人教版九年级数学上册24章圆24.1.2垂直于弦的直径教案
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
人教版数学九年级上册24.1 第2课时 垂直于弦的直径 教案
24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．通过探究圆的轴对称性，掌握垂径定理及有关的结论；2．引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验；3．掌握并能应用垂径定理解决有关弦的计算和证明问题。
二、教学重难点1.重点：“垂径定理”及其应用；2.难点：明确垂径定理的题设和结论。
三、教学过程 （一）自主学习1．连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
2．你知道赵州桥吗?它跨度为37.4m ，拱高为7.2m ，你能求出它的主桥拱的半径吗？（二）课堂点拨1、探究：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：。
2、思考：（1）图1是 对称图形，对称轴是 ，相等的线段有 ，相等的弧有 . （3）如图2，也是 对称图形，对称轴是 . 相等的线段有 ，相等的弧有 . 想想这是因为 。
这样我们可以得到：垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.（图2）（图1）定理的数学语言：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥ ____________,____________,_____________∴ 进一步，我们还可以得到结论：3、实练：解决赵州桥桥拱半径的问题。
解：如图3，用弧长AB 表示主桥拱，设弧长AB 所在圆的圆心是点O ，半径为R .归纳：（1）如图4，半弦、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理可得 .（2）在弦长a 、弦心距d 、半径r 、弓形高h 中，知道其中任意两个，可求出其它两个. （三）当堂训练1．如图5，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8RBAO（图3）2．如图6，已知⊙O的半径为5mm，弦长AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（） A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm3．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为．4．如图7，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么（只需写一个正确的结论）5、如图8所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、Ｂ和C、D。
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径教学设计
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.理解垂线、垂足、垂直平分线、相交于垂足的两条线段互为垂直。
2.掌握垂直平分线的性质和应用。
3.学会用垂直平分线求直径。
二、教学重难点1.理解垂线、垂足、垂直平分线的定义和性质。
2.通过垂直平分线求直径，需要掌握数学计算方法。
三、教学过程1. 导入让学生在纸上画一个圆并标记圆心、半径，引出“弦”的概念。
通过学生们的互动，让他们理解弦是圆上任意两点之间的线段。
2. 自主学习让学生自己研究什么是垂直平分线，特别是24.1.2题目中所述的垂直于弦的直径是如何求得的。
学生可以结合自己的理解和常识，得出一些初步的结论。
3. 合作探究将学生分成若干小组，每组成员之间相互讨论，举一反三，尝试解决一些类似的问题。
为了使学生更好地理解，可以在板书上示意图，或在黑板上画出一幅图形，引导学生进行讨论。
4. 指导讲解在学生讨论之后，老师进行正式的讲解，着重讲解垂足、垂线和垂直平分线的性质，并解释直径是如何通过垂直平分线来求得的。
5. 练习巩固让学生进行巩固训练，可以把一些类似的题目给学生进行练习，根据不同程度的学生做出相应的安排和调整，以及针对学生的问题进行讲解和指导；也可以让学生在课堂上完成这些题目，检验学生的掌握程度。
例如：已知圆O的直径AB，通过直线CD（平行于AB）构造两条弦EF、GH，其中EF=9cm，GH=7.5cm，请问EF和GH的中垂线上的某点到圆心的距离是多少？6. 总结归纳在巩固训练之后，对项目进行总结归纳，在课堂上梳理本课内容，使学生对本课内容有一个深入的理解。
此外，还要通过本教学的方式来告诉学生，数学并不是枯燥无味的，也充满了趣味和乐趣。
四、教学评价教学方法：•通过讨论和示例引导学生，促进他们的思维和创造力。
•通过现代媒介如电子白板和计算机等来优化整个教学流程。
教学效果：•从学生的态度和反应来看，这种教学方式能够轻松使学生更好地理解课程内容。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用 提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
人教版(2012)九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教案
24.1.2 垂直于弦的直径③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？3.火眼金睛：判断下列图形，能否使用垂径定理。
归纳：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
3.垂径定理推论①把条件和结论中的CD⊥AB，AE=BE互换，结论成立吗？平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；②你能证明这个推论吗？③条件中的非直径可以去掉吗？能不能举个例子说明④你能用符号语言表达这个结论吗？4.“知二推三”并进行练习。
（1）若CD⊥A B, CD是直径,________,_________._______（2）若 CD是直径，AE=BE，则________,_________._______（3）若CD⊥AB,AE=BE，则________,_________._______（4）若CD是直径，弧AC=弧BC，则________,_________._______灵活应用提高能力简单应用例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．反思：从此题的解决过程中，你得到什么启示？归纳：1、两条辅助线：连半径、作弦心距2、一个Rt△：半径、半弦、弦心距3、两个定理：垂径定理、勾股定理此题由学生独立思考,并讲解思路，教师可让学生自己进行评判.并让学生板演。
此题属于基本应用，让学生了解弦心距、半弦、半径组成的直角三角形是圆中常用的直角三角形，更深入的研究在下节课中研究。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与达标训练 小结升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？达标测试：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊙AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、⊙COE=⊙DOEB、CE=DEC、OE=AED、弧BD=弧BC第1题第2题2、如图，OE⊙AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。
本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。
通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。
2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。
提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。
让学生理解并掌握垂径定理。
3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。
教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O 的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC 的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB 于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x 2=42+(x-2)2，∴8AE ===cm.1184(cm)22AD AB ==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证:四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=12AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222a r d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.1034.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥ 11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,O C C F O F =+()22230090.R R =+-解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
初中数学人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计(表格式)
垂直于弦的直径教学设计【观察思考】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m你能求出州桥主桥拱的半径吗？教师PPT展示赵州桥的图片，并提出问题，引导学生思考.注意：这里只提出问题，学生暂时还不解答.【证明】教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称的对称点也在圆上即可.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.证明：过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'在△OAA'中，∵OA=OA'∴△OAA'是等腰三角形又∵AA'⊥CD∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？预设答案：AM=A'M，AC A C'=，AD A D'=教师再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所到的结论，教师引导并补充完善.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.【想一想】下列图形是否具备垂径定理的条件？预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足.教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并追问：怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？预设答案：教师带领学生观察修改后的图片，引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD⊥AB?教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.教师追问：为什么强调“不是直径”呢？预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.【想一想】【典型例题】通过这节课的学习，现在你能解决课程一开始的问题了吗？教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适点拨，最终教师展示答题过程.例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).解：如图AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为足，OC与AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知：AB=37，CD=7.23，∴AD=12AB=12⨯37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=AD2+OD2，即：R2=18.52+(R-7.23)2解得：R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( )A.AC AD=B.BC BD=C. AM=OMD. CM=DM答：C2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于M，OM=3，则CD=.答：8.3.在⊙O中，弦CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径为.答：13.4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.由垂径定理可得：BM=12AB=12cm，DN=12CD=5cm又∵OB=OD=13cm在Rt△OBM，Rt△ODN中，由勾股定理得：OM=5cm，ON=12cm∴AB和CD之间的距离MN=OM-ON=7cm 或MN=OM+ON=17cm思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第83页练习第1、2题.。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
1.提出引导性问题，引导学生观察、思考、讨论垂直于弦的直径的性质。
2.引导学生提出假设，进行推理和验证，如“垂直于弦的直径是否一定通过弦的中点？”
3.设计具有挑战性的问题，如“你能证明垂直于弦的直径平分弦吗？”，激发学生的创新思维。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励学生进行讨论、交流、分享，培养学生的团队合作意识。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学九年级上册第24章第1节中的内容，主要讲解圆中的一条特殊性质——垂直于弦的直径。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识，对圆有了初步的认识。本节课的内容是在此基础上，进一步引导学生发现并证明垂直于弦的直径的性质，培养学生观察、思考、推理的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用实物模型，如圆形的桌面、圆规等工具，为学生提供直观的视觉感受，引发学生对垂直于弦的直径性质的兴趣。
2.通过引入生活中的实例，如圆形桌面上的直径与垂线的关系，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.设计有趣的问题情境，如“在圆形操场上，如何找到一条垂线穿过弦的中点”，激发学生的思考欲望。
五、教学评价
1.评价学生对垂直于弦的直径性质的理解程度，观察学生能否灵活运用这一性质解决实际问题。
2.评价学生在观察、思考、推理、实践等方面的能力，培养学生独立解决问题的能力。
3.评价学生的团队合作意识，关注学生在讨论、交流、分享等方面的表现。
4.关注学生的情感态度，激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的数学学习情感。
4.反思与评价：教师引导学生进行自我反思和评价，培养学生自我监控和自我评价的能力。同时，教师进行课堂观察和评价，关注学生在观察、思考、推理、实践等方面的表现，为学生提供及时的反馈和指导。
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垂径定理的进一步推广 赵州桥问题
教学过程设计
教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 设 计 意 图 一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口， 教师从直径引出课题，引 起学生思考 这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质. 二、探究新知 (一)圆的对称性 沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发 现什么结论？ 得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半 圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是圆的对称轴. （二） 、垂径定理 完成课本思考 分析：1.如何说明图 24.1-7 是轴对称图形？ 2.你能用不同方法说明图中的线段相等， 弧相 等吗？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 即：直径 CD 垂直于弦 AB 则 CD 平分弦 AB，并且平分弦 AB 所对的两 条弧． 推理验证：可以连结 OA、•OB，证其与 AE、BE 构成的两个全等三角 形，进一步得到不同的等量关系. 分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所 对的优弧，平分弦所对的劣弧. 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？ 垂径定理的进一步推广 思考： 类似推论的结论还有吗？若有， 有几个？分别用语言叙述出来. 学生根据问题进行思考， 更好的理解定理和推论， 全面的理解和掌 握垂径定理和它 的推论，并进行 教师引导学生类比定理独 立用类似的方法进行探 究，得到推论 培养学生解决问 题的意识和能力 师生分析，进一步理解定理， 析出定理的题设和结论. 为继续探究其推论 奠定基础 学生观察图形，结合圆的 对称性和相关知识进行思 考，尝试得出垂径定理， 并从不同 角度加 以解释 . 再进行严格的几何证明. . 通过该问题引起 学生思考，进行 探究，发现垂径 定理，初步感知 培养学生的分析 能力， 解题能力. 学生用纸剪一个圆，按教 通过学生亲自动 师要求操作，观察，思考， 手操作发现圆的 交流，尝试发现结论. 对称性，为后续 探究打下基础
作 课 类 别 教 学 媒 体 知 识 教 学 目 标 技 能 过 程 方 法 情 感 态 度 教学重点 教学难点
课 题
24.1.2 垂直于弦的直径 多媒体
课 型
新授
1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性. 2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴． 2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 垂径定理及其运用． 发现并证明垂径定理
归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦 所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外 三个结论. （三） 、垂径定理、推论的应用 完成课本赵州桥问题
并弄明白它们的区别与联 系
推广，得到其他 几个定理，完整 的把握所学知 识.
学生审题，尝试自己画图， 理清题中的数量关系，并 分析：1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的？ 思考解决方法，由本节课 体会转化思想，化 2.结合所画图形思考：圆的半径 r、弦心距 d、弦长 a,弓形高 知识想到作辅助线办法， 未知为已知，从而 解决本题，同时把 h 有怎样的数量关系？ 握一类题型的解题 3.在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径， 方法，作辅助线方 作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的 法. 半径 r、弦心距 d、弦长 a 的一半之间的关系式: r 2 d 2 a 2 三、课堂训练 完成课本 88 页练习 教师组织学生进行练习， 教师巡回检查，集体交流 1． 如图， 一条公路的转弯处是一段圆弧， 点 O 是圆心， •其中 CD=600m， 评价，教师指导学生写出 E 为圆 O 上一点，OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径． 解答过圆 弧形 ， 如 图所 示 ，正 常 水位 下水 面 宽 结规律. 补充： AB=•60m，水面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由． （当水面距拱顶 3 米以内时 需要采取紧急措施）
C E F O D
2
运用所学知识进 行应用，巩固知 识，形成做题技 巧
引导学生分析：要求当洪 水到来时， 水面宽 MN=32m• 是否需要采取紧急措施，• 只要求出 DE 的长，因此只 要求半径 R， 然后运用几何 代数解求 R． 让学生通过练习 进一步理解，培 养学生的应用意 识和能力
四、小结归纳 1. 垂径定理和推论及它们的应用 2. 垂径定理和勾股定理相结合， 将圆的问题转化为直角三角形问题. 3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段 五、作业设计 作业：课本 94 页 1，95 页 9，12 补充：已知：在半径为 5 ㎝的⊙O 中， 两条平行弦 AB,CD 分别长 8 ㎝， 6 ㎝.求两条平行弦间的距离. 板 课题 垂径定理 教 学 反 思 书 设 计 归纳 巩固深化提高 让学生尝试归纳，总结， 发言，体会，反思，教师 点评汇总 归纳提升，加强 学习反思，帮助 学生养成系统整 理知识的习惯