第三讲函数的单调性奇偶性

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第三讲 函数的奇偶性、单调性
四．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2 确定f(－x)与f(x)的关系；
○3 作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定
义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．
4. 规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
1．判断下列函数的奇偶性

（1）4()fxx （2）5()fxx （3）1()fxxx （4）21()fxx．

（5）1122xxy （6）xxxxf11)1()(（7）xxxf11lg)(

（8）xxxf1lg)(2 （9）xxflg)(（10）1212xxy
2 已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数. 当)0,(x时，4)(xxxf，则当
),0(x
时，)(xf .
3.已知函数)0)((xRxxf，对任意不等于零的实数21xx、都有)()()(2121xfxfxxf，试
判断函数f（x）的奇偶性。

4已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数.
（1）求b的值；
（2）求值域；
（3）判断函数fx的单调性;

（4）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围．

5已知函数2()fxaxbxc,23,1xa是偶函数,则ab
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6、已知1,011logaaxxxfa
（1）求()fx的定义域；（2）判断函数()fx的奇偶性并加以证明.（3）求使0xf的x取值范围。

五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)
（或f(x1)＞f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数.
定义的变式

设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；


1212
()()()0xxfxfx



baxfxxxfxf,)(0)()(2121在




上是减函数.

2 复合函数单调性
设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)

的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。
1.下列函数中在（-，0）上单调递减的是（ ）
（A）y＝1xx （B）y=1-x2（C）y=x2+x （D）y=-x1

2.确定函数12xaxxf在区间1,1上的单调性。

3.确定函数21xaxxf在区间,2上的单调性。

4. 已知定义在1,1上的奇函数)(xf在1,1上是减函数, 且0)32()1(afaf,求
a

的取值范围．

5、 已知)(xf是定义在]1,1[上的增函数，且)1()2(xfxf，求x的取值范围.
6. 设)(xf定义域为（-，+），对于任意的yx,均有)()()(yfxfyxf.且对于任意的
0x
都有0xf，33f
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（1）求证：)(xf是（-，+）上的减函数；
（2）求证：)(xf是奇函数；
（3）求函数在区间]2,2[上的值域。

7求下列函数的单调区间.
(1)y=log2(x-4)； (2) y＝232)31(xx. (3) y=log0.5(-x2+2x+8)

8.1()(1)1xxafxaa
（1）判断()fx的奇偶性（2）求()fx的值域（3）证明()fx在R上是单调增函数

9.设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
○1 求f(0)、f(1)的值；
○2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

10.已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是 （ ）
（A）(0,1) （B）1(0,)3 （C）11[,)73 （D）1[,1)7

巩固练习
1、已知函数141)(xaxf，若)(xf为奇函数，则a ．
2、若函数()11xmfxa是奇函数，则m为__________。
3.利用奇偶性求解析式
（1）已知)(xfy在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2，则0x时，)(xf的解析式为
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（2）已知()fx是R上的奇函数，且当(0,)x时，3()(1)fxxx，则()fx的解析式为
4 奇偶性的应用之参数问题
（1）已知函数2()fxaxbxc,23,1xa是偶函数,则ab

（2）已知1()21xfxm为奇函数，则(1)f的值为
5 奇偶性与单调性的综合问题
（1）已知)(xf是R上的偶函数，且在),0(上是增函数，则)(xf在)0,(上的单调性为

（2）设奇函数()fx的定义域为5,5若当0,5x时,
()fx的图象如右图,则不等式()0fx
的解是
（3）已知()fx是定义在R上的偶函数，它在0,上递减，那么一定有

.A23(1)4ffaa .B
3
4
f




≥2(1)faa

.C23(1)4ffaa .D
3
4
f




≤2(1)faa

（4）若函数()fx是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且(2)0f，则使得()0fx的x的取值范围是
（ ）
.A,2； .B2,；.C,22,； .D2,2

（5）如果奇函数()fx在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么在区间7,3上是
.A增函数且最小值为5 .B增函数且最大值为5
.C减函数且最小值为5 .D减函数且最大值为5
（6）.设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

（7）.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝11x，求f(x)、g(x)。
（8）.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

y
x
O
2

 5 

()yfx

