rolle定理
4-1 微分中值定理(一)
作辅助函数 (x) f (x)(f )(b) f (a) x
ba
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且
(a) b f (a) a f (b) (b),由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向b 思a维找出一即个定满理足结罗论尔成定立理条. 件证的毕函数
在 x0 , x1 之间至少存在一点
但
矛盾, 故假设不成立
二、拉格朗日中值定理 y
y f (x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
则至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
分析：问题转化为证f ( )f (bb) af (a) 0 b a
y f (x) B
D
2 b
x
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值定理 , 得
0
由 的任意性知,
在 I 上为常数 .
推论: 若函数
在区间 I 内导数恒相等，
则在 I 内有
推论: 若函数
的导数在区间 I 内不变号，
则 在 I 内严格单调.
例2
例3. 证明等式 证: 设
g(b) g(a)
则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且
(a) f (b)g(a) f (a)g(b) (b)
g(b) g(a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
f (b) f (a) f ( ) . g(b) g(a) g( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b)
微积分：微分中值定理
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，
1第一节 微分中值定理
例1. 对 f ( x ) x 2 x 3 [1, 3]上验证罗尔定理,
2
并求出一个 .
证:
f ( x ) x 2 x 3 在 [1,3] 上连续,
f ( x ) 2( x 1), f ( x) 在 (1,3) 上可导,
f (1) 0 f (3),
(1) 在[a, b] 连续; (2) 在(a, b) 可导;
b f (a ) a f (b) ( 3) ( a ) (b) , ba
(a , b), s.t .
( ) 0,
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0. ba
证毕.
另一证法: 作辅助函数
( (a, b))
sin b sin a cos (b a )
| sinb sina || cos || b a |
|ba|.
推论1: x I : f ( x ) 0
f ( x) C .
证: x1、x2 I (不妨设 x1 x2 ),
A
C
y f ( x)
M N
D
B
o a
1 x
2 b
x
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
f (b) f (a ) f ( )( b a ), ( (a , b))
说明: 拉格朗日中值公式精确地表达了函数在
一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的
f ( x)在[ x1 , x2 ]满足拉格朗日中值定理 故 ,
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( ( x1 , x2 )).
高数第三章第一节中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
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结束
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相除即得结论. 错!
第六节 微分中值定理
g ( x) C[a, b] D(a, b), 证明：至少存在一点 (a, b) 使 g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) 0 .
* 3) Rolle定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x ) lim f ( x )
设 f ( x ) 在 (a , b) 内可导 , x0 , x0 x [a , b] , 记 x0 x (0 1) , 则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1) ,
即
y f ( x0 x ) x (0 1) .
关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数. 若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，
则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式F(x) = f(x)
及Rolle定理条件. 例5
设 f ( x ) C[0, a ] D(0, a ) , f (0) 1, f (a ) 0, f ( )
2. 罗尔（Rolle）定理
设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 3) f (a) = f (b) 则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .ຫໍສະໝຸດ 几何解释（水平切线）： y
连续光滑曲线 y f ( x ) 在 点 A、B 处纵坐标相等 , 则弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切线是水平 的. o a
(2) 设 f (x) ,g(x) 在 (a,b) 内可导且 f (x) =g(x) ，
则 f(x)=g(x) C.
拉格朗日中值定理的应用:
罗尔定理选择题
- 1 - 罗尔定理选择题 罗尔定理（RolleTheorem）是一种常见的微积分理论，它提出，当一个函数在某个区域内满足函数的可导性要求时，任意一点在这个区域上有且仅有一个函数的倒数为零，并能满足预先给定的区间和条件。这里给出了一些罗尔定理的选择题，希望能够帮助大家更好地理解这一令人震惊的定理。 一、在[a, b]区间定义f(x)为可导函数，当f(a)=f(b)时，下列哪一项成立？ A.在c∈(a,b)，使得f(c)=0 B.在c∈(a,b)，使得f(c)=2 C.在c∈[a,b]，使得f(c)=0 D.在c∈[a,b]，使得f(c)=2 答案：A。根据罗尔定理，对于可导函数f(x)，函数在区间[a,b]有且仅有一个函数的倒数为零，因此在这里选择A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。 二、在[0,π]区间定义f(x)为可导函数，当f(0)=f(π)时，下列哪一项成立？ A.在c∈(0,π)，使得f(c)=0 B.在c∈(0,π)，使得f(c)=π C.在c∈[0,π]，使得f(c)=0 D.在c∈[0,π]，使得f(c)=π 答案：C。根据罗尔定理，对于可导函数f(x)，函数在区间[0, - 2 -
π]有且仅有一个函数的倒数为零，因此在这里选择选项C.存在c∈[0,π]，使得f(c)=0。 三、已知函数f(x)在[-2,4]区间上为可导函数，下列关于函数f(x)的句子正确的是？ A.在c∈(2,4)，使得f(c)=0 B.在c∈(2,4)，使得f(c)=2 C.在c∈[-2,4]，使得f(c)=0 D.在c∈[-2,4]，使得f(c)=2 答案：C。根据罗尔定理，对于可导函数f(x)，函数在区间[-2,4]有且仅有一个函数的倒数为零，因此在这里选择C.存在c∈[-2,4]，使得f(c)=0。 四、已知可导函数f(x)在[2,6]区间上可导，下列关于函数f(x)的句子正确的是？ A.在c∈(2,6)，使得f(c)=0 B.在c∈(2,6)，使得f(c)=6 C.在c∈[2,6]，使得f(c)=0 D.在c∈[2,6]，使得f(c)=6 答案：A。根据罗尔定理，对于可导函数f(x)，函数在区间[2,6]有且仅有一个函数的倒数为零，因此在这里选择A.存在c∈(2,6)，使得f(c)=0。 五、已知函数f(x)在[-3,3]区间上可导，下列关于函数f(x)的句子正确的是？ - 3 -
2.6.1 微分中值定理(1)——罗尔定理
几何解释
连 续 光 滑 曲 线 弧 AB
在点A、B处纵坐标 y
C
相等，则弧 AB上至
少有一点C，在该点
A
处的切线是水平的. o a 1
y f (x)
B
2 b x
1 注
若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,
其结论可能不成立.
(1)(2(3)y)
y
y|10x|x,x,x
xx[[(200,,,211]],
第二章一元函数微分学第六节微分中值定理1罗尔定理一引理费马定理费马定理fxx设函数在点的某领域0ux?x内有定义并且在处可导如果对任意00x?ux?有fx?fx或fx?fx000那么f?x00
第二章 一元函数微分学 第六节 微分中值定理（1）
——罗尔定理
一、引理（费马定理)
费 马 定 理 设函数 f ( x) 在点 x0的某领域 U( x0 , ) 内有定义并且在 x0 处可导，如果对任意
x U( x0 , ), 有 f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 )) 那么 f ( x0 ) 0.
若 f ( x0 ) 0,则称 x0为 f ( x)的驻点(稳定点、临界点).
二、罗尔（Rolle）定理
Rolle 定 理 设函数 f ( x) 满足条件： (1) 在闭区间 [a, b] 上连续； (2) 在开区间 (a,b) 内可导； (3) f (a) f (b); 则在 (a,b) 内至少存在一点 123)不满足；
o-2 o o 11 xx 2 x
2 注
罗尔定理若有条件不满足,其结论也可
能成立.
y x3, x [1,1].
y
y x3
o
x
中值定理
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
思考题 1) 设 有 3 个根 。 方程
它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
几何意义
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
a
b x
o
a
b x
f (b) f (a ) 0 证: 问题转化为证 f ( ) a b f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x) 作辅助函数 ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 b f ( a ) a f ( b ) (a) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
5.极值点一定是可导点.
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且
存在
(或 )
y
o
x0
x
费马(1601 – 1665)
法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出
的费马大定理:
"当n 2时, 方程 x n y n z n 无整数解 "
至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.
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罗尔（Rolle）定理
在微积分中，罗尔（Rolle）定理是非常重要的一个定理，有许多应用。
但是，这种存在性证明却很不容易。
可是，转到无穷小微积分，引进超实数，其证明就容易多了。
罗尔定理的正规表述如下：
If a real-valuedfunction f is continuous on a proper closed interval [a,b],differentiable on the open interval (a,b),and f(a)= f(b), then there exists at least one cin the open interval (a,b) such that
f’(c) = 0
Thisversion of Rolle's theorem is used to prove the mean value theorem, of which Rolle's theorem is indeed aspecial case. It is also the basis for the proof of Taylor's theorem.
罗尔定理发现的历史如下：
印度数学家巴乌斯卡拉二世(1114-1185)被认为知道罗尔定理。
尽管这个定理是以米歇尔·罗尔的名字命名的，但罗尔1691年的证明只涉及多项式函数的情况。
他的证明没有使用微积分的方法，在他生命的那个点上，他认为这是错误的。
这个定理最初是由柯西在1823年证明的，作为中值定理的一个
证明的推论。
1834年，德国的莫里茨·威廉·德罗维什(Moritz Wilhelm Drobisch)和1846年意大利的吉乌斯托·贝拉维蒂斯(Giusto bellavitis1846年)首次使用了“罗尔定理”这个名称。