习题库续2

1 习 题 库 续 1．若同一点列的两个对合中至少有一个是椭圆型的，证明这两个对合必有公共的对应点对。 2．若同一点列的两个对合中至少有一个是椭圆型的，试证此两对合的积必有二重点。 3．若直线l交ΔPQS的三边PQ、PS、SQ于A′、B′、C′，这些点与l上另三个点A、B、C是l上的一个对合的三对对应点，试证AS、BQ、CP共点。 4．给定点O及直线l（lO），若以O为中心，以l为轴的透视变换的任一对对应点X、X′其连线交l于S，满足（OS，XX′）= –1，则称此透视变换为调和透视。证明在透视变

换中，若存在一对对应点00,ZZ调和分离透视中心与00ZZ和透视轴的交点，则此透视是调和透视。 5．设ΔABC和ΔA′B′C′的三对顶点A、A′；B、B′；C、C′确定一个调和透视变换，证明这两个三角形同时内接于一条二次曲线。 6．证明射影平面上的非恒等的对合是调和透视。 7．一直线l分别交完全四点形的六边于六个点，在各边上取两顶点位于对边上的第四调和点，又得六点，证明位于对边上的两点的连线共点。 8．证明有心二阶曲线的外切平行四边形四边上的切点也构成平行四边形。 9．设c是非退化二次曲线，在一直线m上任取一点P，过P任作c的割线PAD，PCB，BD交m于N，AC交m于M，而AC与BD交于R，RS交m于E，证明： （MN，PE）= –1。 10．在非退化的二次曲线上任取两点A、B，在直线AB上取两点C、D，使CA=BD，设弦PQ通过AB的中点M，连CP、DQ分别交二次曲线于另一点R、S，证明R、S、M共线。

11．在二次曲线c的内接六点形ABCDEF中，设,1AEBDB,2BFCEB

ADCFB3；ACDFCCFBECBEADC321,,，证明321BBB与

321CCC是透视的。 12．设点列的射影变换是抛物型的，无穷远点是自对应点，若RPPP,，试证：P′是线段PR的中点。 13．设直线m与二次曲线c不相切，在m上任取一点P，过P作c的割线PAD与PBC，AC交m于M，BD交m于N，P的极线交m于E，证明（MN，PE）= –1。 14．设直线m与二次曲线c相切于E，在m上任取异于E的点P，过P作c的割线PAD与PBC，AC、BD分别交m于M、N，证明（MN，PE）= –1。 15．设直线m与二次曲线c的与m的方向共轭的直径相交于点P，过P作c割线PAD和PBC，AC、BD分别交m于M、N，证明：MP=PN。 16．设直线m交两定直线l、l′于K、L，在m上任取点P，Q是K、L、P的第四调和点，过P任作直线PAD交l、l′于A、D，再作直线PBC交l、l′于B、C，AC、BD分别 2

交m于M、N，证明：证明（MN，PQ）= –1。 17．设A、B是关于圆的一对调和共轭点，M是AB的中点，过M任作一直线交圆于C、D，AC、AD分别交圆于另一点E、F，证明：EF//AB。

18．若三条二次曲线相切于一点X，此外还两两相交于21,AA；21,BB；21,CC，则

21AA、21BB；21CC共点。 19．设二次曲线1c与2c相切于X、Y，另一二次曲线与21,cc相切于X外，还交1c于21,AA，交2c于21,BB，证明1c与2c在Y的切线与21AA、21BB共点。 20．设二次曲线1c与2c切于两点X、Y，另一二次曲线与21,cc相切于X外还交1c于

21,AA，交2c于21,BB，则2121BBAA的轨迹是一直线。 21．在四边形ABCD中，设AB×CD=X，AD×BC=Y，过X任作一直线分别交BC、AD于E、F，过Y任作一直线交AB、CD于G、H，证明FG×EH的轨迹是一条直线。

22．设ABCD是二阶曲线c的内接四点形，过A、B分别任作二条二次曲线21,cc，21,cc分

别与c相切的于C、D，设21,cc除A、B外还相交于P、Q，证明：PQ通过一个定点。 23．设二次曲线1c与2c相交于A、B且相切于点C，在2c上取一点D，过A、B作二次曲线c与2c相切于D，交1c于P、Q（异于A、B），则P与Q间的对应是1c上的一个对合。 24．给定一条二次曲线c及两条直线ll,，过l上的点P的在l′上的关于c的调和共轭点为P′，证明：l（P）―Λ)(Pl。 25．给定四条直线mmll,,,，过m上的点M作直线交ll,于L、L′，设L、L´交于O，在

m′上取点M´，使O（MM′，LL′）= –1，证明：m（M）―Λ)(Mm。 26．任给六个实数222111,,,,,cbacba，使满足0,022221121cabcab，证明： 0))((4)(1221122121221babacbcbcaca。 27．设ΔABC的边AB、AC上的动点P、P′满足（BAP）=（CAP′），证明：BP′与CP的交点的轨迹是一条直线。 28．设二阶曲线的外切四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的切点分别为E、F、G、 3

H，BH、BD、BG分别交AC于X、Y、Z，证明： （i） （YA，CX）+（YA，CZ）=1； （ii） 若（YA，CX）= –1，则（YC，AZ）= –1。

29．一直线p与二次曲线31,0jijiijxxaS相切于点P，证明p关于与S=0共焦的二次曲线束的极点的轨迹是S=0的过P的法线。 30．求证共焦束12222byax的平行于直线y=mx的切线上的切点的轨迹是一条过焦点的双曲线（m=±1时退化）。 31．求证平行于y=mx且与y²=2px的共焦束中的曲线相切的切线上的切点的轨迹是过焦点的一条直线。 32．设四点形ABCD内接于二次曲线，证明二次曲线上任一点到四边形对边的距离之积的商为常数。 33．证明到定四点形ABCD的对边距离之积的比是常数的点的轨迹是二条二阶曲线。 34．求证：抛物线的交于定角的切线交点的轨迹是直线。 35．证明在一维基本形的双曲型射影变换下，对任一元素P，证明：

))()(),((32PPPP是一个常数。 36．证明在一维基本形的抛物型射影变换下，对任一元素P，证明：

))()(),((32PPPP是一个常数。

37．证明在一维射影变换下，对任一元素P，证明：))()(),((32PPPP是一个常数。 38．设AXX:是非恒等的一维射影变换，则3是恒等变换等价于（trA）² – |A| = 0。 39．直线AB与有心二次曲线c切于B，过线段AB的中点另作直线与切于C，证明：AC通过一个定点。 40．直线AB与抛物线切于B，过线段AB的中点另作直线切c于C，证明AC具有固定方向。 41．设直线AB与二次曲线c切于B，M是AB上的动点，M′是B、M、A的第四调和点，过M′作直线交c于C、D，MC、MD分别交c于另一点E、F，证明：EF经过一个定点。 42．设A、B、C三点共线，D、E是直线AB外的两点且满足AD//BE，BD//EC，证明：ΔDBE的面积是ΔADB与ΔBEC的面积的比例中项。 43．在二次曲线c上取定三点A、B、C，在c外取两点O、O′，设AO、BO、CO交c于另一点X、Y、Z，AO′、BO′、CO′交c于另一点X′、Y′、Z′，P=YZ′×Y′Z， 4

Q=ZX′×Z′X，R=XY′×X′Y，证明：O、O′、P、Q、R共线。 44．设直线l与四点形ABCD的四边AB、BC、CD、DA交于E、F、G、H，证明：

HADHGDCGFCBFEBAE=1。

45．设A和B关于二次曲线c共轭，过A任作一割线交c于Q、R，而BQ、BR分别交曲线c于S、P，求证：A、S、P共线。 46．已知共圆四点A、B、C、D，证明与ΔABC的三边相切且以D为焦点的抛物线唯一存在。 47．从圆上的点P向圆的内接三点形的边作垂线，垂足主为A、B、C，证明A、B、C共线（西摩松线）。 48．证明完全四线形的每三边构成的四个三角形的外接圆共点（密克点）。 49．中心为O的椭圆上的一点和短轴的两端点所连直线交长轴于Q、R两点，求证：OQ•OR为定值。 50．过二次曲线的弦BB′上的一点O作BB′的共轭直线l，设P是二次曲线上的任一点，

BP×l=M，B′P×l=N，证明：l（M）―Λ l（N）是一个对合。 51．设c是非退化二次曲线l，l′是两定直线（非共轭直线），P、P′分别为l，l′上的

动点，满足P与P ′关于c调和共轭，证明：l（P）―Λ)(Pl。

52．对于非退化二阶曲线31,0jijiijxxaS上的任意四点A、B、C、D有0bcadbdacSSSS。

53．在非退化二阶曲线31,0jijiijxxaS上任意取定四点A、B、C、D，那么对曲线上任一点M有bcadbdacSSSSCDABM),(。当MA、MB与MC、MD互相分割时取“-”，不分割时取“+”。 54．证明射影变换0||,333231232221131211ijaXaaaaaaaaaX是透视变换

2000221132312311332113123322132312232131aaaaaaaaaaaaaaaaaarank。

55．设ABCD是非退化二阶曲线c的内接四点形，P是c上任一点，证明P到ABCD的对边距离之积的比是一个常数。 （即32题）