解三角形知识点汇总和典型例题
(完整版)高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1,推荐文档
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）a b asin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝。
c c b2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a sin A = bsin B= csin C= 2R （R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C。
3.三角形的面积公式：1 1 1（1）S∆＝2ah a＝2bh b＝2ch c（h a、h b、h c分别表示a、b、c上的高）；1 1 1（2）S∆＝2 ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B；4.解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.2 2 1+3 1- 33 2 4c = a sin C = 20sin760 ≈30(cm ).sin A sin400②当 B ≈1160 时，a sin C 20sin240 C =180 -(A + B )≈180 -(40 +116 )=24，c = sin A= sin400 ≈13(cm ). 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型 2：三角形面积例 2．在∆ABC 中， sin A + cos A =， AC = 2 ， AB = 3 ，求 tan A 的值和∆ABC 的面积。
解三角形基础知识和经典例题详解docx
解三角形的基础知识，例题详解1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．6、简单的判断三角形设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ； ③若222a b c +<，则90C > ．7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.8．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解三角形的必备重点学习的知识及典型例题及练习习题.doc
解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。
（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。
（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝ a ， cos A ＝ sin B ＝ b， tan A ＝ a 。
c c b 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ 中， 、 、 为其内角， 、 、 c 分别表示 、 、 C 的对边。
ABCA B C a bA B（ 1）三角形内角和： A ＋ B ＋ C ＝ π。
（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等ab c 2R （ R 为外接圆半径） sin A sin B sinC（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ； b 2＝ c 2＋ a 2－ 2ca cos B ；c 2＝ a 2＋ b 2－ 2ab cos C 。
3 ．三角形的面积公式：（ 1） S ＝ 1 ah a ＝ 1 bh b ＝ 1 ch c （ h a 、 h b 、 h c 分别表示 a 、b 、 c 上的高）；2 2 2 （ 2） S ＝ 1 ab sin C ＝ 1 bc sin A ＝ 1 ac sin B ；2 2 24．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解三角形的必备知识和典型例题
解三角形的必备知识和典型例题（学生版）一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高中数学解三角形知识点汇总及典型例题
. . . .. .解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解平面三角形知识点及典型例题
解平面三角形知识点及典型例题
一、知识点概述
平面三角形是平面几何中的基础概念之一，对于解题能力的培养至关重要。
本文将介绍平面三角形的定义、性质以及解题方法等知识点。
二、平面三角形的定义与性质
1.定义：平面三角形是由三条线段组成的几何图形，其中每条线段称为三角形的边，两边之间的夹角称为三角形的内角。
2.性质：
三角形的内角之和为180度；
三角形的边与内角之间有特定的关系，如正弦定理、余弦定理和正切定理等；
三角形的面积可通过海伦公式或三角形的高和底边长计算。
三、解平面三角形的方法
解平面三角形主要有以下几种方法：
1.利用三角函数：根据已知条件，利用正弦、余弦、正切等函
数求解三角形的边长或角度。
2.利用相似三角形：根据三角形的相似性质，通过已知长度的
比例求解未知边长。
3.利用三角形的性质：利用三角形内角之和等于180度的性质，结合已知条件求解未知角度。
4.利用三角形的面积：通过已知边长或底边长及高求解三角形
的面积。
四、典型例题
1.已知三角形的两边长分别为3和4，夹角为60度，求第三边
长和另外两个角的度数。
2.三角形ABC的边长分别为5、6、7，求其面积。
3.三角形的两个内角为45度和90度，求第三个内角的度数。
以上仅为解平面三角形的部分典型例题，通过运用所学知识和
解题方法，可以应用到更复杂的三角形问题中。
五、总结
解平面三角形是研究几何知识中的重要部分，掌握基本概念、
性质和解题方法对于研究和应用几何知识至关重要。
通过多做练题，加深理解并熟练应用所学知识，可以提高解三角形问题的能力。
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：（1）222cos 2b c a A bc+−=① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A（2）()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）()12S a b c r =++⋅ （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：()12S p a b c ==++（5）向量方法：()()22S a ba b=⋅−⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==−S ∴=cos a b ab C ⋅=∴ ()()22S a b a b =⋅−⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =− 4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。
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因为 < < ,所以 ，或
①当 时, ,
②当 时,
,
点评:应用正弦定理时(１）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
题型2：三角形面积
例2.在 中, ， , ,求 的值和 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
（１）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角．
(2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解:在△ＡBC中，∠DＡC＝30°, ∠AＤC=６０°-∠DAC=30,
所以CD＝AC=０.1 又∠BCD=18０°－６0°-60°=6０°,
(2) ＝ abｓｉnＣ= ｂcsinA＝ ａｃsinB＝ ＝2R2sｉnAsinBsinC
4．解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型:
当ｓin ＝ ,即A= 时, cosA+２ｃos 取得最大值为 。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用
例6．(20０9辽宁卷文，理)如图，Ａ,B，C,Ｄ都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,Ｄ的距离（计算结果精确到0.0１ｋｍ, １.４14， 2．４4９)
分析：因给出的是a、ｂ、c之间的等量关系,要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由ｂ2＝aｃ可变形为 ＝a,再用正弦定理可求 的值。
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ａｃ。
又a2－c2＝aｃ-bc，∴b2+c2－a２＝ｂｃ。
在△AＢC中，由余弦定理得：cｏsＡ＝ ＝ ＝ ,
∴∠A=６0°。
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析
题型1:正、余弦定理
例1．(1)在 中，已知 ， ， ｃm，解三角形；
(2)在 中,已知 cｍ, cm, ，解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm）。
解:(１）根据三角形内角和定理，
;
根据正弦定理, ；
根据正弦定理，
在△ＡBＣ中，由正弦定理得sinＢ＝ ,∵b2＝ａc，
∠Ａ=60°,
∴ ＝sｉｎ60°= 。
解法二：在△ABC中，
由面积公式得 bcsｉｎA= acｓinB。
∵ｂ2=ac,∠A=６0°，∴ｂcsｉｎA=b２sinB。
∴ ＝sinA= 。
评述:解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
(2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
(R为外接圆半径)
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于另两边平方的和减去其与它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2+c２－2bｃcｏsA；b２=c２+a2-２cacosB;c2=a2＋b2-2abcosC。
3.三角形的面积公式:
（１） ＝ aha＝ ｂｈb= cｈｃ（ha、hb、hc分别表示a、b、ｃ上的高)；
题型4:正、余弦定理判断三角形形状
例4.在△AＢC中,若２cosＢsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( ）
A．等腰直角三角形ﻩＢ.直角三角形 C.等腰三角形ﻩﻩD．等边三角形
答案:C
解析:2sinAcosB＝siｎC=ｓin(Ａ＋B）=sｉnAｃosB+cosAsｉnB
∴sｉn（Ａ-B）＝0，∴A＝B
(1)角的变换
因为在△ABC中，Ａ＋B＋Ｃ＝π,所以sin(A+B）=sinC；cos(A+B)=－cｏｓC;taｎ(Ａ+B)=-taｎC。
;
(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
6.求解三角形应用题的一般步骤:
（1）分析:分析题意，弄清已知和所求；
（2)建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；
另解：角化边
点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向,通畅解题途径
题型5：三角形中求值问题
例5． 的三个内角为 ，求当A为何值时， 取得最大值,并求出这个最大值。
解析:由Ａ＋B+C=π,得 = － ，所以有cｏs=sｉn 。
coｓA+2cｏs=ｃoｓA+２sｉn =1-２ｓin2+ ２siｎ =-２(sin －)2+；
(1）三边之间的关系:a2＋b2=c2。（勾股定理)
（2)锐角之间的关系:A＋B＝；
(３）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）：siｎA＝ｃosB= ,ｃoｓA＝ｓinB＝ ,ｔaｎA= 。
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ＡBC中,A、Ｂ、C为其内角,a、ｂ、c分别表示A、B、Ｃ的对边。
（1）三角形内角和：A+Ｂ＋C＝π。
解三角形－知识点汇总和典型例题
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解三角形的必备知识和典型例题
一、知识必备:
１.直角三角形中各元素间的关系:
在△ＡBC中，C=90°,ＡB=c,AC＝b，BC=a。
又 ，
,
。
解法二：由 计算它的对偶关系式 的值。
,
①+②得 。
- 得 。
从而 。
以下解法略去。
点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢?
题型３：三角形中的三角恒等变换问题
例3．在△ＡBＣ中，ａ、ｂ、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、ｃ成等比数列,且a2－c２=ac-bc,求∠A的大小及 的值。