数列专题——数列与不等式(本人)
数列与不等式54页PPT
小结与说明
本题这类问题的求解，原则上可通过布列关于 a1 和 d 的方程组并求出 a1 和 d ，然后利用通项公式将 欲求之式化为关于 a1 和 d 的表达式再代入求解，这
是函数与方程思想的具体体现．而这里，我们通过整 体换元巧列方程组，收到了出奇制胜的效果，既体现 了方程思想的重要价值，又展示了整体换元下布列方 程的技能．所有这些，都需要我们在相关问题的求解 训练中逐步领悟和熟练．
二、典型问题精讲
考点1： 等差数列、等比数列的通项
公式与前 n 项和
例1 在等差数列 a n 中,公差 d
1 2
，且
S100 145 ，则 a1a3a5La99
______.
解：设 P a 1 a 3 a 5 L a 9 9,
Q a 2 a 4 a 6 L a 1 0 0 ,
则 QQPPS51000d12455,, 解得 P 60. 所以 a 1 a 3 a 5 L a 9 9 6 0 .
当 p 1时，通常先引进参数 ，并设 an1 p(an ) ， 再利用待定系数法求出参数 ，即可得一个等比数列 {an }，然后再求解．
考点3： 数列与其他知识的交汇问题
例4 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这
n 2 个数构成递增的等比数列，将这 n 2 个 数的乘积记作 Tn ，再令 an lg Tn ， n 1.
考点2： 数列递推问题
例 3 已知数列{an} 满足 3an1 an 4(n 1) ，
且 a1 9 ，其前 n 项和为 Sn ，则满足不等式
|
Sn
n
6
|
1 125
的最小整数
n
是（
）．A.6B.7源自C. 8D.9解：由 3an1
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)数列与不等式结合的问题在数学中，数列和不等式是常见的概念。
数列是按照一定规律排列的数的序列，而不等式是数与数之间的大小关系。
本文将探讨数列与不等式结合的问题，并给出相关解析。
一、等差数列与不等式等差数列是一种数列，其中相邻项之间的差值都相同。
一般表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
在等差数列中，不等式也起到重要作用。
在等差数列an = a1 + (n-1)d中，假设首项为a1，公差为d，项数为n，若满足a1 < an，即首项小于末项，那么根据等差数列的性质可知，d > 0。
反之，若a1 > an，则d < 0。
二、等比数列与不等式等比数列是一种数列，其中相邻项之间的比值都相同。
一般表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
在等比数列中，不等式也有其独特的应用。
在等比数列an = a1 * r^(n-1)中，假设首项为a1，公比为r，项数为n，若满足a1 < an，则根据等比数列的性质可知，r > 1。
反之，若a1 > an，则r < 1。
三、综合运用数列和不等式在实际问题中，数列和不等式可以结合起来，解决更为复杂的数学难题。
下面以一个具体的例子来说明。
【例】已知数列an满足an = 2^n - 1，求n满足不等式an > 1000。
解析：首先，根据已知条件an = 2^n - 1，我们可列出部分项如下：a1 = 2^1 - 1 = 1a2 = 2^2 - 1 = 3a3 = 2^3 - 1 = 7a4 = 2^4 - 1 = 15...我们发现随着n的增大，an的值呈指数增长。
接下来，我们需要找到满足an > 1000的n。
我们尝试逐项计算，直至找到满足条件的n。
当n = 1时，a1 = 1，不满足条件；当n = 2时，a2 = 3，不满足条件；当n = 3时，a3 = 7，不满足条件；当n = 4时，a4 = 15，不满足条件；...随着n的增大，我们发现在n = 10时，a10 = 1023，刚好满足条件an > 1000。
高三数学数列通项与数列中的不等式
解: (1) 由a =2,a =a 2-na +1得: 1 n+1 n n a1=2, a2=3, a3=4, a4=5, 由此猜想an=n+1 (n≥1). (2) ①用数学归纳法证明: Ⅰ)当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.
Ⅱ)假设当n=k时, 不等式成立,即ak≥k+2,那么
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-K)+1 ≥k+3, 也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2. 由Ⅰ)和Ⅱ)得,对于所有n≥1,有an ≥n+2.
1 3.均值不等式： a 0, a 2 a
4.放缩法：注意放缩的度，不能太小或太大，实当即可.
5.函数的单调.
二、例析
例1(02年.全国.理22) 设数列 {an }满足an 1 a nan 1, n 1,2,3, , (1)当a1 2时, 求a2 , a3 , a4 , 并由此猜想出 an的 一个通项公式 ; (2)当a1 3时,①证明对所有n 1, 有an n 2, 1 1 1 1 ②证明 : . 1 a1 1 a 2 1 a n 2
1 1 a n 1 2 (a1 1),即 n1 1 an 2 (a1 1) 1 1 1 1 a1 1 a2 1 a n
n 1
n1
n 2
n 2
n1
1 1 1 n 1 1 a1 2(1 a1 ) 2 (1 a1 ) 1 n 1 n 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 n 1 1 2 2 ( ) 1 1 a1 1 1 4 2 2 2 2 2
数列与不等式(解析版)
数列与不等式一．知识汇总*经典提炼二．核心解读*方法重温1.已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示.事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1.[回扣问题1] 在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a nn＝2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析 依题意得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为2n －1，当n≥2时，a n n＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 11＝21－1＝1＝21－1，因此a n n ＝2n －1(n ∈N *)， 故a n ＝n·2n －1. 答案 n·2n －12.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解.[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b 8＝________.解析a 8b 8＝2a 82b 8＝a 1＋a 15b 1＋b 15＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝43. 答案 433.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q ＝1和q≠1两种情况进行讨论.[回扣问题3] 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1， 则S 6＝2S 3与题设矛盾，∴q≠1.则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 324.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n －a n －1＝d(常数)中，n≥2，n ∈N *的限制，类似地，在等比数列中，b nb n －1＝q(常数且q≠0)，忽视n≥2，n ∈N *的条件限制. [回扣问题4] 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 由a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n≥2)，∴数列{a n }从第2项起是公差为12的等差数列，∴S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9 ＝1＋8a 2＋8（8－1）2×12＝23.答案 235.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等. [回扣问题5] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝6，S 4＝20. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由a 3＝6，S 4＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝6，2a 1＋3d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 因此a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)由(1)知S n ＝（2＋2n ）n 2＝n(n ＋1)，从而1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 6.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 为奇数、偶数；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q(n≥2)，求{a n }的通项公式时，要注意对n 的讨论.[回扣问题6] 若a n ＝2n －1，b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________. 解析 b n ＝(－1)n －1a n ＝(－1)n －1(2n －1).当n 为偶数时，T n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(－2)×n2＝－n.当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－(n －1)＋a n ＝n.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，n ，n 为奇数.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，n ，n 为奇数7.解形如ax 2＋bx ＋c>0的一元二次不等式时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0，a ＝0进行讨论.[回扣问题7] 设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a<1，则命题甲是命题乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（2a ）2－4a<0，解得0<a<1，所以0≤a<1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 答案 C8.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值. [回扣问题8] 若直线x a ＋yb ＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.解析 依题意1a ＋2b ＝1(a>0，b>0)，∴2a ＋b ＝(2a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab ≥8， 当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，取等号.故2a ＋b 的最小值为8. 答案 89.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y)到点(1，1)的距离的平方等. [回扣问题9] 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上的动点(x ，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.答案 C10.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.[回扣问题10] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－2，或x>－12，则ax 2－bx ＋c>0的解集为________.解析 ∵ax 2＋bx ＋c<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－2，或x>－12， ∴a<0，且c a ＝1，－b a ＝－52，∴b ＝52a ，c ＝a ，故ax 2－bx ＋c>0化为ax 2－52ax ＋a>0，由于a<0，得x 2－52x ＋1<0，解得12<x<2.答案 ⎝⎛⎭⎫12，2三．新题好题*保持手感1．（2020·涡阳县第九中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（ ） A ．21n a n =+ B ．21n a n =- C ．41n a n =+ D ．41n a n =-【答案】C【解析】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+，故选C.2．（2020·湖南省长郡中学高三三模）若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足2131n n A n B n -=+，则371159a a ab b +++的值为（ ） A ．3944B ．58C ．1516D ．1322【答案】C【解析】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C.3．（2020·曲靖市第二中学高三二模）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ） A ．18 B ．10C ．-14D ．-22【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q-==-①，()313161a q S q-==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q⎡⎤----⎣⎦∴===----，故选D ．4．（2020·全国高三三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足33a =，()21223n n n S S S n --+=+≥，则（ ）A ．2n n S na n -= B ．2n n S na n +=C ．21n n S a n-=D ．21n n S a n+=【答案】B【解析】由已知得31222S S S +=+，即123222222a a a a a ++=++， 所以2321a a =-=，则公差322d a a =-=， 所以()33223n a a n n =+-⨯=-，即11a =-，()()1122n n n n a a n a S +-==，得2n nS na n +=．故选：B. 5．（2020·海口市第四中学高三三模）当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C.6．（2020·甘肃省张掖市第二中学高三三模）若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．12CD ．【答案】A【解析】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=g 当且仅当4b aa b =，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选A7．（2020·安徽省高三二模）已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中，11a =，1121n n n a a +=+-，1n n b n a =+，11n n nc a b =-. （1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1) 12n n a n =-,2nn b =.(2) 222nnn S +=- 【解析】(1)因为1121n n n a a +=+-,故1121122n n n n n n a a a +⎛⎫++=+=+ ⎪⎝⎭,即12n n b b +=,故{}n b 是以1112a +=为首项,2为公比的等比数列.故2n n b =. 所以1122n n n n n a a n +=⇒=-. 故12n na n=-,2n n b =. (2)由(1) 12112222n n n n nn n nc n-=-=-=-.所以123123...2222n nS n=++++23411231 (22222)12n n n n n S +-=+++++ 相减可得123411111111...2222222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++- 故111122111222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--,1112122n n nS n +=--.化简得222n n n S +=-8．（2020·山东省高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为0121n n n n n n S C C C C -=++++L ，数列{}n b 满足2log n n b a =，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求()12222212341n n nT b b b b b +=-+-++-L . 【答案】（1）12n n a -=；1n b n =-（2）22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数 【解析】（1）012121n nn n n n n S C C C C -=++++=-L ，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以12n n a -=，又数列{}n b 满足2log n n b a =，所以1n b n =-.（2）当2n k =，*k N ∈时，()()()2222221234212n k k T b b b b b b -=-+-++-L()122k b b b =-+++L ()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦L 22k k =-+；当21n k =-，*k N ∈时，()()()22222221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-++-+L()()()2122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦L 2231k k =-+.所以()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩，*k N ∈，即22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数.。
专题 数列不等式 (解析版)
数列不等式(典型题型归类训练)目录一、典型题型题型一：数列不等式恒成立题型二：数列不等式能成立(有解)问题二、专题 数列不等式专项训练一、 典型题型题型一：数列不等式恒成立1(23-24高二下·河南南阳·期中)记数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 1=-1，且a n +1+-1 n ⋅a n =8-2n ．(1)令b n =a 2n ，求数列b n 的通项公式；(2)若对于任意的n ∈ℕ*,2n +1⋅λ-6n +1+S 2n +1≥0恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)b n =9-4n (2)98,+∞．【分析】(1)分类讨论n 是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；(2)先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令c n =n 22n ，判定其单调性，计算即可.【详解】(1)令n =2k -1，则a 2k -a 2k -1=10-4k ①，令n =2k ，则a 2k +1+a 2k =8-4k ②，②-①，得a 2k +1+a 2k -1=-2，又因为a 1=-1，所以可得a 2k -1=-1，代入①式，得a 2k =9-4k ，所以b n =9-4n ．(2)S 2n +1=S 奇 +S 偶 ，其中S 奇=-1 ⋅n +1 =-n +1 ，S 偶=b 1+b 2+⋯+b n =5n +n n -12×-4 =7n -2n 2，所以S 2n +1=-2n 2+6n -1．由2n +1⋅λ-6n +1+S 2n +1≥0，可得λ≥n 22n 恒成立．设c n =n 22n ，则c n +1-c n =n +1 22n +1-n 22n =-n 2+2n +12n +1，当1-2<n<1+2，即n=1,2时，c n+1-c n>0,c n<c n+1，当n>1+2，即n≥3时，c n+1-c n<0,c n>c n+1，所以c1<c2<c3>c4>c5>⋯，故c nmax=c3=98，所以λ≥98，即实数λ的取值范围为98,+∞．2(2024·广东韶关·二模)记R上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足x n+1=x n-f x nf x nn∈N*的数列x n称为函数f x 的“牛顿数列”.已知数列x n为函数f x =x2-x的牛顿数列，且数列a n满足a1=2,a n=lnx nx n-1,x n>1.(1)求a2；(2)证明数列a n是等比数列并求a n；(3)设数列a n的前n项和为S n，若不等式(-1)n⋅tS n-14≤S2n对任意的n∈N∗恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)4(2)证明见解析，a n=2n(3)-9≤t≤253【分析】(1)求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；(2)对递推式变形结合对数运算求得a n+1a n=2，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；(3)先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为(-1)n⋅t≤S n+14S n对任意的n∈N∗恒成立，令g x =x+14x，x∈0,+∞，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可.【详解】(1)因为f x =x2-x，则f x =2x-1，从而有x n+1=x n-f x nf x n=x n-x2n-x n2x n-1=x2n2x n-1，由a1=2,a n=lnx nx n-1，则2=lnx1x1-1，则x1x1-1=e2，解得x1=e2e2-1则有x2=x212x1-1=e4e4-1，所以a2=lnx2x2-1=2lnx1x1-1=4；(2)由x n+1=x2n2x n-1，则x n+1x n+1-1=x2n2x n-1x2n2x n-1-1=x2nx2n-2x n+1=x nx n-12，所以a n+1=lnx n+1x n+1-1=lnx nx n-12=2ln x n xn-1=2a n(x n>1)，故a n+1a n=2(非零常数)，且a1=2≠0，所以数列a n是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2×2n-1=2n；(3)由等比数列的前n项和公式得：S n=21-2n1-2=2n+1-2，因为不等式(-1)n⋅tS n-14≤S n2对任意的n∈N∗恒成立，又S n>0且S n单调递增，所以(-1)n⋅t≤S n+14S n对任意的n∈N∗恒成立，令g x =x+14x，x∈0,+∞，则g x =1-14x2=x2-14x2，当x∈0,14时，g x <0，g x 是减函数，当x∈14,+∞时，g x >0，g x 是增函数，又2=S1<14<S2=6，且g2 =9，g6 =253，g6 <g2 ，则g x min=g6 =253，当n为偶数时，原式化简为t≤S n+14S n，所以当n=2时，t≤253；当n为奇数时，原式化简为-t≤S n+14S n，所以当n=1时，-t≤9，所以t≥-9；综上可知，-9≤t≤25 3 .3(23-24高二下·贵州贵阳·期中)已知数列a n满足：a n+1=13a n+13n+1，且a1=-23.设a n 的前n项和为T n，b n=3n⋅a n.(1)证明：b n是等差数列；(2)求T n；(3)若不等式T n+34≤ta n对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)T n=-34-n2-34⋅13 n(3)-12≤t≤-18【分析】(1)根据等差数列的定义证明(2)由已知得a n=b n3n=13n⋅n-3，再通过错位相减法求解出T n；(3)不等式化简为t n-3≥3-2n4，把问题转化为t n-3≥3-2n4对n∈N*恒成立，然后分别求出当1≤n<3、n=3和n>3时，t满足的条件即可【详解】(1)因为b n=3n⋅a n，所以b n+1=3n+1⋅a n+1，b n+1-b n=3n+1⋅a n+1-3n⋅a n=3n+113a n+13 n+1-3n⋅a n=1，且b1=-2，所以b n是以-2为首项，且公差为1的等差数列，即b n=n-3.(2)由(1)知，b n=n-3，所以a n=b n3n=13n⋅n-3.则T n=-2⋅131+-1 ⋅13 2+0⋅13 3+⋯+n-4⋅13n-1+n-3⋅13n，于是13T n=-2⋅132+-1 ⋅13 3+0⋅13 4+⋯+n-4⋅13n+n-3⋅13n+1，两式相减得23T n =-23+132+133+134+⋯+13n-n -3 ⋅13n +1=-23+191-13 n -11-13-n -3 ⋅13n +1=-12-n 3-12 ⋅13n，因此T n =-34-n 2-34 ⋅13n.(3)由T n +34≤ta n ，得-n 2-34 ⋅13 n ≤t n -3 ⋅13n ，依题意，t n -3 ≥3-2n4对n ∈N *恒成立，当1≤n <3时，t ≤3-2n 4n -3 =-12-34×1n -3,-12-34×1n -3≥-18，则t ≤-18；当n =3时，不等式恒成立；当n >3时，t ≥3-2n 4n -3=-12-34×1n -3,-12-34×1n -3<-12，则t ≥-12，于是-12≤t ≤-18，综上,实数t 的取值范围是-12≤t ≤-18.4(23-24高二下·吉林长春·阶段练习)设正项数列a n 的前n 项之和b n =a 1+a 2+⋯+a n ，数列b n 的前n 项之积c n =b 1b 2⋯b n ，且b n +c n =1.(1)求证：1c n为等差数列，并分别求a n ､b n 的通项公式；(2)设数列a n ⋅b n +1 的前n 项和为S n ，不等式S n >1λ+λ-136对任意正整数n 恒成立，求正实数λ的取值范围.【答案】(1)证明见解析，a n =1n n +1，b n =nn +1(2)12<λ<2【分析】(1)利用已知关系可得b n =c n c n -1，代入b n +c n =1，化简可证1c n 为等差数列，从而求得a n ，b n的通项公式；(2)由(1)得a n ⋅b n +1=1n n +2，利用裂项相消可得S n =34-121n +1+1n +2 ，利用数列的单调性求出S n ≥S 1=13，解不等式即可求出正实数λ的取值范围.【详解】(1)由题意知：当n ≥2时，b n =c n c n -1，代入b n +c n =1得cn c n -1+c n =1，所以1c n -1c n -1=1.由b 1=c 1b 1+c 1=1，得b 1=c 1=12，所以1c n是以2为首项，1为公差的等差数列，所以1c n=n+1，c n=1n+1，b n=1-c n=nn+1，当n≥2时，a n=b n-b n-1=nn+1-n-1n=1n n+1，当n=1时，a1=b1=12也符合上式，所以a n=1n n+1.(2)由(1)得a n⋅b n+1=1n n+1⋅n+1n+2=1n n+2，所以S n=11×3+12×4+13×5+⋯+1n-1n+1+1n n+2=121-13+12-14+13-15+⋯+1n-1-1n+1+1n-1n+2=34-121n+1+1n+2.显然S n单调递增，所以S n≥S1=1 3 .由题意得1λ+λ-136<13，即1λ+λ<52，又λ>0，所以λ的取值范围为12<λ<2.5(2024·湖南·二模)已知a n是各项都为正数的等比数列，数列b n满足：b n=2log2a n+1，且b1= 1，b4=7.(1)求数列a n,b n的通项公式；(2)若对任意的n∈N*都有2λa n≥b n-2，求实数λ的取值范围.【答案】(1)a n=2n-1；b n=2n-1(2)λ≥38【分析】(1)利用题设条件求得a1,a4，再利用等比数列的通项公式求得a n，进而求得b n；(2)将问题转化为λ≥2n-32n 恒成立，再利用作差法求得f(n)=2n-32n的最大值，从而得解.【详解】(1)因为b n=2log2a n+1，b1=1，b4=7，所以b1=1=2log2a1+1，则a1=1，b4=7=2log2a4+1，则a4=8，因为a n是各项都为正数的等比数列，所以q3=a4a1=8，即q=2，所以a n=2n-1，则b n=2log2a n+1=2n-1+1=2n-1.(2)因为2λa n≥b n-2恒成立，所以λ≥b n-22a n=2n-32n恒成立，设f(n)=2n-32nn∈N*，则f n+1-f n =2n-12n+1-2n-32n=5-2n2n+1，当n≤2时，f(n+1)-f(n)>0，则f(3)>f(2)>f(1)；当n ≥3时，f (n +1)-f (n )<0，则f (3)>f (4)>f (5)>⋯；所以f (n )max =f (3)=38，则λ≥38.6(23-24高二上·山东烟台·期末)设数列a n ，b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1=-2，b 1=1，且4S n +1=3S n -8，b n +1=43b n -2a n +1(n ∈N *).(1)求a n 的通项公式，并证明：34n -1b n 是等差数列；(2)若不等式(6nλ-54)43n-(n +3)(T n -9)≤0对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)a n =-2×34n -1，证明见解析；(2)(-∞,3].【分析】(1)根据给定条件，结合a n =S n -S n -1(n ≥2)求出a n 的通项，再利用等差数列的定义推理即得.(2)利用错位相减法求和得，T n =(3n -9)43n+9，由给定不等式得，λ≤n 2+92n =n 2+92n ，再求出n2+92n的最小值即可.【详解】(1)数列a n 中，4S n +1=3S n -8，当n ≥2时，4S n =3S n -1-8，两式相减得，a n +1=34a n，又4S 2=3S 1-8，即4(a 1+a 2)=3a 1-8，而a 1=-2，解得a 2=-32，则a 2=34a 1，所以数列a n 为等比数列，a n =-2×34n -1；由b n +1=43b n -2a n +1，b 1=1，得b n +1=43b n +134n⇒34nb n +1-34n -1b n =1，因此数列34n -1b n 是以34b 1=1为首项、1为公差的等差数列.(2)由(1)得，34n -1b n =1+(n -1)×1=n ，即b n =n 43n -1，则T n =1×43+2×431+3×432+⋯+n ×43n -1，于是43T n =1×431+2×432+3×433+⋯+(n -1)×43r -1+n ×43n，两式相减得，-13T n =43+431+432+433+⋯+43n -1-n 43n=343n-1-n 43n，因此T n =(3n -9)43n+9，又(6nλ-54)43n-(n +3)(T n -9)≤0，即(6nλ-54)43n≤(n +3)(3n -9)43n，于是λ≤n 2+92n =n 2+92n ，而n 2+92n ≥2n 2⋅92n=3，当且仅当n =3时等号成立，则λ≤3，所以实数λ的取值范围为(-∞,3].【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.题型二：数列不等式能成立(有解)问题1(2024·云南·一模)已知a n 为等比数列，记S n ､T n 分别为数列a n ､b n 的前n 项和，S 5=62，S 10=2046,2T n =nb n +n ,b 2=3.(1)求a n ､b n 的通项公式；(2)是否存在整数c ，使b 1a 1+b 2a 2+⋯+bn a n<c 对任意正整数n 都成立？若存在，求c 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)a n =2n ，b n =2n -1；(2)存在，c 的最小值为3.【分析】(1)利用等比数列求和公式得首项和公比的方程组，得a n =2n ，利用数列的和与通项的关系得n -1 b n +1=nb n -1，结合nb n +2=n +1 b n +1-1得b n 是等差数列即可求解；(2)错位相减法求和得C n =b 1a 1+b 2a 2+⋯+bn a n，再利用数列性质求最值即可求解.【详解】(1)设等比数列a n 的公比为q ，根据已知得q ≠1，且S 5=a 11-q 51-q =62S 10=a 11-q 101-q =2046解方程组得a 1=2,q =2.∴a n 的通项公式为a n =a 1q n -1=2×2n -1=2n .∵2T n =nb n +n ，∴2T 1=2b 1=b 1+1，解得b 1=1，且2T n +1=n +1 b n +1+n +1.∴2T n +1-2T n =n +1 b n +1+n +1-nb n -n ，即2b n +1=n +1 b n +1+n +1-nb n -n .∴n -1 b n +1=nb n -1且nb n +2=n +1 b n +1-1，则nb n +2-n -1 b n +1=n +1 b n +1-nb n ，整理得b n +2+b n =2b n +1，故b n 是以1为首项，2为公差的等差数列，故b n =1+2n -1 =2n -1.∴b n 的通项公式为b n =2n -1.(2)设C n =b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n a n =12+322+⋯+2n -12n ，则12C n =122+323+⋯+2n -12n +1.∴C n -12C n =12C n =12+222+223+⋯+22n -2n -12n +1=12+2×14×1-12n-11-12-2n-12n+1，∴C n=3-2n+32n.∵C n=3-2n+32n <3恒成立，且C4=3-1116>2,∴存在整数c，使b1a1+b2a2+⋯+b na n<c对任意正整数n都成立，且c的最小值为3.2(23-24高二上·江苏盐城·期末)已知正项数列a n的前n项和为S n，且2S n=a n+1；数列b n是单调递增的等比数列，公比为q，且b2，b4的等差中项为10；b1，b5的等比中项为8．(1)求a n，b n的通项公式；(2)设c n=a n,n为奇数1b n,n为偶数，T n为数列c n 的前n项和，若存在n∈N*使得T2n-2n2+n≥λb n成立，求实数λ的最大值．【答案】(1)a n=2n-1,b n=2n(2)18【分析】(1)利用a n与S n的关系可得a n，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得b n；(2)分组求和可得T2n，可将原不等式转化为λ≤1312n-18n，计算即可得.【详解】(1)由2S n=a n+1可得4S n=a n+12，当n≥2时，4S n-1=a n-1+12，两式相减得4a n=a n2-a n-12+2a n-a n-1，∴a2n-a2n-1=2a n+a n-1，即a n+a n-1a n-a n-1=2a n+a n-1.∵a n>0，∴a n-a n-1=2(n≥2)，即可得a n是等差数列．由2S1=a1+1，得2a1=a1+1,∴a1=1，即a n=1+(n-1)×2=2n-1．由题意得b2+b4=20b1b5=64，即b2+b4=20b2b4=64，解得b2=4b4=16或b2=16b4=4，∵b n是递增的等比数列，∴b2=4b4=16，所以b1q=4b1q3=16，得b1=2q=2，∴b n=2×2n-1=2n，即a n=2n-1,b n=2n；(2)由(1)得：T2n=a1+a3+⋯+a2n-1+b2+b4+⋯+b2n=2n2-n+131-14n若存在n∈N*使得T2n-2n2+n≥λb n成立，等价于存在n∈N*使得λ≤1312n-18n能成立，设d n=1312n-18n，则d n-d n-1=1312n-18n-1312n-1-18n-1=1378n-12n<0，∴d n是递减数列，故d n的最大值为d1=1 8，因此λ的最大值为1 8 .3(2024·云南曲靖·一模)已知数列a n的前n项和为S n，且S n=2a n-n．(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足b n=a n+1a n a n+1，其前n项和为T n，求使得T n>20232024成立的n的最小值．【答案】(1)a n=2n-1；(2)10.【分析】(1)根据a n,S n关系及递推式可得a n+1=2(a n-1+1)，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；(2)应用裂项相消法求T n，由不等式能成立及指数函数性质求得n≥10，即可得结果.【详解】(1)当n≥2时，a n=S n-S n-1=(2a n-n)-(2a n-1-n+1)=2(a n-a n-1)-1，所以a n=2a n-1+1，则a n+1=2(a n-1+1)，而a1=S1=2a1-1⇒a1=1，所以a1+1=2，故{a n+1}是首项、公比都为2的等比数列，所以a n+1=2n⇒a n=2n-1.(2)由b n=a n+1a n a n+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，所以T n=1-13+13-17+17-115+⋯+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1，要使T n=1-12n+1-1>20232024，即12n+1-1<12024⇒2n+1>2025，由210<2025<211且n∈N*，则n+1≥11⇒n≥10.所以使得T n>20232024成立的n的最小值为10.4(23-24高三上·山东·阶段练习)已知正项数列a n的前n项和为S n，2S n=a n+1；数列b n是递增的等比数列，公比为q，且b2，b4的等差中项为10，b1，b5的等比中项为8．(1)求a n，b n的通项公式；(2)设c n=-a n,n为奇数3b n,n为偶数，T n为c n 的前n项和，若T2n+2n2-n+3≥λb n能成立，求实数λ的最大值．【答案】(1)a n=2n-1，b n=2n(2)158【分析】(1)利用S n,a n的关系式即可求得a n是等差数列，可得a n=2n-1；再利用等比数列定义即可求得b 1=2,q =2，可得b n =2n ；(2)采用分组求和并利用等差、等比数列前n 项和公式即可求得T 2n =-2n 2+n +1-14n，不等式能成立等价于λ≤4×12n-18nmax ，利用单调性可求得λ≤158.【详解】(1)由2S n =a n +1可得4S n =a n +1 2，当n ≥2时，4S n -1=a n -1+1 2，两式相减得4a n =a n 2-a n -12+2a n -a n -1 ，∴a n 2-a 2n -1=2a n +a n -1 ，即a n +a n -1 a n -a n -1 =2a n +a n -1 ．∵a n >0，∴a n -a n -1=2(n ≥2)，即可得a n 是等差数列．由2S 1=a 1+1，得2a 1=a 1+1，∴a 1=1，即a n =1+n -1 ×2=2n -1．由题意得b 2+b 4=20b 1b 5=64，即b 2+b 4=20b 2b 4=64，解得b 2=4b 4=16 或b 2=16b 4=4 ．∵b n 是递增的等比数列，∴b 2=4b 4=16，所以b 1q =4b 1q 3=16 ，得b 1=2q =2，∴b n =2×2n -1=2n ．所以a n 和b n 的通项公式为a n =2n -1，b n =2n ．(2)由(1)得：T 2n =-a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n -1 +b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n =-1+5+9+⋯+4n -3 +3122+124+126+⋯+122n=-1+4n -3 n2+3141-14n1-14=-2n 2+n +1-14n．T 2n +2n 2-n +3≥λb n 能成立，等价于4-14n ≥λ×2n 能成立，化简得λ≤4×12n-18n能成立，即λ≤4×12n-18nmax．设d n =4×12n-18n，则d n +1-d n =4×12n +1-18n +1-4×12n+18n=-2×12n+78×18n=12n78×14n-2<0，∴d n 是递减数列，故d n 的最大值为d 1=158．∴λ≤158，因此λ的最大值为158．5(23-24高三上·河北张家口·阶段练习)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a n =12S n+1n∈N*．数列b n的前n项和为T n，数列c n的前n项和为A n，数列b n=2na n-a n n∈N*,c n+1n n+1=1a n，n∈N*．(1)求数列a n的通项公式及T n；(2)若对任意n∈N*，存在x0∈-1,1使得A n≤2x0-m成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)a n=2n,n∈N*；T n=6+2n-3⋅2n+1；(2)-∞,14980．【分析】(1)利用S n,a n的关系式可求得数列a n的通项公式为a n=2n,n∈N*，由错位相减法求和即可得T n =6+2n-3⋅2n+1；(2)易知A n=1n+1-12n，由数列的函数特性可知A n≤A4=15-116=1180，根据题意只需满足2-m≥1180即可求得m≤149 80.【详解】(1)由a n=12S n+1n∈N*，可得S n=2a n-2n∈N*,当n=1时，a1=S1=2a1-2，得a1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2-2a n-1+2，即a n=2a n-1，可得a n是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n,n∈N*；当n=1时，a1=2符合a n=2n，所以数列a n的通项公式为a n=2n,n∈N*；b n=2na n-a n=2n-1a n=2n-1⋅2n，则数列b n的前n项和为T n=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋅⋅⋅+2n-1⋅2n，2T n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋅⋅⋅+2n-1⋅2n+1，相减可得：-T n=2+222+23+⋅⋅⋅+2n-2n-1⋅2n+1=2+2⋅41-2n-11-2-2n-1⋅2n+1=-6+2n+2-2n-1⋅2n+1所以T n=6+2n-3⋅2n+1；(2)由c n+1n n+1=1a n,n∈N*得c n=12n-1n-1n+1，可得A n=12+14+⋅⋅⋅+12n-1-12+12-13+⋅⋅⋅+1n-1n+1=121-12n1-12-1-1n+1=1n+1-12n，由c1=0,c2>0,c3>0,c4>0，当n≥5时，2n>n n+1，即有c n<0，可得A n≤A4=15-116=1180，又x∈-1,1时，y=2x-m的最大值为2-m，对任意n∈N*，存在x0∈-1,1，使得A n≤2x0-m成立，即2-m ≥1180即可，解得m ≤14980；所以实数m 的取值范围为-∞,14980二、 专题 数列不等式专项训练1(23-24高二下·辽宁大连·阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 1=5，a 2=25，S n +1+5S n -1=6S n n ≥2 ，T n 是数列2log 5a n -1 的前n 项和．(1)求数列a n 的通项公式；(2)求满足1-1T 21-1T 31-1T 4⋯1-1T n1-1T n +1≥10232025的最大正整数n 的值．【答案】(1)a n =5n (2)95【分析】(1)利用S n -S n -1=a n 得到数列a n 是等比数列，根据等比数列的通项公式求解；(2)先求出b n ，进而可得T n ，求出1-1T n +1代入不等式左边整理化简，然后解不等式即可.【详解】(1)因为S n +1+5S n -1=6S n n ≥2 ，所以S n +1-S n =5S n -5S n -1，即a n +1=5a n ，又a 2=25=5a 1≠0，所以数列a n 是以5为首项，5为公比的等比数列，所以a n =5n ；(2)由(1)得2log 5a n -1=2log 55n -1=2n -1，所以T n =1+2n -1 n2=n 2，则1-1T n +1=1-1n +1 2=n ⋅n +2 n +12，则1-1T 21-1T 31-1T 4⋯1-1T n1-1T n +1=1×322×2×432×3×542×⋯×n -1 n +1 n 2×n n +2 n +1 2=n +22n +1 ，所以n +22n +1≥10232025，又n ∈N ∗，解得n ≤95，所以正整数n 的最大值为95.2(2024·四川南充·二模)在数列a n 中，S n 是其前n 项和，且3S n -a n =64．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若∀n ∈N +，λ-1<S n ≤4λ+4恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)a n =32×-12n -1(2)7,17【分析】(1)由a n =S 1,n =1S n -S n -1,n ≥2，作差得到a n =-12a n -1，从而得到a n 是以32为首项，-12为公比的等比数列，即可求出其通项公式；(2)由(1)求出S n ，再根据指数函数的性质求出S n 的最值，即可得解.【详解】(1)因为3S n -a n =64，当n =1时，3S 1-a 1=64，解得a 1=32；当n ≥2时，3S n -1-a n -1=64，所以3S n -a n -3S n -1+a n -1=0，所以a n =-12a n -1；所以a n 是以32为首项，-12为公比的等比数列，所以a n =32×-12n -1.(2)由(1)可得S n =a n +643=6431--12n=6431-12 n,n 为偶数6431+12 n,n 为奇数，又y =12x在R 上单调递减，则y =-12x在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，6431-12n≥6431-122=16，当n 为奇数时，6431+12n≤6431+12=32，所以当n =1时S n 取得最大值为32，当n =2时S n 取得最小值为16，因为∀n ∈N +，λ-1<S n ≤4λ+4恒成立，所以λ-1<1632≤4λ+4，解得7≤λ<17，所以λ的取值范围为7,17 .3(2024·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a 2=3,2S n =n a n +2 ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1≥λa n +1成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)a n =n +1；(2)-∞,116．【分析】(1)当n =1时，求得a 1=2，当n ≥3时，得到2S n -1=n -1 a n -1+2 ，两式相减化简得到a nn -1-a n -1n -2=-21n -2-1n -1，结合叠加法，即可求得数列a n 的通项公式；(2)由(1)得到1a n a n +1=1n +1-1n +2，求得1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1=12-1n +2，解法1：根据题意，转化为λ≤n 2n +2 2，结合n 2n +2 2=12n +4n +4 ，结合基本不等式，即可求解；解法2：根据题意，转化为λ≤12n +2-1n +22，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】(1)解：当n =1时，2S 1=2a 1=a 1+2，解得a 1=2，当n ≥3时，2S n =n a n +2 ,2S n -1=n -1 a n -1+2 ，两式相减可得，n -2 a n -n -1 a n -1=-2，则a n n -1-a n -1n -2=-21n -2-1n -1 ,a n -1n -2-a n -2n -3=-21n -3-1n -2 ,⋯，a 32-a 21=-21-12叠加可得，a n n -1-a 21=4-2nn -1，则a n =n +1，而n =1,2时也符合题意，所以数列a n 的通项公式为a n =n +1．(2)解：由(1)知a n =n +1，可得1a n a n +1=1n +1 n +2=1n +1-1n +2，故1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1=12-13+13-14+⋯+1n +1-1n +2=n2n +2；解法1：由1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1≥λa n +1，可得n2n +2≥λn +2 ，即λ≤n 2n +2 2，即则λ≤n 2n +2 2 max ，又由n 2n +2 2=12n +4n +4≤116，当且仅当n =2时取等号，故实数λ的取值范围为-∞,116．解法2：由1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1=12-1n +2≥λn +2 ，可得λ≤12n +2 -1n +22=-1n +2-14 2+116，当n +2=4，即n =2时，12n +2 -1n +2 2max=116，则λ≤116，故实数λ的取值范围为-∞,116．4(23-24高二下·云南玉溪·阶段练习)已知S n 是等差数列a n 的前n 项和，且a 2=3,S 5=25．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若对任意n ∈N *,m ≥a 131+a 232+⋅⋅⋅+a n3n ，求m 的最小整数值．【答案】(1)a n =2n -1(2)1【分析】(1)根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；(2)根据错位相减法求出和，即可得解.【详解】(1)设a n 的公差为d ，因为a 2=3,S 5=25，所以a 1+d =35a 1+10d =25，解得a 1=1d =2 ，所以an =2n -1；(2)因为a n=2n-1，所以a n3n=2n-13n，令T n=a131+a232+⋅⋅⋅+a n3n=13+332+533+⋅⋅⋅+2n-13n，所以13T n=132+333+534+⋅⋅⋅+2n-13n+1，两式相减得23T n=13+232+⋅⋅⋅+23n-2n-13n+1=231-13n1-13-13-2n-13n+1=23-2n+23n+1，所以T n=1-n+1 3n．因为n+13n>0，所以T n<1，所以m≥1，故m的最小整数值为1．5(2024高三·全国·专题练习)已知数列a n的前n项和为S n，且关于x的方程nx2+2S n x+n+ 1=0，n∈N*有两个相等的实数根．(1)求a n的通项公式；(2)若b n=a n+1⋅2a n，数列b n的前n项和为T n，且T n≥4nλ对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．【答案】(1)a n=2n(2)3【分析】(1)利用方程有等根可知判别式为0，求出S n=n2+n，根据a n,S n关系即可得出通项公式；(2)利用错位相减法求出T n，再分离参数后求解即可.【详解】(1)由关于x的方程nx2+2S n x+n+1=0，n∈N*有两个相等的实数根，可得Δ=4S n-4n n+1=0，即S n=n2+n，n∈N*，当n=1时，a1=S1=2．当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-n-12-n-1=2n．当n=1时，上式也成立，所以a n=2n．(2)由(1)可知，b n=a n+1⋅2a n=2n+1⋅4n，T n=3×41+5×42+⋅⋅⋅+2n+1⋅4n，①4T n=3×42+5×43+⋅⋅⋅+2n+1⋅4n+1，②①-②得：-3T n=3×41+2×42+⋅⋅⋅+2×4n-2n+1×4n+1=12+2×161-4n-11-4-2n+1⋅4n+1=-8n+43×4n+43，所以T n=83n+49⋅4n-49．又T n≥4nλ对任意的n∈N*恒成立，即83n+49⋅4n-49≥λ4n对任意的n∈N*恒成立，故λ≤83n+49-49×4nmin，因为数列83n +49 -49×4n 在n ∈N *时单调递增，所以83n +49-49×4nmin=3，当且仅当n =1时取得最小值．所以实数λ的最大值为3．6(2024·天津红桥·一模)已知S n 为数列a n 的前n 项和，且满足S n =2a n +r ，其中r ∈R ，且r ≠0．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n +1S n r ，若对任意的n ∈N *，都有2n -1i =1b i <m <2ni =1b i ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)a n =-r ⋅2n -1(2)-1<m <2【分析】(1)利用a n ,S n 的关系式求解即可；(2)由题意有2n -1i =1b imax<m <2ni =1b imin，利用分组求和法分别求出2n -1i =1b i ,2ni =1b i ，再根据数列的单调性分别求出2n -1i =1b imax,2n i =1b imin，即可得解.【详解】(1)由S n =2a n +r ，当n =1时，a 1=S 1=2a 1+r ，所以a 1=-r ≠0，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1，所以a n =2a n -1，所以数列a n 是以2为公比的等比数列，所以a n =-r ⋅2n -1；(2)由(1)得S n =-r 1-2n1-2=r 1-2n ，则b n =(-1)n +1Sn r=(-1)n +11-2n =(-1)n +1+-2 n ，故2n -1i =1b i =b 1+b 2+⋯+b 2n -1=1+-21--2 2n -1 1--2 =--2 2n +13，2ni =1b i =b 1+b 2+⋯+b 2n =0+-21--2 2n 1--2 =--2 2n +1-23，而2n -1i =1b i =--2 2n +13=-4n +13随n 的增大而减小，所以2n -1i =1b imax =-41+13=-1，2ni =1b i =--2 2n +1-23=2⋅4n -23随n 的增大而增大，所以2ni =1b imin=2×41-23=2，因为对任意的n ∈N *，都有2n -1i =1b i <m <2ni =1b i ，所以-1<m <2.7(23-24高二下·湖南长沙·开学考试)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 .(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)求数列1a n ⋅a n +2的前n 项和T n ；(3)记d n =3n -2⋅(-1)n λb n (λ∈R )，对任意的n ∈N +，恒有d n +1>d n ，求λ的取值范围.【答案】(1)a n =n ，b n =2n -1(2)34-12n +2-12n +4(3)-32,1 【分析】(1)根据等比数列和等差数列的通项公式求出公比和公差，即可求解；(2)利用裂项相消即可求和；(3)由d n +1>d n 恒成立，得到3n -1>(-2)n -1λ恒成立，分离参数，分别讨论n 为奇数和偶数时λ的范围，从而得到答案.【详解】(1)因为a n 为等差数列，且a 1=1，a 5=5a 4-a 3 ，所以a 1+4d =5a 1+3d -a 1-2d ，解得：d =1，即a n =n ；因为b n 为等比数列，且b 1=1，b 5=4b 4-b 3 ，所以b 1q 4=4b 1q 3-b 1q 2 ，解得：q =2，即b n =2n -1(2)由(1)可知1a n ⋅a n +2=1n (n +2)=121n -1n +2 ，所以T n =121-13 +1212-14 +1213-15 +1214-16 +⋯121n -1-1n +1+121n -1n +2 =121+12-1n +1-1n +2 所以T n =34-12n +2-12n +4(3)由(1)得d n =3n -2⋅(-1)n λb n =3n -(-2)n λ，由于对任意的n ∈N +，恒有d n +1>d n ，即3n +1-(-2)n +1λ>3n -(-2)n λ，则3n -1>(-2)n -1λ恒成立，当n 为奇数时，则λ<32n -1恒成立，由于32n -1≥1，故当λ<1时，对所有奇数n 恒有d n +1>d n ；当n 为偶数时，则λ>-32n -1恒成立，由于32n -1≥32，则-32n -1≤-32，即当λ>-32时，对所有偶数n 恒有d n +1>d n ；综上，当λ∈-32,1 时，对任意的n ∈N +，恒有d n +1>d n8(23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习)设各项都不为0的数列a n 的前n 项积为T n ，T n =2n n -12⋅a n，a1=2.(1)求数列a n的通项公式；(2)保持数列a n中的各项顺序不变，在每两项a k与a k+1之间插入一项2a k+1-a k(其中k=1,2,3,⋅⋅⋅)，组成新的数列b n，记数列b n的前n项和为S n，若S n>2023，求n的最小值.【答案】(1)a n=2n(2)17【分析】(1)利用a n与T n的关系得到a n-1=2n-1，再检验a1即可得解；(2)利用并项求和法与等比数列的求和公式求得S2n，再依次求得S16,S18,S17，从而得解.【详解】(1)因为T n=2n n-12⋅a n，当n≥2时，T n-1=2(n-1)(n-2)2⋅a n-1，两式相除可得a n=2n-1a na n-1，因为a n≠0，所以a n-1=2n-1，又a1=2，所以a n=2n.(2)依题意，S2n=a1+2a2-a1+a2+2a3-a2+⋯+a n+2a n+1-a n=a1+a2+⋯+a n+2a2-a1+a3-a2+⋯+a n+1-a n=a1+a2+⋯+a n+2a n+1-a1=a1+a2+⋯+a n+2a n+1-2a1=21-2n1-2+2n+2-4=3⋅2n+1-6，易知S2n随着n增大而增大，当n=8时，S16=3⋅28+1-6=1530<2023，当n=9时，S18=3⋅29+1-6=3066>2023，而S17=S16+b17=S16+a9=1530+512=2042>2023,综上，n的最小值为17.9(2014高一·全国·竞赛)对于给定的m,n∈N*，若m≥n，定义C n m=m m-1⋯m-n+1n n-1⋯2×1.已知数列a n满足a1=1，当n≥2时，C2n S n+1=n-13n+22S n-n2-1S n-1，其中S n为数列a n的前n项和.(1)求a n的通项公式；(2)计算数列a n的前n项和S n，是否存在k∈N*，使得任意n≥k，都有S n>2014？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)a n=n⋅2n-1(2)存在，9【分析】(1)根据a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2求出a n +1a n =2n +1 n，利用累乘法求出答案；(2)错位相减法求和得到S n =n -1 ⋅2n +1，结合单调性求出答案.【详解】(1)根据C n m 的定义可得C 2n =n n -1 2，而n -1 3n +2 2=n 2-1+C 2n ，∴C 2n S n +1=n -1 3n +22S n -n 2-1 S n -1=C 2n S n +n 2-1 S n -S n -1 ，∴C 2n S n +1-S n=n 2-1 S n -S n -1 ，即a n +1a n =n 2-1C 2n=2n +1 n .已知a 1=1，利用“迭乘”原理得a n +1=a n +1a n ⋅a n a n -1⋅⋯⋅a 2a 1⋅a 1=2n +1 n ⋅2n n -1⋅⋅⋅⋅⋅2×21⋅1=n +1 ⋅2n .故通项公式a n =n ⋅2n -1，经检验当n =1时，也满足此式，综上，通项公式为a n =n ⋅2n -1；(2)存在k =9.理由如下：由(1)知S n =a 1+a 2+⋯+a n =1+2×21+3×22+⋯+n ⋅2n -1，①2S n =2+2×22+3×23+⋯+n -1 ⋅2n -1+n ⋅2n ，②用②-①可得S n =-1-2+22+23+⋯ +2n -1+n ⋅2n -1=-1-21-2n -11-2+n ⋅2n -1=n -1 ⋅2n +1.显然S n 是单调递增的，又S 8=1793,S 9=4097，故存在k =9，使得任意n ≥k ，都有S n >2014.10(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=1，2S n =a n a n +1，数列b n 为正项等比数列，b 2=a 4且b 2,3b 1,b 3依次成等差数列.(1)求a n ,b n 的通项公式；(2)设c n =1a n b n，c n 的前n 项和为T n ，问是否存在正整数k 使得k 24<T n <k +124n ≥4 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)a n =n ，b n =2n (2)存在，k =16【分析】(1)根据a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2，作差得到a n +1-a n -1=2，从而得到a n 的奇数项、偶数项分别为等差数列，从而求出其通项公式，设等比数列b n 的公比为q ，利用等差中项的性质及等比数列通项公式求出q ，即可求出b n 的通项公式；(2)由(1)可得c n =1n ×2n ，则T n =12+12×22+13×23+⋯+1n ×2n ，利用放缩法证明T n <1724，即可得解.【详解】(1)因为a 1=1，2S n =a n a n +1，当n =1时，2S1=a 1a 2，所以a 2=2；当n≥2时，2S n-1=a n a n-1，所以2S n-2S n-1=a n a n+1-a n a n-1，即2a n=a n a n+1-a n-1．∵a n>0，可得a n+1-a n-1=2n≥2，所以a n的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，所以a2n-1=2n-1，a2n=2n，综上可得a n=n；设等比数列b n的公比为q，因为b2,3b1,b3依次成等差数列，所以b2+b3=6b1，∴b21+q=6b2q，所以q2+q-6=0，解得q=2或q=-3．因为b n为正项等比数列，故q=2，由b2=a4=4，则b1=b2q=2，所以b n=2n．(2)由(1)可得c n=1a nb n =1n×2n，所以T n=12+12×22+13×23+⋯+1n×2n，则T3=12+12×22+13×23=1624，当n=4时，T4=12+12×22+13×23+14×24>T3=1624；当n>4时，T n=12+12×22+13×23+14×24+⋯+1n×2n<12+12×22+13×23+13×24+⋯+13×2n=16 24+13124+125+⋯+12n=16 24+13×1241-12n-31-12=16 24+13181-12n-3<1724．所以存在k=16，使得k24<T n<k+124n≥4．。
高中数学数列与不等式(解析版)
数列与不等式在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主，大题考察位置21题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置，三角函数考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分。
数列大题属于压轴题难度较高。
对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：120分钟）1.（2020•上海卷）已知2230x yyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x=-的最大值为【答案】－12.（2020•上海卷）下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B3.（2020•上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2784．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 5．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．6．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取132z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 7．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ） A ．1 B 5C ．5D ．5【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果 【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题8．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 9．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 10．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =， 所以p 是q 的充分必要条件. 故选：C11．（2020·上海市建平中学高三月考）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（3）（4）【答案】A【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C 经过点，再将x <y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．12．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心，根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-，结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+，结合抛物线的定义化简得出12x ≤，同理得出232,2x x ≤≤，进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+， 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心，属于中档题.13．（2020·上海杨浦区·高三二模）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0． 14．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.15．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.16．（2020·上海高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立. 故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.17．（2020·上海交大附中高三其他模拟）已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．13B ．12C ．16D ．1【答案】A【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知， 10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++，所以13k ≥.则k 的最小值是13. 故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ）A ．25a =-B ．5a =-C ．25b =-D ．5b =-【答案】D【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，所以01ab<<， 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5b ∴=-，故选：D.【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题.19．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A ．（1）是真命题，（2）是假命题B ．两个都是真命题C ．（1）是假命题，（2）是真命题D ．两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题. 二、填空题20．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.21．（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．22．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.23．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.24．（2020·上海高三一模）已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，31,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅， 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．25．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案.【详解】()22211sin ,1cos,2ABCS AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意.故答案为：34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．27．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________ 【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.28．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 29．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．30．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.31．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.32．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时1x =-1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以144z =-±综上满足条件的所以复数的和为113144442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.33．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．34．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.35．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-.【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.36．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知函数()f x ax b =+(其中,a b ∈R )满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤，则()()2121a b ++的最小值为_________．【答案】9-【分析】根据题意()0f b =，()1f a b =+，可得()0b f =，()()10a f f =-，且()101f -≤≤，()111f -≤≤，所以将()()2121a b ++用()0f 和()1f 表示，即可求最值. 【详解】因为()f x ax b =+，对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤， 所以()0f b =，()1f a b =+，即()0b f =，()()10a f f =-，所以()()()()()()()21214214100211a b ab a b f f f f ++=+++=-⨯++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2224040111211f f f f f f =-+-+++()()()()()22212011120f f f f f =--++≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当()11f =-，()01f =时()()2120f f -⎡⎤⎣⎦最大为9， 此时()()2120f f --⎡⎤⎣⎦最小为9-， 所以()()2121a b ++的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据[]0,1x ∈，有()1f x ≤，可知()101f -≤≤，()111f -≤≤，由()0f b =，()1f a b =+可得()0b f =，()()10a f f =-，所以()()2121a b ++可以用()0f 和()1f 表示，再配方，根据平方数的性质求最值. 37．（2020·上海高三其他模拟）设全集U ＝R ，若A ＝{x |21x x-＞1}，则∁U A ＝_____． 【答案】{x |0≤x ≤1}【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【详解】全集U ＝R ,若A ＝{x |21x x-＞1}, 所以211x x -＞,整理得10x x-＞,解得x ＞1或x ＜0, 所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义38．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________【答案】323【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为， 则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．39．（2020·上海高三其他模拟）已知()22log 2log a b ab +=4a b +的最小值是______．【答案】9【分析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则441459a b a b b a +=+++≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.40．（2020·上海高三二模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】3+【分析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即x =时，取“=”)． 又∵21x y +=，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当1x =，12y =-时，11x y +有最小值，为3+．故答案为：3+【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题.41．（2020·上海高三月考）已知实数x 、y 满足条件01x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______. 【答案】2【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.42．（2020·上海高三其他模拟）若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________． 【答案】2试题分析：由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n n n n a C -==，12112()(1)1n a n n n n ==---，所以 231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限.43．（2020·上海高三其他模拟）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞．【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+， 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．三、解答题44．（2020·上海徐汇区·高三一模）设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-． （1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，*n N ∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(0,]n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数； （3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）34x <≤；（2）当(]0,1x ∈时，值域为{}1；当(]1,2x ∈时，值域为{}3,4；当(]2,3x ∈时，值域为{}7,8,9；(1)2n n +个；（3）(3,)+∞． 【分析】（1）根据()x μ的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域，和(1,]x n n ∈-时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3）分别求两个函数的值域，并转化为()()max g x f x >，利用参变分离求实数a 的取值范围. 【详解】【解】（1）由题意得：213x <-≤，解得：34x <≤． （2）当(]0,1x ∈时，(]()1,()0,1x x x x μμ=⋅=∈，于是(())1x x μμ⋅=，值域为{}1当(]1,2x ∈时，(]()2,()22,4x x x x μμ=⋅=∈，于是(())3x x μμ⋅=或4，值域为{}3,4 当(]2,3x ∈时，(]()3,()36,9x x x x μμ=⋅=∈，于是(())7x x μμ⋅=或8或9，值域为{}7,8,9设*n N ∈，当(1,]x n n ∈-时，()x n μ=，所以()x x nx μ⋅=的取值范围为22(,]n n n -，-所以()f x 在(1,]x n n ∈-上的函数值的个数为n ，-由于区间22(,]n n n -与22((1)(1),(1)]n n n +-++的交集为空集， 故n M 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=．- （3）由于2140573x x <≤-+，1sin 23x π≤+≤，因此()4h x ≤，当52x =时取等号，即即(2,4]x ∈时，()h x 的最大值为4，由题意得(2,4]x ∈时，()4g x >恒成立，当(2,3]x ∈时，223x a x >-恒成立，因为2max (2)33x x -=，所以3a >当(3,4]x ∈时，2324x a x >-恒成立，因为239244x x -<，所以94a ≥综合得，实数a 的取值范围是(3,)+∞．【点睛】关键点点睛：1.首先理解()x μ的定义，2.第三问，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，转化为()()max g x f x >，再利用参变分离求a 的取值范围.45．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【分析】。
数列与不等式
一
３ ・ 常 用 性 质 。 Ｉ ‘ 在 等 差 数 列 ｛ ） 中 ， 若自 然 数Ⅲ 、 ” 、 不 ｌ
整 数 ）， 则 ｂ ． ｂ ｍ ＝ｂ ｐ ｂ ｑ 。
１
．
均 值 不等 式拓 展 。
则 ｛ ｝ 是 以 “ 。 为首项 、 为 公 差 的 等 差 数
ｎ ｎ 十 １ 一ｎ 一ｄ
定 义
３ （ ｓ 一ｓ ） 。 类 比： ① 等 比数 列 （ ｂ ） 的 前 ” 项 积 为
Ｔ ， 则 ｒ ｒ ， Ｔ ２ ｍ
，
等 比 数 列
ｎ Ｈ＋ １ Ⅱ
—— 一ｑ
Ｔ ａ ｍ
， ， …
仍 构 成 等 比 数
数列
积， 则｛
｝ 是 以ｂ 为首 项 、 为公 比的 等
Ｊ 概 念 ｛ ） 前 ｎ 项 和
通 项公 式
比 数 ； 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ５ ， 则
－
￣３ ｍ
＂
特 别
１ ． 等 差 与 等 比数 列 的 概 念 、 通 项公 式 。 等 差 数 列
大 于 １的 正 整 数 ） 。 ５ ． 排序 不等 式 。
“ 逆序 和≤乱 序 和 ≤ 顺 序 和 ” ， 即设 ＆ ≤ 。 。 ≤ … ≤ ， ６ ≤ ６ ≤ … ≤ ６ 为 两 组 实 数 ，
Ⅱ —ａ １ ｑ
ｎ 一 ｎ ｑ…
Ｓ ２ 一 Ｓ ， Ｓ＿ ｛ 埘 一 Ｓ。 ， Ｓ ４ 一 Ｓ ， … 仍 构 成
２ ・ 合 理选用 等 差 、 等 比数列 的求 和公 式 。
（ １ ） ｓ 一ｎ ＋ ｎ 。 ＋ … ＋“ 一
ｎ（ “ 。 ）
一
立 的 享 茎
高考数学总复习考点知识专题讲解35---数列与不等式
[题型专练]
1．(2019·湖南湘潭一模)已知数列{an}满足Sn＝2an－1(n ∈N*)，{bn}是等差数列，且b1＝a1，b4＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝a1n－bnb2n＋1(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2an－1，∴n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴
f(x)在x＝1处取到极小值，且f(1)＝2a－12.
②当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增，
所以f(x)没有极大值也没有极小值． ③当a>1时，令f′(x)>0，则x>a或0<x<1； 令f′(x)<0，则1<x<a. 所以f(x)在(0,1)，(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单 调递减，
[规范解答]
(1)由f(x)＝(x2－2ax)lnx＋2ax－
1 2
x2，可得
f′(x)＝(2x－2a)lnx(x>0)．
①当0<a<1时，令f′(x)>0，则x>1或0<x<a；令
f′(x)<0，则a<x<1.
所以f(x)在(0，a)，(1，＋∞)上单调递增，在(a,1)上单
调递减，
所以f(x)在x＝a处取到极大值，且f(a)＝－a2lna＋32a2，
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
3．数列{an}满足an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1.
(1)证明：数列a1n是等差数列；
(2)求数列
1 an
的前n项和Sn，并证明
1 S1
＋
1 S2
＋…＋
数列与不等式的求解
数列与不等式的综合应用
数列与不等式在数学建模中的应用
描述数列与不等式在数学 建模中的重要性
举例说明数列与不等式在 解决实际问题中的应用
分析数列与不等式在数学 建模中的求解方法
总结数列与不等式在数学 建模中的实际意义
数列与不等式在实际问题中的应用
金融领域：数列和不等式用于计算 复利、保险和投资组合优化等问题。
汇报人：XX
计算机科学：在算法设计和数据结 构中，数列和不等式用于解决排序、 搜索和图论等问题。
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物理科学：在研究物理现象和解决 物理问题时，数列和不等式用于描 述和解决连续或离散的变化。
社会科学：在经济学、社会学和心 理学等领域，数列和不等式用于研 究人口增长、市场供需关系和决策 制定等问题。
性质：等差数列 中任意一项都是 前一项与后一项 的算术平均值
等比数列的求解
定义：等比数列是指每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数的数列。 通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 求和公式：Sn=(a1*(1-q^n))/(1-q)，当q≠1时；Sn=a1*n，当q=1时。 应用：等比数列在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如等比数列求和在实际问题中的应用。
数列与不等式的求解Байду номын сангаас
汇报人：XX
数列的求解方法 不等式的求解方法 数列与不等式的综合应用
数列的求解方法
等差数列的求解
定义：等差数列 是一种常见的数 列，其相邻两项 之差相等
通项公式： an=a1+(n-1)d， 其中an是第n项， a1是首项，d是 公差
求和公式： Sn=(n/2)(a1+a n)，其中Sn是前 n项和，a1是首 项，an是第n项
数列专题——数列与不等式(本人)
数列专题——数列与不等式数列与不等式数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养．【示例1】►(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2.因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a .故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1；当a ＜0时，T n ＞1a 1. 本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力．【训练】 已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n ＜1. (1)解 由已知得⎩⎨⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1(n ≥2)． 故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3，∴a n ＝3n .(2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1.数列综合以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大．【示例2】►(2011·天津)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n＋1，b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3的值；(2)设c n ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列； (3)设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ≤n －13(n ∈N *)．(1)解 由b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，可得b n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，1，n 为偶数.又b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1，当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1，由a 1＝2，可得a 2＝－32； 当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8. (2)证明 对任意n ∈N *， a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1，① 2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n ＋1.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即c n ＝3×22n －1，于是c n ＋1c n ＝4.所以{c n }是等比数列．(3)证明 a 1＝2，由(2)知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －3)＝2＋3×2(1－4k －1)1－4＝22k －1，故对任意k ∈N *，a 2k －1＝22k －1.由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1，所以a 2k ＝12－22k －1，k ∈N *，因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k2. 于是，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k －12＋22k －1.故S 2k －1a 2k －1＋S 2k a 2k ＝k －12＋22k －122k －1＋k 212－22k －1＝k －1＋22k 22k －k 22k －1＝1－14k －k4k (4k －1). 所以，对任意n ∈N *.S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1a 1＋S 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3a 3＋S 4a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142－242(42－1)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －n 4n (4n －1)＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋242(42－1)－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋n 4n (4n －1)≤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＝n －13.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大． 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1(2,11-+==n nS a a nn 。
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数列专题——数列与不等式数列与不等式数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养．【示例1】►(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．For personal use only in study and research; not for commercial use(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2.因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a .故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1；当a ＜0时，T n ＞1a 1. 本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力．【训练】 已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n ＜1. (1)解 由已知得⎩⎨⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1(n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3，∴a n ＝3n . (2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1.数列综合以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大．【示例2】►(2011·天津)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1，b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3的值；(2)设c n ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列； (3)设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ≤n －13(n ∈N *)．(1)解 由b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，可得b n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，1，n 为偶数.又b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1，当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1，由a 1＝2，可得a 2＝－32； 当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8. (2)证明 对任意n ∈N *， a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1，① 2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n ＋1.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即c n ＝3×22n －1，于是c n ＋1c n＝4.所以{c n }是等比数列．(3)证明 a 1＝2，由(2)知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －3)＝2＋3×2(1－4k －1)1－4＝22k －1，故对任意k ∈N *，a 2k －1＝22k －1.由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1，所以a 2k ＝12－22k －1，k ∈N *，因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k2.于是，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k －12＋22k －1.故S 2k －1a 2k －1＋S 2k a 2k ＝k －12＋22k －122k －1＋k 212－22k －1＝k －1＋22k 22k －k 22k －1＝1－14k－k4k (4k －1). 所以，对任意n ∈N *.S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1a 1＋S 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3a 3＋S 4a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142－242(42－1)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －n 4n (4n －1)＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋242(42－1)－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋n 4n (4n －1)≤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＝n －13.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大． 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1(2,11-+==n nS a a nn 。
（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别求出n a 、n S 的表达式；（2）设数列}1{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求证：4151<≤n T ；（3）是否存在自然数n,使得2009)1(322321=--++++n nS S S S n ？若存在，求出n 的值；若不存在,请说明理由。
又易知n T 单调递增，故n T 511=≥T ，得4151<≤n T (3)由)1(2--=n n na S n n 得12-=n nS n22321)1()12(531)1(32---++++=--++++n n n n S S SS n=12-n ……13分由200912=-n ，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.()()(){}()(){}112111111112121112S S (2)104001141 4.12234 1 n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S a S S S S S S S S S S S n S S n S S S n a S S a S S a +-+--+--+---≥-=---=-=≥=≠=≠≠=≥=-=⨯===证明：当时，，所以．又由，，可推知对一所以数列是等比数切正整数均有，由知等比数列的首项为，公比为，所以当时，列，又，所以．解析：21.34 2n n n -(=)⎧⎨⨯(≥)⎩()2122212111121122123493393434.343343414193338318373488241413n n nn n n n n n n n n n n n n n a a b a a a b a a n b T b n -+---------≥=⨯==(+)(+)⨯⨯⨯=(⨯+)(⨯+)(+)(+)==(+)(+)⎧(=)⎪⎪===<⎨⨯⎪(≥)⎪(+)(+)⎩证明：当时，，此时又，所以，，2212112222121113411241414141311()8414111717().4141841837880n n n n n n n n n n n n n n n n b T b b b n b T T T n T ----------⨯≥==-(+)(+)++=++⋯+=+-+⋯+++-=-<+≤<++>≥当时，，又因为对任意所以对于任意的正整数的正整数都有，所以单调递增，都有，即，成立．()()()()2341111*1221121112111113715211211122111()12(2)11111111121.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n b b b b b b b b b a b n n b b b a a b b b b b b b b b a a a a b b b b b b ++--+-+-++++====+⇒+=+⇒+=+⋅==++⋯+≥∈=++⋯+=++⋯+++-=⇒=-=⇒N ，，，由，所以证明：因为且，所:以，以析所解，*111(2)n nn n a b n n a b +++=≥∈N 且．()()1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1n nn nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b b a a b a a a a a a b b b a b a b b b b b b b b a a ++++++++++⋯++++=⋅⋅⋯⋅+++=⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅=⋅=++⋯+++⋯+=++⋯+-++证明：由知，而，121111)(1)2()n na b b b ⋯+=++⋯+．1111123341112122121212112(),2121212111132111111112[()()()]21212121212111512()k kk k k k k k k nn n n k +++++++-≥=-(-)(-)<=-(-)(-)--++⋯+-<+++-+⋯+-------=+-<当，时，所以仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。