概率与统计习题及解答

一.判断对错 6.假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为p，则由n个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为np. 注：设iA--第i人的血清中含有肝炎病毒。B--由n个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒。则

311()niiiiPBPAPAnp





-------------------------------------------X



11()111nnniiiiPBPAPAp





 二.填空 1． 已知P(A)＝0.7，P(A-B)＝0.3，则PAB

解：()()()0.3()()0.30.70.30.4PABPAPABPABPA 1()10.40.6PABPAB。 2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等, 则P(A)= . 解： 1()()();()()()()()()9PABPAPBPABPAPBPABPAPB

即1()()()1()()()PAPBPAPBPBPA 12(),()33PAPA 3.已知A与B相互独立，且互不相容则min(P(A),P(B))= 解：因为A与B相互独立，故()()()PABPAPB；又因为A与B互不相容，故()0PAB。

所以()()0PAPB。而()0,()0PAPB， 故min(P(A),P(B))=0。 4．设A,B是两个随机事件, 且 0()1,(PAPB， (|)(|)PBAPBA， 则必有()()()PABPAPB。

证：

()()()()(|)(|)()()1()()1()()()()()()()PABPABPBPABPBAPBAPAPAPAPABPAPAPBPABPABPAPB



 三、设一人群中A、B、AB、O型血的人所占比例分别为37.5%、20.9%、7.9%、33.7%。已知能允许输血的血型配对如下表。现在该人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血成功的概率为多少？

输血者 受血者

A型 B型 AB型 O

型

A型 √ Х √ √ B型 Х √ √ √ AB型 √ √ √ √ O型 Х Х Х √ √：允许输血 Х：不允许输血。 解：设A1=“输血者的血型为A型”，A2=“输血者的血型为B型”，A3=“输血者的血型为AB型”，A4=“输血者的血型为O型”C=“输血成功”。 由题义及输血表知： P(A1)=0.375， P(C |A1)= 0.375+0.079=0.454， P(A2)=0.209， P(C| A2)= 0.209+0.079=0.288， P(A3)=0.079， P(C |A3)= 0.375+0.079+0.209=0.663 P(A4)=0.337， P(C |A4)=1

由全概率公式，41()(|)()iiiPCPCAPA= 0.6198 四、加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：设iA--第i道工序加工出来的零件是次品，i=1,2,3，4; B--工出来的零件是次品。

412341()110.980.970.950.970.124iiPBPAPAPAPAPA





 五、某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1：2：1，出售灯泡时需试用。一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1,0.2,0.3.一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率。 解：设iA--取到i级品，i=1,2,3；B--试用时被烧毁。

123():():()1:2:1PAPAPA, 且123()()()1PAPAPA

13211()(),()42PAPAPA。

由Bayes公式， 

3333

1(|)0.7147(|)0.9140.8120.71432(|)iiiPBAPAPABPBAPA



 六、有两箱同类的零件,第一箱装50只,其中5只次品;第二箱装30只,其中5只次品.

今从两箱中任取一箱,然后从该箱中任取两次,每次取一件,做不放回抽样.试求在第一次取到一件次品的条件下,第二次仍取到次品的概率. 解：设iA--第i次取到次品，i=1,2；B—取到第一箱。

求12211()(|)()PAAPAAPA，其中，由全概率公式，

1111552()(|)()(|)()2503015PAPABPBPABPB



225512121222

5030

1()(|)()(|)()0.01562CCPAAPAABPBPAABPBCC



210.0156(|)0.117215PAA。 七、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其

它字母的概率为12。今将字母AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p1、p2、p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA，问输入是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。） 解：设A1--“输入是AAAA”，A2---“输入是BBBB”，A3---“输入是CCCC”，B--“输出是ABCA”，

由Bayes公式，11131()()(|)()()iiiPBAPAPABPBAPA

=8/)1(8/)1(4/)1(4/)1(3323122122pppp=1)13(211pp 1 某射手对靶独立射击5发，若5发全中靶得10分，命中4发可得6分，命中3发可得3分，命中2发可得1分，其它情况得负1分. 已知该射手的单发命中概率为0.8， 求他的期望得分数. 解：设X—命中发数，Y—得分数，则~(5,0.8)XB， Y 10 6 3 1 -1 Pk P{X=5} P{X=4} P{X=3} P{X=2} P{X=0}+ P{X=1}

544332

55

22314555

100.860.80.230.80.20.80.20.80.20.26.39EYCCCC

 2. 一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4 ，且相互独立，试用两种方法求发生故障的元件数X的数学期望。 解法一： 336.06.07.08.0)0(XP

(1)0.20.70.60.80.30.60.80.70.40.452PX (2)0.20.30.60.20.70.40.80.30.40.188PX 024.04.03.02.0)3(XP

9.0024.03188.02452.01336.00)(XE 解法二： 设iA－第i个元件发生故障 不出现出现iiiAAX,0

,1

则321XXXX，显然)()(iiAPXE＝ 9.04.03.02.0)()()()(321XEXEXEXE 3．设随机变量X与Y独立,且均服从N(0,1)分布,求E|X-Y|. 解法一： ~(0,1),~(0,1)XNYN, 且,XY相互独立，故~(0,2)XYN， 2244

012||||2zzzEXYzedzedz

解法二：2221,2xyfxye 

22222222222222

2222222

1||||2112212122xyxyxyxyxyxxyxyyyxyxyxEXYxyedxdyxyedxdyyxedxdydyxedxdxyedydxyedxdyxedy









