绥化市中考数学试题及答案
绥化中考数学试卷真题
绥化中考数学试卷真题一、选择题1. 已知函数y=x^2的图象经过点M(1, h)，则h的值为多少？A. 2B. 1C. 0D. -12. 若a:b=3:5，b:c=4:7，则a:b:c的比值为多少？A. 12:20:35B. 3:5:7C. 6:10:14D. 9:15:213. 如图所示，正方形ABCD的边长为6cm，E、F、G分别为AD、AB、BC的中点，连接AF、CD，交于点H。
则△AFH的面积为多少？（图略）A. 6cm²B. 9cm²C. 12cm²D. 18cm²4. 若正方形的周长为48cm，圆的周长为48πcm，则这个正方形的面积与圆的面积之比是多少？A. 1:πB. 2:πC. 4:πD. 8:π5. 某数除以37的商是6，余数是5，这个数是多少？A. 227B. 2275C. 2285D. 2295二、填空题1. 化简：(4m^3n^2)(-2mn^3)(-5m^2n)答案：40m^6n^62. 小红10点从家里出发跑步到学校，平均每分钟跑300米，在9点59分她的妈妈发现她忘记带钥匙，便骑自行车去追她。
小红正好到学校门口时她妈妈从起点开始追逐。
如若小红的家距离学校1600米，她妈妈的速度比她快12倍，那么她妈妈多少分钟追上小红？答案：80分钟三、解答题1. 下列四个分式中，哪个分式的值最大？（写出你的计算过程）A. 7/19B. 8/23C. 9/26D. 10/29计算过程：将四个分式的分子和分母用相同的数进行乘除，得到分式的等价分式，比较分子的大小，答案为D. 10/292. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E、F分别为AD、BC的中点，连接BE、CF，交于点G。
求△BGC的面积。
（图略）解答：由题意可知，△BGC是等腰直角三角形，首先计算△BEC 的面积，即1/2×BE×EC=1/2×4×8=16，然后计算△BGC的面积为16×2=32。
(中考精品卷)黑龙江省绥化市中考数学真题(解析版)
二○二二年绥化市初中毕业学业考试数学试题一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1. 化简12-，下列结果中，正确的是（ ） A. 12 B. 12- C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的运算法则，求出绝对值的值即可． 【详解】解：1122-= 故选：A ．【点睛】本题考查根据绝对值的意义求一个数的绝对值，求一个数的绝对值：①当a 是正数时，│a │=a ；②当a 是负数时，│a │=-a ；③当a =0时，│0│=0．掌握求一个数的绝对值的方法是解答本题的关键．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3. 下列计算中，结果正确的是（ ）A. 22423x x x +=B. ()325x x = 2=- D.2=±【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．【详解】解：A.22223x x x +=，故该选项不正确，不符合题意；B.()326x x =，故该选项不正确，不符合题意；2=-，故该选项正确，符合题意；2=，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．4. 下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】D 选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A 、B 、C 选项是一个正方体的表面展开图．故选：D ．【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．5. 2x -+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 1x >-B. 1x -…C. 1x -…且0x ≠D. 1x -…且0x ≠【答案】C【解析】 【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥-1且x ≠0，故选： C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键． 6. 下列命题中是假命题的是（ ）A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．7. 如图，线段OA 在平面直角坐标系内，A 点坐标为()2,5，线段OA 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段OA '，则点A '的坐标为（ ）A. ()5,2-B. ()5,2C. ()2,5-D. ()5,2-【答案】A【解析】【分析】如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，证明()A OB BOA AAS '∠ ≌，根据A 点坐标为()2,5，写出5AB =，2OB =，则5OB '=，2A B '=，即可写出点A 的坐标．【详解】解：如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，∴90A BO ABO ∠'=∠=︒，OA OA '=，∵18090A OB AOB A OA '∠+∠=︒-∠'=︒，90AOB A ∠+∠=︒，∴A OB A ∠'=∠，∴()A OB BOA AAS '∠ ≌，∴OB AB '=，A B OB '=，∵A 点坐标为()2,5，∴5AB =，2OB =，∴5OB '=，2A B '=，∴()5,2A '-，故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质，证明A OB BOA '∠ ≌是解答本题的关键．8. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是（ ）A. 该组数据的中位数为98B. 该组数据的方差为0.7C. 该组数据的平均数为98D. 该组数据的众数为96和98 【答案】D【解析】【分析】首先对数据进行重新排序，再根据众数，中位数，平均数，方差的定义进行求值计算即可．【详解】解：数据重新排列为：96，96，97，98， 98，∴数据的中位数为：97，故A 选项错误； 该组数据的平均数为9696979898975++++= ，故C 选项错误； 该组数据的方差为：()()()()()22222196979697979798979897=0.85⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦，故B 选项错误；该组数据的众数为：96和98，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查数据中名词的理解，掌握众数，中位数，平均数，方差的定义及计算方法是解题的关键．9. 有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ）A. 1212304x x +=B. 1515244x x +=C. 3030242x x +=D. 1212302x x+= 【答案】A【解析】【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ，继而可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟x 3m ，∴粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ， ∴1212304x x+=． 故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．10. 已知二次函数2y ax bx c =++的部分函数图象如图所示，则一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b c y x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据2y ax bx c =++的函数图象可知，0a >，240b ac ->，即可确定一次函数图象，根据2x =时，420y a b c =++>，即可判断反比例函数图象，即可求解．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则0a >，与x 轴存在2个交点，则240b ac ->，∴一次函数24y ax b ac =+-图象经过一、二、三象限，二次函数2y ax bx c =++的图象，当2x =时，420y a b c =++>，∴反比例函数42a b c y x++=图象经过一、三象限 结合选项，一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b c y x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是B 选项故选B 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．11. 小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A. 2.7分钟B. 2.8分钟C. 3分钟D. 3.2分钟【答案】C【解析】【分析】先根据题意求得A 、D 、E 、F 的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE 、AF 、OD 的解析式，再分别联立OD 与AE 和AF 求得两次相遇的时间，最后作差即可．【详解】解： 如图：根据题意可得A （8，a ），D (12,a )，E （4,0），F （12,0） 设AE 的解析式为y =kx +b ，则048k b a k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得4a k b a⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线AE 的解析式为y =4a x -3a 同理：直线AF 的解析式为：y =-4a x +3a ,直线OD 的解析式为：y =12a x 联立124a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得62x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 联立1234a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得934x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min ．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x <…．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式； （2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==， ∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽， ∴AB AM AP AB=， ∵2AB =，AP x =，PM y =， ∴22x y x -=， 解得：4y x x =-， 故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=， ∴12DC DP AP AB ==， 又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=， ∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽， ∴MF PF PM AB AP PB==，∴24MF PF ==∴MF =，PF =∴BF BP PF =-=-=∴3tan 4MF EBP BF ∠=== 故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为14，则这个箱子中黄球的个数为______个． 【答案】15【解析】【分析】设黄球个数为x 个，根据概率计算公式列出方程，解出x 即可．【详解】解：设：黄球的个数为x 个， 5154x =+ 解得：15x =，检验：将15x =代入520x +=，值不为零，∴15x =是方程的解，∴黄球的个数为15个，故答案为：15．【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 的14. 因式分解：()()269m n m n +-++=________．【答案】()23m n +-【解析】【分析】将()m n +看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：()()269m n m n +-++ ()()22233m n m n =+-⨯⨯++()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．15. 不等式组360x x m ->⎧⎨>⎩的解集为2x >，则m 的取值范围为_______． 【答案】m ≤2【解析】【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m 范围即可． 【详解】解：360x x m ->⎧⎨>⎩①②， 解①得：2x >，又因为不等式组的解集为x >2∵x >m ，∴m ≤2，故答案为：m ≤2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m 的范围是解此题的关键．16. 已知圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则其侧面展开图的面积为_______．【答案】60πcm 2【解析】【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【详解】解：圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，由勾股定理得，底面半径=6cm ，底面周长=12πcm ，侧面展开图的面积=12×12π×10=60πcm 2．故答案为：60πcm 2．【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．17. 设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________． 【答案】20【解析】【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵213202x x ++= △=9-4=5＞0，∴13x =-+23x =-，∴()212x x -=((223320-++==，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 18. 定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=12=，则sin15︒的值为_______．【解析】 【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒=sin 45cos30cos 45sin 30︒︒︒︒-12【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．，且有公共顶点A，则19. 如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于O的度数为______度．BOH【答案】12【解析】【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．【详解】连接AO，如图，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵多边形AHIJK是正五边形，∴∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．20. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．【答案】3##三【解析】【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124y x =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可．【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，∴y 是4的整数倍，∴4y =时，341294x ⨯=-=， 8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意， 故有3种购买方案，故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 21. 如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221+【解析】【分析】解直角三角形分别求得11PK，22P K，33P K，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA⊥，11OPK∴△是直角三角形，在11Rt OPK中，60AOB∠=︒，11OP=，12111tan60PP PK OP∴==⋅︒=11PK OA⊥，22P K OA⊥，1122PK P K∴∥，2211OP K OPK∴△∽△，222111P K OPPK OP∴=，=221P K∴=，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……， 11n n n P K -∴=+，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．22. 在长为2，宽为x （12x <<）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x 的值为________． 【答案】65 或32【解析】【分析】分析题意，根据x 的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x 值即可．【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为2x - 和x ， (2)22x x x --=- ，又12x <<Q ，220x ∴-＞ ，2x x ∴-＞ ，则第一次操作后，剩下矩形的宽为2x -，所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为2x - ，另一边为：(2)22x x x --=- ，∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，分以下两种情况进行讨论：①当222x x --＞ ，即43x ＜时 ，第三次操作后剩下的矩形的宽为22x - ，长是2x - ，则由题意可知：22(22)x x -=- ，解得：65x = ； ②当222x x --＜ ，即43x ＞时， 第三次操作后剩下的矩形的宽为2x - ，长是22x - ，由题意得：222(2)x x -=- ， 解得：32x = ， 65x ∴= 或者32x = ．故答案为：65 或32． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．三、解答题（本题共6个小题，共54分）23. 已知：ABC ．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出ABC 内切圆的圆心O ；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果ABC 的周长为14cm ，内切圆的半径为1.3cm ，求ABC 的面积．【答案】（1）作图见详解（2）9.1【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；（2）利用割补法，连接OA ，OB ，OC ，作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，这样将△ABC 分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC 的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．【小问1详解】解：如下图所示，O 为所求作点，【小问2详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，OC ，作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∵内切圆的半径为1.3cm ，∴OD =OF =OE =1.3，∵三角形ABC 的周长为14，∴AB +BC +AC =14， 则111222ABC AOB COB AOC S S S S AB OD BC OE AC OF =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅△△△△ 111.3() 1.3149.122AB BC AC =⨯⨯++=⨯⨯= 故三角形ABC 的面积为9.1．【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．24. 如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC =30m ，AB =10m ，∠C =90°，则BC =AC -AB =30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-≈⨯-⨯=o故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．【答案】（1）115,22y x =-+22.y x= （2）01x <<或4x >，（3）65【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据OAP △的面积为54和直线解析式求出点P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K 的坐标，结合函数图象可得出x 的取值范围； （3）作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '，PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，求出点C 的坐标，再根据PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--求解即可．【小问1详解】解：∵一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， ∴把()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入11y k x b =+得， 1505,2k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，11252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴一次函数解析式为115,22y x =-+ 过点P 作PH x ⊥轴于点H ，∵(5,0),A∴5, OA=又5,4PAOS∆=∴15 524PH⨯⨯=∴1,2 PH=∴151 222x-+=，∴4,x=∴1 (4,2 P∵1(4,2P在双曲线上，∴21 42,2k=⨯=∴22 .yx=【小问2详解】解：联立方程组得，15222y xyx⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，111 2x y =⎧⎨=⎩，22412xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴(1,2),k根据函数图象可得，反比例函数图象直线上方时，有01x <<或4x >，∴当21y y >时，求x 的取值范围为01x <<或4x >，【小问3详解】解：作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '交x 轴于点M ，则K '（1，-2），OM =1， 连接PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，设直线PK '的解析式为,y mx n =+ 把1(4,(1,2)2P K '-代入得，2142m n m n +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线PK '的解析式为517,66y x =- 当0y =时，106657x -=，解得，751x =， ∴17(,0)5C ∴175OC = ∴17121,55MC OC OM =-=-= 178555AC OA OC =-=-= 514AM OA OM =-=-=，∴PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--1112181422225252=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 122455=-- 65= 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关在键．26. 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G .利用面积证明：DE DF CG +=．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B ′处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N .若8BC =，3BE =，求GM GN +的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，连接BD ，且AB AE CD DE=，BC =，3CD =，6BD =，求ED EA +的长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3【解析】【分析】（1）根据题意，利用等面积法ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，根据等腰ABC 中，AB AC =，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到AFE CFE ∠=∠，结合矩形ABCD 中AD BC ∥得到AFE FEC ∠=∠，从而有CFE FEC ∠=∠，从而确定EFC ∆是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到=GM GN FH +，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，根据AB AE CD DE =，EA AB ⊥，ED CD ⊥，得到ABC ∆是等腰三角形，从而由（1）知ED EA BG +=，在Rt BCG ∆中，BG ==，在Rt BDG ∆中，6BD =，BG ==BG ==求解得1x =，从而得到结论．【小问1详解】证明：连接AD ，如图所示：在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G ， ∴由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+得111222AB CG AB ED AC FD ⋅=⋅+⋅， ∴DE DF CG +=；【小问2详解】解：连接CG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，如图所示：根据折叠可知AFE CFE ∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，则AFE FEC ∠=∠，CFE FEC ∴∠=∠，即EFC ∆等腰三角形，是在等腰EFC ∆中，FC EC =，EF 边上有一点G ，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，过点F 作FH BC ⊥于H ，由（1）可得=GM GN FH +，在Rt ABE ∆中，90B ∠=︒，3,835BE AE EC BC BE ===-=-=，则4AB ===，在四边形ABHF 中，90B BAF FHB ∠=∠=∠=︒，则四边形ABHF 为矩形， 4FH AB ∴==，即4GM GN FH AB +===；【小问3详解】解：延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，则90BAE CDE ∠=∠=︒，又 AB AE CD DE=， ∴ABE DCE ∆∆ ，ABE C ∴∠=∠，即ABC ∆是等腰三角形，∴由（1）可得ED EA BG +=，设=GD x ，90EDC BGC ∠=∠=︒ ，BC =，3CD =，在Rt BCG ∆中，BG ==，在Rt BDG ∆中，6BD =，BG ==，∴BG ==1x =，BG ∴==ED EA BG +==【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．27. 如图所示，在O 的内接AMN 中，90MAN ∠=︒，2AM AN =，作AB MN ⊥于点P ，交O 于另一点B ，C 是¼AM 上的一个动点（不与A ，M 重合），射线MC 交线段BA 的延长线于点D ，分别连接AC 和BC ，BC 交MN 于点E ．（1）求证：CMA CBD △∽△．（2）若10MN =， MCNC =，求BC 的长． （3）在点C 运动过程中，当3tan 4MDB ∠=时，求ME NE 的值． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）32【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA =∠ABC ，再利用两角分别相等即可证明相似； （2）连接OC ，先证明MN 是直径，再求出AP 和NP 的长，接着证明COE BPE △∽△，利用相似三角形的性质求出OE 和PE ，再利用勾股定理求解即可； （3）先过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，设出34GM x CG x ==，，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB 和PG ，最后利用相似三角形的性质表示出EG ，然后表示出ME 和NE ，算出比值即可．【小问1详解】解：∵AB ⊥MN ，∴∠APM =90°，∴∠D +∠DMP =90°，又∵∠DMP +∠NAC =180°，∠MAN =90°， ∴∠DMP +∠CAM =90°，∴∠CAM =∠D ，∵∠CMA =∠ABC ，∴CMA CBD △∽△．【小问2详解】连接OC ，∵90MAN ∠=︒，∴MN 是直径，∵10MN =，∴OM =ON =OC =5，∵2AM AN =，且222A M A N M N +=，∴AN AM == ∵1122AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴4AP =，∴4BP AP ==，∴2NP ==，∴523OP =-=，∵ MCNC =， ∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴COE BPE △∽△ ∴CO OE CE BP PE BE==， 即54OE CE PE BE == 由3OE PE OP +==，∴5433OE PE ==，，∴CE ===，BE ===∴BC =+=【小问3详解】过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ， ∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM ， ∵3tan 4MDB ∠=， ∴3tan 4CNM ∠=， 设34GM x CG x ==，，∴5CM x =， ∴203x CN =， ∴163x NG =，∴253x NM = ∴256x OM ON ==， ∵2AM AN =，且222A M A N M N +=，∴AN x =，AM x =， ∵1122AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴103AP x PB ==， ∴53NP x =， ∴16511333PG x x x =-=， ∵∠CGE =∠BPE =90°，∠CEG =∠BEP ， ∴CGE BPE △∽△， ∴CG GE CE BP PE BE==， 即4103x GE CE PE BE x == ∴2GE x =，53PE x =∴5ME x =，103x NE =， ∴:3:2ME NE =， ∴ME NE 值为32． 的【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．28. 如图，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点()0,4A -，并经过点()6,0C ，过点A 作AB y ⊥轴交抛物线于点B ，抛物线的对称轴为直线2x =，D 点的坐标为()4,0，连接AD ，BC ，BD .点E 从A 点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD 运动，设点E 的运动时间为m 秒，过点E 作EF AB ⊥于F ，以EF 为对角线作正方形EGFH ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G 随着E 点运动到达BC 上时，求此时m 的值和点G 的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）214433y x x =--（2）165m =，2412,55G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）368,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或（3，-3）1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）求出直线BC 解析式，通过△EGF 为等腰直角三角形表示出G 点坐标，将G 点代入BC 解析式即可求得m 的值，从而求得G 点坐标；（3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC 是直角三角形时，当△BCG 为直角三角形时，当△CBG 为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m 的值，即可求得G 点坐标．【小问1详解】将点A （0，-4）、C （6，0）代入解析式2y ax bx c =++中，以及直线对称轴2x =，可得4036622c a b c b a ⎧⎪-=⎪=++⎨⎪⎪-=⎩， 解得13434a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为214433y x x =--； 【小问2详解】∵A （0，-4），D ()4,0，∴△AOD 为等腰直角三角形，∵AB y ⊥轴交抛物线于点B ，∴B （4，-4），设直线BC 解析式为y =kx +b ，将B （4，-4），C （6，0）代入解析式得， 4406k b k b -=+⎧⎨=+⎩，解得212k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为y =2x -12，由题意可得AE =，△ADB 为等腰直角三角形，∴AF EF AE m ===， ∵四边形EGFH 正方形，∴△EGF 为等腰直角三角形， ∴11,422G m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭， 点G 随着E 点运动到达BC 上时，满足直线BC 解析式y =2x -12， ∴11421222m m m ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， ∴165m =，此时2412,55G ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 【小问3详解】B （4，-4），C （6，0），11,422G m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭， ∴()()222640420BC =-++=,22222313144442222BG m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222223131604642222CG m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 要使以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，需满足：当△BGC 是直角三角形时，222BG CG BC +=， 22223131464202222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得，1245m =，22m =， 此时G 368,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或（3，-3）； 当△BCG 为直角三角形时，222BC CG BG +=，22223131206442222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 为解得，285m =， 此时G 426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当△CBG 为直角三角形时，222BC BG CG +=，22223131204642222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得，85m =， 此时G 1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭； 综上所述：点G 坐标为368,55⎛⎫-⎪⎝⎭或（3，-3）1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键。
2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷(解析版)
2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用28铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）（2022•绥化）化简|﹣|，下列结果中，正确的是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．（3分）（2022•绥化）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•绥化）下列计算中，结果正确的是（）A．2x2+x2＝3x4B．（x2）3＝x5C．＝﹣2D．＝±24．（3分）（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2022•绥化）若式子+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0 6．（3分）（2022•绥化）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7．（3分）（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）8．（3分）（2022•绥化）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（）A．该组数据的中位数为98B．该组数据的方差为0.7C．该组数据的平均数为98D．该组数据的众数为96和989．（3分）（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（）A．+＝30B．+＝24C．+＝24D．+＝3010．（3分）（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．11．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A．2.7分钟B．2.8分钟C．3分钟D．3.2分钟12．（3分）（2022•绥化）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（）（1）y与x的关系式为y＝x﹣；（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内13．（3分）（2022•绥化）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为个．14．（3分）（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．15．（3分）（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为．16．（3分）（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为．17．（3分）（2022•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为．18．（3分）（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．19．（3分）（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．20．（3分）（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有种购买方案．21．（3分）（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为．22．（3分）（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内23．（7分）（2022•绥化）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．24．（8分）（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）25．（9分）（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．26．（9分）（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G 为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．27．（10分）（2022•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．28．（11分）（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C （6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用28铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）（2022•绥化）化简|﹣|，下列结果中，正确的是（）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】利用绝对值的意义解答即可．【解答】解：|﹣|的绝对值是，故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．2．（3分）（2022•绥化）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）（2022•绥化）下列计算中，结果正确的是（）A．2x2+x2＝3x4B．（x2）3＝x5C．＝﹣2D．＝±2【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵2x2+x2＝3x2≠3x4，∴选项A不符合题意，∵（x2）3＝x6≠x5，∴选项B不符合题意，∵＝﹣2，∴选项C符合题意，∵＝2≠±2，∴选项D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，立方根，算术平方根，掌握合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义是解决问题的关键．4．（3分）（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的展开图得出结论即可．【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项都不符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．5．（3分）（2022•绥化）若式子+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．6．（3分）（2022•绥化）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【分析】由三角形中位线定理，邻补角定义，切线长定理，直角三角形性质逐项判断即可．【解答】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命题，不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．7．（3分）（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，∵A点坐标为（2，5），∴OB﹣2，AB＝5．由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．∴∠AOB+∠A′OC＝90°．∵∠A′OC+∠A′＝90°，∴∠A′＝∠AOB．在△A′OC和△OAB中，，∴△A′OC≌△OAB（AAS）．∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，∴A′（﹣5，2）．故选：A．【点评】本题主要考查了图形的旋转与坐标的变化，点的坐标的特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．8．（3分）（2022•绥化）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（）A．该组数据的中位数为98B．该组数据的方差为0.7C．该组数据的平均数为98D．该组数据的众数为96和98【分析】根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据方差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项．【解答】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A 选项不符合题意；C、平均数＝＝97，故C选项不符合题意；B、方差＝×[（96﹣96）2×2+（97﹣96）2+（98﹣96）2×2]＝1.8，故B选项不符合题意；D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．9．（3分）（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（）A．+＝30B．+＝24C．+＝24D．+＝30【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，利用注油所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：24÷2＝12（m3）．设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，依题意得：+＝30．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（3分）（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象判断a，b2﹣4ac及4a+2b+c的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象经过第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象经过第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【点评】本题考查一次函数，二次函数，反比例函数的图象，解题的关键是掌握三种图象的性质．11．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A．2.7分钟B．2.8分钟C．3分钟D．3.2分钟【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．【解答】解：由图象可得，小明的速度为米/分钟，爸爸的速度为：＝（米/分钟），设小明出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，m＝（m﹣4）•，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，解得m＝6，n＝9，n﹣m＝9﹣6＝3，故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．12．（3分）（2022•绥化）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（）（1）y与x的关系式为y＝x﹣；（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理对每个选项的结论进行判断即可：（1）过点P作PF ⊥BC于点F，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定定理解答即可；（3）利用（1），（2）的结论利用勾股定理和平行线分线段成比例定理求得PB，PE，再利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论．【解答】解：（1）过点P作PF⊥BC于点F，如图，∵四边形ABCD是矩形，PF⊥BC，∴四边形ABFP是矩形，∴PF＝AB＝2，BF＝AP＝x，∴AM＝AP＝PM＝x﹣y．∵∠ABE＝∠CBP，∠A＝∠PFB＝90°，∴△ABM∽△FBP，∴，∴．∴x2﹣xy＝4．∴y＝x﹣．∴（1）的结论正确；（2）当AP＝4时，DP＝AD﹣AP＝5﹣4＝1，∵，，∴．∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABP△DPC．∴（2）的结论正确；（3）由（2）知：当AP＝4时，△ABP∽△DPC，∴∠ABP＝∠DPC．∵∠BP A+∠ABP＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°．∴∠CPB＝90°．∴∠BPE＝90°．∴tan∠EBP＝．由（1）知：PM＝AP﹣＝3，BP＝＝2，CP＝＝．∵AD∥BC，∴．∴，解得：PE＝，∴tan∠EBP＝＝＝，∴（3）的结论错误，综上，正确的结论为：（1）（2），故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，灵活应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内13．（3分）（2022•绥化）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为15个．【分析】直接利用概率公式得出＝，进而得出答案．【解答】解：设箱子中黄球的个数为x个，根据题意可得：＝，解得：x＝15，故答案为：15．【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．14．（3分）（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝（m+n﹣3）2．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．15．（3分）（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为m≤2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，∵不等式组的解集为x＞2，∴m≤2，故答案为：m≤2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．16．（3分）（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为60πcm2．【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径＝6cm，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60πcm2．故答案为：60πcm2．【点评】本题利用了勾股定理和圆锥的计算，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积，即S＝πrl．侧17．（3分）（2022•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为20．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，故答案为：20．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．18．（3分）（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．19．（3分）（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为12度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．【点评】本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．20．（3分）（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有3种购买方案．【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，依题意得：4x+3y＝48，∴x＝12﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案．故答案为：3．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．21．（3分）（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为（1+）2022．【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到P n K n的式子，从而可以写出线段P2023K2023的长．【解答】解：由题意可得，P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，…，P n K n＝（1+）n﹣1，∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，故答案为：（1+）2022．【点评】本题考查图象的变化类，解答本题的关键是发现P n K n的变化特点．22．（3分）（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 1.2或者1.5．【分析】本题中的x与（2﹣x）不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）．当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．故答案为：1.2或者1.5．【点评】主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内23．（7分）（2022•绥化）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键掌握三角形的内心是角平分线的交点，属于中考常考题型．24．（8分）（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再利用已知求出BC 的长，然后在在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），∵AB＝10米，∴BC＝AC﹣AB＝20（米），在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），∴广告牌ED的高度约为4.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（9分）（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．【分析】（1）根据待定系数法可求出直线AB的解析式，根据△OAP的面积可得出点P 的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x 的取值范围；（3）作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，求出直线KP′的解析式，令y＝0，可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•y P＝，∴y P＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，）．∴P′（4，﹣）．∴PP′＝1，∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，解得x＝．∴C（，0）．∴S△PKC＝•（x C﹣x K）•PP′＝×（﹣1）×1＝．∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．26．（9分）（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G 为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．【分析】（1）连接AD，根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得结论；（2）利用翻折的性质得，CE＝CF，由勾股定理得，AB＝4，则等腰△CEF中，CE边上的高为4，由（1）知，GM+GN＝4；（3）延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，利用△BAE∽△CDE，得∠ABE＝∠C，则BG＝CG，设DH＝x，利用勾股定理列方程可得DH的长，从而得出BH，利用（1）中结论可得答案．【解答】（1）证明：连接AD，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴＝，∵AB＝AC，∴DE+DF＝CG；（2）解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，∴∠AFE＝∠EFC，AE＝CE，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵BC＝8，BE＝3，∴CE＝AE＝5，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB＝4，∴等腰△CEF中，CE边上的高为4，由（1）知，GM+GN＝4；（3）解：延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，∵＝，∠BAE＝∠EDC＝90°，∴△BAE∽△CDE，∴∠ABE＝∠C，∴BG＝CG，∴ED+EA＝BH，设DH＝x，由勾股定理得，62﹣x2＝（）2﹣（x+3）2，解得x＝1，∴DH＝1，∴BH＝＝，∴ED+EA＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明等腰三角形，利用（1）中结论是解决问题（2）、（3）的关键．27．（10分）（2022•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．。
2023年黑龙江省绥化市中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年黑龙江省绥化市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.计算|−5|+20的结果是( ) A. −3B. 7C. −4D. 63.如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是( )A.B.C.D.4.纳米是非常小的长度单位，1nm=0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为( )A. 1×10−9B. 1×10−8C. 1×108D. 1×1095.下列计算中，结果正确的是( )A. (−pq)3=p3q3B. x⋅x3+x2⋅x2=x8C. √ 25=±5D. (a2)3=a66.将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°7.下列命题中叙述正确的是( )A. 若方差s甲2>s乙2，则甲组数据的波动较小B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩(单位：分钟)，并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是( )A. 该组数据的样本容量是50人B. 该组数据的中位数落在90～100这一组C. 90～100这组数据的组中值是96D. 110～120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°9.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y=k(x>0)的图象x经过点B，D，则k的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 3210.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14.在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是( )A. 14+12x=1 B. 14+12(14+1x)=1C. 14(1+12)+1x=1 D. 14+(14+12)1x=111.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是( )A. B.C. D.12.如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中，正确的个数为( )①AB2=BF⋅AE②S△BGF：S△BAF=2：3③当AB=a时，BD2−BD⋅HD=a2A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 13.因式分解：x 2+xy −xz −yz = ______ ． 14.若式子√ x+5x有意义，则x 的取值范围是______ ．15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4.从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是______ ． 16.已知一元二次方程x 2+x =5x +6的两根为x 1与x 2，则1x 1+1x 2的值为______ ．17.化简：(x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4)÷x−4x 2−2x= ______ ．18.如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB⏜上的一点，将AB ⏜沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为______ .(结果保留π与根号)19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△AB′C′的相似比为1：2，点A 是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C =90°.则点C′的坐标为______ .(结果用含a ，b 的式子表示)20.如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点.连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF.连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是______ ．21.在求1+2+3+⋯+100的值时，发现：1+100=101，2+99=101…，从而得到1+2+3+⋯+100=101×50=5050.按此方法可解决下面问题.图(1)有1个三角形，记作a 1=1；分别连接这个三角形三边中点得到图(2)，有5个三角形，记作a 2=5；再分别连接图(2)中间的小三角形三边中点得到图(3)，有9个三角形，记作a3=9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+⋯+a n=______ .(结果用含n的代数式表示)22.已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2.现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D.则A′D的长度为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共54.0分。
2020年绥化市中考数学试题、试卷(解析版)
2020年绥化市中考数学试题、试卷（解析版）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B 铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）化简|√2−3|的结果正确的是（ ）A ．√2−3B ．−√2−3C ．√2+3D ．3−√22．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．b 2•b 3＝b 6B ．（a 2）3＝a 6C ．﹣a 2÷a ＝aD ．（a 3）2•a ＝a 64．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3分）下列等式成立的是（ ）A ．√16=±4B ．√−83=2C ．﹣a √1a =√−aD ．−√64=−86．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ）A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10 7．（3分）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证△ABE和△ADF 一定全等的条件是（ ）A ．∠BAF ＝∠DAEB ．EC ＝FC C ．AE ＝AFD ．BE ＝DF8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m 个、白球n 个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）A ．3m+nB ．3m+n+3C ．m+n m+n+3D ．m+n 39．（3分）将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝2（x ﹣6）2B ．y ＝2（x ﹣6）2+4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2+410．（3分）如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接AF ，CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且∠CDE +∠EGC ＝180°，FG ＝2，GC ＝3．下列结论：①DE =12BC ；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF ＝EG ；④BC ＝2√5．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 ．12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S甲2＝0.70，S 乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y （km ）与行驶时间x （h ）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 km /h ．14．（3分）因式分解：m 3n 2﹣m ＝ ．15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．16．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ﹣AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是 ．17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为（2，4），则其对应点A 1的坐标是 ．18．（3分）在函数y =√x−3√x+11x−5中，自变量x 的取值范围是 ． 19．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为DÊ上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC 、PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于 度．20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程 ．21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是．三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内22．（6分）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC 的内心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是．23．（6分）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点A关于点O的对称点A1；（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）月份测试的学生人数最少，月份测试的学生中男生、女生人数相等；（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD =54，求EFAC的值．27．（7分）如图，在矩形OABC 中，AB ＝2，BC ＝4，点D 是边AB 的中点，反比例函数y 1=k x（x ＞0）的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为y 2＝mx +n （m ≠0）． （1）求反比例函数y 1=k x （x ＞0）的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使△PDE 的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，△PDE 的周长最小值是 ．28．（9分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，BG BC =k ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）求证：tan α＝k •tan β；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．29．（10分）如图1，抛物线y=−12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．（1）求抛物线y1的解析式与k的值；（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）化简|√2−3|的结果正确的是（）A．√2−3B．−√2−3C．√2+3D．3−√2【解答】解：∵√2−3＜0，∴|√2−3|=−(√2−3)=3−√2．故选：D．2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层是一个长度较小的矩形．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A．b2•b3＝b6B．（a2）3＝a6C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6【解答】解：A．b2•b3＝b5，故本选项不合题意；B．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；D．（a3）2•a＝a7，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．5．（3分）下列等式成立的是（ ）A ．√16=±4B ．√−83=2C ．﹣a √1a =√−aD ．−√64=−8【解答】解：A .√16=4，故本选项不合题意；B .√−83=−2，故本选项不合题意；C .−a √1a =−√a ，故本选项不合题意；D .−√64=−8，故本选项符合题意．故选：D ．6．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ）A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10 【解答】解：依题意，得：{x +y =1049x +37y =466． 故选：A ．7．（3分）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证△ABE和△ADF 一定全等的条件是（ ）A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF【解答】解：A．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ADF（AAS），故选项A不符合题意；B..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，∵EC＝FC，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项B不符合题意；C..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，故选项C符合题意；D..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DE，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项D不符合题意．故选：C．8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（）A．3m+n B．3m+n+3C．m+nm+n+3D．m+n3【解答】解：∵袋子中一共有（m+n+3）个小球，其中红球有3个，∴任意摸出一个球是红球的概率是3m+n+3，故选：B．9．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+4【解答】解：将将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故选：C．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴AE ＝CE ，DE =12BC ；①正确； ∵EF ＝DE ， ∴DF ＝BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确； ∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线， ∴CD =12AB ＝BD ， ∴CF ＝CD ， ∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°， ∴∠CDE ＝∠EGF ， ∴∠CFE ＝∠EGF ， ∴EF ＝EG ，③正确； 作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF ＝∠CHE ＝90°，∠HEF +∠EFH ＝∠HEF +∠CEH ＝90°，FH ＝GH =12FG ＝1， ∴∠EFH ＝∠CEH ，CH ＝GC +GH ＝3+1＝4， ∴△EFH ∽△CEH ， ∴EH CH=FH EH，∴EH 2＝CH ×FH ＝4×1＝4， ∴EH ＝2，∴EF =√FH 2+EH 2=√12+22=√5，∴BC ＝2DE ＝2EF ＝2√5，④正确； 故选：D ．二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 8.5×106 ． 【解答】解：数字8500000用科学记数法表示为8.5×106， 故答案为：8.5×106．12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S 甲2＝0.70，S 乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 甲 同学． 【解答】解：∵S 甲2＝0.70，S 乙2＝0.73， ∴S 甲2＜S 乙2，∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学， 故答案为：甲．13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y （km ）与行驶时间x （h ）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 65 km /h ．【解答】解：由图象可得：货车行驶的路程y （km ）与行驶时间x （h ）的函数关系为y ＝78x （x ≤2），和x ＞2时设其解析式为：y ＝kx +b ，把（2，156）和（3，221）代入解析式，可得：{2k +b =1563k +b =221，解得：{k =65b =26，所以解析式为：y ＝65x +26（x ＞2）， 所以2小时后货车的速度是65km /h ， 故答案为：65．14．（3分）因式分解：m 3n 2﹣m ＝ m （mn +1）（mn ﹣1） ． 【解答】解：m 3n 2﹣m ＝m （m 2n 2﹣1） ＝m （mn +1）（mn ﹣1）． 故答案为：m （mn +1）（mn ﹣1）．15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 100 度．【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n °， 根据题意得2π•2.5=nπ×9180，解得n ＝100， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°． 故答案为：100．16．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ﹣AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是 17 ． 【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ﹣AC ＝2，BC ＝8， ∴AC 2+BC 2＝AB 2， 即（AB ﹣2）2+82＝AB 2， 解得AB ＝17． 故答案为：17．17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A 的坐标为（2，4），则其对应点A 1的坐标是 （4，8）或（﹣4，﹣8） ．【解答】解：∵△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为（2，4），∴点A 对应点A 1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4）， 即（4，8）或（﹣4，﹣8）． 故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）． 18．（3分）在函数y =√x−3√x+11x−5中，自变量x 的取值范围是 x ≥3且x ≠5 ． 【解答】解：由题可得，{x −3≥0x +1＞0x −5≠0，解得{x ≥3x ＞−1x ≠5，∴自变量x 的取值范围是x ≥3且x ≠5， 故答案为：x ≥3且x ≠5．19．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为DE ̂上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC 、PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于 54 度．【解答】解：连接OC 、OD ，如图所示： ∵ABCDE 是正五边形， ∴∠COD =360°5=72°， ∴∠CPD =12∠COD ＝36°， ∵DG ⊥PC ， ∴∠PGD ＝90°，∴∠PDG ＝90°﹣∠CPD ＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54．20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程240x−2401.5x=2 ．【解答】解：设原计划每天加工零件x 个，则实际每天加工零件1.5x 个， 依题意，得：240x−2401.5x=2．故答案为：240x−2401.5x=2．21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2， 图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7， 图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14， ……∴第n 个图形中黑点的个数为2n （n +1）÷2+（n ﹣1）＝n 2+2n ﹣1， ∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119． 故答案为：119．三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内22．（6分）（1）如图，已知线段AB 和点O ，利用直尺和圆规作△ABC ，使点O 是△ABC 的内心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在所画的△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径是 2 ．【解答】解：（1）如图，△ABC 即为所求．（2）设内切圆的半径为r ． ∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10， ∴12•AC •BC =12•r •（AB +AC +BC ），∴r =4824=2， 故答案为2．23．（6分）如图，热气球位于观测塔P 的北偏西50°方向，距离观测塔100km 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P 的南偏西37°方向的B 处，这时，B 处距离观测塔P 有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）【解答】解：由已知得，∠A ＝50°，∠B ＝37°，P A ＝100， 在Rt △P AC 中，∵sin A =PCPA ， ∴PC ＝P A •sin50°≈77， 在Rt △PBC 中，∵sin B =PCPB ， ∴PB =PCsin37°≈128（km ），答：这时，B 处距离观测塔P 有128km ．24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，点B ，点O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A 关于点O 的对称点A 1；（2）连接A 1B ，将线段A 1B 绕点A 1顺时针旋转90°得点B 对应点B 1，画出旋转后的线段A 1B 1；（3）连接AB 1，求出四边形ABA 1B 1的面积．【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；（2）如图所示，线段A1B1即为所求；（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则四边形ABA1B1的面积=S△ABB1+S△A1BB1=12×8×2+12×8×4＝24．25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．【解答】解：（1）根据折线统计图给出的数据可得：1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；故答案为：1，4；（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是：1﹣25%﹣40%−72°360°=15%；（3）根据题意得：600×25%＝150（名），答：测试成绩是A等级的学生人数有150名．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD =54，求EFAC的值．【解答】解：（1）连接OB，如图，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠D +∠OBC ＝90°，∵∠D ＝∠BAC ，∠BAC ＝∠CBG ， ∴∠CBG +∠OBC ＝90°， 即∠OBG ＝90°， ∴直线BG 与⊙O 相切；（2）∵OA ＝OC ，OH ⊥AC ， ∴∠COH =12∠COA ，CH =12CA ， ∵∠ABC =12∠AOC ， ∴∠EBF ＝∠COH ， ∵EF ⊥BC ，OH ⊥AC ， ∴∠BEF ＝∠OHC ＝90°， ∴△BEF ∽△COH ， ∴EF CH =BE OC ，∵BE OD =54，OC ＝OD ， ∴EF CH=54，∵CH =12AC ， ∴EF AC=58，27．（7分）如图，在矩形OABC 中，AB ＝2，BC ＝4，点D 是边AB 的中点，反比例函数y 1=k x（x ＞0）的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为y 2＝mx +n （m ≠0）． （1）求反比例函数y 1=k x （x ＞0）的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使△PDE 的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，△PDE 的周长最小值是 √5+√13 ．【解答】解：（1）∵点D 是边AB 的中点，AB ＝2，∴AD ＝1，∵四边形OABC 是矩形，BC ＝4，∴D （1，4），∵反比例函数y 1=k x （x ＞0）的图象经过点D ，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y =4x （x ＞0），当x ＝2时，y ＝2，∴E （2，2），把D （1，4）和E （2，2）代入y 2＝mx +n （m ≠0）得，{2m +n =2m +n =4， ∴{m =−2n =6， ∴直线DE 的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）作点D 关于y 轴的对称点D ′，连接D ′E 交y 轴于P ，连接PD ，此时，△PDE 的周长最小，∵D 点的坐标为（1，4），∴D ′的坐标为（﹣1，4），设直线D ′E 的解析式为y ＝ax +b ，∴{4=−a +b 2=2a +b， 解得：{a =−23b =103， ∴直线D ′E 的解析式为y =−23x +103，令x ＝0，得y =103， ∴点P 的坐标为（0，103）；（3）∵D （1，4），E （2，2），∴BE ＝2，BD ＝1，∴DE =√12+22=√5，由（2）知，D ′的坐标为（﹣1，4），∴BD ′＝3，∴D ′E =√22+32=√13，∴△PDE 的周长最小值＝DE +D ′E =√5+√13，故答案为：√5+√13．28．（9分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，BG BC =k ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）求证：tan α＝k •tan β；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°， ∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED ＝∠BF A ＝90°，∴∠ADE +∠DAE ＝90°，∵∠BAF +∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BF ；（2）在Rt △DEF 和Rt △EFB 中，tan α=EF DE ，tan β=EF BF ，∴tanαtanβ=EF DE ⋅BF EF =BF DE ．由①可知∠ADE ＝∠BAG ，∠AED ＝∠GBA ＝90°，∴△AED ∽△GBA ，∴AE GB =DE AB ，由①可知，AE ＝BF ，∴BF GB =DE AB ， ∴BF DE =GB AB ， ∵BG BC =k ，AB ＝BC ， ∴BF DE =BG AB =BG BC =k ， ∴tanαtanβ=k ．∴tan α＝k tan β．（3）∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED＝∠BF A＝90°，∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．∵AB＝AD＝4，∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=14×4×4＝4．29．（10分）如图1，抛物线y=−12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．（1）求抛物线y1的解析式与k的值；（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x＝0时，得y=−12（x+2）2+6＝﹣2+6＝4，∴C（0，4），把C （0，4）代入y 1＝﹣x 2+12tx +t ﹣2得，t ﹣2＝4，∴t ＝6，∴y 1＝﹣x 2+3x +4，∵ON ＝OC ，∴N （﹣4，0），把N （﹣4，0）代入y 2＝kx +3中，得﹣4k +3＝0，解得，k =34；∴抛物线y 1的解析式为y 1＝﹣x 2+3x +4，k 的值为34．（2）连接AE ，如图1，令y ＝0，得y 1＝﹣x 2+3x +4＝0，解得，x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），∴对称轴为：x =−1+42=32， ∴D （32，0）， ∴OA ＝1，OC ＝4，OD =32，AD =52，①当△AOC ∽△EDA 时，OA DE =OC DA，即1DE =452， ∴DE =58，②当△AOC ∽△ADE 时，AO AD =OC DE ，即152=4DE ，∴DE ＝10，综上，DE =58或10；（3）点G 的横坐标为7+√654或7−√654或1+√52或1−√52． 如图，点Q '是点Q 关于直线MG 的对称点，且点Q '在y 轴上时，由轴对称性质可知，QM ＝Q 'M ，QG ＝Q 'G ，∠Q 'MG ＝∠QMG ，∵QG ⊥x 轴，∴QG ∥y 轴，∴∠Q 'MG ＝∠QGM ，∴∠QMG ＝∠QGM ，∴QM ＝QG ，∴QM ＝Q 'M ＝QG ＝Q 'G ，∴四边形QMQ 'G 为菱形，∴GQ '∥QN ，作GP ⊥y 轴于点P ，设G （a ，﹣a 2+3a +4），则Q （a ，34a +3）， ∴PG ＝|a |，Q 'G ＝GQ ＝|（34a +3）﹣（﹣a 2+3a +4）|＝|a 2−94a ﹣1|， ∵GQ '∥QN ，∴∠GQ 'P ＝∠NMO ，在Rt △NMO 中，MN =√NO 2+MO 2=5，∴sin ∠GQ 'P ＝sin ∠NMO =NO MN =PG GQ′=45，∴|a||a 2−94a−1|=45． 解得a 1=7+√654，a 2=7−√654，a 3=1+√52，a 4=1−√52． 经检验，a 1=7+√654，a 2=7−√654，a 3=1+√52，a 4=1−√52都是所列方程的解． 综合以上可得，点G 的横坐标为7+√654或7−√654或1+√52或1−√52．。
2022年黑龙江省绥化市中考数学真题(附答案)
二○二二年绥化市初中毕业学业考试数学试题一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1. 化简12-，下列结果中，正确的是（ ） A. 12 B. 12- C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的运算法则，求出绝对值的值即可． 【详解】解：1122-= 故选：A ．【点睛】本题考查根据绝对值的意义求一个数的绝对值，求一个数的绝对值：①当a 是正数时，│a │=a ；②当a 是负数时，│a │=-a ；③当a =0时，│0│=0．掌握求一个数的绝对值的方法是解答本题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3. 下列计算中，结果正确的是（ ）A. 22423x x x +=B. ()325x x = 2=- 2=±【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．【详解】解：A.22223x x x +=，故该选项不正确，不符合题意；B.()326x x =，故该选项不正确，不符合题意；2=-，故该选项正确，符合题意；2=，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．4. 下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】D 选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A 、B 、C 选项是一个正方体的表面展开图．故选：D ．【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．5. 2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 1x >-B. 1x -C. 1x -且0x ≠D. 1x -且0x ≠【答案】C【解析】【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．6. 下列命题中是假命题的是（）A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．2,5，线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段7. 如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为()OA'，则点A'的坐标为（）A. ()5,2-B. ()5,2C. ()2,5-D. ()5,2- 【答案】A【解析】【分析】如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，证明()A OB BOA AAS '∠≌，根据A 点坐标为()2,5，写出5AB =，2OB =，则5OB '=，2A B '=，即可写出点A 的坐标．【详解】解：如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，∴90A BO ABO ∠'=∠=︒，OA OA '=，∵18090A OB AOB AOA '∠+∠=︒-∠'=︒，90AOB A ∠+∠=︒，∴A OB A ∠'=∠，∴()A OB BOA AAS '∠≌，∴OB AB '=，A B OB '=，∵A 点坐标为()2,5，∴5AB =，2OB =，∴5OB '=，2A B '=，∴()5,2A '-，故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质，证明AOB BOA '∠≌是解答本题的关键．8. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是（ ）A. 该组数据的中位数为98B. 该组数据的方差为0.7C. 该组数据的平均数为98D. 该组数据的众数为96和98【答案】D【解析】【分析】首先对数据进行重新排序，再根据众数，中位数，平均数，方差的定义进行求值计算即可．【详解】解：数据重新排列为：96，96，97，98， 98，∴数据的中位数为：97，故A 选项错误； 该组数据的平均数为9696979898975++++= ，故C 选项错误； 该组数据的方差为：()()()()()22222196979697979798979897=0.85⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦，故B 选项错误；该组数据的众数为：96和98，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查数据中名词的理解，掌握众数，中位数，平均数，方差的定义及计算方法是解题的关键．9. 有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ）A. 1212304x x +=B. 1515244x x +=C. 3030242x x +=D. 1212302x x+= 【答案】A【解析】【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ，继而可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟x 3m ，∴粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ， ∴1212304x x+=． 故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．10. 已知二次函数2y ax bx c =++的部分函数图象如图所示，则一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b c y x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据2y ax bx c =++的函数图象可知，0a >，240b ac ->，即可确定一次函数图象，根据2x =时，420y a b c =++>，即可判断反比例函数图象，即可求解．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则0a >，与x 轴存在2个交点，则240b ac ->，∴一次函数24y ax b ac =+-图象经过一、二、三象限，二次函数2y ax bx c =++的图象，当2x =时，420y a b c =++>， ∴反比例函数42a b c y x++=图象经过一、三象限 结合选项，一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b c y x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是B 选项故选B 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．11. 小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A. 2.7分钟B. 2.8分钟C. 3分钟D. 3.2分钟【答案】C【解析】【分析】先根据题意求得A 、D 、E 、F 的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE 、AF 、OD 的解析式，再分别联立OD 与AE 和AF 求得两次相遇的时间，最后作差即可．【详解】解： 如图：根据题意可得A （8，a ），D (12,a )，E （4,0），F （12,0） 设AE 的解析式为y =kx +b ，则048k b a k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得4a k b a⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线AE 的解析式为y =4a x -3a 同理：直线AF 的解析式为：y =-4a x +3a ,直线OD 的解析式为：y =12a x 联立124a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得62x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 联立1234a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得934x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min ．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x <．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x=-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式； （2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==， ∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽， ∴AB AM AP AB=， ∵2AB =，AP x =，PM y =， ∴22x y x -=， 解得：4y x x =-， 故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=， ∴12DC DP AP AB ==， 又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=， ∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ==，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽， ∴MF PF PM AB AP PB==，∴24MF PF ==，∴5MF =，5PF =∴55BF BP PF =-==，∴3tan 4MF EBP BF ∠=== 故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为14，则这个箱子中黄球的个数为______个． 【答案】15【解析】【分析】设黄球个数为x 个，根据概率计算公式列出方程，解出x 即可．【详解】解：设：黄球的个数为x 个，5154x =+ 解得：15x =，检验：将15x =代入520x +=，值不为零，∴15x =是方程的解，∴黄球的个数为15个，故答案为：15．【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．14. 因式分解：()()269m n m n +-++=________．【答案】()23m n +-【解析】【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：()()269m n m n +-++ ()()22233m n m n =+-⨯⨯++ ()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．15. 不等式组360x x m ->⎧⎨>⎩的解集为2x >，则m 的取值范围为_______． 【答案】m ≤2【解析】【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m 范围即可．【详解】解：360x x m ->⎧⎨>⎩①②， 解①得：2x >，又因为不等式组的解集为x >2∴x >m ，∴m ≤2，故答案为：m ≤2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m 的范围是解此题的关键． 16. 已知圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则其侧面展开图的面积为_______．【答案】60πcm 2【解析】【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【详解】解：圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，由勾股定理得，底面半径=6cm ，底面周长=12πcm ， 侧面展开图的面积=12×12π×10=60πcm 2．故答案为：60πcm 2．【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．17. 设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________． 【答案】20【解析】【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵213202x x ++= △=9-4=5＞0，∴13x =-23x =-，∴()212x x -=((223320-==， 故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．18. 定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=1222+=，则sin15︒的值为_______．【解析】【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒=sin 45cos30cos45sin30︒︒︒︒-12-=44-=．4．故答案为：4【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．∠的度数为19. 如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于O，且有公共顶点A，则BOH______度．【答案】12【解析】【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．【详解】连接AO，如图，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵多边形AHIJK是正五边形，∴∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．20. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．【答案】3##三【解析】【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124y x =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可．【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件， 4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，∴y 是4的整数倍，∴4y =时，341294x ⨯=-=， 8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意， 故有3种购买方案，故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键．21. 如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PKOA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221+【解析】【分析】解直角三角形分别求得11PK，22P K，33P K，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA⊥，11OPK∴△是直角三角形，在11Rt OPK中，60AOB∠=︒，11OP=，12111tan60PP PK OP∴==⋅︒=11PK OA⊥，22P K OA⊥，1122PK P K∴∥，2211OP K OPK∴△∽△，222111P K OPPK OP∴=，11=，221P K∴=，同理可得：2331P K =+，3441P K =+，……， 11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=+，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．22. 在长为2，宽为x （12x <<）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x 的值为________． 【答案】65 或32【解析】【分析】分析题意，根据x 的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x 值即可．【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为2x - 和x ， (2)22x x x --=- ，又12x <<，220x ∴-＞ ，2x x ∴-＞ ，则第一次操作后，剩下矩形的宽为2x -，所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为2x - ，另一边为：(2)22x x x --=- ，∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，分以下两种情况进行讨论：①当222x x --＞ ，即43x ＜时 ，第三次操作后剩下的矩形的宽为22x - ，长是2x - ，则由题意可知：22(22)x x -=- ， 解得：65x = ；②当222x x --＜ ，即43x ＞时， 第三次操作后剩下的矩形的宽为2x - ，长是22x - ，由题意得：222(2)x x -=- ， 解得：32x = ， 65x ∴= 或者32x = ．故答案为：65 或32． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．三、解答题（本题共6个小题，共54分）23. 已知：ABC ．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出ABC 内切圆的圆心O ；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果ABC 的周长为14cm ，内切圆的半径为1.3cm ，求ABC 的面积．【答案】（1）作图见详解（2）9.1【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；（2）利用割补法，连接OA ，OB ，OC ，作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，这样将△ABC 分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC 的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．【小问1详解】解：如下图所示，O 为所求作点，【小问2详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，OC ，作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∵内切圆的半径为1.3cm ，∴OD =OF =OE =1.3，∵三角形ABC 的周长为14，∴AB +BC +AC =14， 则111222ABC AOB COB AOC S S S S AB OD BC OE AC OF =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅△△△△ 111.3() 1.3149.122AB BC AC =⨯⨯++=⨯⨯= 故三角形ABC 的面积为9.1．【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．24. 如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC =30m ，AB =10m ，∠C =90°，则BC =AC -AB =30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯， ∴20tan 4810DE EC DC =-=⨯-即20tan 481020 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-≈⨯-⨯=故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．【答案】（1）115,22y x =-+22.y x= （2）01x <<或4x >，（3）65【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据OAP △的面积为54和直线解析式求出点P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K 的坐标，结合函数图象可得出x 的取值范围；（3）作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '，PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，求出点C 的坐标，再根据PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--求解即可．【小问1详解】解：∵一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， ∴把()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入11y k x b =+得， 1505,2k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，11252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴一次函数解析式为115,22y x =-+ 过点P 作PH x ⊥轴于点H ，∵(5,0),A∴5,OA 又5,4PAO S ∆=∴15524PH ⨯⨯= ∴1,2PH = ∴151222x -+=， ∴4,x = ∴1(4,)2P ∵1(4,)2P 在双曲线上， ∴2142,2k =⨯= ∴22.y x= 【小问2详解】 解：联立方程组得，15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，1112x y =⎧⎨=⎩ ，22412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴(1,2),k根据函数图象可得，反比例函数图象直线上方时，有01x <<或4x >，∴当21y y >时，求x 的取值范围为01x <<或4x >，【小问3详解】解：作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '交x 轴于点M ，则K '（1，-2），OM =1，连接PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，设直线PK '的解析式为,y mx n =+把1(4,),(1,2)2P K '-代入得，2142m n m n +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线PK '的解析式为517,66y x =- 当0y =时，106657x -=，解得，751x =， ∴17(,0)5C ∴175OC = ∴17121,55MC OC OM =-=-= 178555AC OA OC =-=-= 514AM OA OM =-=-=，∴PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--1112181422225252=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 122455=-- 65= 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键． 26. 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G .利用面积证明：DE DF CG +=．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B ′处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N .若8BC =，3BE =，求GM GN +的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，连接BD ，且AB AECD DE=，BC =3CD =，6BD =，求ED EA +的长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3【解析】【分析】（1）根据题意，利用等面积法ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，根据等腰ABC 中，AB AC =，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到AFE CFE ∠=∠，结合矩形ABCD 中AD BC ∥得到AFE FEC ∠=∠，从而有CFE FEC ∠=∠，从而确定EFC ∆是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到=GM GN FH +，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，根据AB AE CD DE=，EA AB ⊥，ED CD ⊥，得到ABC ∆是等腰三角形，从而由（1）知ED EA BG +=，在Rt BCG ∆中，BG ==Rt BDG ∆中，6BD =，BG =BG ==1x =，从而得到结论．【小问1详解】证明：连接AD ，如图所示：在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G ，∴由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+得111222AB CG AB ED AC FD ⋅=⋅+⋅， ∴DE DF CG +=； 【小问2详解】解：连接CG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，如图所示：根据折叠可知AFE CFE ∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，则AFE FEC ∠=∠，CFE FEC ∴∠=∠，即EFC ∆等腰三角形，在等腰EFC ∆中，FC EC =，EF 边上有一点G ，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，过点F 作FH BC ⊥于H ，由（1）可得=GM GN FH +，在Rt ABE ∆中，90B ∠=︒，3,835BE AE EC BC BE ===-=-=，则4AB ==，在四边形ABHF 中，90B BAF FHB ∠=∠=∠=︒，则四边形ABHF 为矩形，4FH AB ∴==，即4GM GN FH AB +===；【小问3详解】解：延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，则90BAE CDE ∠=∠=︒， 又AB AECD DE=， ∴ABE DCE ∆∆，ABE C ∴∠=∠，即ABC ∆是等腰三角形，∴由（1）可得ED EA BG +=，设=GD x ，90EDC BGC ∠=∠=︒，BC =3CD =，在Rt BCG ∆中，BG ==在Rt BDG ∆中，6BD =，BG =，∴BG ==1x =，BG ∴=ED EA BG +==【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．27. 如图所示，在O 的内接AMN 中，90MAN ∠=︒，2AM AN =，作AB MN ⊥于点P ，交O 于另一点B ，C 是AM 上的一个动点（不与A ，M 重合），射线MC 交线段BA 的延长线于点D ，分别连接AC 和BC ，BC 交MN 于点E ．（1）求证：CMA CBD △∽△．（2）若10MN =，MC NC =，求BC 的长．（3）在点C 运动过程中，当3tan 4MDB ∠=时，求ME NE 的值． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）32【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA =∴ABC ，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC ，先证明MN 是直径，再求出AP 和NP 的长，接着证明COE BPE △∽△，利用相似三角形的性质求出OE 和PE ，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，设出34GM x CG x ==，，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB 和PG ，最后利用相似三角形的性质表示出EG ，然后表示出ME 和NE ，算出比值即可．【小问1详解】解：∵AB ⊥MN ，∴∠APM =90°，∴∠D +∠DMP =90°，又∵∠DMP +∠NAC =180°，∠MAN =90°，∴∠DMP +∠CAM =90°，∴∠CAM =∠D ，∴∠CMA =∴ABC ，∴CMA CBD △∽△．【小问2详解】连接OC ，∵90MAN ∠=︒，∴MN 是直径，∵10MN =，∴OM =ON =OC =5，∵2AM AN =，且222AM AN MN +=，∴AN AM == ∵1122AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴4AP =，∴4BP AP ==，∴2NP ==，∴523OP =-=，∵MC NC =，∴OC ⊥MN ，∴∴COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∴BPE =90°，∴∴BPE =∠COE ，又∵∴BEP =∠CEO ，∴COE BPE △∽△ ∴CO OE CE BP PE BE==， 即54OE CE PE BE == 由3OE PE OP +==，∴5433OE PE ==，，∴CE ===BE ===∴BC ==【小问3详解】过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ， ∵MN 是直径，∴∴MCN =90°，∴∴CNM +∠DMP =90°，∵∴D +∠DMP =90°，∴∴D =∠CNM ， ∵3tan 4MDB ∠=， ∴3tan 4CNM ∠=， 设34GM x CG x ==，，∴5CM x =， ∴203x CN =，∴163x NG =， ∴253x NM =， ∴256x OM ON ==， ∵2AM AN =，且222AM AN MN +=，∴AN x =，AM x =， ∵1122AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴103AP x PB ==， ∴53NP x =， ∴16511333PG x x x =-=， ∵∴CGE =∠BPE =90°，∴CEG =∠BEP ， ∴CGE BPE △∽△， ∴CG GE CE BP PE BE==， 即4103x GE CE PE BEx == ∴2GE x =，53PE x = ∴5ME x =，103x NE =， ∴:3:2ME NE =， ∴MENE 值为32．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．28. 如图，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点()0,4A -，并经过点()6,0C ，过点A 作AB y ⊥轴交抛物线于点B ，抛物线的对称轴为直线2x =，D 点的坐标为()4,0，连接AD ，BC ，BD .点E 从A 点出发，个单位长度的速度沿着射线AD 运动，设点E 的运动时间为m 秒，过点E 作EF AB ⊥于F ，以EF 为对角线作正方形EGFH ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G 随着E 点运动到达BC 上时，求此时m 的值和点G 的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）214433y x x =-- （2）165m =，2412,55G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）368,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或（3，-3）1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）求出直线BC 解析式，通过△EGF 为等腰直角三角形表示出G 点坐标，将G 点代入BC 解析式即可求得m 的值，从而求得G 点坐标；（3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC 是直角三角形时，当△BCG 为直角三角形时，当△CBG 为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m 的值，即可求得G 点坐标．【小问1详解】将点A （0，-4）、C （6，0）代入解析式2y ax bx c =++中，以及直线对称轴2x =，可得4036622c a b c b a ⎧⎪-=⎪=++⎨⎪⎪-=⎩， 解得13434a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为214433y x x =--； 【小问2详解】∵A （0，-4），D ()4,0，∴△AOD 为等腰直角三角形，∵AB y ⊥轴交抛物线于点B ，∴B （4，-4），设直线BC 解析式为y =kx +b ，将B （4，-4），C （6，0）代入解析式得，4406k b k b -=+⎧⎨=+⎩，解得212k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为y =2x -12，由题意可得AE =，△ADB 为等腰直角三角形，∴2AF EF AE m ===， ∵四边形EGFH 正方形，∴△EGF 为等腰直角三角形， ∴11,422G m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭， 点G 随着E 点运动到达BC 上时，满足直线BC 解析式y =2x -12， ∴11421222m m m ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， ∴165m =，此时2412,55G ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 【小问3详解】B （4，-4），C （6，0），11,422G m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭， ∴()()222640420BC =-++=,22222313144442222BG m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222223131604642222CG m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 要使以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，需满足：当△BGC 是直角三角形时，222BG CG BC +=，22223131464202222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得，1245m =，22m =，此时G 368,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或（3，-3）； 当△BCG 为直角三角形时，222BC CG BG +=，22223131206442222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得，285m =， 此时G 426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当△CBG 为直角三角形时，222BC BG CG +=，22223131204642222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得，85m =， 此时G 1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭； 综上所述：点G 坐标为368,55⎛⎫-⎪⎝⎭或（3，-3）1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键．。
2023黑龙江省绥化市中考数学真题试卷和答案
2023年绥化市初中毕业学业考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．本试题共三道大题，28个小题3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 计算052-+的结果是（ ）A. 3- B. 7C. 4- D. 63. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）A. B. C. D.4. 纳米是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =，把0.000000001用科学记数法表示为（ ）A. 9110-⨯ B. 8110-⨯ C. 8110⨯ D. 9110⨯5. 下列计算中，结果正确的是（ ）A. 333()pq p q-= B. 3228x x x x x⋅+⋅= C.5=± D. ()326aa =6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，125∠=︒，230∠=︒，则3∠的度数为（ ）A. 55︒B. 65︒C. 70︒D. 75︒7. 下列命题中叙述正确的是（ ）A. 若方差22s s >乙甲，则甲组数据的波动较小B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上8. 绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（ ）组别参赛者成绩A 7080x ≤<B 8090x ≤<C 90100x ≤<D 100110x ≤<E110120x ≤<A. 该组数据样本容量是50人B. 该组数据的中位数落在90~100这一组C. 90~100这组数据的组中值是96D.110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51︒9. 在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，点D 在AC 上，且其横坐标为1，若反比例函数ky x=（0x >）的图像经过点B ，D ，则k 的值是（ ）的A. 1B. 2C. 3D.3210. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是（ ）A.11142x+= B.11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C.1111142x⎛⎫++= ⎪⎝⎭ D.11111442x⎛⎫++= ⎪⎝⎭11. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分BFG ∠交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为（ ）①2AB BF AE =⋅；②:2:3BGF BAF S S =△△；③当AB a =时，22BD BD HD a -⋅=A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题13. 因式分解：2x xy xz yz +--=_______．14.x 的取值范围是_______．15. 在4张完全相同卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．16. 已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．17. 化简：2222142442x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷=⎪--+-⎝⎭_______．18. 如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）19. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，已知点(2,0)A ，点(,)C a b ，90C ∠=︒．则点C '的坐标为_______．（结果用含a ，b的式子表示）的20. 如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF 周长的最小值是______．21. 在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= _______．（结果用含n 的代数式表示）22. 已知等腰ABC ，120A ∠=︒，2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒，得到A BC ''△，延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______．三、解答题23. 已知：点P O 外一点．（1）尺规作图：如图，过点P 作出O 的两条切线PE ，PF ，切点分别为点E 、点F ．（保留作图痕是迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒．求EDF ∠的度数．24. 如图，直线MN 和EF 为河的两岸，且MN EF ∥，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE 的B 点测得30CBE ∠=︒，从B 点沿河岸FE 的方向走40米到达D 点，测得45CDE ∠=︒．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D 点继续沿DE 的方向走12)+米到达P 点．求tan CPE ∠的值．25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A 、B 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A 、B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．26. 已知：四边形ABCD 为矩形，4AB =，3AD =，点F 是BC 延长线上的一个动点（点F 不与点C重合）．连接AF 交CD 于点G ．（1）如图一，当点G 为CD 的中点时，求证：ADG FCG ≅△△．（2）如图二，过点C 作CE AF ⊥，垂足为E ．连接BE ，设BF x =，CE y =．求y 关于x 的函数关系式．（3）如图三，在（2）的条件下，过点B 作BM BE ⊥，交FA 的延长线于点M ．当1CF =时，求线段BM 的长．27. 如图，MN 为⊙O 的直径，且15MN =，MC 与ND 为圆内的一组平行弦，弦AB 交MC 于点H ．点A 在¼MC上，点B 在»NC 上，90OND AHM ∠+∠=︒．（1）求证：MH CH AH BH ⋅=⋅．（2）求证： AC BC=．（3）在⊙O 中，沿弦ND 所在的直线作劣弧 ND的轴对称图形，使其交直径MN 于点G ．若3sin 5CMN ∠=，求NG 的长．28. 如图，抛物线21y ax bx c =++图象经过(6,0)A -，(2,0)B -，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B．的（1）求抛物线和一次函数的解析式．（2）点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．（3）将抛物线21y ax bx c =++图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD+有最大值，最大值是多少？的2023年绥化市初中毕业学业考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．本试题共三道大题，28个小题3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不符合题意；C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C 选项合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．2. 计算052-+的结果是（ ）A. 3- B. 7 C. 4- D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：052-+516=+=，故选：D ．【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据左视图的意义判断即可．【详解】根据题意，该几何体的左视图为：，故选B ．【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．4. 纳米是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =，把0.000000001用科学记数法表示为（ ）A. 9110-⨯ B. 8110-⨯ C. 8110⨯ D. 9110⨯【答案】A 【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为整数．【详解】解：90.000000001110-=⨯．故选：A ．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a 与n 的值是解题的关键．5. 下列计算中，结果正确的是（ ）A. 333()pq p q -= B. 3228x x x x x ⋅+⋅= C. 5=± D. ()326a a =【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．【详解】解：A. 333()pq p q =--，故该选项不正确，不符合题意；B. 43222x x x x x ⋅+⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C. 5=，故该选项不正确，不符合题意；D. ()326a a =，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，125∠=︒，230∠=︒，则3∠的度数为（ ）A. 55︒B. 65︒C. 70︒D. 75︒【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．【详解】解：依题意，190345∠+︒=∠+︒，∵125∠=︒，∴370∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．7. 下列命题中叙述正确的是（ ）A. 若方差22s s >乙甲，则甲组数据的波动较小B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【答案】D【解析】【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 若方差22s s >乙甲，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．8. 绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（ ）组别参赛者成绩A7080x ≤<B8090x ≤<C90100x ≤<D100110x ≤<E 110120x ≤<A. 该组数据的样本容量是50人B. 该组数据的中位数落在90~100这一组C. 90~100这组数据的组中值是96D. 110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51︒【答案】B【解析】【分析】根据C 组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得8090x ≤<的人数为15，进而根据中位数的定义，即可判断B 选项，根据组中值为901002+=95，即可判断C 选项，根据110~120的占比乘以360︒，即可判断D 选项．【详解】解：A 、 该组数据的样本容量是1224%50÷=，故该选项不正确，不符合题意；B 、8090x ≤<的人数为：5041212715----=，41525+<，4151225++>，该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；C 、 90~100这组数据的组中值是95，故该选项不正确，不符合题意；D 、 110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为736050.450⨯︒=︒，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键．9. 在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，点D 在AC 上，且其横坐标为1，若反比例函数k y x=（0x >）的图像经过点B ，D ，则k 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 32【答案】C【解析】【分析】设()3,B m ，则()()3,2,1,2C m D m ++根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．【详解】设()3,B m ，∵点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，AC 平行于x 轴，点D 在AC 上，且其横坐标为1，∴()()3,2,1,2C m D m ++，∴32m m =+，解得1m =，∴()3,1B ，∴313k =⨯=，故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键．10. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是（ ）A. 11142x += B. 11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C. 1111142x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ D.11111442x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．11. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，根据已知条件得出ABD △是等边三角形，进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒，当04t <<时，M 在AB 上，当48t ≤<时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，当04t <<时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，BE ==∵2,AM x AN x ==，∴2AM AB AN AE==，又A A ∠=∠∴AMN ABE∽∴90ANM AEB ∠=∠=︒∴MN ==，∴212y x x =当48t ≤<时，M 在BC 上，∴1122y AN BE x =⨯=⨯=，综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当48t ≤<时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分BFG ∠交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为（ ）①2AB BF AE =⋅；②:2:3BGF BAF S S =△△；③当AB a =时，22BD BD HD a -⋅=A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】①根据题意可得90ABF BAF DAE ∠=︒-∠=∠，则cos cos ABF EAD ∠=∠，即BF AD AB AE=，又AB AD =,即可判断①；②设正方形的边长为a ，根据勾股定理求得AF ，证明GAB GED ∽，根据相似三角形的性质求得GE ，进而求得FG ，即可判断②；过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N ，根据②的结论求得BH ，勾股定理求得BD ，即可判断③．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ADE ∠=∠=︒，AB AD=∵BF AE⊥∴90ABF BAF DAE∠=︒-∠=∠∴cos cos ABF EAD∠=∠即BFADAB AE =，又AB AD =,∴2AB BF AE =⋅，故①正确；设正方形的边长为a ，∵点E 为边CD 的中点，∴2aDE =,∴1tan tans 2ABF EAD ∠=∠=,在Rt ABE △中，AB a ===，∴AF =在Rt ADE △中，AE ==∴EF AE AF =-==，∵AB DE∥∴GAB GED∽∴2AGABGE DE ==∴13GE AE ==∴FG AE AF GE =--=-=∴32AFFG ==∴:2:3BGF BAF S S =△△，故②正确；∵AB a =，∴22222BD AB AD a =+=,如图所示，过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N ，又∵BF AE ⊥，∴四边形FMHN 是矩形，∵FH 是BFG ∠的角平分线，∴HM HN =，∴四边形FMHN 是正方形，∴FN HM HN==∵2,BF AF FG ===∴13MH FG BM BF ==设MH b =，则34BF BM FM BM MH b b b=+=+=+=在Rt BMH中，BH ==，∵BF a =4b =解得：b =∴BH ==，∴2222B a D BD HD a a =-⋅=，故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题13. 因式分解：2x xy xz yz +--=_______．【答案】()()x y x z +-【解析】【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：2x xy xz yz +--=()()()()x x y z x y x y x z +-+=+-，故答案为：()()x y x z +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．14. x 的取值范围是_______．【答案】5x ≥-且0x ≠##0x ≠且5x ≥-【解析】【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．有意义，∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥-且0x ≠，故答案为：5x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．15. 在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，1234111 1=1213142221=212=232142=333 1=32313=344441=42 2=43414=共有16种等可能结果，符合题意的有8种，∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是81162=，故答案为：12．【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．16. 已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．【答案】23-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出121246x x x x +==-，，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+，即2460x x --=，的两根为1x 与2x ，∴121246x x x x +==-，，∴1211+x x 12124263x x x x +===--，故答案为：23-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17. 化简：2222142442x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷=⎪--+-⎝⎭_______．【答案】12x -##12x -+【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x xx x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．18. 如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）【答案】22πcm3⎛- ⎝【解析】【分析】根据折叠的性质得出AOC 是等边三角形，则60AOC ∠=︒，1OD CD ==，根据阴影部分面积AOC AOC S S =- 扇形即可求解．【详解】解：如图所示，连接,OA OC ，设,AB CO 交于点D∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC AO =，OC AB⊥又OA OC=∴OA OC AC ==，∴AOC 是等边三角形，∴60AOC ∠=︒，1OD CD ==，∴AD ==,∴阴影部分面积)226012π22πcm 36023AOC AOC S S =-=⨯-⨯= 扇形故答案为：22πcm 3⎛- ⎝．19. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，已知点(2,0)A ，点(,)C a b ，90C ∠=︒．则点C '的坐标为_______．（结果用含a ，b 的式子表示）【答案】(62,2)a b --【解析】【分析】过点,C C '分别作x 轴的垂线,CD C D ''垂足分别为,D D '，根据题意得出2AD AD '=，则2,AD a CD b =-=，得出()224,0D a '-+，即可求解．【详解】解：如图所示，过点,C C '分别作x 轴的垂线,CD C D ''垂足分别为,D D '，∵ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，(2,0)A ∴2AD AD'=∵(,)C a b ，∴2,AD a CD b =-=,∴24,2A D a C D b '''=-=，∴()224,0D a '-+∴C '(62,2)a b --故答案为：(62,2)a b --．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．20. 如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF 周长的最小值是______．【答案】3+3+【解析】【分析】根据题意，证明CBE CAF ≌，进而得出F 点在射线AF 上运动，作点C 关于AF 的对称点C '，连接DC '，设CC '交AF 于点O ，则=90AOC ∠︒，则当,,D F C '三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ''''+=+=，进而求得C D '，即可求解．【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC ∠=∠=︒∵将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．ABC 是边长为6的等边三角形，∴,60,CE CF ECF BCA BC AC=∠=∠=︒=∴CBE CAF≌∴30CAF CBE ∠=∠=︒，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C '，连接DC '，设CC '交AF 于点O ，则=90AOC ∠︒在Rt AOC 中，30CAO ∠=︒，则132CO AC ==，则当,,D F C '三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ''''+=+=∵6CC AC '==，ACO C CD '∠=∠，CO CD=∴ACO C CD' ≌∴90C DC AOC '∠=∠=︒在C DC ' 中，C D '===,∴CDF 周长的最小值为3CD FC CD CD DC '++=+=+故答案为：3+【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．21. 在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= _______．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -##22n n -+【解析】【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．22. 已知等腰ABC ，120A ∠=︒，2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒，得到A BC ''△，延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______．【答案】44+-【解析】【分析】根据题意，先求得BC =，当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E ，当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒，过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F ，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AM BC ⊥于点M ，∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∴112AM AB ==，BM CM ===∴BC =，如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E ，∵120BAC ∠=︒，∴60DA B '∠=︒，30A EB '∠=︒，在Rt A BE ' 中，24A E A B ''==，BE ==∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∵ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，∴45ABA '∠=︒，∴180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒在A BD ' 中，1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒,∴D EBD ∠=∠，∴EB ED ==∴4A D A E DE ''=+=+如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒，过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F ，在BFD △中，45BDF CBC ∠'=∠=︒，∴DF BF=在Rt DC F ' 中，30C '∠=︒∴'DF FC =∴BC BF =+=∴3DF BF ==∴26DC DF '==-∴624A D C D A C ''''=-=-=-，综上所述，A D '的长度为4-或4+，故答案为：4-或4+．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题23. 已知：点P 是O 外一点．（1）尺规作图：如图，过点P 作出O 的两条切线PE ，PF ，切点分别为点E 、点F ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒．求EDF ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）75EDF ∠=︒或105︒【解析】【分析】（1）①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画圆，两圆交于点,M N 两点，作直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，（2）根据切线的性质得出90PEO PFO ∠=∠=︒，根据四边形内角和得出150EOF ∠=︒，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【小问1详解】解：如图所示，①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画弧，两弧交于点,M N 两点，作直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，则直线,PE PF 即为所求；【小问2详解】如图所示，点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒，∵,PE PF 是O 的切线，∴90PEO PFO ∠=∠=︒，∴360909030150EOF ∠=︒-︒-︒-︒=︒，当点D 在优弧 E F 上时，1752EDF EOF ∠=∠=︒，当点D 在劣弧 E F 上时，18075105EDF ∠=︒-︒=︒，∴75EDF ∠=︒或105︒．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．24. 如图，直线MN 和EF 为河的两岸，且MN EF ∥，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE 的B 点测得30CBE ∠=︒，从B 点沿河岸FE 的方向走40米到达D 点，测得45CDE ∠=︒．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D 点继续沿DE 的方向走12)+米到达P 点．求tan CPE ∠的值．【答案】（1）河两岸之间的距离是20米（2）5tan 2CPE ∠=【解析】【分析】（1）过点C 作CM EF ⊥于点M ，设CM a =米，在Rt MCB △中，MB =，在Rt MCD △中，MD MC a ==，根据40BD =，建立方程，解方程即可求解；（2）根据题意求得MP 的长，进而根据正切的定义，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点C 作CM EF ⊥于点M ，设CM a =米，∵30CBE ∠=︒∴tan tan 30CMCBM PB ∠==︒=，∴MB =，在Rt MCD △中，tan tan 451CMCDM MD ∠==︒=，∴MD MC a==∴40BD MB MD a =-=-=解得：20a =+答：河两岸之间的距离是20米；【小问2详解】解：如图所示，依题意，4012)52PB BD DP =+=+=+，∴((20528MP MB PB =-=++=+在Rt CMP △中，5tan 2CM CPM MP ∠===，∴5tan 2CPE ∠=．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A 、B 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A 、B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．【答案】（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人（2）共有4种租车方案，租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱（3）在甲乙两车第一次相遇后，当3t =小时或113小时时，两车相距25千米【解析】【分析】（1）设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出m 的值，设总租金为w 元，根据一次函数的性质即可求解；（3）设s kt =甲，1s k t b =+乙，由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．求出函数解析式，进而即可求解．【小问1详解】解：设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意得5231034340x y x y +=⎧⎨+=⎩解得4055x y =⎧⎨=⎩答：每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人．【小问2详解】设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意得()()500600105500405510420m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩ 解得：2583m ≤≤ m 取正整数，∴5m =，6，7，8∴共有4种租车方案设总租金为w 元，则500600(10)1006000w m m m =+-=-+ 1000-<w ∴随着m 的增大而减小∴8m =时，w 最小∴租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱．【小问3详解】。
2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷(解析版)
2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用28铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）化简|﹣|，下列结果中，正确的是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．2x2+x2＝3x4B．（x2）3＝x5C．＝﹣2D．＝±2 4．（3分）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．5．（3分）若式子+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0 6．（3分）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7．（3分）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）8．（3分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（）A．该组数据的中位数为98B．该组数据的方差为0.7C．该组数据的平均数为98D．该组数据的众数为96和989．（3分）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（）A．+＝30B．+＝24C．+＝24D．+＝3010．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．11．（3分）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A．2.7分钟B．2.8分钟C．3分钟D．3.2分钟12．（3分）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（）（1）y与x的关系式为y＝x﹣；（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内13．（3分）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为个．14．（3分）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．15．（3分）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为．16．（3分）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为．17．（3分）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为．18．（3分）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．19．（3分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．20．（3分）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有种购买方案．21．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为．22．（3分）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内23．（7分）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．24．（8分）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m 的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC ＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）25．（9分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B （0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．26．（9分）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G 为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．27．（10分）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN 于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．28．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用28铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）化简|﹣|，下列结果中，正确的是（）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】利用绝对值的意义解答即可．【解答】解：|﹣|的绝对值是，故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．2x2+x2＝3x4B．（x2）3＝x5C．＝﹣2D．＝±2【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵2x2+x2＝3x2≠3x4，∴选项A不符合题意，∵（x2）3＝x6≠x5，∴选项B不符合题意，∵＝﹣2，∴选项C符合题意，∵＝2≠±2，∴选项D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，立方根，算术平方根，掌握合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义是解决问题的关键．4．（3分）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项都不符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．5．（3分）若式子+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．6．（3分）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【分析】由三角形中位线定理，邻补角定义，切线长定理，直角三角形性质逐项判断即可．【解答】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命题，不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．7．（3分）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，∵A点坐标为（2，5），∴OB＝2，AB＝5．由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．∴∠AOB+∠A′OC＝90°．∵∠A′OC+∠A′＝90°，∴∠A′＝∠AOB．在△A′OC和△OAB中，，∴△A′OC≌△OAB（AAS）．∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，∴A′（﹣5，2）．故选：A．【点评】本题主要考查了图形的旋转与坐标的变化，点的坐标的特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．8．（3分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（）A．该组数据的中位数为98B．该组数据的方差为0.7C．该组数据的平均数为98D．该组数据的众数为96和98【分析】根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据方差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项．【解答】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A 选项不符合题意；C、平均数＝＝97，故C选项不符合题意；B、方差＝×[（96﹣97）2×2+（97﹣97）2+（98﹣97）2×2]＝0.8，故B选项不符合题意；D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．9．（3分）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（）A．+＝30B．+＝24C．+＝24D．+＝30【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，利用注油所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：24÷2＝12（m3）．设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，依题意得：+＝30．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象判断a，b2﹣4ac及4a+2b+c的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【点评】本题考查一次函数，二次函数，反比例函数的图象，解题的关键是掌握三种图象的性质．11．（3分）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A．2.7分钟B．2.8分钟C．3分钟D．3.2分钟【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．【解答】解：由图象可得，小王的速度为米/分钟，爸爸的速度为：＝（米/分钟），设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，m＝（m﹣4）•，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，解得m＝6，n＝9，n﹣m＝9﹣6＝3，故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（）（1）y与x的关系式为y＝x﹣；（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理对每个选项的结论进行判断即可：（1）过点P作PF ⊥BC于点F，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定定理解答即可；（3）利用（1），（2）的结论利用勾股定理和平行线分线段成比例定理求得PB，PE，再利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论．【解答】解：（1）过点P作PF⊥BC于点F，如图，∵四边形ABCD是矩形，PF⊥BC，∴四边形ABFP是矩形，∴PF＝AB＝2，BF＝AP＝x，∴AM＝AP＝PM＝x﹣y．∵∠ABE＝∠CBP，∠A＝∠PFB＝90°，∴△ABM∽△FBP，∴，∴．∴x2﹣xy＝4．∴y＝x﹣．∴（1）的结论正确；（2）当AP＝4时，DP＝AD﹣AP＝5﹣4＝1，∵，，∴．∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABP△DPC．∴（2）的结论正确；（3）由（2）知：当AP＝4时，△ABP∽△DPC，∴∠ABP＝∠DPC．∵∠BP A+∠ABP＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°．∴∠CPB＝90°．∴∠BPE＝90°．∴tan∠EBP＝．由（1）知：PM＝AP﹣＝3，BP＝＝2，CP＝＝．∵AD∥BC，∴．∴，解得：PE＝，∴tan∠EBP＝＝＝，∴（3）的结论错误，综上，正确的结论为：（1）（2），故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，灵活应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内13．（3分）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为15个．【分析】直接利用概率公式得出＝，进而得出答案．【解答】解：设箱子中黄球的个数为x个，根据题意可得：＝，解得：x＝15，经检验得：x＝15是原方程的根．故答案为：15．【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．14．（3分）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝（m+n﹣3）2．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．15．（3分）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为m≤2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，∵不等式组的解集为x＞2，∴m≤2，故答案为：m≤2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．16．（3分）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为60πcm2．【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径＝6cm，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60πcm2．故答案为：60πcm2．【点评】本题利用了勾股定理和圆锥的计算，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积，即S＝πrl．侧17．（3分）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为20．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，故答案为：20．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．18．（3分）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．19．（3分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为12度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．【点评】本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．20．（3分）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有3种购买方案．【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，依题意得：4x+3y＝48，∴x＝12﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案．故答案为：3．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．21．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为（1+）2022．【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到P n K n的式子，从而可以写出线段P2023K2023的长．【解答】解：由题意可得，P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，…，P n K n＝（1+）n﹣1，∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，故答案为：（1+）2022．【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是发现P n K n的变化特点．22．（3分）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 1.2或者1.5．【分析】本题中的x与（2﹣x）不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）．当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．故答案为：1.2或者1.5．【点评】主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内23．（7分）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键掌握三角形的内心是角平分线的交点，属于中考常考题型．24．（8分）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m 的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC ＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再利用已知求出BC 的长，然后再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），∵AB＝10米，∴BC＝AC﹣AB＝20（米），在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），∴广告牌ED的高度约为4.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（9分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B （0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．【分析】（1）根据待定系数法可求出直线AB的解析式，根据△OAP的面积可得出点P 的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x 的取值范围；（3）作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，求出直线KP′的解析式，令y＝0，可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•y P＝，∴y P＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，）．∴P′（4，﹣）．∴PP′＝1，∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，解得x＝．∴C（，0）．∴S△PKC＝•（x C﹣x K）•PP′＝×（﹣1）×1＝．∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．26．（9分）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G 为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．【分析】（1）连接AD，根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得结论；（2）利用翻折的性质得，CE＝CF，由勾股定理得，AB＝4，则等腰△CEF中，CE边上的高为4，由（1）知，GM+GN＝4；（3）延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，利用△BAE∽△CDE，得∠ABE＝∠C，则BG＝CG，设DH＝x，利用勾股定理列方程可得DH的长，从而得出BH，利用（1）中结论可得答案．【解答】（1）证明：连接AD，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴＝，∵AB＝AC，∴DE+DF＝CG；（2）解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，∴∠AFE＝∠EFC，AE＝CE，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵BC＝8，BE＝3，∴CE＝AE＝5，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB＝4，∴等腰△CEF中，CE边上的高为4，由（1）知，GM+GN＝4；（3）解：延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，∵＝，∠BAE＝∠EDC＝90°，∴△BAE∽△CDE，∴∠ABE＝∠C，∴BG＝CG，∴ED+EA＝BH，设DH＝x，由勾股定理得，62﹣x2＝（）2﹣（x+3）2，解得x＝1，∴DH＝1，∴BH＝＝，∴ED+EA＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明等腰三角形，利用（1）中结论是解决问题（2）、（3）的关键．27．（10分）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN 于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．【分析】（1）连接BM，由四边形ABMC是⊙O的内接四边形，得∠DCA＝∠ABM，由。
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绥化市中考数学试题及答案第一题：计算题
已知a = 3，b = 5，c = 8，求a + b + c的值。
解答：
a +
b +
c = 3 + 5 + 8 = 16
第二题：代数题
已知方程2x + 5 = 15，求解x的值。
解答：
2x + 5 = 15
2x = 15 - 5
2x= 10
x = 10 ÷ 2
x = 5
第三题：几何题
如图，ABCD为一个矩形，AB = 6cm，BC = 4cm。
求矩形周长及面积。
解答：
由于矩形的对边相等，所以AD = BC = 4cm。
矩形的周长 = AB + BC + CD + DA
= 6cm + 4cm + 6cm + 4cm
= 20cm
矩形的面积 = AB × BC
= 6cm × 4cm
= 24cm²
第四题：时间问题
小明从家里出发，在上午7点30分开始骑自行车去上学，耗时45分钟，即到达上学的时间为几点几分？
解答：
耗时45分钟，即上学的时间为7点30分 + 45分钟 = 8点15分。
第五题：分数计算
将⅔与⅗相加，结果约分为最简分数。
解答：
⅔ + ⅗ = (2×3 + 3×2) / (3×5)
= (6 + 6) / 15
= 12 / 15
需要将结果约分为最简分数：
12 / 15 = (2×2×3) / (3×5)
= 4 / 5
综上所述，该题的结果约分为最简分数为4/5。
第六题：概率问题
甲、乙、丙三个人同时参加一次抽奖，甲的中奖概率为1/3，乙的
中奖概率为2/5，丙的中奖概率为1/4。
问三人都不中奖的概率是多少？
解答：
甲不中奖的概率为1 - 1/3 = 2/3
乙不中奖的概率为1 - 2/5 = 3/5
丙不中奖的概率为1 - 1/4 = 3/4
三人都不中奖的概率 = 甲不中奖的概率 ×乙不中奖的概率 ×丙不中
奖的概率
= (2/3) × (3/5) × (3/4)
= 18/60
= 3/10
绥化市中考数学试题答案如上所示。
希望对你有帮助。