近世代数课件--21环的概念
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近世代数课件环的概念
§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
§1 环的概念
(4)根据(2),我们有 a(b c) a(b (c)) ab a(c) ab ((ac)) ab ac .
同理可证, (b c)a ba ca .
(5-7)的证明留作练习.□
作业 p36,第 1-3 题;第 5-7 题.
谢谢！
§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系 数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项 式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
§1 环的概念
(5)
m i 1
ai
n
bj
j 1
m i 1
n j 1
例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
近世代数 第21讲
第21 讲§6. 多项式环(Rings of polynomials )本讲的教学目的和要求:在高等代数中,已经建立了数域F上的多项式环的一般理论,但是在处理某些问题时常会遇到诸如整系数多项式，矩阵系数多项式(譬如 —矩阵)等环上的多项式,它们与数域的多项式相比,有很多本质上的差异故此,有必要讨论环上多项式环的一般理论,这正是本讲的目的.为此对学习本讲,提出如下要求:1、明确代数元和超越元的概念以及什么是R上的关于超越元的多项式歪.(本教材称超越元为半定元—与高等代数中的称呼一致)2、超越元(半定元)的存在性定理和多项式环存在性定理的证明需要弄懂.3、对多元多项式的本质上的理论问题需要清楚.本讲的重点和难点: 本讲是高等代数中多项式环(定义在数域上)的推广,是本章中众多类型中的“另类”.由于环的“型”不同，故研究的方法也不同，这是难点之一。
如何清醒地认识到不能直接用“高代”的理理论直接套用，是关键。
而本讲的重点“存在性定理”的证明。
一、多项式环的定义。
设R 是一个含有单位元1R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R∈01，现考察0R 中含R 及任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα 显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个 子环)()()∑∑====∀nj jj mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i j i k b a C又 ()()∑∑==-=-=-mi ii mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环. 显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么[]2Z中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象: ()02210=++++=nn a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即 002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义 4. 设()()0210≠++++=n n n a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
近世代数课件全21 群的定义.ppt
aa1 eaa1 a'a1 aa1 a' a1a a1 a'ea1 a'a1 e
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
近世代数课件多项式环
(d0 , d1, d2 , , di , ) , 其中, (a0 , a1, a2 , , ai , ) 和 (b0 , b1, b2 , , ai , ) 为 R 上的任意 一元多项式;对于每一个非负整数 i ,
ci ai bi , di a jbk . jk i
§2 多项式环
(1) R 上的每一个一元多项式都可以表示成如下形式:
n
a0 x0 a1x1 a2 x2 an xn (或 ai xi ), i0
其中 n 是某个非负整数,所有的 ai R .特别地,当 f (x) 是 n 次多 项式时, an 0 .反过来,每一个这种形式的表达式都表示 R 上的 唯一的一个一元多项式.
n
a0 y0 a1 y1 a2 y2 an yn (或 ai yi ). i0
§2 多项式环
定义 2.3 设 R 是一个有单位元1的环.对于一切的正整数
n ,我们递推地定义 R 上的 n 元多项式环 R[x1, x2, xn ] 如下: 当 n 1 时, R[x1] (其中 x1 为 R 上的不定元)是 R 上的一元
项式,则
i0
j0
mn
f (x) g(x)
aibj xk .
k 0 i jk
当然,我们也可以用其它记号作为 R 上的不定元,例
如, y, z, x1, x2 ,等等.例如,我们也可以将 R 上的所有一元多项 式构成的集合记作 R[ y] ;这时 R 上的每一个一元多项式都可
以表示成如下形式:
(2)若 R 是交换环,则 R[x] 也是交换环. 证明 根据定义直接验证.□
§2 多项式环
到此为止,我们已经介绍了有单位元 1 的环 R 上的一元多项 式环的概念.下面介绍表示环 R 上的一元多项式的常用方法.
ci ai bi , di a jbk . jk i
§2 多项式环
(1) R 上的每一个一元多项式都可以表示成如下形式:
n
a0 x0 a1x1 a2 x2 an xn (或 ai xi ), i0
其中 n 是某个非负整数,所有的 ai R .特别地,当 f (x) 是 n 次多 项式时, an 0 .反过来,每一个这种形式的表达式都表示 R 上的 唯一的一个一元多项式.
n
a0 y0 a1 y1 a2 y2 an yn (或 ai yi ). i0
§2 多项式环
定义 2.3 设 R 是一个有单位元1的环.对于一切的正整数
n ,我们递推地定义 R 上的 n 元多项式环 R[x1, x2, xn ] 如下: 当 n 1 时, R[x1] (其中 x1 为 R 上的不定元)是 R 上的一元
项式,则
i0
j0
mn
f (x) g(x)
aibj xk .
k 0 i jk
当然,我们也可以用其它记号作为 R 上的不定元,例
如, y, z, x1, x2 ,等等.例如,我们也可以将 R 上的所有一元多项 式构成的集合记作 R[ y] ;这时 R 上的每一个一元多项式都可
以表示成如下形式:
(2)若 R 是交换环,则 R[x] 也是交换环. 证明 根据定义直接验证.□
§2 多项式环
到此为止,我们已经介绍了有单位元 1 的环 R 上的一元多项 式环的概念.下面介绍表示环 R 上的一元多项式的常用方法.
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
近世代数第二章
1
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数课件--第三章 环与域
2012-9-19
§３除环、域
除环的性质：
１、除环无零因子。
因为
a 0, a b 0 a a b b 0
1
２、除环Ｒ的不等零的元对于乘法来说作成一个群Ｒ＊
称为除环Ｒ的乘法群。
注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的 桥梁。
§３除环、域
方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1. 但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1b＝ba-1 所以在域中可以用
b a
表示a-1b和ba-1。
则有以下结论：
１、
b a c d
c d
当且仅当ad=bc时成立；
ad bc bd
２、
b
a
a c ac ３、 b d db
§３除环、域
例３Ｒ＝｛所有复数对 ( , ) ｝。这里规定
( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 1 2 , 1 2 )
0
2 2
2
零元a有 但是
( n1 a )( n 2 a ) ( n1 n 2 ) a n a 0
与Ｒ是无零因子环矛盾，所以n是素数。
n , 0 a 1n
§４无零因子环的特征
推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 结论：在一个特征为p的交换环中有
(a b)
p
a
用符号
i 1
n
ai
即：
i 1
n
a i a1 a 2 a n
加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示
则有运算规则： 0 a a 0 a
a a a a 0
§３除环、域
除环的性质：
１、除环无零因子。
因为
a 0, a b 0 a a b b 0
1
２、除环Ｒ的不等零的元对于乘法来说作成一个群Ｒ＊
称为除环Ｒ的乘法群。
注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的 桥梁。
§３除环、域
方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1. 但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1b＝ba-1 所以在域中可以用
b a
表示a-1b和ba-1。
则有以下结论：
１、
b a c d
c d
当且仅当ad=bc时成立；
ad bc bd
２、
b
a
a c ac ３、 b d db
§３除环、域
例３Ｒ＝｛所有复数对 ( , ) ｝。这里规定
( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 1 2 , 1 2 )
0
2 2
2
零元a有 但是
( n1 a )( n 2 a ) ( n1 n 2 ) a n a 0
与Ｒ是无零因子环矛盾，所以n是素数。
n , 0 a 1n
§４无零因子环的特征
推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 结论：在一个特征为p的交换环中有
(a b)
p
a
用符号
i 1
n
ai
即：
i 1
n
a i a1 a 2 a n
加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示
则有运算规则： 0 a a 0 a
a a a a 0
Chapt21 环与域
2016/12/5 离散数学 13
交换环
定义21.1.2：设R是环，若R的乘法也满足交换 律，即 ab = ba，a, b∈R，则称R是个交换环。 显然，对于交换环，还满足第三指数律，即对 a, b∈R，n≥1，有 (ab)n = anbn (第三指数律)。 而且由数学归纳法可证明二项式定理： (a+b)n = an + Cn1an–1b + Cn2an–2b2 + … + bn。 前述的例1和例2中的环都是交换环，但例3即 所有实数n阶方阵作成的集合，对矩阵的加法 和乘法构成的环不是交换环。 .
2016/12/5 离散数学 17
整环
定义21.1.5：含幺且无零因子的交换环称为整 环。 整环是含幺环、交换环和无零因子环的综合， 因此，整环自然就 (1)乘法有单位元； (2)乘法满足交换律； (3)无零因子； (4)乘法满足消去律。 例1中的环都是整环。
离散数学 18
离散数学
9
负负得正
证明：因为由分配律得： a(–b)+(–a)(–b) = [a+(–a)](–b) = 0(–b)=0 且a(–b)+ab = a[(–b) + b] = a0 = 0 所以a(–b)+(–a)(–b) = a(–b) + ab。 再由消去律得(–a)(–b)= ab。 这个性质说明在环中，两个元素的乘积 等于它们的负元的乘积，即负负得正。
第二十一章
环与域
2016/12/5 离散数学 1
目录
群是只有一种二元运算的代数系统。本章介绍 具有两种二元运算的代数系统—环与域：
§21.1 §21.2 §21.3 §21.4 §21.5
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§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系
数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项
式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
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第二章 环 论
2/26/2020
数学与计算科学学院
目录
§1 环的概念
§2 多项式环
§3 理想与商环
§4 环的同态
§5 交换环
§6 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
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§1 环的概念
本章简略地介绍一下环论.
显而易见,若环 R 有单位元,则环 R 只有一个单位元. 我们约定,不致混淆时,将环 R 的单位元记作1.
注意 当环 R 有单位元1时,1 0 当且仅当 R {0} .只 有一个元素的环称为零环.
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§1 环的概念
是, n | (a a1) , n | (b b1) .由等式 ab a1b1 a(b b1) (a a1)b1
可知, n | (ab a1b1) ,从而, [ab] [a1b1] .这样一来,我们可以定义 Ζ n 上的 乘法“ ”(称为模 n 剩余类的乘法)如下:
同理可证, (b c)a ba ca .
(5-7)的证明留作练习.□
作业 p36,第 1-3 题;第 5-7 题.
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§1 环的概念
如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作“”, 那么习惯上要对术语和记号作相应调整:
设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的减法如下: a b a (b) , a, b G .
§1 环的概念
例 1 容易验证,整数集 Z 关于整数的加法和乘法 构成一个环(称为整数环).类似地,有理数集 Q 关于有 理数的加法和乘法构成一个环(称为有理数环);实数集 R 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为实数环); 复数集C 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为复 数环).此外,若令 R 表示全体偶数构成的集合,则 R 关 于偶数的加法和乘法构成一个环(称为偶数环).
[a][b] [ab] , a, b Z .
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§1 环的概念
容易验证,模 n 剩余类的乘法“ ”适 合 结 合 律 , 并 且对 模 n 剩余类的加法“”适 合 分 配 律 . 所 以 (Z n , , ) 是 一 个 环(称为模 n 剩余类环).
我们约定，今后凡是提到“环Ζ n ”，总是指模 n 剩余类环.
例 4 令 Z[x], Q [x], R[x] 和 C[x] 依次表示全体整系 数一元多项式,全体有理系数一元多项式,全体实系数一 元多项式和全体复系数一元多项式分别构成的集合.
Байду номын сангаас
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例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
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§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
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§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
(3)根据(2),我们有 (a)(b) (a(b)) (ab)) ab.
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§1 环的概念
(4)根据(2),我们有 a(b c) a(b (c)) ab a(c) ab ((ac)) ab ac .
例 6 在例 1-4 所提到的各个具体的环中,只有 P nn (其中 n 1)是非交换环;只有偶数环没有单位元.
命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
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§1 环的概念
证明 (1)由于 0a 0a (0 0)a 0a ,因此 0a 0 . 同理可证, a0 0 .
(2) 由 于 ab (a)b (a (a))b 0b 0 , 因 此 (a)b ab.同理可证, a(b) ab .
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§1 环的概念
当 (R, , ) 是一个环时,我们就称 R 关于“” 和“ ”构成一个环;群 (R, ) 称为环 R 的加群,其 零元又称为环 R 的零元,不致混淆时记作 0 .
当 0 是环 R 的零元时,我们当然有 n0 0 , nZ ;特别地,我们有 00 0 ,其中第一 个 0 表示整数零,后两个 0 表示环 R 的零元
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§1 环的概念
一般地说,凡是数(无论是实数还是复数)集关于 数的加法和乘法构成的环都称为数环.
显而易见,凡是数环都以数 0 为其零元.
例 2 设 n 是正整数.令 P nn 表示某个数域 P 上的 全体 n 阶方阵构成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法 和矩阵的乘法构成环(称为 P 上的 n 阶全阵环),其零 元为零矩阵.
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§1 环的概念
以下,如无具体说明,凡是提到“环 R ”,总是指“环 (R, , ) ”,其零元记作 0 .在对环 R 中的元素施行乘法运 算的过程中,常常略去乘号“ ”;与对待数的加法和乘法一 样,我们有“先乘后加”的约定,例如,等式 a (b c) (a b) (a c) 可以写成
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 ab c cb a.
因此我们称减法是加法的逆运算.
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§1 环的概念
定义 1.1 设 R 是一个非空集合,加法“”和乘法 “ ”是 R 上的两个代数运算.若“”和“ ”满足条件:
(1) (R, ) 是一个交换群; (2)“ ”适合结合律; (3)“ ”对“”适合分配律,即
a (b c) (a b) (a c) , (b c) a (b a) (c a) , a, b, c R , 则称 (R, , ) 是一个环;不致混淆时,简称 R 是一个环.
a(b c) ab ac ; 对于任意的 a, b R ,将 (ab) 简写成 ab .此外,由于环 R 的乘法适合结合律,因此对于任意的 aR 和任意的正整 数 n , an 有意义(参看第一章§1).
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在正式表述环的定义时,我们要用到交换群的概念.
这里先就交换群作一点补充说明.
设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的除法如下: a ab1, a, b G . b
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 a c cb a . b
因此我们称除法是乘法的逆运算.