万有引力理论的成就

4 V R 3 3
则地球的平均密度表达式为
。
思考： 你能否估算太阳的质量和密度呢？ 如何知道宇宙中一个未知天体的质量和密 度呢？
方法点拨：了解绕着这个天体做匀速圆周 运动的星体一些信息。
【例】一艘宇宙飞船飞到月球 的表面附近，绕月球做近表面匀 速圆周运动。若宇航员用一只机 械表测得绕得一周所用时间为T， 则月球的平均密度是多大？
m 物g G
M
地
M
地
m物
2
R
G M
地
g R
2
6 2 g R2 9. （ 4 10） 8 6. 6. kg 02 － G 6. 67
思考： 根据所学的知识你能解释为什么可以 不考虑地球自转的影响呢？ 试求： 质量为1kg的物体静止在 赤道上时的向心加速度。 （已知地球半径R=6.4×106m)
四、天体解体的问题
[例]组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的 星球有一个最大的自转速率。由此能得到半径为R、 密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周 期T，下列表达式中正确的是( AD )
A、T=
3 G
G
3R 2 B、T= GM
R3 2 D、T= GM
3
C、T=
【例】 中子星是恒星演化过程的一种可能
答案：0.034m/s2
r
M
F向
mg
m
F引 θ R
结论：向心力远小于重力， 万有引力大小近似等于重力。 因此一般粗略计算中不考虑 （或忽略）地球自转的影响。
ω
点评：重力加速度 g 的变化
1）重力是万有引力的分力 万有引力
F向
r
M
θ F引
mg
m
R
自转向心力
重 力
2）重力加速度g随纬度的变化 ω
g随纬度增大而增大
请阅读课本“发现未知天体”，回答以下问题：
问题1：笔尖下发现的行星 是哪一颗行星？ 问题2：人们用类似的方法 又发现了哪颗行星？
海王星
冥王星
诺贝尔物理学奖获得者，物理学 家冯· 劳厄说： “没有任何东西像牛顿引力理论 对行星轨道的计算那样，如此有力地 树立起人们对年轻的物理学的尊敬。 从此以后，这门自然科学成了巨大的 精神王国…… ”
M 3g V 4RG
（当卫星在天体表面 做近地飞行呢？）
3 GT 2
方法归纳： 万 思路一：天体 有 表面重力近似 引 等于万有引力 力 定 律 思路二：天体运 的 应 动中，万有引力 提供物体圆周运 用
动向心力
测天体的质量、密度 重力加速度g
行星、卫星的运动
宇宙速度 同步卫星
4
万有引力理论的成就
万有引力与重力
O1
F万
பைடு நூலகம்
F向 G
O
忽略地球自转可得：
2=mg GMm/R
GM g= 2 R
1、火星的质量和半径分别为地球的1/10和 1/2，地球表面的重力加速的为g，则火星表 面的重力加速度约为多大？ 2、已知月球的质量是7.3×1022kg，半径是 1.7×103km，试求月球表面的重力加速度。 3、已知月球绕地球公转的周期为T，地球的 半径是R，试求月球绕地球的公转半径。
3）重力加速度g随高度h的变化
g随高度增大而减小
Mm 在地表球面时 mg G R2
Mm 离地面h高处 m gh G ( R h) 2
已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为 R，试求距地面多高处的重力加速度为g/2； 距地面高为R的位置，重力加速度为多大？
h ( 2 1) R
1 g 4
如图所示，甲乙两球做匀速圆周运动，向心加 速度随半径变化。由图像可以知道（） A.甲球运动时，线速度大小保持不变 B.甲球运动时，角速度大小保持不变 C.乙球运动时，线速度大小保持不变 D.乙球运动时，角速度大小保持不变
例、根据观测，某行星外围有一模糊不 清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群， 测出了环中各层的线速度v的大小与该层至 行星中心的距离R，则以下判断中正确的是： （ AC ） A、若v与R成正比，则环是连续物 B、若v与R成反比，则环是连续物 C、若v2与R反比，则环是卫星群 D、若v2与R正比，则环是卫星群
小结本课：
（1）某星体m围绕 中心天体M做圆周 运动的周期为T， 半径为r
GM=gR2
黄金代换式
Mm G 2 m 2 r r
4 r M GT 2
2 3
（2）已知中 心天体的半径 R和表面g （3）中心 天体密度
Mm mg G 2 R
gR 2 M G
3
M 3r V GT 2 R3
1/96
某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球 半径的一半，若从地球表面上高为h处平抛一物体， 射程为60m，若在该星球上从同样高度以同样 的初 速度平抛该物体，则最大射程为多大？
10m
一、天体质量的计算
Mm mg G 2 R
gR 2 M G
GM=gR2
黄金代换式
知道万有引力常量G的数值,地球质量就可求得.若已 知G＝6.67×10-11N· 2/kg2，g=9.8m/s2，地球半径R＝ m 6.4×106m,求地球的质量是多少？ 解:物体在地球表面受到的重力可以认为和万有引力相等,则:
3 2 GT
【例】 地核的体积约为整个地球体积的 16％，地核的质量约为地球质量的34％，经 估算，地核的平均密度为＿＿＿＿(结果取两 位有效数字)。(已知地球表面g=9.8m/s2 ， G 6.7 1011 N m2 / kg 2 R地 6.4 106 m )
三、发现未知天体
结果，它的密度很大。现有一中子星，观 测到它的自转周期为T=1/30s。问该中子星 的最小密度应是多少才能维持该星的稳定， 不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均 匀球体。(引力常数G=6.67×10-11m3/kg2.s)
1.27 10 kg / m
14
3
五、双 星 问 题
【例】在天体运动中，将两颗彼此相距较近 的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用 下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道 做匀速圆周运动。请找出双星运动的特点。
现测得两星中心距离为R， 其运动周期为T，求两星 的总质量。
【练习】 在天体运动中，把两颗相距
较近的恒星称为双星，已知 A 、 B 两恒星质 量分别为 M 1 和 M 2 ，两恒星相距为 L ，两恒星 分别绕共同的圆心做圆周运动，如图，求 两恒星的轨道半径和角速度大小。
B
o
A
作业：课本P43
第1、3题
某物体在地球赤道上受到的重力是它在两极处 受到重力的n（n<1）倍，设地球自转周期为T， 地球的半径为R，试求赤道处的表面重力加速度 g。 4 2 nR (1 n)T 2
探究二： 你还有其他办法测量出地球的质量吗？需要测量 那些物理量呢？
方法1、选定一颗绕地球转动的卫星(例如月球）， 测定卫星的轨道半径和周期。
科学史上的一段佳话
当时有两个青年--英国的亚当斯(Adams）和法国 的勒威耶（Le Verrier）在互不知晓的情况下分别进 行了整整两年的工作。1845年亚当斯先算出结果，但 格林尼治天文台却把他的论文束之高阁。1846年9月 18日，勒威耶把结果寄到了柏林，却受到了重视。柏 林天文台的伽勒（J.G.Galle）于第二天晚上就进行了 搜索，并且在离勒威耶预报位置 不远的地方发现了这颗新行星。 海王星的发现使哥白尼学说和 牛顿力学得到了最好的证明。
复习：
1、万有引力定律的内容是什么？
2、该定律的适用条件是什么？ 3、比例系数G是怎样测量的？
关于万有引力的说明：
（1）普遍性：它是自然界中物质之间的基本的 相互作用之一，存在于任何客观存在的两部分有 质量之间。 （2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对 作用力与反作用力。 （3）宏观性：通常情况下，它非常小。只有在 质量巨大的天体间，它的存在才有宏观物理意义。
据报道，最近太阳系外发现了首颗“宜居”行星， 其质量为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重为 600N的人在这个行星表面将变为重960N。则该行 星的半径与地球半径之比为多少?
2
已知月球半径是地球半径的1/4，月球表面的重力 加速度是地球表面重力加速度的1/6，由此可知月 球的质量大约是地球质量的________倍
F万=F向
3.明确方程中各物理量的涵义。
【例】天文观察得某行星线速度为
v，离太阳距离r，则可知太阳质量
2
为
M rV
G
若从太阳发出的光射到地面需要时间
为t，万有引力常量为G，地球的公转 周期为T，试求太阳质量。
4 c t M 2 GT
2 3 3
二、天体密度的计算
探究三：如何计算地球的密度？ 若已知半径为R的球体体积的计算式为
Mm 2 2 2 G 2 m r m （ ）r r T
4 2 r 3 M GT 2
方法2、若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的的 半径r和运行的线速度v。
Mm v G 2 m r r
2
v2r M G
应用万有引力计算天体质量的基本思路： 1.确定中心天体，找出绕该天体作匀速圆周 运动的物体; 2.建立天体运动的基本方程;