圆面积公式的三种推导方法

圆面积公式的三种推导方法
圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面积是行不通的，要么用初等数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，要么用高等数学定积分的方法求解。

笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，对于提高数学思维能力不无裨益。

下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）、梯形来计算面积的方法作具体详细的分析。

在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了。

圆的面积等于拼成的近似图形的面积。

一、将圆剪拼成三角形的方法
把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如下图拼成一个近似三角
形。

若圆的半径为r ，近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和r π24
2⨯，高可以看作是两个半径r 2，则近似三角形的面积为22)24
2(21r r r S ππ=⨯⨯⨯=，即圆的面积为2r π。

把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形。

要拼成三角形，分的份数只能是2n （22≥n 的整数）份，将圆2n 等份后，拼成的三角形叠了n 层扇形，最后一层有12-n 个扇形 ，其中扇形的顶点向上的是n 个扇形，向下的是
1-n 个扇形，故近似三角形的底为n r n
r n ππ222=⨯，高为nr ，则近似三角形的面积为2221r nr n
r S ππ=⨯⨯=，即圆的面积为 2r π= S 。

下面是把圆9等份的剪拼图示，
二、将圆剪拼成平行四边形的方法
把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似平行四边形。

同样，圆的半径为r ，近似平行四边形的底可以看作2个扇形并成的为r π24
2⨯，高可以看作是小扇形的半径r ，则近似平行四边形的面积为222r r r S ππ=⨯⨯=，即圆的面积为2r π= S 。

同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，当分的份
数无限大时，拼出的图形也可以看作是长方形。

要拼成平行四边形，分的份数只能是n 2（2≥n 的自然数）份，将圆n 2等份后，拼成的平行四边形（叠了一层）
的底为n r n 22π⨯，高为半径r ，则平行四边形的面积为222r r n
r n S ππ=⨯⨯=，即圆的面积2r π= S 。

同样可以考虑叠2层，3层等。

下面是把圆8等份后，由两层扇形拼成平行四边形的图示；
三、 将圆拼成梯形的方法
把圆平均分成3份，得到3个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似梯形。

同样，圆的半径为r ，近似梯形的上底可以看作是由1个扇形的弧长构成的为32r π，下底由2个小扇形构成为3
22r π⨯，高可以看作是小扇形的半径r ，则近似梯形的面积为2)322
2(1r r r r S πππ=⨯⨯+⨯=，即圆的面积为2r π= S 。

同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近梯形，要拼成梯形，将圆只能 )1(23)3)(1(-+++-=j i i i a ij （i ，j 均为整数）等份， 以下有分成8份、12份、15份拼成的梯形图示，将圆ij a 等份后，由i 层小扇形叠成的，上底有j 个小扇形，下底有i j +个小扇形，同样记圆的半径为r 时，梯形的上底为
ij a r j π2⨯，下底为ij
a r j i π2)(⨯+，高为ir ，则近似梯形的面积为)
1(23)3)(1(2)2(212)2(21]2)(2[21-+++-⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⨯⨯++⨯⨯=j i i i ir r j i ir a r j i ir a r j i a r j S ij ij ij ππππ22)1(23)3)(1()2(r j i i i j i i r ππ=-+++-+⨯=，即圆的面积为2r π= S 。

由此可见，圆面积的计算公式可以用不同的拼凑方法推导出来。

在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了，圆的面积等于拼成的近似图形的面积。

以上是将圆拼凑成三角形，平行四边形，梯形的方法及过程。