函数的定义域解析与练习及答案

函数的定义域

1、已知函数式求定义域：

例1、求下列函数的定义域：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）．

解：

（1），即；（2），即；

（3）且，即．

（4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为．

（5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为．

点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解．

2、求抽象函数的定义域

讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管“”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围．

例2、已知的定义域为，求，的定义域．

解：

∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为，由，∴，即的定义域为．

点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集．

例3、已知的定义域为，求，的定义域．

解：

∵的定义域为，∴即的定义域为．

又∵的定义域为，∴，∴

即的定义域为．

点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域．

例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0b，求函数的定义域．解答：

∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b，

若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0b，∴a<－b且b<－a．∴的定义域为．

点拨：若的定义域为及的定义域分别为A、B，则有借助于数轴分析可求得．

3、函数定义域的逆用

讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R时，可采用判别式法，若定义域为R的一个真子集时，可采用分离变量法．

例5、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围．

解答：

①当k=0时，函数，显然它的定义域是R；

②当k≠0时，由函数y的定义域为R可知，不等式对一切实数x均成立，因此一定有．

解得0

点拨：此题是已知函数y的定义域，据此逆向求解函数中参数k的取值，需要将问题准确转化成不等式问题．

例6、半径为R的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x的函数关系式，并写出它的定义域．

解：

如图所示，AB=2R，CD在⊙O在半圆周上．

设腰AD=BC=x，作DE⊥AB．垂足为E，连BD．

由Rt△ADE∽Rt△ABD，

练习：

一、选择题

1、函数的定义域是（）

A．[－2，2] B．{－2，2} C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．（－2，2）

2、若函数的定义域为[－1，2]，则函数的定义域是（）

A． B．[－1，2] C．[－1，5] D．

3、已知函数的定义域为A，的定义域为B，若=．则实数m的取值范围是（）

A．（－3，－1） B．（－2，4） C．[－2，4] D．[－1，3]

二、填空题

4、已知函数的定义域为[－1，2]，那么函数的定义域是__________．

5、若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．

三、解答题

6、求下列函数的定义域：

①②

③y＝lg(a x－2·3x)(a＞0且a≠1)

7、解答下列各题：

（1）已知的定义域为[0，1]，求及的定义域．

（2）设的定义域是[－2，3），求的定义域．

8、已知函数的定义域为[－1，1]，求(a>0)的定义域．

9、设f(x)＝lg，如果当x∈(－∞，1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围．

答案：一.1.B 2.C 3.D

提示：

1、得x2=4，x=±2．

3、由x2－2x－8≥0得A={x|x≥4或x≤－2}．

由1－|x－m|>0得，B={x|m－1

∵．

二.4.解析：由得≤x≤1．

5.

解析：当m=0，，定义域为R，当m≠0，由的定义域为R知抛物线y=mx2＋4mx＋3与x轴无交点，即Δ=16m2－12m<0，解得．综上可知m∈．

6.解：①.

②.

③∵a x－2·3x＞0，∴()x＞2.

当a＞3时，此函数的定义域为(log2，＋∞)；

当0＜a＜3且a≠1时，函数定义域为(－∞，log2).

当a＝3时，函数无意义．

7.解：（1）设的定义域为[0，1]，∴0≤t≤1．

当t=x2，可得0≤x2≤1，∴－1≤x≤1，∴的定义域为[－1，1]．

同理，由得，∴的定义域是．（2）∵的定义域是[－2，3），

∴－2≤x<3－3≤x－1<2，即的定义域是[－3，2）．

由，∴函数的定义域为．

8.解：须使和都有意义．使有意义则；使有意义则．

当时，，的定义域为；

当时，，的定义域为.

9.解：由题设可知，不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]上恒成立，

即()2x＋()x＋a>0在x∈(－∞，1]上恒成立．

设t＝()x，则t≥，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－.

只需g()＝()2＋＋a>0，得a>－，

所以a的取值范围是a>－．