式；　（２）在一个半径为ｌＯｃｍ的圆形纸片中剪去一个半径为　ｒ（ｃｍ）的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为Ｓ（ｃｍ　），求　Ｓ关于ｒ的函数关系式：　（３）矩形的周长为１２ｃｍ，求它的面积Ｓ（ｃｍ　）与它的一边　长ｘ（ｅｍ）问的关系式，并求出当一边长为２ｃｍ时这个矩形的　面积．　解：（１）　：一４Ｏ，ｚ可取任意正数；　

（２）Ｓ＝ｌＯ０￣ｒ一丌ｒ　，ｒ的取值范围是０＜ｒ＜１０；　（３）Ｓ＝（６一　）×Ｘ即Ｓ＝６ｘ—　，　的取值范围是　６＞　＞０：　当Ｘ＝２时，Ｓ＝８，即此时矩形的面积为８ｃｍ。．　例２设计意图：结合例１的直接由解析式找自变量取　值范围，例２主要探究当函数与实际问题接轨时函数自变量　的取值问题．使学生了解，函数自变量的取值除受解析式影　响外，还受实际问题的限制．对于反映实际问题的函数关系，　应使得实际问题有意义．这样，就要求联系实际，具体问题具　体分析．　四、检测反馈　１．分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的　自变量与函数以及自变量的取值范围：　（１）一个正方形的边长为３ｃｍ，它的各边长减少　ｃｍ后，　得到的新正方形周长为ｙｃｍ．求Ｙ和　间的关系式：　（２）寄一封重量在２Ｏ克以内的市内平信，需邮资０．６Ｏ元，　求寄ｎ封这样的信所需邮资　（元）与ｎ间的函数关系式；　２．求下列函数中自变量ｘ的取值范围：　（１）ｙ＝一２ｘ一５ｘ。；（２）Ｙ＝ｘ（ｘ＋３）；　２０１６年第１１期（下）　中学数学研究　１７　（３）　＝　；　（４）ｙ＝　＝＿ｒ．　五、课堂小结　能过一节课的活动，谈谈你对本节课的认识：　１．你有哪些方面得到提高？　２．利用本节的知识你能解决哪些问题？　六、作业设计　１．课后练习的基础题目．　２．选做题目（有能力的同学根据自己的实际选题）．　七、课后反思：　在数学教学中，学生是唯一的主体，教师无论教多么简　单的知识，采用多么先进的教学方式，学生不主动投入其中，　效果都会很差．所以我们要从学生已有的知识和经验出发，　通过种种手段激发学生主动的投入课堂活动中，使掌握知识　的过程由被动变为主动，这也是我所认为的最简单朴素的　“学为中心”．　但主动的学习很难，在本课中，我有意识的先从学生熟　悉的内容人手。让学生自己做、自己评这个充其量只能算有　效的引导，把气氛调节起来后，进入编题环节，这时候学生就　主动多了，气氛也很热烈．从学生编题背后看出学生很有创　造力，体现了挑战＿÷游戏＿÷比赛＿÷竞争的宗旨，学生主动　运用知识构造、创造题目，潜力极大，编题的方式促进了对概　念的理解．但从编题发现：学生为什么爱编带二次根式符号　的题呢？开始我认为学生对知识的结构体系没有全面了解，　所以只侧重于编二次根式的题．再一访谈学生才知：原来他　们认为二次根式形式是难点，认为结构越复杂的越难，才会　编出许多这一类型题去难别人．追根求源，还是符号感没有　建立起来，简单的形式没理解透，所以构造中最复杂的是什　么，学生最爱用的题就是什么．从中我们也可以反思出平常　的教学中我们缺少的是什么？往常学生可能不会告诉你，但　今天，乘着兴头学生和我好好的聊了聊以往的缺失，师生之　间的关系又往前进了一步．了解到学生爱编带二次根式符号　题的真正原因，看着他们积极主动的憋着“坏”为难其他人，　虽说我们不提倡，但偶尔为之，还是有利于我们的教学的．　总之，教师的教是为了最后的不教，学生的发展在很大　程度上取决于主体意识的形成和主动参与能力的培养．数学　教学从本质上来说是一种数学活动，通过活动让学生学习自　行获取数学知识的方法，学习主动参与数学实践的本领，进　而获得终身受用的数学基础能力和创造才能．所以在今后的　初中数学课堂上我们应大力培养这种能力，真正做到“学为　中心”．　

（上接第１０页）　能还有少数学生不会解．教师可以分层评价，促进不同层次　的学生都有所发展和提高．对数学基础较好的学生，评价他　们能否从不同角度分析问题，能否选择最优的方法解决问题；　对数学基础中等的学生，评价他们能否独立思考解决问题；　对数学基础较差的学生，评价他们能否回顾和反思解决问题　的过程，获得解题经验．　针对目标３，我们设计的评价问题是：　问题７如图，公路ＭⅣ与ＰＱ　在点Ｐ处交汇，且ＺＱＰＮ＝３０。，点　Ａ处有一所中学，ＡＰ＝１６０米．假设　拖拉机行驶时，周围１００米以内会受　图３