2017-2018学年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(六)

2017-2018学年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（六）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且12a =，那么5a =（ ）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且12a =， 故数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以31410a a d =+=．故选C ．2．若a b >，则下列不等式正确的是（ ）．A ．11ab<B ．33a b >C ．22a b >D ．||a b >【答案】B【解析】∵函数3y x =在R 上单调递赠， ∴若a b >，则33a b >． 故选B ．3．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】作出约束条件所表示的可行域如图所示，2z x y =+可化为122z y x =-+，作出直线12y x =-，并且平移直线，由图可知，当直线经过(2,0)C 时，纵截距最小，从而z 的值最小， 将(2,0)C 代入2z x y =+得min 2z =．故选A ．4．已知ABC △在正方形网格中的位置如图所示，则cos ABC ∠=（ ）．A ．310B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】由图可知AB =，BC =，AC =则由余弦定理可知2223cos 25AB BC AC ABC AB AC +-∠==⋅． 故选C ．5．已知集合2{40}A x x x =->，301x B x x ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≤，那么集合AB 等于（ ）．A ．{10}x x -<≤B ．{10}x x -<<C ．{03}x x <≤D ．{10x x -<≤或34}x <≤【答案】B【解析】∵集合2{40}{0A x x x x x =->=<或4}x >，集合30{13}1x B x x x x ⎧-⎫==-<⎨⎬+⎩⎭≤≤， ∴集合{10}A B x x =-<<． 故选B ．6．数列{}n a 的通项为1(1)n a n n =+，其前n 项和为n S ，则10S 的值为（ ）．A ．910B ．1011C ．1112D ．1213【答案】B 【解析】∵111(1)1n a n n n n ==-++， ∴1012910S a a a a =++++111111112239101011=-+-++-+- 1111=-1011=． 故选B ．7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2580a a +=，则下列式子中数值不能确定的是（ ）．A ．53a aB ．53S SC ．1n na a +D ．1n nS S +【答案】D【解析】由2580a a +=得3528a q a ==-，得2q =-． A 项，2534a q a ==； B 项，51553313(1)113233111(1)118931a q S q qa q S q q --+-=====--+-； C 项，12n na q a +==-； D 项，11111(1)11(1)11n n n n n n a q S q qa q S q q+++---==---． 与n 的取值有关，所以1n n S S +的数值不能确定．故选D ．8．已知数列1:A a ，2a ，，12(0,3)n n a a a a n <<<≤≥具有性质P ；对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ； ②若数列A 具有性质P ，则10a =；③若数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=． 其中，正确结论的个数是（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】①项，数列0，2，4，6，j i a a +与(13)j i a a i j -≤≤≤两数中都是该数列中的项，并且432a a -=是该数列中的项，故①正确；②项，若数列{}n a 具有性质P ，取数列{}n a 中最大项n a ，则2n n n a a a +=与0n n a a -=两数中至少有一个是该数列中的一项，而2n a 不是该数列中的项，所以0是该数列的项，又由120n a a a <<≤，可得10a =，故②正确；③项，∵数列1a ，2a ，3a 具有性质P ，1230a a a <<≤， ∴13a a +与31a a -中至少有一个是该数列中的一项，且10a =．（1）若13a a +是该数列中的一项，则133a a a +=，所以10a =，易知23a a +不是该数列的项， ∴322a a a -=，∴1322a a a +=．（2）若31a a -是该数列中的一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=，同（1），②若312a a a -=，则32a a =，与23a a <矛盾， ③若311a a a -=，则312a a =． 综上1322a a a +=，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是3个． 故选A ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．在ABC △中，若2a =，b π4A =，则角B =__________． 【答案】π6【解析】由正弦定理可得sin sin a b A B=，即2πsin 4，所以π14sin 22B ==． 又a b >，故π6B =．10．已知24a <<，35b <<，那么2a b +的取值范围是__________，ab的取值范围是__________．【答案】(7,13)；24,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵24a <<，35b <<， ∴428a <<，11153b <<． 故7213a b <+<，2453a b <<．11．数列{}n a 的通项公式为221n n a n =++，则其前n 项和n S =___________． 【答案】12222n n n +++-【解析】数列{2}n是以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和为12(12)2212nn +-=--． 数列{21}n +是以3为首项，2为公差的等差数列，其前n 项和为2(321)22n nn n ++⨯=+． 故数列n a 的前n 项和12222n n S n n +=++-．12．已知点(1,1)在不等式||y x m >-所表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】(0,2)【解析】已知点(1,1)在不等式||y x m >-所表示的平面区域内， 则1|1|m >-，故111m -<-<，解得02m <<，故实数m 的取值范围是(0,2)．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32n S n n =+，则56a a +=__________． 【答案】172【解析】5664216366416172a a S S +=-=+--=．14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是__________． 【答案】乙【解析】由甲、乙、丙、丁四人说的话可知乙和丁同真同假，假设乙和丁说的是真话，则甲说的话也是真话，与题设条件两人说的是真话，另外两人说的是假话相矛盾，所以乙说的是假话．故罪犯是乙．三、解答题（共80分） 15．（本小题共13分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4sin 5A =，且ABC △的面积为2． （1）求bc 的值．（2）若6b c +=，求a 的值． 【答案】【解析】（1）∵4sin 5A =，且ABC △的面积为2， ∴12sin 225ABC S bc A bc ===△， ∴5bc =．（2）∵ABC △是锐角三角形，且4sin 5A =，∴3cos 5A =． ∵5bc =，6b c +=，∴1b =，5c =或5b =，1c =．由余弦定理得22232cos 12510205a b c bc A =+-=+-⨯=， ∴a =．16．（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且112a b ==，514a =，33b a =． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求数列{}n a 中满足35n b a b <<的所有项的和． 【答案】【解析】（1）∵在等差数列{}n a 中，12a =，514a =， ∴设公差为d ，则511423514a a d --===-． ∴数列{}n a 的通项公式为31n a n =-．又∵在等比数列{}n b 中，各项均为正数，12b =，338b a ==，∴设{}n b 的公比为q ，则2314b q b ==，解得2q =-（舍去）或2q =， ∴数列{}n b 的通项公式为2n n b =． （2）∵38b =，532b =，35n b a b <<， ∴83132n <-<，即311n <<，∴数列{}n a 中满足35n b a b <<的项为4a ，5a ，6a ，7a ，8a ，9a ，10a ． ∴410()7(1129)714022a a S +⨯+⨯===．17．（本小题满分13分）甲乙两地相距300海里，某货轮匀速行驶从甲地运输货物到乙地，运输成本包括燃料费用和其他费用．已知该货轮每小时的燃料费与其速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y 表示为航行速度x （海里/小时）的函数． （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 【答案】【解析】（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤，从甲地到乙地所用的时间为300x小时，则从甲地到乙地的运输成本23003000.5800y x x x=⋅+⋅，(050)x <≤， 故所求的函数为230030016000.5800150y x x x x x ⎛⎫=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，(050)x <≤．（2）由（1）知160015015012000y x x ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当1600x x=，即40x =时等号成立． 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少为12000元． 18．（本小题满分14分）已知函数2()(31)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ． （1）若()0f x >的解集是{12}x x -<<，求a 的值． （2）当0a >时，解不等式()0f x >． 【答案】【解析】（1）若()0f x >的解集是{12}x x -<<，则1-，2是方程2(31)2(1)0ax a x a -+++=的两根，由韦达定理得3112a a+-+=， 解得12a =-．（2）2()(31)2(1)[(1)(2)0f x ax a x a ax a x =-+++=-+->，(0)a >．令()0f x =，解得1a x a+=或2x =．①当12a a+=时，即当1a =时，解得2x ≠． ②当12a a+>即01a <<时，解得2x <或1a x a +>．③当12a a +<即1a >时，解得1a x a+<或2x >． 综上所述，当01a <<时，不等式的解集为{2x x <或1a x a +⎫>⎬⎭；当1a =时，不等式的解集是{2}x x ≠； 当1a >时，不等式的解集是1a x x a⎧+<⎨⎩或2}x >． 19．（本小题满分13分）如图所示，在山顶P 点已测得A ，B ，C 的俯角分别为α，β，γ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出AD ，EB ，BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量得线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤．解：步骤1：还需要直接测量得线段为__________． 步骤2：计算线段． 计算步骤：步骤3：计算线段 计算步骤： 步骤4：计算线段 计算步骤： 【答案】【解析】步骤1：还需要直接测量得线段为AD ，BE ，BC ． 步骤2：计算线段PB 的长．计算步骤：在ABC △中BPC βγ∠=-，πPBC β∠=-，PCB γ∠=，由正弦定理得sin sin BC PBBPC PCB =∠∠，整理可得sin sin()BC PB γβγ=-． 步骤3：计算线段AB 的长．计算步骤：在PAB △中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--， 由正弦定理可得：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠,整理可得sin()sin PB AB αβα+=．步骤4：计算线段DE 的长，D E AB AD EB =--． 20．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的首项1(0,1)a ∈，132n n a a --=，2n =，3，4，．（Ⅰ）若112a =，写出2a ，3a ，4a 的值．（Ⅱ）求证：{1}n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式．（Ⅲ）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数． 【答案】【解析】（1）由112a =，132n n a a --=得， 1213353224a a --===， 2353374228a a --===， 347331782216a a --===． （2）由11313222n n n a a a ---==-+，得 111(1)2n n a a --=--，又1(0,1)a ∈，110a -≠，∴{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，∴1111(1)2n n a a -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，∴{}n a 的通项公式1111(1)2n n a a -⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可知302n a <<，故0n b >．则2222111(32)(32)n n n n n n b b a a a a +++-=---223332(32)22n n n n a a a a --⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29(1)4nn a a =-． 由（2）知0n a >且1n a ≠， 故2210n n b b +->，∴1n n b b +<，其中n 为正整数．。