2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}2．已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则tanα的值为（）A．B．2 C．﹣D．﹣23．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n}满足：a n+1+2a n=0，且a2=2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1 D．1﹣2105．以双曲线﹣y2=1的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=16．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（）A． B． C． D．8．若执行如图所示的程序框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数S等于（）A．B．1 C．D．9．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．3 B．1 C．﹣3 D．不存在10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A． B． C．D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A．1000π B．125πC．D．12．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意x∈R的总有＜x，则下列大小关系一定正确的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z=，则|z|=．14．求函数f（x）=的单调减区间．15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为．16．设数列{a n}的前项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“精致数列”．已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“精致数列”，则数列{b n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，边a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（1）求B0的值；（2）当B=B0，a=3，b=6时，又=，求CD的长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．19．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级高二年级合计附：K2=临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的两个焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．其短轴长是2，原点O到过点A（a，0）和B（0，﹣b）两点的直线的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若点PQ是定直线x=4上的两个动点，且•=0，证明以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标．21．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若对任意λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a ﹣2ln3恒成立，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC 于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵M={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3}，N={﹣1，0，1，2，3}∴M∩N={0，1，2}．故选：A．2．已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则tanα的值为（）A．B．2 C．﹣D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【分析】已知等式利用诱导公式化简，整理即可求出tanα的值．【解答】解：已知等式整理得：sinα=﹣2cosα，即=﹣2，则tanα==﹣2，故选：D．3．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由m=﹣1能推出这两条直线垂直；而由这两条直线垂直，不能推出m=﹣1，再根据充分条件、必要条件、充要条件的定义作出判断．【解答】解：当m=﹣1时，直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0，即x+3y﹣1=0 和3x﹣y+2=0，显然这两条直线的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故充分性成立．由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直，可得3m+m（2m﹣1）=0，求得m=0，或m=﹣1，不能推出m=﹣1，故必要性不成立．综上可得，m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直的充分不必要条件，故选：A．4．已知数列{a n}满足：a n+1+2a n=0，且a2=2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1 D．1﹣210【考点】数列的求和．【分析】通过a n+1+2a n=0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2=2可知首项a1=﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a n+1+2a n=0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，又∵a2=2，∴a1=（0﹣a2）=﹣1，∴所求值为=﹣，故选：B．5．以双曲线﹣y2=1的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点，设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，即有a2﹣b2=4，又e==，解得a，b，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：双曲线﹣y2=1的焦点为（±2，0），设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，即有a2﹣b2=4，又e==，解得a=4，b=2，可得椭圆的方程为+=1．故选：C．6．函数y=xsinx +cosx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法排除A ，C 选项，再根据单调性得出选项D ．【解答】解：∵f （0）=1，排除A ，C ；f'（x ）=xcosx ，显然在（0，）上，f'（x ）＞0，∴函数为递增，故选：D ．7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：如图所示：∵S 正=1，S 圆=π=∴P===故选：A8．若执行如图所示的程序框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数S等于（）A．B．1 C．D．【考点】程序框图．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故选：A．9．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．3 B．1 C．﹣3 D．不存在【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：由z=x﹣2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，1）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=3﹣2=1．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是1．故选C：B．10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】向量的共线定理．【分析】根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．【解答】解：∵===﹣y，∵，点O在线段CD上（与点C、D不重合），∴y，∵，∴故选D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A．1000π B．125πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该三棱锥：为棱长为5、4、3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，得该三棱锥和长方体的外接球相同，利用长方体的体对角线是球的直径求出R，代入球的体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该三棱锥：为棱长为5、4、3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，∴该三棱锥和长方体的外接球相同，设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R==5．∴R=，∴外接球的体积为V==，故选：D．12．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意x∈R的总有＜x，则下列大小关系一定正确的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数单调递增，f′（x）＞0，根据复合函数求导法则f′（x﹣1）=f′（x）＞0，由＜x，整理得：＜0，可以得到f（x﹣1）﹣xf′（x﹣1）＜0，构造辅助函数，g（x）=，x≠0求导，根据上式可知g′（x）＞0，g（x）单调递增，以此可以判断＜．【解答】解：y=f（x）为定义在上的单调递增函数，∴，y=f′（x）＞0，＜x，即﹣x＜0，整理得：＜0，由复合函数求导法则可知：f′（x﹣1）=f′（x）＞0，∴f（x﹣1）﹣xf′（x﹣1）＜0，设g（x）=，x≠0，g′（x）=，∵xf′（x﹣1）﹣f（x﹣1）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）单调递增，∵e+1＜π+1，∴＜，故答案选：B．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z=，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数的乘方法则，化简即得．【解答】解：∵z===，则|z|=，故答案为：．14．求函数f（x）=的单调减区间（﹣∞，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=的单调递减区间．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}则令解得：x＜1∴函数f（x）=的单调递减区间是：（﹣∞，0）∪（0，1）故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为±．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，∵圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，∴圆心O（0，0），半径r=，∴OA=OB=，AB==2，∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣2），圆心（0，0）到直线l的距离d==1，解得k=．故答案为：．16．设数列{a n}的前项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“精致数列”．已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“精致数列”，则数列{b n}的通项公式为．【考点】数列递推式．【分析】由题意设数列{b n}的公差为d（d≠0），=k，代入等差数列的前n项和与前2n 项和，整理后得（4k﹣1）dn+（2k﹣1）（2﹣d）=0，由该式对任意n∈N*都成立，得，求解方程组得到公差d，则数列{b n}的通项公式可求．【解答】解：设数列{b n}的公差为d（d≠0），=k，∵b1=1，∴，即2+（n﹣1）d=4k+2k（2n﹣1）d，整理得：（4k﹣1）dn+（2k﹣1）（2﹣d）=0，∵上式对任意n∈N*都成立，∴，解得．∴．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，边a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（1）求B0的值；（2）当B=B0，a=3，b=6时，又=，求CD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即，由余弦定理，基本不等式可得cosB ≥，由B为锐角，利用余弦函数的单调性即可解得B的最大值．（2）由已知及余弦定理可求c的值，又=，可得BD=AB=1+，在△BCD中，由余弦定理即可解得CD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即．由余弦定理知，，∵y=cosx在（0，π）上单调递减，∴B的最大值…（2）∵，∴由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：36=9+c2﹣2×3×c×，解得：c=，∵又=，∴BD=AB=×=1+，∴在△BCD中，由余弦定理可得：CD===…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）取AB的中点M，根据，得到F为AM的中点，又E为AA1的中点，根据三角形中位线定理得EF∥A1M，从而在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1DBM为平行四边形，进一步得出EF∥BD．最后根据线面平行的判定即可证出EF∥平面BC1D．（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC上存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG与AC 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（I）取AB的中点M，∵，∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，∴A1D∥BM，A1D=BM，∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD∴EF∥BD．∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（II）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，∵==∴，∴，∴AG=．所以符合要求的点G不存在．19．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级高二年级合计附：K2=临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）初中年级成绩在[70，80）之间的学生共有0.015×10×40=6人，恰有4名女同学，2名男同学，利用对立事件的概率公式，即可求其中至少有1名男同学的概率；（2）根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论．【解答】解：（1）初中年级成绩在[70，80）之间的学生共有0.015×10×40=6人，恰有4名女同学，2名男同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，有C62=15种情况，全是女生有C42=6种情况∴其中至少有1名男同学的概率为1﹣=；（2）2×2列联表成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高中年级20 20 40初中年级28 12 40合计48 32 80由，知只有90%的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的了解有差异”，没有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”．20．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的两个焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．其短轴长是2，原点O到过点A（a，0）和B（0，﹣b）两点的直线的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若点PQ是定直线x=4上的两个动点，且•=0，证明以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可得b=，求得AB的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；（II）由题意可设P（4，s），Q（4，t），运用向量的坐标和数量积的坐标表示，可得st=﹣15，求得以PQ为直径的圆的方程，化简整理，令y=0，即可得到定点．【解答】解：（I）由题意可得2b=2，即b=，直线AB的方程为+=1，即为bx﹣ay﹣ab=0，由题意可得=，解得a=2，即有椭圆的方程为+=1；（II）证明：由题意可设P（4，s），Q（4，t），由F1（﹣1，0），F2（1，0），且•=0，可得（5，s）•（3，t）=0，即15+st=0，即为st=﹣15．以PQ为直径的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣）2=，化简为（x﹣4）2+y2﹣（s+t）y﹣15=0，可令y=0，即有（x﹣4）2=15，解得x=4±，可得以PQ为直径的圆过定点，定点的坐标为（4±，0）．21．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若对任意λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a ﹣2ln3恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）当a=0时，对f（x）求导，判断单调性求极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，使不等式恒成立即求f（x）的最值，转化为f（λ1）﹣f（λ2）|max ＜（m+ln3）a﹣2ln3，然后求m 范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，所以，其定义域为（0，+∞）当a=0时，，令f′（x）=0，解得：，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0所以当时，f（x）有极小值，无极大值．（Ⅱ），x＞0当﹣3＜a＜﹣2时，，故当x∈[1，3]时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，3]单调递减，此时f（x）max=f（1）=2a+1，=依题意，只需（m+ln3）a﹣2ln3＞即：而当﹣3＜a＜﹣2，．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC 于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．【考点】圆周角定理；直角三角形的射影定理．【分析】（1）连接OD、AD，由DE是⊙O的切线可知OD⊥DE，由AD⊥BC，AB=AC，可得BD=DC，从而可证（2）AD⊥BC，DE⊥AC，在Rt△ABD中，由射影定理得CD2=CE•CA可证【解答】证明：（1）连接OD、AD．∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．又AB=AC，∴BD=DC．∴OD∥AC，DE⊥AC．（2）∵AD⊥BC，DE⊥AC，在Rt△ACD中，由射影定理得CD2=CE•CA．又BD=DC．∴BD2=CE•CA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d== [sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．2020年7月30日。
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|-1＜x≤3}，B={x|lg x＞0}，则A∩B等于（）A. （-1，1）B. （1，3）C. （0，3]D. （1，3]2.设i是虚数单位，若复数z满足z•i=4-9i，则其共轭复数=（）A. -9-4iB. -9+4iC. 9-4iD. 9+4i3.设，，n=log a（1-a），，则m，n，p的大小关系是（）A. n＞m＞pB. m＞p＞nC. p＞n＞mD. n＞p＞m4.函数f（x）=sin x+（x∈R）的最小值是（）A. B. C. D.5.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.在如图的程序框图中，若n=2019，则输出y=（）A. 0B.C.D.7.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a cos B+b cos A=2cos C，c=1，则角C=（）A. B. C. D.8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. 2 D.9.已知函数y=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0）图象的一部分如图所示．若A，B，D是此函数的图象与x轴三个相邻的交点，C是图象上A、B之间的最高点，点D的坐标是（，0），则数量积=（）A.B.C.D.10.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是边长为2，且一个内角为60°的菱形，俯视图是正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. 16B. 8C. 4D. 811.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A, B，则A, B两点之间的距离是A. 1B. 2C. 3D. 412.若函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [-2，2]B. [-2，]C. [-]D. [-2，-]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（m，1），=（3，3）．若（），则实数m=______．14.2019年3月18日晚，某校高一年级举行“校园歌手卡拉OK大奖赛”，邀请了七位评委为所有选手评分．某位选手演出结束后，评委们给他评分的茎叶图如图所示，按照比赛规则，需去掉一个最高分和一个最低分，则该选手最终所得分数的平均分为______．15.在四面体ABCD中，AB=CD=，BC=DA=，CA=BD=，则此四面体ABCD外接球的表面积是______．16.关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，经统计数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为28个，由此估计π的近似值是______（用分数表示）．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.记S n，q分别为等比数列{a n}的前n项和与公比，已知a2=9，S3=-21，|q|＞1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{S n}的前n项的和．18.公历4月5日为我国传统清明节，清明节扫墓我们都要献鲜花，某种鲜花的价格会随着需求量的增加而上升．一个批发市场向某地商店供应这种鲜花，具体价格统计如下表所示日供应量x（束）384858687888单位y（元）16.818.820.722.42425.5日供应量x与单价y之间的关系；（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（I）的判断结果以及参考数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）该地区有6个商店，其中4个商店每日对这种鲜花的需求量在60束以下，2个商店每日对这种鲜花的需求量在60束以上，则从这6个商店个中任取2个进行调查，求恰有1个商店对这种鲜花的需求量在60束以上的概率．参考公式及相关数据：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．（ln x i•ln y i）（ln x i）（ln y i）（ln x i）275.324.618.3101.419.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起（其中P在边AB上，Q在AC边上），使平面APQ⊥平面BPQC．D，E分别是PQ，BC的中点．（Ⅰ）证明：PQ⊥平面ADE；（Ⅱ）若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥A-PBCQ的体积．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（1，），焦距长2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不垂直于坐标轴的直线L与椭圆C交于不同的两点P、Q，点N（4，0）．设O为坐标原点，且∠ONP=∠ONQ．证明：动直线PQ经过定点．21.设函数g（x）=te2x+（t+2）e x-1，其中t∈R．（Ⅰ）当t=-1时，求g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若t是非负实数，且函数f（x）=g（x）-4e x-x+1在R上有唯一零点求t的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为原点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（）．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q两点间距离的最小值为2，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x-2|+2．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）；（Ⅱ）设g（x）=|2x-a|+|2x+3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：B={x|x＞1}；∴A∩B=（1，3]．故选：D．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由z•i=4-9i，得z=，故=-9+4i，故选：B．利用复数的四则运算计算出z后即可求共轭复数．本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵；∴，；∴；∴n＞p＞m．故选：D．根据作差比较即可得出，根据对数函数的单调性即可得出m，n，p的大小关系．考查作差比较法的运用，配方法的运用，以及对数函数的单调性．4.答案：C解析：解：f（x）=，=，又因为,当sin x=-1，即x=2k（k∈Z）时，，故选：C．首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，二次函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.答案：A解析：解：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行，则，解得λ=-3或λ=1，又“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行”的充分不必要条件，故选：A．由直线平行的判定得：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行，则，解得λ=-3或λ=1，由充分必要条件得：“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行”的充分不必要条件，得解．本题考查了直线平行的判定及充分必要条件，属简单题．6.答案：C解析：解：流程图的作用是计算函数y=cos的值，其中n≤4，而n的初始值为2019，由程序框图中的判断可知，若n＞5，则需要减去5，直至小于5为止，因2019=2015+4，故y=cos=．故选：C．流程图的作用是计算函数y=cos的值，其中n≤4，利用2019=2015+4可计算输出值．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：B解析：解：因为c=1，故：a cos B+b cos A=2cos C=2c cos C，由正弦定理可以得到：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cosC，故：sin C=2sin C cosC，因C∈（0，π），所以sin C＞0，故cos C=，因C∈（0，π），故C=．故选：B．把题设中的边角关系化为a cos B+b cos A=2c cos C，利用正弦定理和两角和的正弦公式可得sin C=2sin C cosC，从该方程中可得C的值．在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式，本题属于基础题．8.答案：D解析：解：双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，因其与圆相切，故，所以c=2b，故e=，故选：D．求出渐近线的方程后利用圆心到其距离为可得，从该式可求离心率．圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a，b，c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式和两个向量数量积公式，属于基础题．由函数的图象可得f（x）的解析式，求出A、B、C的坐标，从而可以求出数量积的值．【解答】解：设f（x）=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0），由图象可知A=2，且f（0）=2sinφ=1，故sinφ=，∴φ=．再根据五点法作图可得•+φ=2π，又φ=，∴，∴f（x）=2sin（2x+），A（-，0）、B（，0）、C（，2）．∴•=（，0）（，2）=，故选：D．10.答案：A解析：解：由三视图可知，原几何体为两个正四棱锥的组合体，其中正四棱锥的高为，底面正方形的边长为2，故斜高为2，组合体的表面积为：，故选：A．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．11.答案：B解析：解：设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），当0＜x＜1时，f′（x）=-，当x＞1时，f′（x）=，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），故l1：y=-（x-x1）-ln x1，整理得到y=-x-ln x1+1，l2：y=（x-x2）+ln x2，整理得到y=x-1+ln x2，所以A（0，1-ln x1），B（0，ln x2-1），|AB|=|2-ln（x1x2）|，因l1⊥l2，故x1x2=1，所以|AB|=2，故选：B．设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），利用两直线垂直得到x1x2=1，求出l1与l2的方程，可得A，B的坐标后可得|AB|的值．对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标．12.答案：C解析：解：∵函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0在（-∞，+∞）内恒成立，即在（-∞，+∞）内恒成立．∴在（-∞，+∞）内恒成立．sin x=t，t∈[-1，1]．则有在[-1，1内恒成立．∴，∴∴．故选：C．给寂函数的单调性，可利用求导转化为不等式恒成立问题．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求．13.答案：5解析：解：因为（），故（）•=0，即3m+3-18=0，故m=5，故答案为：5．由（），可得（）•=0，利用数量积的坐标运算可得m=5．向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，．特别地，两个非零向量，垂直的充要条件是．14.答案：85解析：解：去掉最高分93，去掉最低分79，该选手所得分数的平均分为80+（4+4+6+4+7）=80+5=85，故答案为：85．根据茎叶图中的数据，去掉最高分和最低分后计算余下各数的平均数即可．本题考查茎叶图及样本均值，结合平均数的公式是解决本题的关键，比较基础．15.答案：14π解析：解：将该几何体补成如图所示的长方体：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，所以a2+b2+c2=14，所以长方体的外接球（即四面体ABCD的外接球）的直径为，其表面积为14π．故答案为：14π．根据对棱长相等可将四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表面积．几何体的外接球问题，应该先考虑如何确定球的球心，再把球的半径放置在可解的平面图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把几何体补成规则的几何体，通过规则几何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径．16.答案：解析：解：每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可用如图所示的正方形区域表示，数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）需满足x+y＞1，x2+y2＜1，可用如图所示的阴影部分区域表示，设“数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）”为事件A，由几何概型中的面积型公式可得：P（A）===，又数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，故答案为：．由钝角三角形的求法及几何概型中的面积型得：每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可用如图所示的正方形区域表示，数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）需满足x+y＞1，x2+y2＜1，可用如图所示的阴影部分区域表示，设“数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）”为事件A，由几何概型中的面积型公式可得：P（A）===，又数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，得解．本题考查了钝角三角形的求法及几何概型中的面积型，属中档题．17.答案：解：（I）由题设可得a1q=9，a1+a1q+a1q2=-21，解得q=-3，或q=-．由|q|＞1，可得q=-3．则a1=-3．故{a n}的通项公式为a n=（-3）n；（II）由（I）可得S n==-+×（-3）n，所以{S n}是以-为首项，-3为公比的等比数列，{S n}的前n项的和为T n==-+×（-3）n．解析：（I）列出关于a1，q的方程组，解出a1，q的值后可得通项公式；（II）利用等比数列的前n和公式可得所求之和．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．18.答案：解：（Ⅰ）根据表中数据可知，选择y=ax b作为日供应量x与单价y之间的回归方程更合适；（II）对y=ax b两边同取对数得，ln y=b ln x+ln a；令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，∴b==又因为=b+ln a，所以=×+ln a，∴ln a=1，即a=e；故所求的回归方程为y=e．（III）由题已知，4个商店每日对这种鲜花的需求量在60束以下，记为a，b，c，d，2个商店对这种鲜花的需求量在60束以上，记为E，F，则任取2个商店，所有的基本事件为ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15个，其中满足条件的有8个．所以所求的概率为P=．解析：（I）根据表中数据可得合适的回归方程；（II）对y=ax b两边同取对数，令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，利用参考数据及公式可计算该线性回归方程从而得到要求的非线性回归方程；（III）利用枚举法可求得概率．本题考查了非线性回归方程的计算与应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19.答案：证明：（I）连接AD，DE，AE，在△APQ中，AP=AQ，D是PQ的中点，所以AD⊥PQ．又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DE⊥PQ．而AD∩DE=D，所以PQ⊥平面ADE．解：（II）因为平面APQ⊥平面BPQC，AD⊥PQ，所以AD⊥平面PBCQ，连结BD，则d2=AD2+BD2．设AD=x，DE=（E为BC的中点），于是BD2=DE2+BE2=（）2+．∴d2=x2+BD2=x2+DE2+BE2=+=2（x-）2+，当x=时，d min=．此时四棱锥A-PBCQ的体积为==．解析：（I）连接AD，DE，AE，可证AD⊥PQ，DE⊥PQ，从而可证PQ⊥平面ADE．（II）设AD=x，DE=（E为BC的中点），则计算可得d2=2（x-）2+，从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥A-PBCQ的体积．线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值．20.答案：解：（I）由题意知c=．又因为+=1，即+=1，解得b2=1，a2=4．故椭圆C的标准方程是+y2=1．（II）设直线l的方程为y=kx+b（k≠0），联立消去y得，（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，△=16（4k2-b2+1）．设P（x1，kx1+b），Q（x1，kx1+b），则x1+x2=-，x1x2=．于是k PN+k QN=+=，由∠ONP=∠ONQ，知k PN+k QN=0．即：2kx1x2-（4k-b）（x1+x2）-8b=2k•-（4k-b）•（-）-8b=+-8b=0，得b=-k，△=16（3k2+1）＞0，故动直线l的方程为y=kx-k，过定点（1，0）．解析：（I）利用待定系数法可求椭圆的标准方程．（II）设直线l的方程为y=kx+b（k≠0），联立消去y后利用韦达定理化简k PN+k QN=0，从而得到b=-k即直线过（1，0）．求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等．直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2，x1+x2或y1y2，y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可解定点、定值、最值问题．21.答案：解：（I）当t=-1时，g（x）=-e2x+e x-1．由g′（x）=-2e2x+e x=e x（1-2e x）=0，得x=-ln2．∴g（x）的单增区间是（-∞，-ln2），单减区间是（-ln2，+∞）．极大值是g（-ln2）=-，无极小值．（II）函数f（x）=g（x）-4e x-x+1=te2x+（t-2）e x-x，x∈R．当t＞0时，由f′（x）=2te2x+（t-2）e x-1=（te x-1）（2e x+1）=0，得x=-ln t．f（-ln t）是极小值，∴只要f（-ln t）=0，即ln t-=0．令F（t）=ln t-+1，则F′（t）=＞0，F（t）在（0，+∞）内单增．∵F（1）=0，∴当0＜t＜1时，F（t）＜F（1）=0；当t＞1时，F（t）＞F（1）=0．实数t的值是1．当t=0时，f（x）=-2e x-x．f（x）为R上的减函数，而f（1）=-2e-1＜0，f（-2）=2-2e-2＞0，∴f（x）有且只有一个零点．故实数t的值是1或0．解析：（I）求出导数后讨论导数的符号可得函数的单调区间和极值．（II）分t＞0和t=0两种情况，结合函数的单调性和零点存在定理可得t的值．本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22.答案：解（I）曲线C1：x+y-m+1=0；曲线C2的极坐标方程为=4（sinθ+cosθ），即ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得C2：（x-2）2+（y-2）2=8（II）因为曲线C2的半径r=2，若点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，P，Q两点间距离的最小值为2，即圆C2的圆心到直线C1的距离4，=4，解得m=-3或m=13．解析：（I）消去参数后可得C1的普通方程，利用可得C2的直角方程．（II）利用PQ的最小值得到圆心到直线的距离，从而可求出m．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（I）不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）等价于|x-2|+|x-1|＞3，①当x＞2时，原不等式即为2x-3＞3，解得x＞3，∴x＞3；②当1＜x≤2时，原不等式即为1＞3，解得x∈∅，∴x∈∅；③当x≤1时，原不等式即为-2x+3＞3，解得x＜0，∴x＜0；∴不等式解集为{x|x＜0或x＞3}．（II）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成立，则{y|y=g（x）}⊆{y|y=f（x）}，∵g（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，当且仅当（2x-a）（2x+3）≤0时取等号，又f（x）=|x-2|+2≥2，∴|a+3|≥2，∴a≥-1或a≤-5，∴a的取值范围（-∞，-5]∪[-1，+∞）．解析：（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解．（Ⅱ）由题意可设{y|y=g（x）}⊆{y|y=f（x）}，求出两个函数的值域后可得实数a的取值范围．本题考查了用零点分段法解不等式与等式的有解或恒成立问题，转化为函数值域的包含关系是解决本题的关键，属于中档题．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年安徽省淮北市高考数学二模试卷(文科)(有解析)
2020年安徽省淮北市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知M={1,2}，N={2,3}，则M∪N=()A. {1,2，2，3}B. {1,2，3}C. {2}D. {1,3}2.满足z+iz=i(i为虚数单位)的复数z=()A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i3.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a4.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.函数y=x33x−3−x的图象大致是()A. B.C. D.6.已知sinα=2cosα，则tan(α+π4)=()A. −3B. −13C. 13D. 37.已知点P(a,b)为圆C1:(x−1)2+(y−2)2=1上的动点，点Q(m,n)为圆C2:x2+y2−2x+4y+1=0上的动点，则|PQ|的最小值为A. 1B. 2C. 4D. 78. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2⩾0x −2y +4⩾0x −y −1⩽0，则z =x 2+y 2的最小值为( )A. 15B. 45C. 2√55D. 19. 已知向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. π4B. 5π12C. π3D. π1210. 设函数f(x)=2sin(ωx +π3)，将y =f(x)的图象向右平移π4个单位后，所得的函数为偶函数，则ω的值可以是( )A. 1B. 23C. 2D. 10311. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线与双曲线在第一象限内的交点为P ，当△PF 1F 2为直角三角形时，该双曲线的离心率为( )A. √7+√32B. √3C. √7+√32或√3+1 D. √3+1或√7212. 一圆锥底面半径为2，母线长为6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的半径为( )A. √2B. 1C. √22D. 2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(x +1)e x 在点(0,1)处的切线方程为______．14. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为______ ． 15. 观察下列各式：a +b =1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，则a 9+b 9=________ ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.已知a +√2c =2b ，sinB =√2sinC ，则cosA =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设满足a 1+13a 2+15a 3+⋯+12n−1a n =n ．(1)求数列{a n }的通项公式；}的前84项和．(2)求数列{1√a n+1+√a n18.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，P为线段B1D1上一点．(Ⅰ)求证：AC⊥BP；(Ⅱ)当P为线段B1D1的中点时，求点A到平面PBC的距离．19.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1,√3)在椭圆C上．2(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求|AB|．20.某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；(2)若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；(3)请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数、平均数．21.己知函数f(x)=(3x −1)e x+ax(x>0,a∈R)．(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；(2)当a∈(−3,−e)时，判断关于x的方程f(x)=2的解的个数．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f(x)=|x−1a −1b|+|x+1c|.(1)求函数f(x)的最小值；(2)求证：f(x)≥9．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵M={1,2}，N={2,3}，∴M∪N={1,2，3}，故选：B．根据集合的并集运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．由复数的四则运算直接可求得．解：因为z+iz=i(i为虚数单位)，所以z+i=zi，所以z=ii−1=i(−1−i)(−1−i)(i−1)=1−i2=12−12i．故选B．3.答案：C解析：解：∵a=log0.60.5>log0.60.6=1，b=log2(log38)<log2(log39)=log22=1，∴a>1>b．故选：C．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．4.答案：D解析：解：由不等式x2−x−2<0，得−1<x<2．∵不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，∴(a,a2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：B解析：解：函数y =x 33x −3−x ，在x =0时，没有意义，排除A ；f(−x)=−x 33−x −3x =x 33x −3−x =f(x)，函数是偶函数，排除D ； x =3时，y =2727−127>1，可得函数的图象的最大值大于1，排除选项C ， 故选：B ．利用函数的定义域与函数的特殊点的位置，函数的奇偶性判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，函数的定义域，奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．6.答案：A解析：本题考查三角函数的求值，同角三角函数基本关系和两角和与差公式，属于基础题． 由已知sinα=2cosα，求tanα，再根据tan(α+π4)=1+tanα1−tanα计算即可． 解：∵sinα=2cosα， ∴tanα=2，则tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=3−1=−3． 故选A ．7.答案：A解析：求出两圆的圆心距d ，判断两圆的位置关系，再求出圆C 1、C 2上的两点间的距离最大值．本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，是基础题解：圆C 1：(x −1)2+(y −1)2=1的圆心为(1,2)，半径为r 1=1，圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=4的圆心为(1,−2)，半径为r 2=2，则圆心距为d =√(1−1)2+(−2−2)2=4>1+2，∴两圆外离，∴圆C 1和圆C 2上的两点|PQ|的最小值为d −r 1−r 2=4−1−2=1． 故选A ．8.答案：B解析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力． 解：实数x ，y 满足{2x +y −2⩾0x −2y +4⩾0x −y −1⩽0，如图所示可行域，由z =x 2+y 2结合图象，z 的最小值可看作原点到直线2x +y −2=0的距离d 的平方， 根据点到直线的距离可得d =√22+12=√5，故z min =x 2+y 2=d 2=45． 故选：B ．9.答案：A解析：本题考查向量夹角的运算，属于基础题．先求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，再代入向量夹角公式即可求解． 解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−1,2−3)=(1,−1)， ，又0≤<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >≤π，∴<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=π4． 故选A ．10.答案：D解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题． 利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求得ω的值． 【详解】解：将函数f(x)=2sin(ωx +π3)的图象向右平移π4个单位后，可得的图象．∵所得的函数为偶函数，，k ∈Z ．令k =−1，可得ω=103，故选：D ．11.答案：C解析：解：由题意，当∠F1PF2为直角时，可得：√3c−c=2a，解得e=√3+1．当∠PF2F1为直角时，可得P(c,√3c)，可得：c2a2−3c2b2=1，可得：e4−5e2+1=0，e>1，解得e=√7+√32．故选：C．利用双曲线的性质，转化列出方程求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查球的外接体问题，考查计算能力，是基础题．画出轴截面图形，设出球的半径，求出圆锥的高，利用三角形相似，求出球的半径．解：几何体的轴截面如图，设球的半径为r，则圆锥的高为：√62−22=4√2，球与圆锥侧面相切，则OE垂直于AB于E，BD垂直AD，E为AB上一点，O为AD上一点，则△AEO～△ADB，∴EOAO =BDAB，∴4√2−r =26，∴r=√2，故选：A．13.答案：y=2x+1解析：本题考查了导数的几何意义，通过求导求出切线斜率，根据点斜式求出切线方程，是基础题．解：对函数求导可得，y′=e x(x+2)，当x=0时，y′=2，故所求切线方程的斜率为2，所以曲线y=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程为y−1=2x．故答案为y=2x+1．14.答案：3531解析：【试题解析】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的求和公式即可得出．解：设该女子每天织布形成{a n}尺，则该数列{a n}为等比数列，公比q=2，其前五项和S5，则a1(25−1)2−1=5，解得a1=531，∴该女子前3天所织布的总尺数S3=531×(1+2+4)=3531，故答案为：3531．15.答案：76解析：本题考查归纳推理的思想方法，注意观察所给等式的左右两边的特点，这是解题的关键．根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出三个等式即得．解：由于a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6+b6=11+7=18，a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=29+ 47=76.故答案为76．16.答案：√24解析：本题主要考查正弦定理与余弦定理．利用正弦定理，可得b=√2c.又因为a+√2c=2b，所以a=√2c，利用余弦定理，即可得．解：由sinB=√2sinC得b=√2c．又因为a+√2c=2b，所以a=√2c，因此．17.答案：解：(1)由a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n，得a1=1，当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，∴12n−1a n=1，a n=2n−1(n≥2)，a1=1适合上式，∴a n=2n−1；(2)∵1√a n+1+√a n =√a n+1−√a na n+1−a n=12(√a n+1−√a n)=12(√2n+1−√2n−1)．∴数列{1√a n+1+√a n }的前84项和S84=12(√3−1+√5−√3+⋯+√169−√167)=12(13−1)=6．解析：(1)由已知递推式求得首项，且得到当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，与原递推式联立即可得到数列{a n}的通项公式；(2)利用裂项相消法求数列{1√a n+1+√a n}的前84项和．本题考查数列递推式，考查了利用作差法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)证明：连结BD，因为ABCD−A1B1C1D1是长方体，且AB=BC=2，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…(1分)因为在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，…(2分)因为BD⊂平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，且BD∩BB1=B，…(3分)所以AC⊥平面BB1D1D，…(4分)因为BP⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BP.…(5分)(Ⅱ)点P 到平面ABC 的距离AA 1=4，…(6分)△ABC 的面积S △ABC =12⋅AB ⋅BC =2，…(7分) 所以V P−ABC =13S △ABC ⋅AA 1=13×2×4=83，…(8分)在Rt △BB 1P 中，BB 1=4,B 1P =√2，所以BP =3√2，同理CP =3√2．又BC =2，所以△PBC 的面积S △PBC =12×2×√(3√2)2−12=√17.…(10分) 设三棱锥A −PBC 的高为h ，则因为V A−PBC =V P−ABC ，所以13S △PBC ⋅ℎ=83，…(11分)所以√173ℎ=83，解得ℎ=8√1717，即三棱锥A −PBC 的高为8√1717.…(12分)解析：(Ⅰ)连结BD ，证明AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，说明AC ⊥平面BB 1D 1D ，即可证明AC ⊥BP ．(Ⅱ)求出V P−ABC ，l 设三棱锥A −PBC 的高为h ，利用V A−PBC =V P−ABC ，即可求解三棱锥A −PBC 的高．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用．19.答案：解：(1)因为C 的焦点在x 轴上且长轴长为4，故可设椭圆C 的方程为：x 24+y 2b 2=1(2>b >0)， 因为点(1,√32)在椭圆C 上，所以14+34b 2=1， 解得b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意直线l 的斜率是1，过(√3,0)，故直线l 的方程是：y =x −√3，由{y =x −√3x 24+y 2=1，得：5x 2−8√3x +8=0， 故x 1+x 2=8√35，x 1x 2=85， 故|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=85．解析：(1)利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b ，即可得到椭圆方程．(2)设出P ，直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，设出AB 坐标，求出线段的长度即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的化简求解，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800=576人．(2)样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×50=3+9=11人．(3)由图可知众数落在第三组[15,16)，是15+162=15.5，∴x=1100(13.5×6+14.5×16+15.5×38+16.5×32+17.5×8)=15.70．解析：(1)学校1800名学生中，由频率分布直方图能求出成绩属于第四组的人数．(2)由频率分布直方图能求出样本在这次百米测试中成绩良好的人数．(3)根据频率分布直方图，能求出样本数据的中位数、平均数．本题考查频数、众数、平均数的求法，考查频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解：(1)f′(x)=e x(3x −1−3x2)−ax2=−x2+3x−3x2⋅e x−ax2，由题f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立，−x2+3x−3x2⋅e x−ax2≤0，即a≥(−x2+3x−3)⋅e x，设g(x)=(−x2+3x−3)⋅e x，g′(x)=e x(−x2+x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，g(x)max=g(1)=−e，则a∈[−e,+∞)．(2)f(x)=(3x −1)e x+ax=2，即ax=2−(3x−1)e x，其中x>0，∴a=2x−(3−x)e x，x>0，令ℎ(x)=2x−(3−x)e x，ℎ′(x)=2+(x−2)e x，ℎ′′(x)=(x−1)e x，ℎ′(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，由ℎ′(0)=0，又ℎ′(2)=2>0，所以存在x0>0，使ℎ′(x)在(0,x0)上满足ℎ′(x)<0，在(x0,+∞)上满足ℎ′(x)>0，即ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，由ℎ(0)=−3，x→+∞时，ℎ(x)→+∞，所以当x>0，a∈(−3,−e)时，a=2x−(3−x)e x有一个解，∴f(x)=2只有一个解．解析：(1)求出函数的导数，问题转化为a≥(−x2+3x−3)⋅e x，设g(x)=(−x2+3x−3)⋅e x，根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)求出a=2x−(3−x)e x，x>0，令ℎ(x)=2x−(3−x)e x，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解(1)f(x)=|x−1a −1b|+|x+1c|=|1a+1b−x|+|x+1c|≥|1a+1b+1c|∵正数a，b，c，且a+b+c=1，则(a+b+c)(1a +1b+1c)=3+(ba+ca+ab+cb+ac+bc)≥3+2√ab×ba+2√ca×ac+2√bc×cb=9当且仅当a=b=c=13时取等号．∴f(x)的最小值为9．(2)证明：f(x)=|x−1a −1b|+|x+1c|=|1a+1b−x|+|x+1c|≥|1a+1b+1c|∵正数a，b，c，且a+b+c=1，则(a+b+c)(1a +1b+1c)=3+(ba+ca+ab+cb+ac+bc)≥3+2√ab×ba+2√ca×ac+2√bc×cb=9当且仅当a=b=c=13时取等号．∴f(x)≥9．解析：(1)利用绝对值不等式的性质即可求解．(2)由(1)结论直接证明即可本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．。
2020年高考全国II卷文科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（一）（有答案解析）
2020年安徽省淮南市⾼考数学⼆模试卷（⼀）（有答案解析）2020年安徽省淮南市⾼考数学⼆模试卷（⼀）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.若集合A={x|-1＜x≤3}，B={x|lg x＞0}，则A∩B等于（）A. （-1，1）B. （1，3）C. （0，3]D. （1，3]2.设i是虚数单位，若复数z满⾜z?i=4-9i，则其共轭复数=（）A. -9-4iB. -9+4iC. 9-4iD. 9+4i3.设，，n=log a（1-a），，则m，n，p的⼤⼩关系是（）A. n＞m＞pB. m＞p＞nC. p＞n＞mD. n＞p＞m4.函数f（x）=sin x+（x∈R）的最⼩值是（）A. B. C. D.5.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平⾏”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分⼜不必要条件6.在如图的程序框图中，若n=2019，则输出y=（）A. 0B.C.D.7.在△ABC中，三内⾓A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a cos B+b cos A=2cos C，c=1，则⾓C=（）A. B. C. D.8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线的离⼼率等于（）A. B. C. 2 D.9.已知函数y=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0）图象的⼀部分如图所⽰．若A，B，D是此函数的图象与x轴三个相邻的交点，C是图象上A、B之间的最⾼点，点D的坐标是（，0），则数量积=（）A.B.C.D.10.如图，⼀个空间⼏何体的正视图、侧视图都是边长为2，且⼀个内⾓为60°的菱形，俯视图是正⽅形，那么这个⼏何体的表⾯积为（）A. 16B. 8C. 4D. 811.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A, B，则A, B两点之间的距离是A. 1B. 2C. 3D. 412.若函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [-2，2]B. [-2，]C. [-]D. [-2，-]⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知向量=（m，1），=（3，3）．若（），则实数m=______．14.2019年3⽉18⽇晚，某校⾼⼀年级举⾏“校园歌⼿卡拉OK⼤奖赛”，邀请了七位评委为所有选⼿评分．某位选⼿演出结束后，评委们给他评分的茎叶图如图所⽰，按照⽐赛规则，需去掉⼀个最⾼分和⼀个最低分，则该选⼿最终所得分数的平均分为______．15.在四⾯体ABCD中，AB=CD=，BC=DA=，CA=BD=，则此四⾯体ABCD外接球的表⾯积是______．16.关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李⽼师组织100名同学进⾏数学实验教学，要求每位同学随机写下⼀个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，经统计数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）为28个，由此估计π的近似值是______（⽤分数表⽰）．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.记S n，q分别为等⽐数列{a n}的前n项和与公⽐，已知a2=9，S3=-21，|q|＞1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{S n}的前n项的和．18.公历4⽉5⽇为我国传统清明节，清明节扫墓我们都要献鲜花，某种鲜花的价格会随着需求量的增加⽽上升．⼀个批发市场向某地商店供应这种鲜花，具体价格统计如下表所⽰⽇供应量x（束）384858687888单位y（元）16.818.820.722.42425.5⽇供应量x与单价y之间的关系；（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（I）的判断结果以及参考数据，建⽴y关于x的回归⽅程；（Ⅲ）该地区有6个商店，其中4个商店每⽇对这种鲜花的需求量在60束以下，2个商店每⽇对这种鲜花的需求量在60束以上，则从这6个商店个中任取2个进⾏调查，求恰有1个商店对这种鲜花的需求量在60束以上的概率．参考公式及相关数据：对于⼀组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为=，=．（ln x i?ln y i）（ln x i）（ln y i）（ln x i）275.324.618.3101.419.正三⾓形ABC的边长为a，将它沿平⾏于BC的线段PQ折起（其中P在边AB上，Q在AC边上），使平⾯APQ⊥平⾯BPQC．D，E分别是PQ，BC的中点．（Ⅰ）证明：PQ⊥平⾯ADE；（Ⅱ）若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最⼩时，四棱锥A-PBCQ的体积．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（1，），焦距长2．（Ⅰ）求椭圆C的标准⽅程；（Ⅱ）设不垂直于坐标轴的直线L与椭圆C交于不同的两点P、Q，点N（4，0）．设O为坐标原点，且∠ONP=∠ONQ．证明：动直线PQ经过定点．21.设函数g（x）=te2x+（t+2）e x-1，其中t∈R．（Ⅰ）当t=-1时，求g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若t是⾮负实数，且函数f（x）=g（x）-4e x-x+1在R上有唯⼀零点求t的值．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为（其中t为参数）．以坐标原点O为原点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为sin（）．（Ⅰ）写出曲线C1的普通⽅程和曲线C2的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）设点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q两点间距离的最⼩值为2，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x-2|+2．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）；（Ⅱ）设g（x）=|2x-a|+|2x+3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成⽴，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：B={x|x＞1}；∴A∩B=（1，3]．故选：D．可求出集合B，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由z?i=4-9i，得z=，故=-9+4i，故选：B．利⽤复数的四则运算计算出z后即可求共轭复数．本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵；∴，；∴；∴n＞p＞m．故选：D．根据作差⽐较即可得出，根据对数函数的单调性即可得出m，n，p的⼤⼩关系．考查作差⽐较法的运⽤，配⽅法的运⽤，以及对数函数的单调性．4.答案：C解析：解：f（x）=，=，⼜因为,当sin x=-1，即x=2k（k∈Z）时，，故选：C．⾸先通过三⾓函数关系式的变换，把函数的关系式变形成⼆次函数的形式，进⼀步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的变换，⼆次函数的性质的应⽤，主要考察学⽣的运算能⼒和转换能⼒，属于基础题型．5.答案：A解析：解：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏，则，解得λ=-3或λ=1，⼜“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏”的充分不必要条件，故选：A．由直线平⾏的判定得：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏，则，解得λ=-3或λ=1，由充分必要条件得：“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏”的充分不必要条件，得解．本题考查了直线平⾏的判定及充分必要条件，属简单题．6.答案：C解析：解：流程图的作⽤是计算函数y=cos的值，其中n≤4，⽽n的初始值为2019，由程序框图中的判断可知，若n＞5，则需要减去5，直⾄⼩于5为⽌，因2019=2015+4，故y=cos=．故选：C．流程图的作⽤是计算函数y=cos的值，其中n≤4，利⽤2019=2015+4可计算输出值．本题考查了程序框图的应⽤问题，解题时应模拟程序框图的运⾏过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：B解析：解：因为c=1，故：a cos B+b cos A=2cos C=2c cos C，由正弦定理可以得到：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cosC，故：sin C=2sin C cosC，因C∈（0，π），所以sin C＞0，故cos C=，因C∈（0，π），故C=．故选：B．把题设中的边⾓关系化为a cos B+b cos A=2c cos C，利⽤正弦定理和两⾓和的正弦公式可得sin C=2sin C cosC，从该⽅程中可得C的值．在解三⾓形中，如果题设条件是边⾓的混合关系，那么我们可以利⽤正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或⾓的关系式，本题属于基础题．8.答案：D解析：解：双曲线的渐近线的⽅程为bx±ay=0，因其与圆相切，故，所以c=2b，故e=，故选：D．求出渐近线的⽅程后利⽤圆⼼到其距离为可得，从该式可求离⼼率．圆锥曲线中的离⼼率的计算，关键是利⽤题设条件构建关于a，b，c的⼀个等式关系．⽽离⼼率的取值范围，则需要利⽤坐标的范围、⼏何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式和两个向量数量积公式，属于基础题．由函数的图象可得f（x）的解析式，求出A、B、C的坐标，从⽽可以求出数量积的值．【解答】解：设f（x）=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0），由图象可知A=2，且f（0）=2sinφ=1，故sinφ=，∴φ=．再根据五点法作图可得?+φ=2π，⼜φ=，∴，∴f（x）=2sin（2x+），A（-，0）、B（，0）、C（，2）．∴?=（，0）（，2）=，故选：D．10.答案：A解析：解：由三视图可知，原⼏何体为两个正四棱锥的组合体，其中正四棱锥的⾼为，底⾯正⽅形的边长为2，故斜⾼为2，组合体的表⾯积为：，故选：A．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，⼏何体是由两个底⾯正⽅形的正四棱锥组合⽽成，求出正四棱锥侧⾯积，即可求解．本题考察三视图，要求根据三视图复原⼏何体，注意复原前后点、线、⾯的关系．11.答案：B解析：解：设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），当0＜x＜1时，f′（x）=-，当x＞1时，f′（x）=，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），故l1：y=-（x-x1）-ln x1，整理得到y=-x-ln x1+1，l2：y=（x-x2）+ln x2，整理得到y=x-1+ln x2，所以A（0，1-ln x1），B（0，ln x2-1），|AB|=|2-ln（x1x2）|，因l1⊥l2，故x1x2=1，所以|AB|=2，故选：B．设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），利⽤两直线垂直得到x1x2=1，求出l1与l2的⽅程，可得A，B的坐标后可得|AB|的值．对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核⼼是切点的横坐标．12.答案：C解析：解：∵函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0在（-∞，+∞）内恒成⽴，即在（-∞，+∞）内恒成⽴．∴在（-∞，+∞）内恒成⽴．sin x=t，t∈[-1，1]．则有在[-1，1内恒成⽴．∴，∴∴．故选：C．给寂函数的单调性，可利⽤求导转化为不等式恒成⽴问题．含参数的不等式的恒成⽴问题，优先考虑参变分离，把恒成⽴问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可⽤函数的单调性或基本不等式来求．13.答案：5解析：解：因为（），故（）?=0，即3m+3-18=0，故m=5，故答案为：5．由（），可得（）?=0，利⽤数量积的坐标运算可得m=5．向量的数量积有两个应⽤：（1）计算长度或模长，通过⽤；（2）计算⾓，．特别地，两个⾮零向量，垂直的充要条件是．14.答案：85解析：解：去掉最⾼分93，去掉最低分79，该选⼿所得分数的平均分为80+（4+4+6+4+7）=80+5=85，故答案为：85．根据茎叶图中的数据，去掉最⾼分和最低分后计算余下各数的平均数即可．本题考查茎叶图及样本均值，结合平均数的公式是解决本题的关键，⽐较基础．15.答案：14π解析：解：将该⼏何体补成如图所⽰的长⽅体：设长⽅体的长、宽、⾼分别为a，b，c，则，所以a2+b2+c2=14，所以长⽅体的外接球（即四⾯体ABCD的外接球）的直径为，其表⾯积为14π．故答案为：14π．根据对棱长相等可将四⾯体补成长⽅体，长⽅体的外接球就是四⾯体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表⾯积．⼏何体的外接球问题，应该先考虑如何确定球的球⼼，再把球的半径放置在可解的平⾯图形中，如果球⼼的位置不易确定，则可以把⼏何体补成规则的⼏何体，通过规则⼏何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径．16.答案：解析：解：每位同学随机写下⼀个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可⽤如图所⽰的正⽅形区域表⽰，数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）需满⾜x+y＞1，x2+y2＜1，可⽤如图所⽰的阴影部分区域表⽰，设“数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）”为事件A，由⼏何概型中的⾯积型公式可得：P（A）===，⼜数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，故答案为：．由钝⾓三⾓形的求法及⼏何概型中的⾯积型得：每位同学随机写下⼀个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可⽤如图所⽰的正⽅形区域表⽰，数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）需满⾜x+y＞1，x2+y2＜1，可⽤如图所⽰的阴影部分区域表⽰，设“数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）”为事件A，由⼏何概型中的⾯积型公式可得：P（A）===，⼜数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，得解．本题考查了钝⾓三⾓形的求法及⼏何概型中的⾯积型，属中档题．17.答案：解：（I）由题设可得a1q=9，a1+a1q+a1q2=-21，解得q=-3，或q=-．由|q|＞1，可得q=-3．则a1=-3．故{a n}的通项公式为a n=（-3）n；（II）由（I）可得S n==-+×（-3）n，所以{S n}是以-为⾸项，-3为公⽐的等⽐数列，{S n}的前n项的和为T n==-+×（-3）n．解析：（I）列出关于a1，q的⽅程组，解出a1，q的值后可得通项公式；（II）利⽤等⽐数列的前n和公式可得所求之和．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等⽐数列的和，则⽤分组求和法；如果通项是等差数列与等⽐数列的乘积，则⽤错位相减法；如果通项可以拆成⼀个数列连续两项的差，那么⽤裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则⽤并项求和法．18.答案：解：（Ⅰ）根据表中数据可知，选择y=ax b作为⽇供应量x与单价y之间的回归⽅程更合适；（II）对y=ax b两边同取对数得，ln y=b ln x+ln a；令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，∴b==⼜因为=b+ln a，所以=×+ln a，∴ln a=1，即a=e；故所求的回归⽅程为y=e．（III）由题已知，4个商店每⽇对这种鲜花的需求量在60束以下，记为a，b，c，d，2个商店对这种鲜花的需求量在60束以上，记为E，F，则任取2个商店，所有的基本事件为ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15个，其中满⾜条件的有8个．所以所求的概率为P=．解析：（I）根据表中数据可得合适的回归⽅程；（II）对y=ax b两边同取对数，令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，利⽤参考数据及公式可计算该线性回归⽅程从⽽得到要求的⾮线性回归⽅程；（III）利⽤枚举法可求得概率．本题考查了⾮线性回归⽅程的计算与应⽤问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19.答案：证明：（I）连接AD，DE，AE，在△APQ中，AP=AQ，D是PQ的中点，所以AD⊥PQ．⼜因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DE⊥PQ．⽽AD∩DE=D，所以PQ⊥平⾯ADE．解：（II）因为平⾯APQ⊥平⾯BPQC，AD⊥PQ，所以AD⊥平⾯PBCQ，连结BD，则d2=AD2+BD2．设AD=x，DE=（E为BC的中点），于是BD2=DE2+BE2=（）2+．∴d2=x2+BD2=x2+DE2+BE2=+=2（x-）2+，当x=时，d min=．此时四棱锥A-PBCQ的体积为==．解析：（I）连接AD，DE，AE，可证AD⊥PQ，DE⊥PQ，从⽽可证PQ⊥平⾯ADE．（II）设AD=x，DE=（E为BC的中点），则计算可得d2=2（x-）2+，从⽽可得d何时最⼩并能求得此时四棱锥A-PBCQ的体积．线⾯垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由⾯⾯垂直得到，注意线在⾯内且线垂直于两个平⾯的交线．⽴体⼏何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到⽬标函数，最后根据函数的性质得到最值．20.答案：解：（I）由题意知c=．⼜因为+=1，即+=1，解得b2=1，a2=4．故椭圆C的标准⽅程是+y2=1．（II）设直线l的⽅程为y=kx+b（k≠0），联⽴消去y得，（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，△=16（4k2-b2+1）．设P（x1，kx1+b），Q（x1，kx1+b），则x1+x2=-，x1x2=．于是k PN+k QN=+=，由∠ONP=∠ONQ，知k PN+k QN=0．即：2kx1x2-（4k-b）（x1+x2）-8b=2k?-（4k-b）?（-）-8b=+-8b=0，得b=-k，△=16（3k2+1）＞0，故动直线l的⽅程为y=kx-k，过定点（1，0）．解析：（I）利⽤待定系数法可求椭圆的标准⽅程．（II）设直线l的⽅程为y=kx+b（k≠0），联⽴消去y后利⽤韦达定理化简k PN+k QN=0，从⽽得到b=-k即直线过（1，0）．求椭圆的标准⽅程，关键是基本量的确定，⽅法有待定系数法、定义法等．直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，⼀般可通过联⽴⽅程组并消元得到关于x 或y的⼀元⼆次⽅程，再把要求解的⽬标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2，x1+x2或y1y2，y1+y2，最后利⽤韦达定理把关系式转化为若⼲变量的⽅程（或函数），从⽽可解定点、定值、最值问题．21.答案：解：（I）当t=-1时，g（x）=-e2x+e x-1．由g′（x）=-2e2x+e x=e x（1-2e x）=0，得x=-ln2．∴g（x）的单增区间是（-∞，-ln2），单减区间是（-ln2，+∞）．极⼤值是g（-ln2）=-，⽆极⼩值．（II）函数f（x）=g（x）-4e x-x+1=te2x+（t-2）e x-x，x∈R．当t＞0时，由f′（x）=2te2x+（t-2）e x-1=（te x-1）（2e x+1）=0，得x=-ln t．f（-ln t）是极⼩值，∴只要f（-ln t）=0，即ln t-=0．令F（t）=ln t-+1，则F′（t）=＞0，F（t）在（0，+∞）内单增．∵F（1）=0，∴当0＜t＜1时，F（t）＜F（1）=0；当t＞1时，F（t）＞F（1）=0．实数t的值是1．当t=0时，f（x）=-2e x-x．f（x）为R上的减函数，⽽f（1）=-2e-1＜0，f（-2）=2-2e-2＞0，∴f（x）有且只有⼀个零点．故实数t的值是1或0．解析：（I）求出导数后讨论导数的符号可得函数的单调区间和极值．（II）分t＞0和t=0两种情况，结合函数的单调性和零点存在定理可得t的值．本⼩题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒与创新意识，考查函数与⽅程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核⼼素养，体现综合性、应⽤性与创新性．22.答案：解（I）曲线C1：x+y-m+1=0；曲线C2的极坐标⽅程为=4（sinθ+cosθ），即ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得C2：（x-2）2+（y-2）2=8（II）因为曲线C2的半径r=2，若点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，P，Q两点间距离的最⼩值为2，即圆C2的圆⼼到直线C1的距离4，=4，解得m=-3或m=13．解析：（I）消去参数后可得C1的普通⽅程，利⽤可得C2的直⾓⽅程．（II）利⽤PQ的最⼩值得到圆⼼到直线的距离，从⽽可求出m．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（I）不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）等价于|x-2|+|x-1|＞3，①当x＞2时，原不等式即为2x-3＞3，解得x＞3，∴x＞3；②当1＜x≤2时，原不等式即为1＞3，解得x∈?，∴x∈?；③当x≤1时，原不等式即为-2x+3＞3，解得x＜0，∴x＜0；∴不等式解集为{x|x＜0或x＞3}．（II）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成⽴，则{y|y=g（x）}?{y|y=f（x）}，∵g（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，当且仅当（2x-a）（2x+3）≤0时取等号，⼜f（x）=|x-2|+2≥2，∴|a+3|≥2，∴a≥-1或a≤-5，∴a的取值范围（-∞，-5]∪[-1，+∞）．解析：（Ⅰ）利⽤零点分段讨论可得不等式的解．（Ⅱ）由题意可设{y|y=g（x）}?{y|y=f（x）}，求出两个函数的值域后可得实数a的取值范围．本题考查了⽤零点分段法解不等式与等式的有解或恒成⽴问题，转化为函数值域的包含关系是解决本题的关键，属于中档题．。
淮南市2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷
B. 60
C.120
D.150
11.
双曲线 C :
x2 9
y2 16
1 的右支上一点 P 在第一象限， F1 ， F2 分别为双曲线 C 的左、右
焦点，I 为△ PF1F2 的内心，若内切圆 I 的半径为 1，直线 IF1 ，IF2 的斜率分别为 k1 ，k2 ，
则 k1 + k2 的值等于
3
A.
1. 已知集合 A x x(x 1) ≤ 2 ， B x x 1＞1 ，则 A∩B=
A. [1，0)
B. [2，0)
C. (0，1]
2． i
是虚数单位，复数
z
a 2i 2i
Hale Waihona Puke 是纯虚数，则实数 aA. 1
B. 1
C. 4
3．函数 y sin x cos x 在 π ，π 上的图象是
D. (0，2] D. 4
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4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 x 4 ，则输出结果为 5
1
A.
B． 2
C． 3
D． 4
5
5
5
5
5. 设公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn .若 S17 S18 ，则在 a18 ， S35 ， a17 a19 ，
S19 S16 这四个值中，恒等于 0 的个数是
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横
线上）
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B. 1 C. 4 D.3.函数在上的图象大致是A.B.C.D.4.在如图所示的算法框图中，若输入的，则输出结果为A. B. C. D.5.设公差不为0的等差数列的前n项和为若，则在，，，这四个值中，恒等于0的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.为了得到正弦函数的图象，可将函数的图象向右平移m个单位长度，或向左平移n个单位长度，则的最小值是A. B. C. D.7.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.B. 2C. 3D.8.设，则A. B. C. D.9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于A. B. C. D.10.在平行四边形ABCD中，，E是BC的中点，F点在边CD上，且，若，则A. B. C. D.11.双曲线C：的右支上一点P在第一象限，，分别为双曲线C的左、右焦点，I为的内心，若内切圆I的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于A. B. C. D.12.定义在R上函数满足，且当时，则使得在上恒成立的m的最小值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知公比不为1的等比数列，且，，则数列的通项公式______．14.在展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为8，则______．15.过抛物线焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若，则弦长______．16.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马，平面ABCD，，，，BC上有一点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若B为锐角，且．Ⅰ求C；Ⅱ已知，，求的面积．18.如图，在三棱柱中，，，D，E分别为和的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的离心率是，原点到直线的距离等于，又知点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线对称，且，求实数m 的取值范围．20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度单位：天数据，并绘制了如茎叶图：Ⅰ设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的次数填入下面的列联表：超过m不超过m改造前a b改造后c d根据中的列联表，能否有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：，kⅡ工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T天即从开工运行到第kT天进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为万元次；保障维护费第一次为万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元．现制定生产线一个生产周期以120天计内的维护方案：，，2，3，4．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值．21.已知函数．Ⅰ若为R上的增函数，求a的取值范围；Ⅱ若，，且，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中为参数，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；Ⅱ设点A，B分别是曲线，上两动点且，求面积的最大值．23.已知函数其中实数．Ⅰ当，解不等式；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，或，．故选：B．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：由是纯虚数，得，即．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：函数在上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当时，，所以，排除选项C．故选：B．根据函数在上是奇函数，排除选项A，D；再根据时，排除选项C．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程，如下；，；，；，；，；，；所以x的值呈现以4为周期的特点，当时，输出结果与时结果相同，为．故选：B．模拟程序的运行过程，得出x的值呈现以4为周期的特点，由此求得时输出结果．本题考查了程序框图的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5.答案：C解析：解：设的首项为，公差为d，由，即，得，，，所以，．，．故选：C．设的首项为，公差为d，由，即，得，可得：，，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，即，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，即，所以的最小值为．故选：B．直接利用三角函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：A解析：解：，，；；；．故选：A．利用换底公式可得出，，容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．9.答案：C解析：解：有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．基本事件总数，4位同学所报选项各不相同包含的基本事件个数，位同学所报选项各不相同的概率．故选：C．基本事件总数，4位同学所报选项各不相同包含的基本事件个数，由此能求出4位同学所报选项各不相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：C解析：解：如图，结合条件可得，，则，又因为，即有，所以，解得，所以，故选：C．根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，代入相关数据即可．本题考查平面向量的数量积的运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，属于中档题目．11.答案：B解析：解：如图所示：可设、，设内切圆与x轴的切点是点H，、分别与内切圆的切点分别为M、N，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故，解得．由双曲线C：的，，，由题意可得I的纵坐标为1，即，又，，可得，故选：B．首先推出I的横坐标为a，由双曲线的方程可得a，b，c，求得内心I的坐标，再由直线的斜率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．12.答案：D解析：解：解：时，；时，，，时，，，时，，，令或者；故或，所以m的最小值为，故选：D．根据条件一步步转化到时，，，画出图象，即可求解结论．本题主要考查抽象函数解析式的求解，分段函数，数形结合思想，属于中档题目．13.答案：解析：解：公比不为1的等比数列，且，，，解得，，数列的通项公式．故答案为：．利用等比数列通面公式列出方程组，求出，，由此能求出数列的通项公式．本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：设；令，则，令，则得，，即，求得．故答案为：．给展开式中的x分别赋值1，，可得两个等式，两式相加，再除以2得到答案．本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减，属于基础题15.答案：解析：解：设直线AB的方程为，，，联立得，，把代入得，，把代入得，，，，解得，点B在抛物线上，，，而，由抛物线的定义可知，．故答案为：．设直线AB的方程为，，，将其与抛物线的方程联立，写出两根之和，然后分别把和代入可得点P和Q的坐标，由于，借助平面向量的线性坐标运算可解得，再将其代入到抛物线方程即可求得k的值，最后利用抛物线的定义求得焦点弦的长度．本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，还涉及平面向量的线性坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：将平面ABCD沿BC折至，使SBC与共面，连接交BC于E，连接ED，此时周长最短，作交AD于F，则或其补角即为所求角，在中，求得，由得，在中，求得，在中，，故SE与CD所成角的余弦值等于．故答案为：．【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点E，然后利用平移法作出异面直线所成的角，不难求解．此题考查了侧面展开找最值，异面直线所成角，线面垂直等，难度适中．17.答案：解：Ⅰ，，可得，，或，为锐角，，即，．Ⅱ，可得，可得，，可得：，又根据正弦定理，及，，可得：，解得，可得，将代入，可得，可得，．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合B为锐角，可求，即可求解C的值；Ⅱ利用平面向量数量积的运算结合，可得，又根据正弦定理及已知可求，联立可求，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ如图1，取线段的中点F，连接EF，DF，为的中点，，又D为的中点，，，四边形为平行四边形，，又DF在平面内，不在平面内，平面；Ⅱ作于点O，由，得，，即O为AC的中点，，，，又，平面，从而有，又，，平面ABC，故可以点O为坐标原点，射线OA，分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图2，令，则，，，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面ABC的一个法向量为，设平面与平面ABC所成锐二面角为，则，平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．解析：Ⅰ先根据，可知四边形为平行四边形，由此，进而得证；Ⅱ先证明平面ABC，由此可以O为坐标原点，射线OA，分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面ABC的法向量，再利用向量的夹角公式得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得：，，且，解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ由题意设直线AB的方程为：，联立，整理可得：，由可得，设，，则，，又设AB的中点，则，，由于点M在直线上，所以，可得，代入，可得，解得，因为，，所以，由，得，解得，所以，即，由可得，所以实数m的取值范围为解析：Ⅰ由椭圆的离心率及原点到直线的距离及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；Ⅱ由题意设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，及判别式大于0，可得参数的范围，进而求出AB中点的坐标，而中点在直线上，代入可得参数的关系，再求以，再由题意可得m的范围．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，和数量积的应用，属于中档题．20.答案：解：由茎叶图的数据可得中位数，根据茎叶图可得：，，，，超过m不超过m改造前515改造后155根据中的列联表，，有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，设一个生产周期内需要次维护，，正常维护费为万元，保障维护费为首项为，公差为的等差数列，共次维护需要的保障费为万元，故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，则，，，，，XX2 4P故E万元，解析：Ⅰ由茎叶图里面的数据得到中位数m，列出表格如下图，根据的二维联表求出判断即可；天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，设一个生产周期内需要次维护，，故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，写出分布列，求出数学期望即可．本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图求中位数等，考查数学运算能力和实际应用能力，中档题．21.答案：Ⅰ解：，若在R上为增函数，则恒成立，即恒成立，设，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，故，实数a的取值范围为；Ⅱ证明：若，由Ⅰ知在R上单调递增，由于，已知，，不妨设，设函数，，则，则，设，则，由于，故在上为增函数，，在上为减函数，，，而在R上为增函数，，故，从而，即．解析：Ⅰ依题意，恒成立，即恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可；Ⅱ设函数，，利用导数可知在上为减函数，则，进而得，再结合函数的单调性即得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为其中为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．Ⅱ由Ⅰ得：曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，设，，所以，当时，面积的最大值为6．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用极径的应用和三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，则等价为或或，解得或或，所以原不等式的解集为；Ⅱ证明：由函数其中实数，可得，当且仅当时，上式等号成立．于是原不等式成立．解析：Ⅰ可得，由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ可结合绝对值不等式的性质和基本不等式，化简即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
安徽省淮南市寿县第二中学2020届高考数学考前适应性测试试题文(PDF)
4ab，∴a2
+
b2
=
4ab，∴
b a
+
a b
=
4.
变形得（ab）2- 4
×
b a
+
1
=
0，∵
a
>
b
>
0，故
b a
=
2
-
3，
（第 4 题答图）
∴双曲线 C1的渐近线方程为 y = ±( 2 - 3 ) x.
8. B 【解析】由三视图可知，几何体是由一个底面半径为 3，高为 3 的圆柱体和一个底面边长为 3 2 ，高为 2 的正四
EF ∥ B1 D1 ∥ NH，MN ∥ B1 A ∥ FG，所以平面 MEFGHN∥平面 AB1D1，所以动点 P 的
D1 F
C1
A1
E B1
轨 迹 是 六 边 形 MEFGHN 及 其 内 部 . 因 为 AB = AD = 2，AA1 = 4，所 以 EF=HN= 2 ，
EM=MN=FG=GH= 5 ，GM=2 2 ，E 到 GM 的 距 离 为
棱锥组合而成，圆柱体的体积为 27π，正四棱锥的体积为 12，所以几何体的体积为 27π + 12.
9. D
【解析】当 a
=
b
=
c
=
1 时，易知 S1
=
S2
=
S3
=
1 2
，此时
△ABC
是边长为
2 的正三角形，面积为
3 2
.
而由
A，
B，C，D 四个选项的计算结果依次为
3
，
3 4
，
3
，
3 2
2020-2021学年安徽省高考数学二模试卷(文科)及答案解析
安徽省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则tanα的值为（）A．B．2 C．﹣D．﹣23．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n}满足：a n+1+2a n=0，且a2=2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1 D．1﹣2105．以双曲线﹣y2=1的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=16．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．8．若执行如图所示的程序框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数S等于（）A．B．1 C．D．9．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．3 B．1 C．﹣3 D．不存在10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A．1000πB．125πC．D．12．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意x∈R的总有＜x，则下列大小关系一定正确的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z=，则|z|= ．14．求函数f（x）=的单调减区间．15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为．16．设数列{a n}的前项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“精致数列”．已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“精致数列”，则数列{b n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，边a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（1）求B0的值；（2）当B=B0，a=3，b=6时，又=，求CD的长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．19．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级高二年级合计附：K2=临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的两个焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．其短轴长是2，原点O到过点A（a，0）和B（0，﹣b）两点的直线的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若点PQ是定直线x=4上的两个动点，且•=0，证明以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标．21．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若对任意λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020届安徽省淮南市高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
8．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D
”是“
”的( )
9．已知函数 是定义在 上的奇函数，且在区间
上单调递增，若实数 满足
A. 【答案】A
，则 的取值范围是( )
B.
C.
D.
10．将函数
的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 ，
18 ． 如 图 ， 在 三 棱 锥
中，侧面 与侧面 均为边长为 2 的等边Байду номын сангаас角形，
， 为 中点.
(1)证明:
;
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）连结 OA，△ABC 为等腰直角三角形，推导出 AO⊥BC，SO⊥BC，SO ⊥AO．从而 SO⊥平面 ABC，由此能证明 AC⊥SO．（2）设 C 到平面 SAB 的距离为 d，由 VS﹣ABC=VC﹣SAB，能求出 C 到平面 SAB 的距离．
C. 7
6．如图，在正方体 正投影可能是( )
D. 11 中， 为 的中点，则
在该正方体各个面上的
①②③ A. ①② B. ②④ 【答案】D
④ C. ②③
D. ①④
7．若 满足约束条件
，则
的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程
二、填空题 13．已知向量
，若
，则
__________．
【答案】
14 ． 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足