大学解析几何试卷及答案(一)

《空间解析几何》期末考试试卷(A)
考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟
班号 学号 姓名 得分
1 下列等式中正确的是 ( ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )
2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c
2 已知向量a 与b 的夹角为23
π, 且||3a =, ||4b =, 则2
()a b +为 ( )
A 14
B 13
C 12
D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( )
A
1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12
δ=-
4 直线320
:0
x y z l x y z +--=⎧⎨
-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( )
A (1,0,1)--,
3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6
π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线2
2
3426250x xy y x y ++--+=属于 （ ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.
二 填空题(每空3分,共18分)
1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为 .
2 在直角坐标系下, 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为 .
3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为 .
4 曲线⎩
⎨⎧=++=+2
22222:a z y x ax
y x L 在xOz 面上的投影曲线方程为 . 5 二次曲线2
2
2430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是 .
6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与22
20x y x y ---=的交点，并且还通过点
(2,2)-，这条二次曲线的方程为 .
三 试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线1
2341:
1z
y x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)
四 在空间直角坐标系中,直线1l 和2l 的方程分别为
1l ：11142412x t y t z t
=-+⎧⎪
=-⎨⎪=--⎩和2l ：
2
22545355x t y t z t
=-+⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
（1）求过1l 且平行于2l 的平面方程；（2）求1l 和2l 的距离；（3）求1l 和2l 的公垂线方程.（15分） 五 求直线01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程，并就α与β可能的值讨论曲面类型.（15分）
六 将二次曲线22230x xy y x y ++++=化成标准型，并作出它的图形.（14分）
七 求与两直线161:
321x y z l --==和284
:322
x y z l -+==
-都相交,且与平面:2350x y ∏+-=平行的直线的轨迹. (10分)
《空间解析几何》期末考试试卷答案(A)
考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟
班号 学号 姓名 得分
1 下列等式中正确的是 ( B ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )
2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c
2 已知向量a 与b 的夹角为23
π, 且||3a =, ||4b =, 则2
()a b +为 ( B )
A 14
B 13
C 12
D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( C )
A
1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12
δ=-
4 直线320
:0
x y z l x y z +--=⎧⎨
-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( D )
A (1,0,1)--,
3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6
π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( A ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线2
2
3426250x xy y x y ++--+=属于 （ B ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.
二 填空题(每空3分,共18分)
1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为222(3)(1)(1)21x y z -+++-=.
2 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为
153
635
x y z -++==
--. 3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为2360x y z -+-=.
4 曲线⎩⎨⎧=++=+2
22222:a
z y x ax y x L 在xOz 面上的投影曲线方程为220
:0z ax a L y ⎧+-=⎨=⎩.
5 二次曲线2
2
2430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是5460x y --=.
6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与22
20x y x y ---=的交点，并且还通过点
(2,2)-，这条二次曲线的方程为2224527340x xy y x y -+--+=.
三 试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线1
2341:
1z
y x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)
解法一 先求l 的一个方向向量),,(Z Y X υ。

因为l 过点0M ，且l 与1l 相交，所以有
0124)
2(00301=-----Z
Y
X
即 02=-+Z Y X 2分
又因为l 与1∏平行，所以有 023=+-Z Y X 1分 联立上面两个方程解得： ,0=X Z Y 2= 1分 令1=Z ，得2=Y ，所以l 的方程为
1
2
20+=
=z y x 1分 解法二 l 在过点0M ，且与平面1∏平行的平面2∏上，设2∏的方程为 023=++-D z y x ， 1分 将0M 的坐标代入，求得4=D ，所以2∏的方程为
0423=++-z y x 。

1分
l 又在过点0M 以及直线1l 的平面上3∏，3∏的方程为
0)
2(0030
11
2
4)2(00
=---------z y x 即042=--+z y x 。

2分
因为l 是2∏与3∏的交线，所以l 的方程为 ⎩⎨
⎧=--+=++-.
042,
0423z y x z y x 1分
解法三 设l 与1l 的交点为),,(2222z y x M ，因为2M 在1l 上，又121//∏M M ，所以有
⎪⎩⎪⎨⎧
=++---=--=-.
0)2(2)0()0(3,
1
2341222222z y x z y x 2分 解之，得2M 的坐标为)4
1
,27,0(-， 2分 因此l 的方程为
,24
12720+-+==z y x 即 1220+==z y x 。

1分
四 在空间直角坐标系中,直线1l 和2l 的方程分别为
1l ：11142412x t y t z t
=-+⎧⎪
=-⎨⎪=--⎩
和2l ：
2
22545355x t y t z t
=-+⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
（1）证明它们是异面直线；（2）求1l 和2l 的距离；（3）求1l 和2l 的公垂线方程.（15分）
（1）证明90∆=≠ （2）{1,2,2}v =--,3d =.
（3）1l 和2l 的公垂线方程2210,16135100.x y z x y z +++=⎧⎨++-=⎩
五 求直线
01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程，并就α与β可能的值讨论曲面类型.（15分） 22222x y z αβ+-=,α与β都不为0，单叶旋转双曲面；圆锥面；圆柱面；直线（z 轴）
六 将二次曲线22230x xy y x y ++++=化成标准型，并作出它的图形.（14分）
答案：122,0,I I ==
标准方程为2
''2
y x =-
七 求与两直线161:
321x y z l --==和284
:322
x y z l -+==
-都相交,且与平面:2350x y ∏+-=平行的直线的轨迹. (10分)
22
2188
x y z -=。