数学建模案例分析4习题五--差分方程方法建模
第四章差分方程建模
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(2)的通解
情况1 若特征方程（3）有n个互不相同的实根
1
，
,…,
n ,则齐次方程（2）的通解为
t C11 C n tn (C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（3）的k重根，通解中对应 k 1 t (C1 C k t ) 于λ的项为
出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时
或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形 式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。
这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了 一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系 的变量是既方便又有意义的。
满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数， 则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差 分方程 易见
yt sin 与 yt cos 均是它的特解，而 2 2 yt c1 sin t c2 sin t 2 2则为它的通解，其 中c1，c2为两个任
m A0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,... r
k
这就是差分方程（4）的解。把已知数据 A0 , r 代 入 A12n 0 中，可以求出月还款额。例如： m 444 .356 A 10000 , r 0.0052125 ,n 2 时，可以求出： 元。 • 模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改 变、目标的改变、某些特殊结果等。如果 令 Ak A ，则 A m ，并且
建模差分方程利息问题
建模差分方程利息问题建模差分方程利息问题一、引言在经济学和金融学中，利息是一种常见的概念。
利息可以理解为借贷资金所需要支付的费用或者投资所带来的收益。
为了更好地理解利息的计算和影响因素，我们可以通过建模差分方程来研究利息问题。
本文将深入探讨建模差分方程利息问题，并提供一些个人观点和理解。
二、什么是差分方程？差分方程是一种数学方程，描述了变量之间的关系，其中变量的变化是以离散的方式进行的。
差分方程常用于对动态系统进行建模和分析。
在利息问题中，我们可以使用差分方程来描述资金的增长或减少过程，从而计算利息。
三、利息的差分方程建模1. 假设资金开始时为P元，年利率为r。
2. 如果我们将资金投资一年，则有P元增长为P(1+r)元。
3. 如果我们将资金投资两年，根据复利计算有P(1+r)^2元。
4. 继续类推，如果我们将资金投资n年，则资金将增长为P(1+r)^n 元。
5. 由此可得，差分方程为：X(n) = X(0)(1+r)^n，其中X(n)表示n年后的资金金额，X(0)表示初始资金金额。
四、差分方程的求解与应用我们可以利用差分方程来计算各种情况下的利息。
下面通过几个示例来说明差分方程的求解和应用。
1. 一次性投资：假设我们有1000元，希望在5年后计算出资金的增长情况。
根据差分方程的公式，我们可以得到：X(5) = 1000(1+r)^5其中r为年利率。
通过这个公式，我们可以根据不同的利率和时间来计算不同情况下资金的增长。
2. 定期投资：假设我们每年投资1000元，希望计算出10年后的总资金。
利用差分方程，我们可以得到：X(10) = X(0)(1+r)^10 + 1000(1+r)^9 + 1000(1+r)^8 + ... + 1000(1+r)^1通过这个公式，我们可以计算出不同利率和不同年限下的总资金。
五、个人观点与理解利息是经济活动中的重要因素，对个人和经济体都有影响。
通过差分方程的建模，我们可以更好地理解利息的计算和变化规律。
数学建模-常微分方程模型及差分模型
i0
>1
1
1-1/
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i() 11 , 1
0,
1
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1i(t)
i0小
1
i(t)按S形曲线增长感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
2013-3-17
Anna
19
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t)s ,(t)r ,(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~平均感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
2013-3-17
Anna
18
模型3
di/dt
dii(1i)i /
dt
i
dii[i(11)]
dt
i
>1
假设 r(x)r s(x r,s0 )r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r(xm)0
2013-3-17
s r xm
Anna
r(x) r(1 x ) xm
9
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
数学建模之差分方程
差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。
其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。
所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。
第4章差分模型(数学建模)
对每个整数n 对每个整数n有
△an=an+1-an
例4.1 储蓄存单 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 1000美圆的储蓄存单 1% 件下的积累价值是一个数列 A={1000, 1010, 1020.10, 1030.30,1040.60…}
C
△bn=bn+1-bn=0.01bn-880.87
一阶动力系统方程
bn+1=bn+0.01bn-880.87
bn+1=1.01bn-880.87 b0=80000
一个序列就是定义在非负整数集上的函数 一个序列就是定义在非负整数集上的函数. 序列就是定义在非负整数集上的函数 一个动力系统是指序列各项之间的关系 动力系统是指序列各项之间的关系. 一个动力系统是指序列各项之间的关系 数值解是该动力系统的一张数值表 数值解是该动力系统的一张数值表 是该动力系统的一张
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
数模差分方程模型
可参照导数的四则运算法则学习
二 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 定义1
含有未知函数的差分yn , 2 yn ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F (n, yn , yn , 2 yn ,, m yn ) 0
定义2：
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yn , yn1,的方程，称为差分方程.
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
函数y f (n)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
2 yn (yn ) ( yn1 yn ) ( yn2 yn1) ( yn1 yn ) yn2 2 yn1 yn
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yn (2 yn ),4 yn (3 yn )
f x 0
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
数学建模中的差分方程算法
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
数学建模中的差分法
西北大学数学系
三 常微分方程向差分方程转化（数值解）
1 Euler 方法 求初值问题的近似解。
先把自变量所在的区间 n 等分；
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
t1 t0 t t2 t1 t x f (t, x)t
tn tn1 t
1 1, 2 1
时，方程（4）的平衡点是稳定的。
非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方 程（4）来研究。
xk2 a1xk1 a2 xk b,
(5)
对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根
i 1,(i 1,2,n,)
西北大学数学系
3 一阶非线性差分方程
xk1 f (xk )
由于
xk 1
b 1 a
a( xk
b) 1 a
0,
(1) k 0,1,2,
方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面 方程零点的稳定性。
xk1 axk 0, k 0,1,2, (2)
方程（2）的解可表示为
xk (a)k x0 , k 1,2,
可得到下面的稳定性结论。
(6)
平衡点 x 通过求解方程 x f (x)
而得到。
研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部 分的稳定性。
将方程（6）的右端在 x 点作泰勒展开只取 一次项， （6）近似为
xk1 f (x )( xk x ) f (x )
(7)
x 也是（7）平衡点。
西北大学数学系
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
数学建模案例分析2生态系统--差分方程方法建模.
§2生态系统一、一阶常系数线性差分方程其通解是对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解。
的算法是待定系数法。
（1）次多项式（2）指数函数二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。
开始时共有野兔只，我们来研究其数目随时间变化的规律。
假设第年野兔的数目用表示。
记第0年的野兔数为。
（1）先作如下的假设：下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为。
这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。
另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样，第年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）和上一年野兔的数目成正比，即可以列出方程：移项整理后得到方程（1）这里。
这是一阶常系数齐次线性差分方程。
可以计算出第年的野兔总数为。
这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设，，计算对应的值列表如下：0 1 2 3 4 8 10 15 20 50100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 576 83 668 20(亿这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！也许有人会认为太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说不应该算太大。
问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来？其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。
于是我们要改进模型。
（2）进一步的模型设想小荒岛上的青草最多可以养活只野兔。
是自然资源所能承担的野兔的最大容量。
我们修改关于野兔数目的假设如下：下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数，即与上一年的野兔数目有关。
这样我们得到方程（2）我们先来看看假设的合理性。
方程（2）等价于（3）方程左端是前后两年野兔数目的比值。
当与之差是一个较大的数时，说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数可以有一个较大的增长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学建模
数学建模
习题五
1、养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择。其中一种方案
是：投保人从某个年龄开始，每月固定向保险公司交纳一定数额的保费，直到60周岁为止。从满
60周岁的下个月开始，每个月从保险公司领取一份养老金，直到身故为止。在此期间，保险公司
需要用投保人所交的保费进行投资，才能保证到时能够兑付投保人的保险养老金，并尽量为保险
公司创造一定的利润。请通过建立数学模型解决下面问题：
（1）男性若从25周岁起投保，60周岁以后开始领取养老金每月2000元，直到75周岁身故为止
（这里不妨可以假设男性的平均寿命为75周岁）。在此期间的50年里，保险公司投资的月平均收
益率为0.5%（按复利计算），如果到投保人身故时，保险公司的利润是零，即不赔不赚，请你们
计算投保人应该每月交保费多少元？
（2）如果到投保人身故时，保险公司从他身上获得的利润是10000元，请你们计算投保人又应该
每月交保费多少元？
2、假设一个关于某个专题的一年内新发表的论文数目和现在的论文数成正比，有关该专题的论文
数目会怎么变化？如果再加上一个假设：新发表的论文数不能超过有关的学术杂志所能发表的论
文的总数，有关该专题的论文数目又会如何变化？
3、对短期能够生产出来的产品，建立其价格的数学模型，并将得到的数学模型与方程（6）作对
比。
4、如果发现某个市场上牛肉的价格变化每四年为一个周期，试建立一个基于期望价格的数学模型
来解释这个现象。这时的期望价格应该有什么特点？
5、某地1996~1999年汗衫背心的销售情况（单位：万件）如下表所示，试建立销售与季节关系
的数学模型。
年 份 季 度
1 2 3 4
1998 40 380 320 20
1999 67 685 870 43
6、汉诺（Hanoi）塔问题。有三根针A、B、C。A针上有64个盘子，大小不等，大的在下，小
的在上。要求把这64个盘子从A针移到C针上，在移动过程中可以借助B针，每次只允许移动
一个盘子，且在移动过程中在三根针上都要保持大盘在下，小盘在上。试写出移动n个盘子所需
要的次数na满足的差分方程。
7、下表的数据给出了一辆汽车的速率n（以5英里/每小时的增量计）以及从刹车到停止的距离na，
例如，6n（表示65=30英里/小时）时所需的停止距离是fta476。
（1）计算并画出变化na对n的图形。该图形能合理地近似表示一种线性关系吗？
（2）根据你在（1）中的计算，对停止距离数据求一个差分方程模型。通过画出与n相对应的预
测值的误差来测试你的模型，讨论模型的正确性。
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
n
a
3 6 11 21 32 47 65 87 112 140 171 204 241 282 325 376