定积分的定义和可积条件
定积分计算法则
定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。
- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。
- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。
- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。
2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
定积分
第五章定积分一、教材分析定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。
古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。
直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。
因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。
定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学要求1、理解定积分的概念及性质2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。
熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。
4、了解反常积分的概念5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）三、教学重点与难点重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。
四、教学内容及课时划分§5—1 定积分的概念与性质 3课时§5—2 微积分基本公式 2课时§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时§5—4 反常积分 2课时习题课 2课时合计 12课时五、本章知识结构图第一节 定积分的概念与性质教学目的：1．理解定积分的定义 2．掌握定积分的性质 教学重点、难点：1．重点：定积分的概念的形成 2．难点：用定积分定义求定积分 教学课时：3 教学过程：一、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设)(x f y =在 []b a ,上非负、连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线)(x f y =所围成的图形，称为曲边梯形。
求曲边梯形的面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[a,b]分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-],它们的长度依次为： 1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形（i=1,2,…,n ）,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 10)(lim ξ2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且)0(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=-把[21,T T ]分成n 个小段 [10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t 相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21在[i i t t ,1-]上任取一个时刻1()i i i i t t ττ-≤≤，以i τ时的速度()i v τ来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：()i i i S v t τ∆≈∆ ),,2,1(n i = 进一步得到：1122()()()n n S v t v t v t τττ≈∆+∆++∆ =1()ni i i v t τ=∆∑设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得： 01l i m ()ni i i S v tλτ→==∆∑ 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ，路程01lim ()ni i i S v t λτ→==∆∑.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间[a,b]分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x . 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,,),i i f x i n ξ∆= 并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ξ怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[a,b]上可积。
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2020/1/13
1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
定积分2011
V = ∫ π [ϕ( y)] dy
d
2
c
d y x = ϕ(y) c o x
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例4. 计算由椭圆 成的椭球体的体积. 解:
所围图形绕 x 轴旋转而
y
b
o
则
x
ax
V = 2∫ π y dx
2
0
2
a
(利用对称性)
b a 2 = 2π 2 ∫ (a − x2 ) dx a 0 2 b 2 1 3 a 4 = 2π 2 a x − x = π ab2 3 0 3 a
则
7. 设 M = max f (x) , m = min f (x) , 则
[a, b] [a, b]
(a < b)
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8. 积分中值定理
则至少存在一点 使
∫a f (x) dx = f (ξ )(b − a)
b
性质7 目录
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结束
第六章 六
6.2 微积分基本公式
一、变上限积分函数 二、牛顿 – 莱布尼兹公式
上 下
定积分的几何意义: 定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A 1 a
b
A3 A2
A4
A5
b x
∫a f (x) d x = A1 − A2 + A3 − A4 + A5
各部分面积的代数和
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可积的充分条件: 可积的充分条件
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的面积 . 解: 由 得交点
高等数学第6章
• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
数学分析定积分课件5
所以可积函数不一定有原函数。
f
(
x)
x
2
sin
1 x2
,
0,
x 0且x [1,1] x0
f
( x)
2x sin
1 x2
2 x
cos
1 x2
,
x 0且x [1,1]
上午9时15分13秒
0,
x0
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f ( x)在[1，1]无界，从而不可积， 但f ( x)在[1，1]的原函数是f ( x), 即说明有原函数的函数不一定可积。
但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数 不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列， 则函数在[a,b]可积。
上午9时15分13秒
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8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形；换元；分部积分； 一些特殊类型函数的积分。
尼氏体 Nissl body
H-E染
镀银染
色
色 上一页 下一页 主 页 返回 退出
不同形态
小块状的尼氏体
细颗粒样的尼氏体
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突触 粗面内质网
核蛋白体 脂褐素 微管
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尼氏体(Nissl body)：又称为嗜染质 （chromophil substance), 是分布于 胞质或树突内的小块状或颗粒状的 嗜碱性物质。电镜下，尼氏体为发 达的粗面内质网和游离核蛋白体， 是蛋白质合成的场所。
上午9时15分13秒
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6、可积条件
必要条件 若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。
定积分的可积性和连续性
定积分的可积性和连续性数学中的积分是一个常见的操作，积分分为定积分和不定积分两种。
在这里，我们将讨论定积分的可积性和连续性。
首先，什么是定积分？定积分是求解函数在一段区间上的面积，其中区间被视为积分的定义域。
类比一下，不定积分就像求解函数的原函数，而定积分则是求解函数在一段区间上的面积。
那么，什么样的函数是可积的？实际上，只有满足柯西准则的函数才是可积的。
什么是柯西准则呢？简单来说，如果对于任意的正数ε，存在一个划分，使得任何子区间的长度都小于δ，那么当某个算法将这个划分分为 N 个子区间时，这个算法的结果与积分的确切值的误差不会超过ε。
换句话说，只要这个误差小于ε，就可以说这个函数是可积的。
那么，什么样的函数是连续的呢？要回答这个问题，我们需要首先了解连续的定义。
在数学中，如果一个函数在某个值处极限存在且等于函数在该值处的值，那么这个函数在该值处是连续的。
换句话说，连续函数的值在该点左右两侧是接近的。
现在我们可以来探讨定积分的连续性了。
首先，我们需要知道，如果一个函数在某个区间内是可积的，那么这个函数也必定是在该区间连续的。
这是因为如果函数在该区间存在不连续的点，那么该区间无法被划分为任意小的子区间，根据柯西准则，这个函数就无法被积分。
反过来说，如果一个区间内的函数是连续的，那么并不能保证这个函数是可积的。
具体来说，只有当函数在该区间内既是有界的又是连续的时，这个函数才一定是可积的。
如果函数是无界的，或者在某些点存在极限问题，那么它可能无法被积分。
除了连续性和可积性之外，我们还需要了解一些其他定积分的特性。
例如，定积分线性可加性就意味着对于一段区间内的两个函数，其积分的和等于这两个函数各自的积分之和。
定积分还具有区间可加性，这意味着将一段区间分割为两段区间并对其积分之和等于对这段区间整体进行积分。
总的来说，定积分的可积性和连续性是两个非常重要的概念，同时我们还需要了解其他一些相关概念来更好地理解定积分。
第1,2节定积分的概念与性质.
GW［心一1 ,X# J），作和S=〉：/（£• ）Ax*f・
f=1
记；I=max{△X］,Ax2，・rAx”},
如果不论对［a,b］怎样的分法，也不论在小区间1*一，心］上
»
点<•怎样的取法.若lim2f乜小XI存在，
X—►0■
我们称这个极限为函数/（兀）在区间1。，〃］上的定积分,
记为•、K
以1心」，叫J为底，/(&)为高的小矩形面积为
久
曲边梯形面积的近似值为
近似和
当分割无限加细 ，即小区间的最大长度A=niax{ Ax,,Ax,, -- Ax^ }趋近于零(乂f0)时大化小，常代变，近似和，取极限.
二、定积分的定义
定义 设函数/（X）在［4,方］上有界，在［“#］中任意插入 若干个分点a=x0<*1<兀2 V…VXVX〃= A,把区间［a»］分成丹个小区间，各小区间的长度依次为g= 一x—（/ =1,2,…），在各小区间上任取一点
■
第一节
定积分的概念
一、问题的提出
J=/(x)(/(x)>0)、
X轴与两条直线X=Q、
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
曲边梯形如图所示，在区间["，銅内插入若干 个分点，4 = 6 < X, <工2 < …<X—l<=b、
把区间Is方1分成刃 个小区间
长度为=X. -X
在每个小区间[x.,
上任取一点
\a,b］t积分区间
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8
实例3 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0,求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
o
i 1x
n
n
i 1
f (i )xi
1 n3
n
i 2
i 1
1 n3
1 n(n 1)(2n 1) 6
1 (1 1 )(2 1 ) 6n n
1
n
x2 C[a,b]
0
x 2dx
lim
d 0
i2Δxi
i 1
22
n
i 1
f
(i
)xi
1 n3
n
i2
i 1
11 n3 6 n(n 1)(2n 1)
nn
或
I
lim
n1
sin(
k)
1
1
sin
x dx
n k 0
nn 0
i
0 12
x i n n
(n1) x
n
n1 1 x
n
26
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
I lim 1 n sin k
n k1 n n
1
1 (n 1)
lim sin lim sin
n n n n n
n
1
0
sin
（1)分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
： a x0 x1 x2 xn1 xn b
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似代替.
在每个小区间[ xi1 , xi ] y
上任取一点
，曲边梯形
i
面积用小矩形面积
(以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高)近似 : o a x1
9
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
（2）近似代替 ti ti ti1
部分路程值
si v(i )ti
某时刻的速度
（3）求和
n
s v(i )ti
i 1
（4）取极限 d max{t1, t2 , , tn }
n
路程的精确值
s
lim
d 0
i 1
v(i
)ti
x
dx
极限为 0 !
27
例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
n
p
解: (1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2
p
n
p1
n
12
几点说明：
（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积 分区间有关，而积分变量用什么符号无关.
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
（2）若f ( x)在区间[a, b]上可积，则 b f ( x)dx所表示 a
的
和
式
的
极
限
与[a,
b]的
分
法
及
的
i
取
法
无
关.
（3）定积分的定义1.1，是Riemann首先提出，所以 被称为Riemann积分.[a,b]上可积 的函数全体所成的 集合记作 [a,b]
提示: 用反证法证明！
注意 有界函数未必一定可积。 研究狄利克雷 (Dirichlet)函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
x [0，1]
1
•o
x
无理数点 有理数点
20
定理1.3 如果函数f (x)Ca,b, 则 f (x)a,b
定定理理11..34的如函果数函连数续性f 条x 件在可区稍间微a放,b宽上一有点界，
nn
解 原式 lim
1
1
1
1
n
1
1 n
1 2 n
1
n n
n
n1 1
lim
n i1 1 i n
n xi
11 dx.
0 1 x
i
2
10
1 ?dx 9 ?dx
25
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
解:
I
lim
1
n1
sin
k
x i
1
sin x dx
n k0 n n 0
i
0 2
l
m 0 r( x)dx
实例3—质点作变速直线运动的路程
s T2 v(t)dt T1
16
定积分的几何意义
（１） f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
（２） f ( x) 0,
b
a
f
(
x
)dx
A
曲边梯形面积的负值
y
y f (x)
A
oa
bx
a
b
o
x
A
y f (x)
17
（３）f ( x)在区间[a, b] 变号时,
7
（1）分割 0 x0 x1 x2 xn1 xn l
（2）近似代替 xi xi xi1 第i小段质量
mi r (i )xi
某点的线密度
（3）求和
n
m r (i )xi
i 1
（4）取极限 d max{x1, x2 , , xn }
细棒质量
n
m
lim
d 0
i 1
r ( i
)xi
还有结论：并且除去有限个间断点外处处连续
则 f (x)a,b
定理1.5 如果函数 f ( x) 在区间 a,b 单调且有界，则
则 f (x)a,b
注意：单调函数可以有无穷个间断点！
21
例1 利用定义计算定积分 解 将 [0,1] n 等分, 分点为
注
y
y x2
取
则
f (i )xi i2xi
i2 n3
]
上任取③一点ni ， 作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
并作和 S f (i )xi，
i 1
记d max{x1, x2 , , xn }， 如果不论对[a, b] 怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
11
④
点i 怎样的取法，只要当d 0时， 和S 总趋于
确定的极限 I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
i
28
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分和式
积分上限 b f ( x)dx a
I
n
lim d 0 i1
f (i )xi
也称Riemann和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a,b]上可积.
10
1.2 定积分定义
定义1.1（定积分）
①
设函数 f ( x)在[a, b]上有定义，在[a, b]内任意插入
n-1 个分点:
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, xi xi
b]分xi成1，n个 (i 子 1区,2间,，各)， ②子在区各间子的区长间度[依xi次1 ,为xi
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
2012年12月19日
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 1.1 定积分问题举例 1.2 定积分定义 1.3 定积分存在条件 1.4 定积分的性质
14
(4) 极限过程d 0和n 的区别.
(5) 积分和的极限和函数的极限的区别.
函数对每个x来说，对应的函数值唯一确定.
即使确定了细度（d确定）,积分和并不唯一确定.
(同一细度，分割无限,i的选择无限)
定积分的实质：特殊和式的极限．
15
实例1--曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
实例2 物质非均匀分布的细棒质量
2
1.1 定积分问题举例
矩形面积 梯形面积
实例1 求曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 ,求其面积 A .
y
y f (x)
A?
Oa
bx
3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．