2018年高考真题汇编——理科数学(解析版)7:立体几何
2018高考真题分类汇编:立体几何
一、选择题
1.【2018高考真题新课标理7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【答案】B
【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,所以几何体的体积为
93362
1
31=????=V ,选B.
2.【2018高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ,AB=1,BC=2。将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中。
A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直.
B.存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直.
C.存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置,三对直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项C 是正确的.
3.【2018高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为( )
()
A 26 ()
B 36 ()
C 23 ()
D 22
【答案】A
【解析】ABC ?
的外接圆的半径3
r =
,点O 到面ABC
的距离d ==,SC 为
球O 的直径?点S 到面ABC
的距离为23
d =
此棱锥的体积为11233436
ABC V S d ?=
?=?=
另:123ABC V S R ?<
?=排除,,B C D ,选A. 4.【2018高考真题四川理6】下列命题正确的是( )
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C
【解析】A.两直线可能平行,相交,异面故A 不正确;B.两平面平行或相交;C.正确;D.这两个平面平行或相交.
5.【2018高考真题四川理10】如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45o 角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=o ,则A 、P
两点间的球面距离为( )
A 、R
B 、4R π
C 、R
D 、3
R π 【答案】A
【解析】根据题意,易知平面AOB ⊥平面CBD,BOP AOB AOP ∠?∠=∠∴cos cos cos
422122=?=
,4
2
arccos =∠
∴AOP ,由弧长公式易得,A 、P 两点间的球面距离为arccos
4
R .
6.【2018高考真题陕西理5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,
12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )
A.
55 B.53 C. 255
D. 35
5.【答案】A.
【解析】设a CB =||,则a CC CA 2||||1==,),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ,
),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴,5
5
|
|||,cos 111111=
>=
<∴BC AB BC AB BC AB ,故选A. 7.【2018高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 8.【2018高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A .8π
3
B .3π
C .
10π
3
D .6π 【答案】B
【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.
9.【2018高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为
A .12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C
【解析】该几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱,根据三视图中的数量关系,可得
πππ57533-533
1
2222=??+???=+=圆柱圆锥V V V .故选C .
10.【2018高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是
A.球
B.三棱柱
C.正方形
D.圆柱 【答案】D.
【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念,以及考生的空间想象能力,难度一般.
【解析】球的三视图全是圆;如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰
直角三角形;正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ,故选D.
11.【2018高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是
(A )(0,2) (B )(0,3) (C )(1,2) (D )(1,3) 【答案】A
【解析】因为2
2
211)22(
12=
-=-=BE 则BE BF <,222=<=BE BF AB ,选A ,
12.【2018高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:10=底S ,
10=后S ,10=右S ,56=左S ,因此该几何体表面积5630+=+++=左右后底S S S S S ,
故选B 。
13.【2018高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1
【答案】D
【解析】连结BD AC ,交于点O ,连结OE ,因为E O ,是中点,所以1//AC OE ,且
12
1
AC OE =
,所以BDE AC //1,即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离,过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2,高为22,所以
22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ,选 D.
二、填空题
14.【2018高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图(单位:cm )如图所示,则该三棱锥的体积等于________cm 3.
【答案】1
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于
11
3121
23
????=.
15.【2018高考真题四川理14】如图,在正方体
1111
ABCD A B C D
-中,M、N分别是CD、1
CC的中点,则异面直线
1
A M与DN所成角的大小是____________。
N
M
B1
A1
C1
D1
B
D C
A
【答案】
2
π
【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线,直线与平面的位置关系,以及异面直线所成角的求法.
【解析】本题有两种方法,一、几何法:连接
1
MD,则DN
MD⊥
1
,又DN
D
A⊥
1
1
,易知1
1
MD
A
DN面
⊥,所以
1
A M与DN所成角的大小是
2
π
;二、坐标法:建立空间直角坐标系,
利用向量的夹角公式计算得异面直线
1
A M与DN所成角的大小是
2
π
.
16.【2018高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________。
【答案】38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的
长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238ππ?+?+?+??-= 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积。
17.【2018高考真题山东理14】如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别为线段
11,AA B C
上的点,则三棱锥
1D EDF
-的体积为
____________.
【答案】
6
1 【解析】法一:因为E 点在线段1AA 上,所以2
1
11211=??=?DED S ,又因为F 点在线段C B 1上,所以点
F 到平面
1DED 的距离为
1,即
1=h ,所以
6
1
1213131111=??=??==?--h S V V DED DED F EDF D .
法二:使用特殊点的位置进行求解,不失一般性令E 点在A 点处,F 点在C 点处,则
6
1
111213131111=????=??==?--DD S V V ADC ADC D EDF D 。
18.【2018高考真题辽宁理16】已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 3上,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为________。 3 【解析】因为在正三棱锥P -ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P -ABC 在面
ABC 上的
高。已知球的半径为3,所以正方体的棱长为2,可求得正三棱锥P -ABC 在面ABC 上的高
为
233,所以球心到截面ABC 的距离为233
333
-=
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱
19.【2018高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为 。 【答案】
π3
3 【解析】因为半圆面的面积为
ππ22
12
=l ,所以42=l ,即2=l ,即圆锥的母线为2=l ,底面圆的周长πππ22==l r ,所以圆锥的底面半径1=r ,所以圆锥的高322=-=r l h ,所以圆锥的体积为πππ3
33313
1
3
=?=
h r 。 20.【2018高考真题上海理14】如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,2=BC ,
若c AD 2=,且a CD AC BD AB 2=+=+,其中a 、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最
大值是 。
【答案】
13
2
22--c a c 。 【解析】过点A 做AE ⊥BC ,垂足为E ,连接DE ,由AD ⊥BC 可知,BC ⊥平面ADE , 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ?=
+=--31=ADE S 3
2
,
当AB=BD=AC=DC=a 时,四面体ABCD 的体积最大。
过E 做EF ⊥DA ,垂足为点F ,已知EA=ED ,所以△ADE 为等腰三角形,所以点E 为AD 的中点,又12
2
2
2
-=-=a BE AB AE ,∴EF=12222--=-c a AF AE ,
∴ADE S =
EF AD ?2
1
=122--c a c , ∴四面体ABCD 体积的最大值=max V ADE S 32=13
22
2--c a c 。
21.【2018高考江苏7】(5分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3
.
【答案】6。
【考点】正方形的性质,棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中=32BD cm ,BD 边上的高是3
22
cm (它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高)。
∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
???。
22.【2018高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_____.
【答案】92
【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。
【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,
几何体的表面积是22
12(25)4(2544(52))4922
S =??+?+++++-?=. 23.【2018高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体
积为_________m 3. 3
1
3
6
32
23
【答案】π918+
【解析】根据三视图可知,这是一个上面为长方体,下面有两个直径为3的球构成的组合体,两个球的体积为ππ9)2
3
(3423=??
,长方体的体积为18631=??,所以该几何体的体积为π918+。
24.【2018高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________. 【答案】
3
6 【解析】如图
设,,,1AA ===设棱长为1,
则,1AB +=BC -1+=+=,因为底面边长和侧棱长都相等,且
01160=∠=∠CAA BAA 所以2
1
=
?=?=?,所以3)(21=+=b a AB ,2)-(21=+=b c a BC ,2)-()(11=+?+=?BC AB ,设异面直线的夹角为
θ,所以3
63
22cos 1
111=
?=
=
BC AB θ.
三、解答题
25.【2018高考真题广东理18】(本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点 E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE .
(1) 证明:BD ⊥平面PAC ;
(2) 若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值;
【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题,考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.
26.【2018高考真题辽宁理18】(本小题满分12分) 如图,直三棱柱/
/
/
ABC A B C -,90BAC ∠=o
,
/,AB AC AA λ==点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点。
(Ⅰ)证明:MN ∥平面//A ACC ;
(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角,求λ的值。 【答案】
【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明。
27.【2018高考真题湖北理19】(本小题满分12分)
如图1,45ACB ∠=o ,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,连接AB ,沿AD 将△ABD 折起,使90BDC ∠=o (如图2所示). (Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在 棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.
D
A
B
C
A
C
D
B
图2
图1
M E
. ·
第19题图
【答案】(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△ABC 中,设(03)BD x x =<<,则3CD x =-.
由AD BC ⊥,45ACB ∠=o 知,△ADC 为等腰直角三角形,所以3AD CD x ==-.
由折起前AD BC ⊥知,折起后(如图2),AD DC ⊥,AD BD ⊥,且BD DC D =I ,
所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=o ,所以11
(3)22
BCD S BD CD x x ?=?=-.于是
1111
(3)(3)2(3)(3)33212
A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=?--
3
12(3)(3)21233x x x +-+-??≤=????
, 当且仅当23x x =-,即1x =时,等号成立,
故当1x =,即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. 解法2:
同解法1,得321111
(3)(3)(69)3326
A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=-+.
令321()(69)6f x x x x =-+,由1
()(1)(3)02
f x x x '=--=,且03x <<,解得1x =.
当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,3)x ∈时,()0f x '<. 所以当1x =时,()f x 取得最大值.
故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. (Ⅱ)解法1:以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -.
由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==.
于是可得(0,0,0)D ,(1,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)A ,(0,1,1)M ,1
(,1,0)2
E ,
且(1,1,1)BM =-u u u u r
.
设(0,,0)N λ,则1
(,1,0)2
EN λ=--u u u r . 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ?=u u u r u u u u r ,即
11
(,1,0)(1,1,1)1022
λλ--?-=+-=,故12λ=,1(0,,0)2N .
所以当1
2
DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥.
设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由,
,BN BM ?⊥??⊥??u u u r
u u u u r n n 及1(1,,0)2BN =-u u u r ,
得2,
.y x z x =??=-?
可取(1,2,1)=-n .
设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ,则由11
(,,0)22
EN =--u u u r ,(1,2,1)=-n ,可得
1|1|
sin cos(90)||||EN EN θθ--?=-===?o u u u r u u u r n n 60θ=o .
故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.o
解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==. 如图b ,取CD 的中点F ,连结MF ,BF ,EF ,则MF ∥AD . 由(Ⅰ)知AD ⊥平面BCD ,所以MF ⊥平面BCD .
如图c ,延长FE 至P 点使得FP DB =,连BP ,DP ,则四边形DBPF 为正方形, 所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ,连结EN ,又E 为FP 的中点,则EN ∥DP , 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ,又EN ?面BCD ,所以MF EN ⊥. 又MF BF F =I ,所以EN ⊥面BMF . 又BM ?面BMF ,所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥,而点F 是唯一的,所以点N 是唯一的.
即当1
2DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点),EN BM ⊥.
连接MN ,ME
,由计算得NB NM EB EM ====
所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图d 所示,取BM 的中点G ,连接EG ,NG ,
则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中,过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角.
在△EGN
中,易得EG GN NE ===
,所以△EGN 是正三角形, 故60ENH ∠=o ,即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.o 28.【2018高考真题新课标理19】(本小题满分12分) 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,11
2
AC BC AA ==
,
图a
图b
C A
D B
E F
M
N
图c
B
D P
C
F N
E
G
M
N H
图d
第19题解答图
D 是棱1AA 的中点,BD
DC ⊥1
(1)证明:BC DC ⊥1
(2)求二面角11C BD A --的大小. 【答案】(1)在Rt DAC ?中,AD AC = 得:45ADC ?∠=
同理:1114590A DC CDC ??∠=?∠=
得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ (2)11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥
取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得:点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =,则122
a C O =
,1112230C D a C O C DO ?
=?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?
29.【2018高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ,分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥,为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;
(2)直线1//A F 平面ADE .
【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ?平面ABC ,∴1CC AD ⊥。
又∵1AD DE CC DE ⊥?,,平面111BCC B CC DE E =I ,,∴AD ⊥平面
11BCC B 。
又∵AD ?平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ?平面111A B C ,∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ?,平面11BCC B ,1111CC B C C =I ,∴1A F ⊥平面111A B C 。 由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD 。
又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】(1)要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得。
(2)要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。 30.【2018高考真题四川理19】(本小题满分12分)
如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=o
,60PAB ∠=o
,AB BC CA ==,平面
PAB ⊥平面ABC 。
(Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小。
【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概念等基础知识,考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力.
31.【2018高考真题福建理18】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行;若存在,求
AP的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1EA1的大小为30°,求AB的长.
【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力,以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
2018届高考数学(理)热点题型:立体几何(含答案解析)
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
全国高考理科数学:立体几何
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是